Integration tích hợp trong dạy toán, Bồi dưỡng giáo viên

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: />
TÍCH HỢP TRONG DẠY HỌC TOÁN (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên)
Presentation · July 2014

CITATIONS

READS

0

4,523

1 author:
Thi-Hoai-Chau Le
Ho Chi Minh City Pedagogical University
25 PUBLICATIONS   24 CITATIONS   
SEE PROFILE

Some of the authors of this publication are also working on these related projects:

Enseignement des mathématiques dans l'approche de l'intégration View project

All content following this page was uploaded by Thi-Hoai-Chau Le on 09 July 2019.
The user has requested enhancement of the downloaded file.


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM




PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

TÍCH HỢP TRONG DẠY HỌC TOÁN
(TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN)

KIÊN GIANG - THÁNG 7 NĂM 2014


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 3
I. ĐỔI MỚI NỀN GIÁO DỤC – ĐÒI HỎI CẤP THIẾT CỦA XÃ HỘI....................... 3
II. ĐỔI MỚI CÁI GÌ ? .................................................................................................... 3
III. DẠY HỌC TOÁN : NÂNG CAO NĂNG LỰC HIỂU BIẾT TOÁN...................... 5
III.1. Mục đích của DH toán ? .................................................................................... 5
III.2. Dạy học toán : đánh giá cái gì ? ........................................................................ 7
III.3. Hiểu biết toán là gì ? .......................................................................................... 8
CHƯƠNG 1
DẠY HỌC TÍCH HỢP................................................................................................ 10
I. QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP TRONG GIÁO DỤC ...................................................... 10
II. DẠY HỌC TÍCH HỢP : LÀ GÌ ? ............................................................................ 11
II. DẠY HỌC TÍCH HỢP : VÌ SAO ? ......................................................................... 12
III. CÁC PHƯƠNG THỨC TÍCH HỢP ....................................................................... 14
III.1. Tích hợp trong nội bộ môn học ....................................................................... 14
III.2. Tích hợp đa môn .............................................................................................. 14
III.3. Tích hợp liên môn............................................................................................ 15
III.4. Tích hợp xuyên môn ........................................................................................ 15
IV. TÍCH HỢP TRONG DẠY HỌC TOÁN ................................................................ 17
CHƯƠNG 2
TÍCH HỢP TRONG NỘI BỘ MÔN TOÁN ............................................................. 18

I. QUAN HỆ GIỮA ĐS - GT VÀ HÌNH HỌC TRONG LỊCH SỬ ............................ 18
I.1. Giải các bài toán ĐS bằng HH ........................................................................... 18
I.2. Giải các bài toán HH bằng ĐS ........................................................................... 19
II. QUAN HỆ GIỮA ĐS, GT VÀ HH NHÌN TỪ PHƯƠNG DIỆN SƯ PHẠM .......... 20
III. NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG DH TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG ............ 21
IV. THỰC HÀNH ......................................................................................................... 23

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

1


CHƯƠNG 3
MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC TOÁN............................................................ 24
I. VỀ KHÁI NIỆM MÔ HÌNH HÓA ........................................................................... 24
I.1. Mô hình hóa toán học : Toán học hóa các tình huống thực tế ........................... 25
I.2.Dạy học mô hình hóa và DH bằng mô hình hóa ................................................. 27
II. VÀI NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG : MÔ HÌNH HÓA VỚI DẠY HỌC
TOÁN Ở PHỔ THÔNG................................................................................................ 28
II.1. Dạy học “hàm số” ............................................................................................. 28
II.2. Dạy học Thống kê ............................................................................................. 32
III. MỘT SỐ TÌNH HUỐNG THIẾT KẾ TỪ QUAN ĐIỂM TĂNG
CƯỜNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC TOÁN .............................................. 32
III.1. Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10 ..... 33
III.2. Mô hình hóa trong dạy học Hàm số và đồ thị ở trường phổ thông ................. 34
III.3. Mô hình hóa với vấn đề tích hợp trong dạy học thống kê ............................... 36
Tình huống 1: Số trung vị với nghĩa là giá trị làm tối tiểu độ lệch ................. 36
Tình huống 2 : Tình huống số trung bình với nghĩa vật lý .............................. 36
Tình huống 3 : Mẫu dữ liệu và chọn mẫu ........................................................ 38
IV. THỰC HÀNH : NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ............... 39

IV.1. Thực hành 1 : Nghiên cứu một số bài toán thực tiễn……..………………… 39
Bài toán con thỏ ............................................................................................... 40
Bài toán bàn cờ và số hạt gạo .......................................................................... 40
Bài toán lãi suất ngân hàng (đơn, kép) ............................................................ 40
Bài toán vị trí ................................................................................................... 41
Bài toán qua sông ............................................................................................. 41
IV.2. Thực hành 2 : Xây dựng tình huống dạy học .................................................. 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 42

2

Tích hợp trong dạy học Toán


MỞ ĐẦU

I. ĐỔI MỚI NỀN GIÁO DỤC – ĐÒI HỎI CẤP THIẾT CỦA XÃ HỘI
Chúng ta đang sống trong thời đại của hai cuộc cách mạng lớn : cách mạng khoa học công nghệ và cách mạng xã hội.
Cuộc cách mạng khoa học - công nghệ hiện đang phát triển với một tốc độ nhanh chưa
từng có trong lịch sử loài người và tác động đến mọi lĩnh vực của cuộc sống. Nó đòi
hỏi nhà trường phải đào tạo ra những lớp người lao động sáng tạo, có năng lực hành
động, có khả năng tự khẳng định mình, có tri thức khoa học - công nghệ tiên tiến, có
những kỹ năng cần thiết và có đủ ý chí, bản lĩnh để giải quyết tốt các nhiệm vụ do thực
tiễn đặt ra, thích ứng được với yêu cầu mới của thời đại.
Cuộc cách mạng xã hội một mặt làm cho cộng đồng quốc tế ngày càng phải cùng nhau
hợp tác đa phương để giải quyết những vấn đề có tính chất sống còn của toàn thể loài
người, mặt khác lại đòi hỏi các dân tộc ngày càng phải nâng cao ý thức độc lập, tự chủ,
tự cường, biết phát huy bản sắc và truyền thống dân tộc, chống lại sự áp đặt và can
thiệp của nước ngoài.
Hai cuộc cách mạng này đã thôi thúc các nước trên thế giới quan tâm đến việc đầu tư,

xây dựng một nền giáo dục (GD) đáp ứng kịp thời các yêu cầu cấp thiết của chúng. Để
phát triển GD, nhiều nước đã đề ra khẩu hiệu “hãy cứu lấy nền kinh tế bằng GD”. GD
trở thành quốc sách hàng đầu của nhiều quốc gia trên thế giới.
Nhu cầu đổi mới lại càng mạnh mẽ đối với nền GD phục vụ cho cơ chế kinh tế tập
trung bao cấp đã lỗi thời ở Việt Nam.

II. ĐỔI MỚI CÁI GÌ ?
 Đổi mới mục tiêu GD : Mục tiêu đào tạo của một nền GD phụ thuộc vào nhu cầu
của xã hội trong đó nền GD tồn tại và phát triển. Muốn đổi mới nền GD, trước hết là
phải đổi mới mục tiêu GD.
Bàn về mục tiêu GD, quan điểm được thừa nhận rộng rãi hiện nay là phải chuẩn bị cho
người học khả năng áp dụng kiến thức một cách linh hoạt vào các bối cảnh và các
vấn đề mới, hình thành thói quen tự học và học tập suốt đời.

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

3


 Đổi mới nội dung dạy học : Nội dung dạy học (DH) cũng phải được thay đổi cho
phù hợp với mục tiêu đào tạo. Nó cần được hiện đại hóa để giúp con người tiếp cận
với những thành tựu mới của cuộc cách mạng khoa học - công nghệ, đồng thời cũng
phải được mềm hóa cho phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý học sinh (HS), điều kiện
học tập, đảm bảo sự cân bằng hợp lý các yếu tố nhân loại và dân tộc, truyền thống và
hiện đại, quốc tế và khu vực.
Ở Việt nam, sự thay đổi nội dung DH theo định hướng này chính là một trong những
mục đích của cuộc cải cách GD bắt đầu được thực hiện từ năm 1980 và những lần
chỉnh lý chương trình, sách giáo khoa sau đó.
Thế nhưng, đánh giá thực tế đổi mới nội dung DH nói chung, nội dung DH môn toán
nói riêng trong mấy thập kỷ qua, có nhà nghiên cứu cho rằng : những thay đổi, dù

thường xuyên, chỉ là đưa lên, đưa xuống, thêm chỗ này, bớt chỗ kia, còn trên căn bản
thì cho đến đầu thế kỷ 21 này chúng ta vẫn dạy toán theo kiểu những năm 50 của thế
kỷ trước. Mặc dầu các cuộc đổi mới chương trình, sách giáo khoa vừa qua đã có
những tác dụng nhất định, phải thừa nhận rằng có hai điều cơ bản chúng ta chưa đạt
được :
- Chưa có một lý luận rạch ròi về hệ thống sách giáo khoa, chưa có sự thống nhất
theo chiều ngang (giữa các nhà soạn thảo chương trình, các tác giả viết sách và
các nhà lý luận DH) lẫn theo chiều dọc (từ dưới lên trên theo bậc học). Nhiều
công trình nghiên cứu về những nội dung DH cụ thể chưa được sử dụng.
- Kiến thức trình bày trong sách giáo khoa nói chung vẫn mang nặng tính hàn lâm,
xa rời thực tế.
Một sự thay đổi căn bản, đáp ứng được đòi hỏi của xã hội cần phải nằm trong một
chiến lược chung của cuộc cách mạng học đường.
 Đổi mới phương pháp DH : Song, dù có thay đổi nội dung DH như thế nào chăng
nữa thì trường học, bất cứ là trường gì, cũng chỉ có thể cung cấp cho con người một
khối lượng tri thức có giới hạn. Trong khi đó kho tàng văn hóa của nhân loại lại vô tận
và không ngừng biến đổi, không ngừng tác động vào cuộc sống của con người. Thật là
không tưởng nếu đòi hỏi nhà trường phải mang lại cho người học đủ tri thức để họ có
thể sống và hoạt động suốt đời.
Để có thể thích ứng được với những yêu cầu không ngừng biến đổi của xã hội, con
người do nhà trường đào tạo ra chẳng những cần có trình độ học vấn cao ở điểm xuất
phát của cuộc sống nghề nghiệp mà còn phải có khả năng tự học, tự tìm tòi, nghiên
cứu, biết không ngừng làm biến đổi vốn tri thức của mình trong suốt cả cuộc đời. Như
vậy, phương pháp DH trong nhà trường phải đem lại cho HS phương pháp học và sự
ham mê học.

4

Tích hợp trong dạy học Toán

Ấy là chưa nói đến quan hệ mật thiết giữa mục tiêu, nội dung và phương pháp – ba
thành tố cơ bản của quá trình DH. Mục tiêu đào tạo thay đổi thì nội dung DH, rồi
phương pháp DH không thể không thay đổi. Trong sự thay đổi này phải có sự hợp tác
của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học, bởi cách dạy luôn luôn
chỉ đạo cách học. Muốn cho ra lò những con người tự chủ, năng động và sáng tạo thì
phương pháp DH cũng phải hướng vào việc khơi dậy, rèn luyện và phát triển những
khả năng này. Mục tiêu DH vì thế không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình
học tập, ở một số tri thức và kỹ năng, mà quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ở cách
học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình học tập một cách
hiệu quả.
Đổi mới phương pháp DH phải nhắm đến định hướng tạo điều kiện cho HS học tập
một cách tích cực, chủ động, từ đó phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo, dần dần hình
thành và ổn định phương pháp tự học. Muốn thế, giáo viên (GV) phải hướng tới việc
giúp người học phát triển năng lực giải quyết vấn đề (không chỉ đơn giản là tích lũy
tri thức). Quan điểm này đang được thừa nhận hầu như trên toàn thế giới.
 Đổi mới công tác kiểm tra, đánh giá : Rõ ràng là việc kiểm tra, đánh giá (GV, HS)
cũng phải phù hợp với mục tiêu GD. Mục tiêu là đào tạo những người lao động mới có
khả năng giải quyết các vấn đề của thực tiễn, có năng lực tự học để thích nghi với sự
biến đổi không ngừng của xã hội, nhưng đánh giá lại chỉ đặt vào việc ghi nhớ kiến
thức và kỹ năng giải quyết một số vấn đề thường gặp trong sách giáo khoa thì khó mà
nói đến đổi mới phương pháp DH.
 Cuối cùng, để trả lời câu hỏi “đổi mới cái gì” mà chỉ nói đến mục tiêu, nội dung và
phương pháp DH thì chưa đủ. Nói như thế tức là mới chỉ xem xét ở cấp độ vi mô
(trong phạm vi quá trình DH). Ở cấp độ vĩ mô, còn phải kể đến những yếu tố như công
tác quản lý GD, cách tổ chức quá trình đào tạo, v.v…
Nói như vậy không có nghĩa là GV phải chờ người ta đổi mới chương trình, sách giáo
khoa, công tác kiểm tra đánh giá, … rồi mới đổi mới phương pháp DH. Thực ra thì
vẫn nội dung ấy, nhưng mỗi GV có thể đạt được những mục đích nhiều khi rất khác xa
nhau.

III. DẠY HỌC TOÁN : NÂNG CAO NĂNG LỰC HIỂU BIẾT TOÁN
III.1. Mục đích của DH toán ?
Để xác định mục đích DH toán, chúng ta hãy trả lời câu hỏi : nhà trường phổ thông
dạy toán cho ai ?
Rõ ràng là đại bộ phận HS phổ thông sau này là người sử dụng toán chứ không phải là
người làm toán (nghiên cứu toán).
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

5


“Người làm toán là người phát minh ra các thuật toán, các phương pháp, các định lý và
chứng minh chúng bằng các suy luận logic toán học thuần túy, còn người sử dụng toán là
người dùng tri thức toán học trong các hoạt động thực tiễn của mình. Trong khi đối tượng
thứ hai chỉ cần cảm nhận cho được cái thần của một số nguyên lý cơ bản để vận dụng
chúng vào thực tiễn thì đối tượng thứ nhất cần phải hiểu thấu các phương pháp và công
cụ cho phép thiết lập nên các nguyên lý này).
Như vậy, nội dung dạy toán cho những người sẽ làm toán và những người sẽ không làm
toán là khác nhau rõ rệt.” (Phạm Huy Điển, 2006, tr. 19)

Thế nhưng, trong một thời gian dài trước đây chúng ta đã xem việc DH toán cho người
không làm toán cũng giống như cho người có thể sẽ làm toán, chú trọng đến tính chặt
chẽ của toán học và rèn luyện các năng lực tư duy. Môn toán trở thành công cụ đánh
đố những HS vô tội, sinh ra vốn không phải để làm toán.
Xu hướng hiện nay của DH toán ở Việt Nam thì lại là trình bày qua loa khái niệm, rồi
công nhận các định lý, công thức và dạy HS giải toán theo mẫu. Cũng như trước kia,
cách dạy học này khiến học sinh khó nhìn thấy lợi ích thực tiễn của các tri thức toán
học, cho rằng học toán chỉ để giải toán và đi thi. Thậm chí, so với hiệu quả của việc
dạy học toán theo quan điểm trước đây thì dường như nền giáo dục toán học ở Việt

Nam đã có một bước thụt lùi. Cách dạy này chẳng có ích lợi gì nhiều cho cả người sẽ
làm toán lẫn người sẽ không làm toán, khiến toán học trở thành khô khan và vô bổ đối
với họ.
“Không thể phủ định vai trò của rèn luyện tư duy thông qua giải bài tập toán, nhưng chỉ
lao vào làm bài tập thì cũng không khác gì chơi trò chơi điện tử liên miên. Tác hại của
việc dùng thuốc quá liều (kể cả thuốc bổ) thì ai cũng biết, nhưng nhiều thầy giáo dạy toán
không ý thức được rằng việc làm bài tập toán quá nhiều cũng gây hậu quả tương tự, đặc
biệt là đối với những HS không trở thành người làm toán sau này. Rõ ràng đây là sự lãng
phí lớn, nhất là khi HS đang khan hiếm thời gian cho việc học lý thuyết và trau dồi nhiều
kiến thức khác mà cuộc sống hiện đại đòi hỏi ngày càng nhiều. Sẽ càng thấy phi lý hơn
nếu như ta biết rằng các bài toán mà HS phải vật lộn với bao nhiêu công thức, phép biến
đổi phức tạp lại có thể được giải quyết dễ dàng với sự trợ giúp của máy tính.” (Phạm Huy
Điển, 2006, tr. 19).

Tư duy toán học dùng trong cuộc sống không có được từ việc luyện giải bài tập toán
triền miên, mà là từ việc học lý thuyết toán học. Tình trạng phổ biến hiện nay trong
nhà trường là dành thời gian quá nhiều cho việc giải bài tập toán mà bỏ qua việc học lý
thuyết. Đây là một quan niệm sai lầm, vì mục đích quan trọng nhất của việc học toán
không phải là giải bài tập, mà là sử dụng kiến thức học được vào thực tiễn và vào việc
học các khoa học khác. Muốn làm cho HS hiểu được nghĩa của tri thức toán, bồi
dưỡng năng lực sử dụng toán cho các em, thì phải chú trọng đúng mức đến việc DH
6

Tích hợp trong dạy học Toán


các khái niệm toán học. Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của tư duy, và
do đó là một yếu tố không thể thiếu trong hoạt động tư duy của con người. Khái niệm
cũng vừa là cơ sở của toán học, vừa là động lực phát triển của toán học. Lịch sử toán
học đã cho ta thấy là sự nẩy sinh một khái niệm toán học mới thường đánh dấu một

mốc phát triển mới.
“Trong việc DH toán, cũng như việc DH bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông,
điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho HS một hệ thống khái
niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của HS, là tiền đề quan trọng để xây
dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm
có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng GD thế giới quan cho HS (qua
việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm toán học.”
(Hoàng Chúng, 1995, tr. 116)

III.2. Dạy học toán : đánh giá cái gì ?
Để phù hợp với bối cảnh phát triển mạnh mẽ của hai cuộc cách mạng khoa học công
nghệ và xã hội, những cuộc cải cách GD thực hiện gần đây trên thế giới đã chuyển
sang xu hướng làm cho toán học gần với cuộc sống hơn. Ngày nay, bàn về mục tiêu
GD, quan điểm được thừa nhận rộng rãi là phải chuẩn bị cho người học khả năng áp
dụng kiến thức một cách linh hoạt vào các bối cảnh và các vấn đề mới, hình thành thói
quen tự học và học tập suốt đời. Quan điểm này đã dẫn người ta đến chỗ thay đổi hình
thức và tiêu chuẩn đánh giá HS.
Đã có những chương trình đánh giá HS quốc tế với mục đích chỉ ra điểm mạnh, điểm
yếu của hệ thống GD thuộc các quốc gia tham gia khảo sát để không ngừng cải thiện
chất lượng đào tạo. PISA (Programme for International Student Assessment) do tổ
chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế - gọi tắt là OECD (Organization for Economic
Cooperation and Development) tiến hành là một trong những chương trình đó.
OEDC được thành lập năm 1997 nhằm đánh giá việc chuẩn bị cho HS tuổi mười lăm
đáp ứng với những thách thức của xã hội ngày nay. Các chuyên gia từ những nước
thành viên làm việc trong các nhóm công tác có chuyên môn giỏi và có kỹ thuật tốt
trong lĩnh vực đánh giá so sánh quốc tế. Các công cụ đánh giá mà họ xây dựng đảm
bảo là có giá trị quốc tế đồng thời có cân nhắc đến tình hình chương trình và văn hóa
của các nước thành viên OECD.
Người ta đánh giá cái gì ?
Theo truyền thống, việc đánh giá HS chủ yếu dựa trên các bài kiểm tra, các kỳ thi. Nội

dung đánh giá đa phần tập trung vào những yêu cầu về ghi nhớ hay áp dụng kiến thức,
kĩ năng đã được rèn luyện và vận dụng các quy trình quen thuộc để giải quyết một số

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

7


dạng toán tiêu biểu thường gặp trong sách giáo khoa và lớp học. Thực tế đó hoàn toàn
trái ngược với xu thế chung mà GD toán tiên tiến trên thế giới đã và đang hướng tới.
Chẳng hạn, đối với chương trình PISA, người ta tập trung vào những việc mà HS 15
tuổi cần trong tương lai và tìm hiểu những gì các em có thể làm được trên cơ sở cái đã
học được. Người ta không chỉ đánh giá kiến thức mà còn xem xét khả năng của HS
trong việc áp dụng kiến thức và kinh nghiệm của mình vào những vấn đề thực tế (chứ
không phải là vấn đề tiêu biểu thường gặp trong sách giáo khoa và lớp học). Cụ thể
hơn, đánh giá PISA không nặng về mức độ nắm các nội dung có mặt trong chương
trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực tế
và năng lực xử lý các tình huống mà các em có thể sẽ đối mặt trong cuộc sống sau khi
rời ghế nhà trường.
Liên hệ với mục tiêu DH toán, ta thấy quan điểm này hoàn toàn phù hợp với một thực
tế là đại đa số HS mà chúng ta đào tạo sau này sẽ là người sử dụng toán chứ không
phải là người làm toán (nghiên cứu toán).
Đánh giá PISA được tổ chức thường xuyên ba năm một lần. Ba lĩnh vực được tập
trung đánh giá là đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học. Việc xác định các
lĩnh vực đánh giá như vậy chứng tỏ người ta gán cho DH toán trong nhà trường một vị
trí quan trọng.

III.3. Hiểu biết toán là gì ?
PISA được tổ chức lần thứ hai vào năm 2003 với sự tham gia của 41 quốc gia, trong
đó bao gồm nhiều quốc gia có nền GD tiên tiến trên thế giới như Nhật Bản, Phần Lan,

Hoa Kì, Canada, Đan Mạch, Thụy Điển, Úc... Ở lần đánh giá đó PISA tập trung vào
các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại tình huống và vấn đề thường gặp trong lớp
học. Nói cách khác, trọng tâm là đánh giá năng lực hiểu biết toán của HS.
Định nghĩa về hiểu biết toán của OECD/PISA là:
“Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của toán
học trong cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng và gắn kết với toán học
theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách
là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh.”

Như vậy, thuật ngữ “hiểu biết toán” được dùng để nói về năng lực kết hợp một cách
sáng tạo những kiến thức và kỹ năng toán học khác nhau vào các sự kiện, các vấn đề
được đặt ra bởi tình huống đa dạng của thực tiễn. Những tình huống ấy có thể là quen
thuộc hoặc không, có thể đơn giản hay phức tạp. Dĩ nhiên, để kết hợp được như vậy
thì tiền đề là phải có những kiến thức và kỹ năng toán học nền tảng. Nhưng hiểu biết
toán không chỉ là có các kiến thức và kỹ năng ấy. Định nghĩa về hiểu biết toán bao
gồm việc sử dụng toán học trong thực tiễn cũng như sự chuẩn bị cho việc học xa hơn.
8

Tích hợp trong dạy học Toán


Trong những tình huống thực tiễn (ngoài toán học), thoạt đầu ta không thấy có cấu
trúc toán học nào hiện diện tường minh, mà nhiệm vụ của người giải quyết vấn đề là
phải đưa ra một mô hình toán học cho phép tìm một câu trả lời có thể chấp nhận được
- nói là chấp nhận được vì thực tiễn không phải bao giờ cũng chỉ có một câu trả lời và
thường là các câu trả lời phù hợp với những hoàn cảnh khác nhau.
Định nghĩa về hiểu biết toán của PISA phù hợp với quan điểm DH tích hợp mà người
ta thường nói đến từ vài thập niên qua, theo đó, việc DH các môn khoa học phải xích
lại gần nhau và gắn với thực tiễn. Những chương trình cũng như những kiểu DH thiên
về kiến thức hàn lâm, xa rời thực tiễn đang dần dần bị loại bỏ.

Tình huống Đèn đường dưới đây là một ví dụ đã được PISA sử dụng khi đánh giá
năng lực hiểu biết toán của HS tuổi mười lăm.
Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong một công viên nhỏ hình
tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên.
Người ta nên đặt nó ở đâu ?

Ở Việt Nam, thời gian gần đây người ta đã bắt đầu nói về đánh giá tập trung vào năng
lực chứ không phải là vào kiến thức, kỹ năng. Với cách xác định mục tiêu tập trung
vào năng lực như vậy, đương nhiên việc DH cũng phải có thể giúp nâng cao năng lực
hiểu biết toán cho người học.

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

9


CHƯƠNG 1

DẠY HỌC TÍCH HỢP
I. QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP TRONG GIÁO DỤC
Tích hợp có nguồn gốc La tinh là “integration”, với nghĩa lồng ghép, sát nhập, hợp
nhất, xác lập cái chung, cái toàn thể, cái thống nhất trên cơ sở những bộ phận riêng lẻ.
Theo nghĩa này, tích hợp hướng tới việc xem xét mỗi đối tượng như là một thể thống
nhất của những nét bản chất nhất trên các thành phần, chứ không phải là phép cộng
giản đơn những thuộc tính của các thành phần ấy. Hiểu như vậy, tích hợp có hai tính
chất cơ bản là liên kết và toàn vẹn. Liên kết phải tạo thành một thực thể toàn vẹn,
không còn sự phân chia giữa các thành phần kết hợp. Tính toàn vẹn dựa trên sự thống
nhất nội tại các thành phần liên kết, chứ không phải sự sắp xếp các thành phần bên
cạnh nhau.
Khái niệm tích hợp được sử dụng trong nhiều lĩnh vực. Trong khoa học GD, nó chỉ

một quan niệm GD toàn diện con người qua sự kết hợp một cách hữu cơ, có hệ thống,
ở các mức độ khác nhau, những kiến thức, kĩ năng thuộc các môn học khác nhau hoặc
những hợp phần của bộ môn thành một nội dung thống nhất. Sự kết hợp này dựa trên
cơ sở các mối liên hệ về lí luận và thực tiễn được đề cập đến trong các môn học hoặc
các hợp phần của một môn học.
Tích hợp trong GD nhằm giúp HS nhận ra những điều then chốt và mối liên hệ hữu cơ
giữa các thành tố trong hệ thống. Việc khai thác hợp lý, có ý nghĩa các mối liên hệ đó
dẫn người học đến những phát kiến mới. Quan điểm này cho phép phát triển nhiều loại
hình hoạt động ở người học, tạo môi trường áp dụng những điều họ lĩnh hội được vào
thực tiễn. Nó còn cho phép tránh những trùng lắp gây lãng phí thời gian, tài chính và
nhân lực. Vì những lẽ đó, tích hợp đã trở thành một quan điểm GD được thừa nhận
rộng rãi trên thế giới hiện nay.
Quan điểm tích hợp được thể hiện trước hết ở việc xây dựng chương trình và nội dung
môn học. Theo quan điểm này, người ta có thể tổ hợp một số môn học hay lĩnh vực
học tập khác nhau (theo cách hiểu truyền thống) thành một “môn học” mới, hoặc lồng
ghép các nội dung cần thiết vào những nội dung vốn có của một môn học nào đó.
Chẳng hạn, chương trình GD Việt Nam tương lai (áp dụng sau 2015) của các lớp 4, 5
dự kiến sẽ có môn mới là Tìm hiểu xã hội (trên cơ sở các môn Lịch sử, Địa lý trong
chương trình hiện hành, cộng thêm một số vấn đề khác), đồng thời lồng ghép nội dung
10

Tích hợp trong dạy học Toán


GD dân số, GD môi trường, GD an toàn giao thông trong các môn học Đạo đức, Tiếng
Việt hay Tự nhiên và Xã hội.
Đối với nhiều nước trên thế giới quan điểm tích hợp đã trở thành một xu thế GD có
ảnh hưởng lớn đến việc xác định nội dung DH và xây dựng chương trình môn học ở
trường phổ thông.
Nhưng không phải là tích hợp chỉ tác động vào khâu xây dựng chương trình, mà hoạt

động DH của GV cũng góp phần quan trọng vào việc thực hiện quan điểm này.

II. DẠY HỌC TÍCH HỢP : LÀ GÌ ?
Tích hợp trong GD được UNESCO định nghĩa là “một cách trình bày các khái niệm
và nguyên lí khoa học cho phép diễn đạt sự thống nhất cơ bản của tư tưởng khoa học,
tránh nhấn quá mạnh hoặc quá sớm sự sai khác giữa các lĩnh vực KH khác nhau”
(Hội nghị phối hợp trong chương trình của UNESCO, Paris 1972).
Định nghĩa này nhấn mạnh cách tiếp cận các khái niệm và nguyên lí khoa học chứ
không phải là hợp nhất nội dung. Việc giảng dạy các môn học không thể chỉ xem là
trang bị một số kiến thức mở đầu, chuẩn bị cho các cấp học trên, mà còn là kết thúc,
chuẩn bị cho đời sống trưởng thành. DH tích hợp phải chỉ ra cách thức chuyển từ
nghiên cứu sang ứng dụng, gắn học với hành. Vấn đề ở đây không chỉ là tìm tòi, phát
hiện tri thức mới, đi từ cái đơn nhất đến cái chung, mà còn là nhận định, lựa chọn giải
pháp, đi từ nguyên tắc chung đến việc tìm ra cách thức giải quyết vấn đề cụ thể.
Không thể gọi là tích hợp nếu các tri thức, kĩ năng chỉ được tiếp thu, tác động một
cách riêng rẽ, không có sự liên kết, phối hợp với nhau trong lĩnh hội nội dung hay giải
quyết một vấn đề, tình huống. GD nhà trường phải chuyển từ đơn thuần dạy kiến thức
sang phát triển ở HS các năng lực hành động.
Theo quan điểm này thì DH tích hợp nhắm đến những mục tiêu sau:
- Làm cho quá trình học tập có ý nghĩa bằng cách gắn nó với cuộc sống hàng ngày,
hoà nhập thế giới học đường với thế giới cuộc sống.
- Hình thành những năng lực cơ bản, cần thiết cho việc vận dụng vào xử lí các tình
huống của cuộc sống, và đặt cơ sở không thể thiếu cho quá trình học tập tiếp theo của
HS.
- Dạy sử dụng kiến thức trong tình huống cụ thể. Thay vì tham nhồi nhét cho HS nhiều
kiến thức lí thuyết đủ loại, DH tích hợp chú trọng tập dượt cho HS vận dụng kiến thức,
kĩ năng học được vào các tình huống thực tế, có ích cho cuộc sống sau này của một
công dân có năng lực sống tự lập.
- Xác lập mối liên hệ giữa các khái niệm đã học. Trong quá trình học tập, HS có thể

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

11


lần lượt học những môn học khác nhau, những phần khác nhau trong mỗi môn học.
Nhưng họ phải biết biểu đạt các khái niệm đã học trong những mối quan hệ hệ thống
thuộc phạm vi từng môn học cũng như giữa các môn học khác nhau.
Thực tiễn ở nhiều nước đã chứng tỏ rằng thực hiện quan điểm tích hợp trong GD và
DH sẽ giúp HS phát triển các năng lực cần thiết cho việc giải quyết những vấn đề phức
tạp. DH tích hợp làm cho việc học tập trở nên ý nghĩa hơn đối với HS so với việc thực
hiện riêng rẽ các môn học, các mặt GD khác nhau. Nó cho phép con người nhận ra
những điều then chốt và các mối liên hệ hữu cơ giữa các thành tố trong hệ thống và
trong tiến trình hoạt động thuộc một lĩnh vực nào đó. Nó giúp nâng cao năng lực của
người học trong việc giải quyết các vấn đề của cuộc sống hiện đại. Nó hoàn toàn phù
hợp với những quan niệm tích cực về quá trình học tập.

II. DẠY HỌC TÍCH HỢP : VÌ SAO ?
Để trả lời câu hỏi này, ta hãy bắt đầu từ ba tình huống sau đây.
Tình huống 1: Tính tích hợp trong một dự án
Câu hỏi đặt ra là : có nên chuyển vùng đất sản xuất nông nghiệp của huyện A thành
một khu công nghiệp hay không ? Câu trả lời cho những câu hỏi kiểu này phụ thuộc
vào nhiều lĩnh vực : môi trường sinh thái, kinh tế (sự cần thiết và giá trị của những sản
phẩm nông nghiệp, công nghiệp khác nhau, ...), xã hội (tình trạng thị trường lao động
hiện tại và tương lai, ...).
Tình huống 2 : Tính tích hợp trong một khái niệm
Khái niệm năng lượng có thể được nghiên cứu trong các môn học khác nhau như địa
lý học, kinh tế học, vật lý học, sinh học, ... Nhưng các môn học cũng có thể kết hợp
với nhau để làm nổi bật lên sự tác động qua lại giữa những lĩnh vực khác nhau của
chúng. Cũng như thế, một đề tài như “chất thải” chẳng hạn có thể được nghiên cứu

trong khoa học tự nhiên (thiên nhiên và tái chế), trong xã hội học (lối sống gây lãng
phí), trong kinh tế học (sản xuất, tiêu thụ, tái sử dụng), trong địa lý (tài nguyên kim
loại), ...
Tình huống 3: Tính tích hợp trong các hoạt động thực tiễn
Trong các hoạt động xã hội, chính trị, người ta luôn phải thỏa thuận với nhau nhằm
đưa ra một quyết định cuối cùng được xem là thích hợp để hành động. Ở đây người ta
phải đối chiếu các quan điểm khác nhau vốn không dựa trên cùng tiêu chí để đưa ra
quyết định cuối cùng, và việc lựa chọn quyết định đó thì nhiều khi không dựa trên một
kiến thức mà lại có thể là vì những lý do về đạo đức hay chính trị.

12

Tích hợp trong dạy học Toán


Như vậy, quan điểm tích hợp trong GD có cơ sở khoa học và thực tiễn của nó. Một
mặt, mọi sự vật, hiện tượng đều không thể tồn tại và phát triển một cách riêng rẽ, độc
lập, mà trái lại, luôn có những mối quan hệ đa chiều với nhiều sự vật, hiện tượng khác.
Mặt khác, mỗi sự vật, hiện tượng đều tồn tại với tư cách là một thực thể toàn vẹn. Vì
muốn hiểu rõ về chúng, con người đã phân chia chúng ra để nghiên cứu. Từng khoa
học, với phương pháp riêng của mình, sẽ nghiên cứu chúng từ những góc độ khác
nhau. Nhưng sự phân chia đó chỉ là hình thức, không phải là bản chất của sự tồn tại.
Để có một sự hiểu biết đầy đủ về sự vật, hiện tượng, con người phải biết tổng hợp
những kết quả nghiên cứu của nhiều khoa học lại.
“Từ thế kỉ XV đến thế kỷ XIX, các khoa học tự nhiên đã nghiên cứu tự nhiên theo tư duy
phân tích, mỗi khoa học tự nhiên nghiên cứu một dạng vật chất, một hình thức vận động
của vật chất trong tự nhiên. Nhưng bản thân tự nhiên là một thể thống nhất nên sang thế
kỷ XX đã xuất hiện những khoa học liên ngành, giao ngành, hình thành những lĩnh vực
tri thức đa ngành, liên ngành. Các khoa học tự nhiên đã chuyển từ tiếp cận “phân tích cấu trúc” sang tiếp cận “tổng hợp - hệ thống”. Sự thống nhất của tư duy phân tích và tổng
hợp - đều cần thiết cho phát triển nhận thức - [...] đem lại cách nhận thức biện chứng về

mối quan hệ giữa bộ phận với toàn thể.” (Trần Bá Hoành)

Theo quan điểm trên, xu thế phát triển của khoa học ngày nay là tiếp tục phân hoá sâu,
song song với tích hợp liên môn, liên ngành ngày càng rộng.
Việc DH trong nhà trường vừa phản ánh sự phát triển hiện đại của khoa học, vừa phải
chuẩn bị nguồn nhân lực cho sự phát triển không ngừng đó, nên không thể cứ tiếp tục
giảng dạy các khoa học như là những lĩnh vực tri thức riêng rẽ. Đó là lý do thứ nhất
biện minh cho sự cần thiết của DH tích hợp.
Lý do thứ hai nằm ở chỗ : tồn tại một mâu thuẫn giữa kiến thức học đường đã được
“phân đoạn” thành các môn học với thế giới thực. Trong thế giới ấy không có sự tách
bạch giữa các môn học mà trái lại, chằng chịt những mối quan hệ phức tạp. Mọi tình
huống của cuộc sống đều là những tình huống tích hợp. Vì thế, để giải quyết một vấn
đề của thực tiễn con người thường phải huy động kiến thức của những môn học khác
nhau. Không thể giải quyết một vấn đề, một nhiệm vụ nào của lí luận cũng như thực
tiễn mà lại không sử dụng tổng hợp và phối hợp kinh nghiệm, kĩ năng của nhiều
ngành, nhiều lĩnh vực.
Ấy thế mà nhiều thập kỷ qua, kiến thức học đường lại chỉ là một tập hợp gồm các yếu
tố đặt cạnh nhau, xếp chồng lên nhau trong các chương trình, và theo cách nói của
Charlot thì “được tích lũy như một thủ đô văn hóa và được đánh giá theo bậc thang
định lượng” (Charlot, 1987, tr. 206). Cách dạy học này khiến HS có khó khăn trong
việc gán nghĩa cho các tri thức mà người ta dạy cho họ. Một số quả nghiên cứu được
công bố trong những năm gần đây ở nhiều nước thuộc châu Âu và Bắc Mỹ cho thấy là

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

13


phía sau những “tri thức học đường” HS trung học không hiểu đối tượng, từ vựng, và
thậm chí cả mục đích của việc học đối tượng đó.

Tích hợp đã xuất hiện như một giải pháp cần thiết để khắc phục tình trạng này, phá vỡ
lôgic DH theo kiểu phân môn tách rời. Nó cho phép thiết lập mối liên hệ giữa các môn
học trong nhà trường để giúp HS hiểu tốt hơn thế giới xung quanh họ. Nó giúp HS học
tập thông minh, vận dụng sáng tạo kiến thức, kĩ năng, phương pháp của khối tri thức
toàn diện, hài hòa vào giải quyết các tình huống mới mẻ khác nhau trong cuộc sống
hiện đại. Nói cách khác, xu hướng tích hợp các môn học tập dượt cho HS cách vận
dụng tổng hợp những điều đã học được vào thực tiễn. Cách dạy từng môn học riêng rẽ
cho phép mang lại những tri thức có hệ thống về một khía cạnh, một phương diện nào
đó, nhưng nếu không có sự kết hợp các môn học khác nhau thì khó mà vận dụng được
vào thực tiễn.
Lý do thứ ba giải thích cho quan điểm DH tích hợp là sự phát triển với một tốc độ vũ
bão của khoa học ngày nay khiến nhu cầu đưa thêm vào chương trình phổ thông những
nội dung mới là điều không tránh khỏi. Chương trình vì thế mà trở nên quá tải.
“Thời gian học tập trong nhà trường không thể kéo dài thêm. HS có thể sẽ học được
nhiều hơn nếu được cung cấp đầy đủ các tư liệu học tập được biên soạn trong khuôn khổ
một chương trình tích hợp các khoa học một cách hợp lý.” (Dương Tiến Sĩ, 2002, tr.21)

III. CÁC PHƯƠNG THỨC TÍCH HỢP
Theo D. Hainaut, có bốn phương thức khác nhau để tích hợp các môn học : tích hợp
trong nội bộ môn học, tích hợp đa môn, tích hợp liên môn và tích hợp xuyên môn.

III.1. Tích hợp trong nội bộ môn học
Theo phương án này, các môn vẫn được học riêng rẽ, nhưng trong quá trình giảng dạy,
tích hợp được thực hiện thông qua việc loại bỏ những nội dung trùng lắp trong bản
thân môn đó, khai thác sự hỗ trợ giữa các phân môn, giữa các phần trong một phân
môn hay một môn học. Tích hợp đọc, viết và nói trong môn Ngoại ngữ là một ví dụ.
Thông qua kiểu tích hợp nội bộ môn học này, người ta mong muốn người học đạt
được hiểu biết về các mối quan hệ giữa những phân môn khác nhau và mối quan hệ
giữa chúng với thế giới.

III.2. Tích hợp đa môn
Xu hướng tích hợp đa môn cho rằng một số chủ đề có thể được nghiên cứu từ góc độ
của những khoa học khác nhau (ví dụ, GD công nghệ môi trường có thể được thực
hiện thông qua nhiều môn học như Sinh học, Địa lý, Vật lý, Hóa học, …). Theo xu
hướng này, nội dung học tập được thiết kế thành một chuỗi vấn đề hay tình huống mà
14

Tích hợp trong dạy học Toán


việc giải quyết đòi hỏi phải huy động tổng hợp kiến thức kĩ năng của những môn học
khác nhau. Một trong những cách thức tổ chức DH tích hợp theo phương thức đa môn
có thể áp dụng ở bậc trung học là sắp xếp một số nội dung học tập theo kiểu song
hành. Ví dụ, hai môn Văn chương Mỹ và Lịch sử Mỹ dạy học song hành : HS học một
tiết riêng về lịch sử và đọc một số tác phẩm văn học thuộc giai đoạn đó.
Người ta cũng có thể tổ chức các chủ đề có giao thoa giữa nhiều môn thành những
“đơn vị bài học”. Đơn vị bài học thường kéo dài trong dăm ba tuần, và toàn trường có
thể tham gia vào. Việc thực hiện một đơn vị bài học có thể độc lập với kế hoạch học
tập thường xuyên. Ở đây các môn học vẫn được tiếp cận riêng rẽ, chỉ phối hợp với
nhau ở một số chủ đề nội dung.

III.3. Tích hợp liên môn
Xu hướng tích hợp liên môn cũng quan tâm đến những tình huống chỉ có thể được tiếp
cận một cách hợp lý qua sự soi sáng của nhiều môn học.
Trong cách tiếp cận tích hợp liên môn, GV kết nối các nội dung học tập chung nằm
trong những môn học khác nhau để nhấn mạnh các khái niệm và kỹ năng liên môn.
Đây là điểm chung với xu hướng tích hợp đa môn. Tuy nhiên, việc tổ chức học tập có
thể chỉ đặt trong khuôn khổ một môn học, ở đó GV tổ chức chương trình học tập
những chủ đề, khái niệm cụ thể của môn học trong mối quan hệ với các khái niệm, kỹ
năng liên môn.

Tích hợp liên môn còn được hiểu như là phương án trong đó nhiều môn học liên quan
được kết lại thành một môn học mới với một hệ thống những chủ đề nhất định xuyên
suốt qua nhiều cấp lớp. Thí dụ Địa lý, Lịch sử, Sinh học, Xã hội, GD Công dân, Hoá
học, Vật lý, được tích hợp thành môn “Nghiên cứu xã hội và môi trường” ở chương
trình GD bậc tiểu học tại Anh, Úc, Singapore, Thái lan.

III.4. Tích hợp xuyên môn
Xu hướng này chủ yếu nhằm phát triển những kỹ năng mà HS có thể sử dụng trong tất
cả các môn học, các tình huống.
Trong cách tiếp cận tích hợp xuyên môn, GV tổ chức chương trình học tập xoay quanh
các vấn đề và mối quan tâm của người học. Học sinh phát triển các kĩ năng sống khi
họ áp dụng những kĩ năng môn học và liên môn vào ngữ cảnh thực tế của cuộc sống.
Một trong những con đường dẫn đến tích hợp xuyên môn là học tập theo dự án. Trong
học tập theo dự án, HS được cho cơ hội giải quyết một vấn đề của địa phương. Một số
trường gọi đây là học tập dựa vào vấn đề hoặc học tập dựa vào nơi sinh sống. Việc
hoạch định chương trình học theo dự án được tiến hành qua ba bước:

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

15


- GV và HS chọn một đề tài nghiên cứu theo mối quan tâm của HS, chuẩn chương
trình và nguốn tài nguyên của địa phương.
- GV xác định những điều HS đã biết và giúp họ đưa ra những câu hỏi để tìm kiếm,
khám phá. Giáo viên cũng cung cấp nguồn cho HS và cho họ cơ hội làm việc trong
lĩnh vực chuyên môn.
- Học sinh chia sẻ, trao đổi công việc với người khác thông qua một hoạt động có tính
tích hợp cao nhất. Học sinh trình bày kết quả tìm thấy được, tổng quan và đánh giá dự
án đã thực hiện.

Một ví dụ :
Ở Việt Nam, quan điểm tích hợp đã được đặc biệt chú trọng trong các chương trình và
sách giáo khoa sử dụng từ năm 2000. Định hướng tích cực hóa hoạt động DH đã làm
thay đổi cách biên soạn và cách sử dụng sách giáo khoa : nếu như trước kia nó được
xem là “pháp lệnh”, là một tài liệu chứa đựng kiến thức có sẵn để giáo viên truyền đạt
cho học sinh”, thì bây giờ người ta quan niệm rằng đó là “phương tiện chính thức để
định hướng cho giáo viên tổ chức hoạt động học tập nhằm giúp học sinh tự học, tự
phát hiện, tự chiếm lĩnh tri thức mới, biết vận dụng chúng theo năng lực của từng cá
nhân” (Đỗ Đình Hoan 2002, tr.75). Sự thay đổi quan niệm này đòi hỏi các nhà biên
soạn chương trình và các tác giả viết sách giáo khoa phải thay đổi cấu trúc nội dung
theo hướng tích hợp.
Định hướng xây dựng chương trình áp dụng sau năm 2015 của Việt Nam thể hiện
quan điểm tích hợp ở những điểm sau :
- Ở tiểu học, tương tự như chương trình tiểu học hiện hành, tăng cường tích hợp trong
nội bộ môn học Toán, Tiếng Việt, Đạo đức, Tự nhiên và Xã hội (các lớp 1, 2, 3) và
lồng ghép các vấn đề như môi trường, biến đổi khí hậu, kĩ năng sống, dân số, sức khỏe
sinh sản…, vào các môn học và hoạt động GD. Vận dụng vào môn toán thì một số yếu
tố của ĐS được lồng ghép vào trong chương trình số học.
- Ở tiểu học, hai môn học mới được ra đời trên cơ sở kết hợp các môn học có nội dung
liên quan với nhau. Đó là môn Khoa học và Công nghệ được xây dựng trên cơ sở hai
môn Khoa học và môn Công nghệ (Kĩ thuật) ở các lớp 4 và 5 trong chương trình hiện
hành. Môn thứ hai là Tìm hiểu xã hội được xây dựng từ môn Lịch và Địa lý của
chương trình tiểu học hiện hành và bổ sung một số vấn đề xã hội). Các môn học này
dự kiến sẽ được xây dựng theo mô hình: cơ bản đảm bảo tính logic hệ thống của các
phân môn, nội dung chương các phân môn được sắp xếp sao cho có sự hỗ trợ lẫn nhau
tránh trùng lắp; đồng thời hệ thống các chủ đề liên kết giữa các phân môn sẽ được phát
triển tạo điều kiện cho các kiến thức, kĩ năng, năng lực chung được rèn luyện.
- Ở Trung học cơ sở, tương tự như chương trình hiện hành tăng cường tích hợp trong

16

Tích hợp trong dạy học Toán


nội bộ môn học Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ, Công nghệ, GD công dân, … và lồng ghép
các vấn đề như môi trường, biến đổi khí hậu, kĩ năng sống, dân số, sức khỏe sinh sản,
… vào các môn học và hoạt động GD. Hai môn học mới được phát triển. Một là Khoa
học tự nhiên được xây dựng trên cơ sở môn Vật lý, Hóa học, Sinh học trong chương
trình hiện hành. Và môn Khoa học xã hội được xây dựng trên cơ sở các môn học Lịch
sử, Địa lý trong chương trình hiện hành và thêm một số vấn đề xã hội.
- Riêng ở Trung học phổ thông chỉ tăng cường tích hợp trong nội bộ môn học và lồng
ghép các vấn đề như môi trường, biến đổi khí hậu, kĩ năng sống, dân số, sức khỏe sinh
sản, … vào các môn học và hoạt động GD.

IV. TÍCH HỢP TRONG DẠY HỌC TOÁN
Toán học gồm nhiều ngành, càng phát triển thì sự phân chia lại càng sâu sắc. Nhưng
trong quá trình phân chia để nghiên cứu đó, các nhà toán học luôn nhìn lại để rút ra
mối liên hệ và sự thống nhất giữa các ngành, các lý thuyết khác nhau. Việc làm đó
chính là tích hợp các ngành khác nhau trong nội tại toán học.
Mặt khác, trong lịch sử, mọi khái niệm, mọi lý thuyết toán học, đều được sinh ra từ
việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Sau này, càng phát triển thì toán học càng trở
nên hình thức, khiến người ta có cảm giác như nó chỉ là môn “thể thao của trí tuệ”.
Nhưng thực ra, dù trừu tượng đến đâu, các khái niệm đều tìm thấy ứng dụng của mình
trong thực tiễn hay trong các khoa học khác.
Tích hợp trong DH toán không thể không tính đến hai quan điểm nêu trên. Nếu không
làm được thì kiến thức cung cấp cho HS chỉ là những kiến thức hàn lâm, chỉ để giải
toán, vượt qua các kỳ thi, và không thể vận dụng vào thực tiễn. Theo quan điểm đó, ta
có thể xem xét hai hướng tích hợp trong DH toán :
-

Tích hợp trong nội bộ môn toán

-

Tích hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn.

Cả hai xu hướng này đều nhắm đến mục tiêu nâng cao năng lực hiểu biết toán cho HS
Hai chương tiếp sẽ theo dành cho việc nghiên cứu hai xu hướng này.

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

17


CHƯƠNG 2

TÍCH HỢP TRONG NỘI BỘ MÔN TOÁN
Chương trình môn toán bậc THPT bao gồm ba phân môn : Đại số (ĐS), Giải tích (GT)
và Hình học (HH). Ba phân môn này được tách ra khá sớm : từ lớp 6 HH được tách
riêng, rồi đến lớp 11 GT được trình bày thành môn phân môn độc lập. Trong lúc người
ta đang khuyến khích xu hướng tích hợp trong DH thì thật vô lý khi mối liên hệ giữa
ba phân môn này không được quan tâm đúng mức trong thực tế DH toán hiện nay. Mà
thực ra thì trong toán học các phân môn này đâu có hoàn toàn tách rời, thậm chí, như
phân tích lịch sử dưới đây sẽ chỉ ra, sự phát triển của phân môn này còn kế thừa và
không tách rời với sự phát triển của phân môn kia.

I. QUAN HỆ GIỮA ĐS - GT VÀ HÌNH HỌC TRONG LỊCH SỬ
Trong lịch sử, quan hệ giữa Đại số - Giải tích (ĐS – GT) và Hình học (HH) đã phát
triển trong mối quan hệ hỗ trợ khăng khít với nhau.

I.1. Giải các bài toán ĐS bằng HH
So với ĐS và GT, HH là ngành toán học phát triển sớm hơn. Vào những thế kỷ cuối
cùng của thiên niên kỷ thứ hai trước công nguyên, nhiều định lý của HH đã được
chứng minh chặt chẽ và các phương pháp HH đã phát triển khá phong phú. Trong khi
đó, vì chưa có một hệ thống ký hiệu phù hợp nên người ta gặp nhiều khó khăn khi phát
biểu và giải quyết các bài toán ĐS. Nhằm khắc phục khó khăn này, từ thời cổ người
Hy lạp đã biết cầu viện đến HH.
Việc sử dụng HH để giải toán ĐS thể hiện khá rõ ở ba nội dung nghiên cứu đặc trưng
là chứng minh các đồng nhất thức, giải phương trình và
nghiên cứu tính hợp thức của các tập hợp số.
 Ví dụ 1: Hình 1 bên cạnh đã được sử dụng để chứng minh
đồng nhất thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 Ví dụ 2: Để tính tổng T = 1 + 2 + … + n thì người ta đã
dùng Hình 2 ở dưới.
 Ví dụ 3: Người Hy Lạp cũng dùng HH để giải các phương
trình đơn giản như ax = bc và x2 = ab. Hơn thế, họ còn giải
được những phương trình bậc hai dạng tổng quát hơn, như
−
+
= 0. Chẳng
2
hạn Khoretmi dùng hình Hình 3 dưới đây để giải phương trình x + 10x = 39.
18

Tích hợp trong dạy học Toán


 Ví dụ 4: Tính hợp thức của số phức được giải thích trong phạm vi HH.

I.2. Giải các bài toán HH bằng ĐS

Đầu thế kỷ 16, ĐS bắt đầu đã phát triển mạnh mẽ nhờ sự xuất hiện của ngôn ngữ ký
hiệu hình thức, khiến nó không cần phải nhờ đến các phương tiện trực quan của HH
nữa. Trong khi đó, sự phát triển của HH đòi hỏi phải xét những bài toán liên quan đến
các đường cong, mặt cong phức tạp. Chính ở đây mà phương pháp tổng hợp bộc lộ
những hạn chế của mình. Nó khiến các nhà HH mong muốn tìm kiếm một phương
pháp tổng quát không lệ thuộc vào hình vẽ.
HH giải tích ra đời chính là để đáp ứng nhu cầu đó. Thông qua trung gian là hệ tọa độ,
người ta chuyển các đối tượng HH thành đối tượng ĐS, quan hệ HH thành quan hệ
ĐS, từ đó đưa bài toán HH về bài toán ĐS, để từ đó tận dụng được sức mạnh của các
công cụ ĐS.
Nhưng việc không sử dụng hình vẽ cũng bị phê phán là làm mất đi tính trực giác của
bài toán. Đây là một trong những lý do khiến Leiniz muốn xây dựng một hệ thống tính
toán trong nội tại HH, sao cho có thể nghiên cứu HH bằng công cụ của ĐS nhưng vẫn
không thoát lý khỏi HH. HH vectơ ra đời đáp ứng được mong muốn này.
Như vậy, nếu như trước kia người ta phải nhờ đến HH để tìm nghĩa cho các bài toán
ĐS thì giờ đây ĐS được đánh giá như một ngành toán học độc lập, thậm chí còn được
ưu tiên hơn so với HH.
Phương pháp của Descartes và Fermat được sử dụng chủ yếu để hoàn thiện lý thuyết
về các đường conic. Tuy nhiên, nguyên lý đặt tương ứng đường cong với một phương
trình còn có một ảnh hưởng không kém phần quan trọng đối với việc tạo tiền đề cho sự
hình thành nên bước ngoặt vĩ đại của lịch sử toán học và các khoa học tự nhiên: GT
toán học ra đời. Với sự ra đời của GT toán học, sức mạnh của phương pháp ĐS càng
được phát huy.

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

19


Cách ghi bằng ký hiệu chữ và các phép toán trên chữ đã làm cho người ta ngày càng

chú trọng đến tính biến thiên của các đại lượng. Đấy chính là nét đặc trưng của GT
toán học. Cũng chính sức mạnh của ĐS ký hiệu này, như đã chỉ ra ở trên, dẫn đến tư
tưởng ĐS hóa HH. Đến lượt mình, nguyên lý đặt tương ứng đường cong với phương
trình của Descartes và Fermat mang lại hiệu quả cao cho việc nghiên cứu các đại
lượng biến thiên. Cụ thể hơn, những bước tiến trong việc nghiên cứu phép tính vi phân
đã cho phép HH giải tích phát huy ảnh hưởng sang một mảnh đất mới là GT. Ngược
lại, các khái niệm nền tảng của GT (hàm số, giới hạn, vô cùng bé, đạo hàm, tích
phân, …) xuất hiện tường minh lại cho phép giải quyết thêm nhiều vấn đề của HH,
làm cho xu hướng ĐS hóa HH càng phát triển.
Cùng với phương pháp ĐS, phương pháp GT mà nền tảng là khái niệm hàm số và đại
lượng vô cùng bé đã mang lại một phương tiện hữu hiệu cho việc nghiên cứu các conic
nói riêng, các đường cong và mặt cong nói chung. Chẳng những thế, phép tính tích
phân của GT còn cho phép giải quyết các bài toán tìm độ dài, diện tích, thể tích, vốn
không phải dễ dàng giải được trong phạm vi HH.
Kể từ khi HH giải tích ra đời, phương pháp GT lấn át phương pháp tổng hợp trong
nghiên cứu HH. Khuynh hướng ĐS hóa toán học ngày càng phát huy ảnh hưởng. Tuy
nhiên, như phân tích lịch sử ở trên đã chỉ ra, sự phát triển của HH lại tác động ngược
trở lại, có ảnh hưởng đến lý thuyết GT.

II. QUAN HỆ GIỮA ĐS, GT VÀ HH NHÌN TỪ PHƯƠNG DIỆN SƯ PHẠM
Tuy nhiên, trong DH thì tư tưởng thừa nhận sự thống trị của ĐS vẫn bị từ chối. Đối
với sự nghiệp đào tạo thế hệ trẻ, HH thuần túy được xem là phương tiện tốt nhất để
phát triển trực giác, trí tưởng tượng không gian và lập luận suy diễn. Ấy là chưa nói
đến việc, trong HH Euclid hai, ba chiều thì đôi khi lời giải bằng phương pháp tổng
hợp, dựa vào hình vẽ lại đơn giản hơn những tính toán ĐS hình thức. Hơn thế, nghĩa
HH của bài toán lúc này sẽ không bị che dấu như trong trường hợp sử dụng ngôn ngữ
ĐS. Lập luận đó chứng tỏ rằng trước khi dạy cách ĐS hóa HH cần phải cho HS nghiên
cứu HH bằng phương pháp tổng hợp.
Hơn thế, không loại bỏ HH Euclide nghiên cứu bằng phương pháp tổng hợp khỏi
chương trình phổ thông - điều đã từng được làm ở một số nước trong những năm 7080 của thế kỷ trước - chưa phải là đủ. Cùng với việc ĐS hóa HH, nhiều khi cũng phải

biết HH hóa ĐS. Thuật ngữ HH hóa ĐS lúc này được hiểu theo nghĩa rộng hơn, không
phải chỉ là chuyển bài toán ĐS thành bài toán HH như xưa kia. Tư tưởng đặt một
đường cong tương ứng với một phương trình của HH giải tích đã cho phép ta khai thác
quan hệ giữa ĐS, GT và HH ở một khía cạnh mới: người ta có thể dùng các đường

20

Tích hợp trong dạy học Toán


cong HH để nghiên cứu hàm số, phương trình, có thể sử dụng diện tích để tính tích
phân chẳng hạn.
Giải thích cho ý kiến này, ta có thể sử dụng hai khái niệm phạm vi và hệ thống biểu
đạt. Ở đây từ phạm vi được hiểu là các phân môn toán học. Trong quá trình phát triển
của mình, cả HH lẫn ĐS đều đã đi từ phạm vi chỉ có một sang phạm vi có nhiều hệ
thống biểu đạt. Nhìn lại lịch sử phát triển toán học từ xa xưa tới nay, ta sẽ nhận thấy
rằng trong nhiều trường hợp, để giải quyết một vấn đề nhà nghiên cứu đã phải thay đổi
cách nhìn về nó, trình bày nó từ góc độ khác, đặt nó trong phạm vi khác – ít nhất cũng
khác một phần. Điều đó cho phép đưa ra những câu hỏi mới và gợi ra việc sử dụng
những công cụ vốn không được nghĩ đến lúc đầu. Việc thay đổi phạm vi và hệ thống
biểu đạt (đặt một đối tượng toán học trong những phạm vi khác nhau, biểu diễn chúng
bằng những ngôn ngữ khác nhau) giữ vai trò quan trọng trong hoạt động nghiên cứu
toán học:
“Thay đổi phạm vi là một cách làm để nhận được những hình thức trình bày khác - không
nhất thiết phải tương đương với nhau - cho một bài toán. Các hình thức trình bày mới này
cho phép vượt qua khó khăn đã gặp khi giải bài toán và vận dụng những công cụ, những
kỹ thuật mà cách trình bày ban đầu không gợi ra. […] Việc dịch từ phạm vi này sang
phạm vi khác thường đạt đến những kết quả chưa từng có, những kỹ thuật mới, những
đối tượng toán học mới – nói tóm lại là làm phong phú thêm cho phạm vi ban đầu...” (R.
Douady, 1986).

Sự thay đổi này không chỉ quan trọng với nhà nghiên cứu mà còn cần thiết cho việc
học của HS. Trong quá trình giải quyết một vấn đề, pha tìm tòi lời giải thường được
thể hiện ở việc đi-về giữa hai phạm vi hoặc hai hệ thống biểu đạt khác nhau. Sự thay
đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt cho phép đưa ra những phỏng đoán, kiểm tra các
chiến lược giải quyết, tạo thuận lợi cho sự hình thành tri thức. Nó còn là một động lực
cho việc học.
Dạy cho HS biết chuyển từ phạm vi này sang phạm vi kia, biết khai thác nhiều hệ
thống biểu đạt khác nhau cho cùng một đối tượng chính là góp phần thực hiện DH
theo quan điểm tích hợp. Nó giúp HS nắm kiến thức sâu hơn và góp phần phát triển tư
duy linh hoạt cho họ.

III. MỘT NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG
Hoạt động 1: Xét bài toán sau :
1 2

Tính :


1 2

( x  1)2
1
dx
2

Dự kiến những lời giải mà HS lớp 12 có thể đưa ra. Đâu là lời giải mà anh (chị) mong
đợi ?
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

21


Hoạt động 2: Xét bài toán :
Cho phương trình :

2

1-  x+ 2  - mx = 2m , với m là tham số.

Bằng ít nhất hai cách khác nhau, em hãy biện luận theo m số nghiệm của
phương trình đã cho.
Dự kiến những lời giải mà HS lớp 12 có thể đưa ra. Đâu là lời giải mà anh (chị) mong
đợi ?
Hoạt động 3 : Thảo luận để trả lời những câu hỏi sau : Một hàm số có thể được biểu
diễn bằng những nôn ngữ nào ? Ngôn ngữ nào được việc DH ở Việt Nam ưu tiên ?
Anh (chị) có ý kiến gì về ảnh hưởng của sự lựa chọn đó ?
Xét trên phương diện tích hợp trong nội tại môn học, ta thấy các phân môn ĐS, GT,
HH được trình bày hoàn toàn tách rời nhau. Nói chính xác hơn thì, giống như xu
hướng phát triển của toán học kể từ thế kỷ 17-18, chương trình và sách giáo khoa toán
của chúng ta đã đi từ việc nghiên cứu HH bằng phương pháp tổng hợp đến phương
pháp vectơ và phương pháp giải tích, mà đích là ĐS hóa HH. Điều này mang lại những
công cụ hiệu quả để nghiên cứu HH. Nhưng, chiều ngược lại của mối quan hệ, khai
thác ngôn ngữ HH để nghiên cứu ĐS thì hầu như không được chú ý đến. Việc DH hầu
như không chú ý đến việc thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt, qua đó giúp HS biết
sử dụng kiến thức một cách linh hoạt, biến kiến thức thu nhận được trong các môn học
khác nhau thành một thể thống nhất, có thể vận dụng vào giải quyết những tính huống
khác nhau.
Để minh họa cho ý kiến trên, ta hãy xét trường hợp DH chủ đề Hàm số, một chủ đề
quan trọng xuyên suốt chương trình môn toán dạy ở trường phổ thông, từ Tiểu học đến

tận lớp cuối cấp THPT.
Các ngôn ngữ biểu thị hàm số và vấn đề chuyển đổi ngôn ngữ : Ít nhất 5 ngôn ngữ
sau đây đã từng xuất hiện khi người ta muốn biểu diễn các tương quan hàm :
-

Lời văn
Bảng số
Biểu đồ
Đồ thị
Biểu thức giải tích

Không ai phủ nhận lợi ích của ngôn ngữ cuối cùng : một khi đã biết biểu thức biểu thị
hàm số thì việc nghiên cứu nó trở nên đơn giản, từ tìm giá trị của hàm số hay đối số,
xét chiều biến thiên, nghiên cứu cực trị, v.v. ... Nhưng trong cuộc sống cũng như trong
các khoa học khác, đâu phải lúc nào ta cũng có sẵn công thức biểu thị hàm số. Nghiên
cứu một hiện tượng của kinh tế chẳng hạn, ta thường chỉ thu thu thập được một bảng

22

Tích hợp trong dạy học Toán


dữ liệu biểu thị tương quan giữa hai đại lượng, hay một biểu đồ, một đồ thị mà thôi.
Vậy thì làm sao để dự đoán xu hướng phát triển, tìm cực trị của các đại lượng liên
quan ? Quan sát sự di chuyển của các hành tinh, người ta cũng chỉ thu được các bảng
số liệu. Thế thì căn cứ vào đâu để tính toán, để lập phương trình quỹ đạo chuyển động,
để đưa ra những dự đoán về nhật thực, nguyệt thực chẳng hạn ?
Như vậy là nhu cầu chuyển đổi từ ngôn ngữ biểu đạt này sang ngôn ngữ biểu đạt kia
luôn luôn tồn tại. Nếu HS không có kỹ năng thực hiện sự chuyển đổi này thì họ khó
mà giải quyết được những vấn đề thường gặp trong cuộc sống hàng ngày. Họ có thể

giải bài toán “khảo sát hàm số” tương đối thành thạo, nhưng lại chẳng biết tại sao phải
học cách giải bài toán ấy.
Nếu phân tích các sachs giáo khoa toán 10, 11, 12 ta thấy :
-

-

-

-

Việc HH hóa ĐS chưa được quan tâm đúng mức. Người ta có khai thác đồ thị
vào việc nghiên cứu các hàm số (khi không muốn chứng minh chặt chẽ) hoặc
biện luận phương trình.
Nhưng bài toán biện luận phương trình luôn luôn được đặt ra sau khi đã yêu cầu
HS “khảo sát và vẽ đồ thị” một hàm số đã được chọn sao cho lời giải của câu
“biện luận phương trình” sau đó không có gì phải tìm tòi nữa. Vượt khỏi bối
cảnh này, HS thường không nghĩ đến công cụ đồ thị.
Đồ thị hàm số trong nhiều trường hợp là một công cụ hữu hiệu để tìm nghiệm
(đúng hoặc gần đúng) của phương trình, hệ phương trình. Mà vấn đề tìm
nghiệm gần đúng cũng có mặt trong nhiều bài toán thực tế. Thế nhưng, vấn đề
tính gần đúng nghiệm của phương trình không bao giờ được đặt ra. Chúng ta
chỉ dạy cho HS những kiến thức hình thức : khi được yêu cầu thì nhiều HS biết
dùng đồ thị để biện luận số nghiệm, nhưng lại lúng túng khi đứng trước bài toán
tìm nghiệm gần đúng của phương trình do thực tiễn đặt ra.
Vấn đề từ đồ thị hàm số (hoặc một số điểm trên đồ thị) tìm một hàm số “xấp xỉ”
với hàm số ban đầu : hầu như không gặp trong SGK toán phổ thông.

IV. THỰC HÀNH
Anh (chị) hãy đề xuất một tình huống DH một nội dung toán học nào đó trong chương

trình THPT theo hướng tích hợp trong nội bộ môn toán.

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên. Kiên Giang. Tháng 7 năm 2014

23