skkn pt bac cao

Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
Phần I : Đặt vấn đề
I - Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụng
trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc
học, làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào
cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng. Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần
phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến
thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả.
Trong chơng trình đại số THCS, việc giải phơng trình chỉ dừng lại ở phơng trình
bậc nhất và phơng trình bậc hai là chủ yếu. Khi gặp phơng trình bậc cao học sinh gặp rất
nhiều khó khăn, thậm trí không có phơng án giải. Điều đó cũng dễ hiểu bởi do nhiều lí do
mà sách giáo khoa không đa ra các phơng pháp giải phơng trình bậc. Chính vì vậy việc
nhận dạng, phân loại và có phơng pháp giảI cho từng dạng phơng trình bậc cao, giúp cho
học sinh định hớng và giải đơc các phơng trình bậc cao là hết sc cần thiết. Đó chính là lí do
tôi chọn đề tài này.
II nhiệm vụ nghiên cứu :
- Phân loại các dạng phơng trình bậc cao.
- Tìm phơng pháp giải các dạng phơng trình bậc cao.
- Các ví dụ minh họa.
- Các bài luyện tập.
II - Đối tợng nghiên cứu :
Học sinh lớp 9 trờng THCS Nghĩa Phúc, huyện Nghĩa Hng, tỉnh Nam Định.
III - Phạm vi nghiên cứu:
Phơng trình bậc cao một ẩn với hệ số nguyên.
Phần II : Nội dung
I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn:
2
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
Khi dạy giải phơng trình bậc cao, phần bài tập trong SGK và SBTĐS lớp 9 là tơng
đối đơn giản đối với đối tợng học sinh. Nhng thực tế khi khai thác các dạng bài tập khác ta

mới thấy sự phong phú đa dạng. Để giải đợc các thể loại này đòi hỏi giáo viên phải cung
cấp cho học sinh các phơng pháp giải cho từng thể loại bài tập. Qua quá trình dạy phơng
trình bậc cao, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho
các dạng bài tập cơ bản thờng gặp.
Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêu cầu học sinh
nắm đợc những nội dung kiến thức cơ bản sau:
- Các khái niệm : Phơng trình, phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai,
phơng trình bậc bậc cao. Nghiệm của phơng trình.
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số.
- Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng, các phép biến đổi tơng đơng ph-
ơng trình.
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Hệ quả định lý Bơdu.
- Sơ đồ Hooc ne.
- Cách nhẩm nghiệm một phơng trình.
II - Những phơng pháp, biện pháp, giải cụ thể:
A - Nội dung lý thuyết cơ sở:
1. Phơng trình, nghiệm của phơng tình :
Cho A( x
1
,x
2
,,x
n
) và B( x
1
,x
2
,,x

n
)là hai biểu thức chứa các biến x
1
,x
2
,,x
n
với
các hệ số thuộc R. Khi phải tìm phần tử (a
1
,a
2
,.,a
n
)

R sao cho các giá trị tơng ứng
của hai biểu thức bằng nhau, tức là :
A(a
1
,a
2
,.,a
n
) = B(a
1
,a
2
,.,a
n

) thì ta viết :
3
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
A(x
1
,x
2
,,x
n
) = B( x
1
,x
2
,,x
n
) và gọi đẳng thức đó là một phơng trình.
Các biến x
1
,x
2
,,x
n
gọi la các ẩn của phơng trình.
Tập xác định của phơng trình: là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong
phơng trình đều có nghĩa.
Mỗi phần tử (a
1
,a
2
,.,a

n
)

R thỏa mãn đẳng thức :
A(a
1
,a
2
,.,a
n
) = B(a
1
,a
2
,.,a
n
) đợc gọi là một nghiệm của phơng trình.
Việc tìm nghiệm thuộc R đợc gọi là giải phơng trình.
- Phơng rình bậc nhất : Là phơng trình có dạng : ax + b = 0 ( a

0)
Trong đó xlà ẩn ; a, b là các hệ số
Cách giải : + Nếu a

0 Pt có nghiệm duy nhất : x =
a
b

+ Nếu a = 0 Pt có dạng : 0x = -b
. b

0 => 0x = b . Pt vô nghiệm.
. b = 0 => 0x = 0 . Pt có vô số nghiệm x

R.
- Phơng trình bậc hai : Là phơng trình có dạng : ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)
Trong đó xlà ẩn ; a, b,c là các hệ số
Cách giải : Theo lợc đồ sau.
.
Ví dụ. Giải phơng trình sau:
0
Xác định các hệ số a,b,c
ax
2
+ bx + c = 0 ( a0)
Tính a + b + c
Phương trình có 2 nghiệm
x
1
= 1 ; x
2
=
Tính a - b + c
Phương trình có 2 nghiệm
x
1

= -1 ; x
2
=
Tính
Phương trình
vô nghiệm
Phương trình có
nghiệm kép
x
1
= x
2
=
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
= ; x
2
=
= 0
= 0
0
< 0 > 0
= 0
2
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
a, x
2
+ 3x - 1 = 0
Có : a = 1; b = 3 ; c = -1

= 3
2
- 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
2
133
+
; x
2
=
2
133

b, 4x
2
- 4x + 1 = 0
Có : a = 4; b = -4; c = 1

= (-2)
2
- 4.1 = 4 - 4 = 0. Phơng trình có nghiệm kép : x
1
= x
2
=
2
1

4
)2(
=

c, 3x
2
+ 5x + 4 = 0
Có : a = 3; b = 5; c = 4

= 5
2
- 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Phơng trình vô nghiệm.
d, 7x
2
+ 23x - 30 = 0
Có a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Phơng trình có 2 nghiệm : x
1
= 1 ; x
2
=
7
30

e, x
2
- 60x - 61 = 0
Có: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Phơng trình có hai nghiệm : x
1
= -1 ; x
2

= 61
- Phơng trình bậc cao : là pt dạng a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. +a
1
x + a
0
= 0
(a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. +a
1
x + a
0
là đa thức bậc n ( n

3) )
Trong đó xlà ẩn ; a

n
,a
n - 1
, .,a
1
,a
0
là các hệ số
Cách giải phơng trình bậc cao chính là nội dung chính của đề tài này và đợc nghiên cứu ở
phần sau.
2. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình gọi là tơng đơng nếu chúng
có cùng tập hợp nghiệm.
3. Các định lý về biến đổi tơng đơng các phơng trình :
a, Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phơng trình thì đợc
một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : x
4
- 24x = 32


x
4
- 24x + 4x
2
+ 4 = 32 + 4x
2
+ 4 ( Cộng 4x
2
+ 4 vào 2 vế )
Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phơng trình đồng

thời đổi dấu hạng tử ấy thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : 2x - 7 = 4x + 9
3
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ


2x - 4x = 9 + 7 ( Chuyển vế đổi dấu hai hạng tử 4x và -7 )
Hệ quả 2 : Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì đợc ph-
ơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : - 4x + x
2
-5 = 2x + x
2


- 4x -5 = 2x ( Xóa hạng tử x
2
ở hai vế )
b, Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng
trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ :
2
1
x
2
- 3x =
4
3

2x

2
- 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )
4. Hệ quả định lí Bơdu:
x = là nghiệm của đa thức f(x) f(x) chia hết cho nhị thức x -
Định lí này giúp chúng ta đa Pt bậc cao về phơng trình tích ( quy về giải các phơng
trình có bậc thấp hơn) :
Phơng trình : a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. +a
1
x + a
0
= 0 (*) nếu có nghiệm x =
Thì (*) <=> (x - )(a
n
x
n - 1
+ b
n
x
n-2
+ + b
1
x + b

0
) = 0
5. Sơ đồ Hoocne:
Giả sử g(x) = b
n - 1
x
n -1
+ b
n - 2
x
n - 2
+ .............. +b
1
x + b
0
và r là thơng và d của phép
chia đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ ..............+ a
1
x + a
0
cho nhị thức
x - .

Khi đó r và các hệ số của g(x) đợc tính theo sơ đồ sau:
a
n
a
n-1
a
n-2
......... a
1
a
0

b
n-1
(=a
n
)
b
n-2
(= b
n-1
+a
n-1
)
b
n-3
(= b
n-2
+a
n-2

)
..
b
0
(= b
1
+a
1
)
r
(= b
0
+a
0
)
6. Nghiệm (nếu có) của một phơng trình:
Phơng trình a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. + a
1
x + a
0
= 0
-Nghiệm nguyên của Pt phải là ớc của a

0
-Nghiệm hữu tỷ của Pt có dạng
q
p
( trong đó p là ớc của a
0
; q là ớc dơng của a
n
).
Chú ý : Gọi m là tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn
và n là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ
4
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
+ Nếu m + n = 0 Pt có nghiệm x = 1
+ Nếu m - n = 0 Pt có nghiệm x = -1
B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn:
- Cung cấp cho học sinh những nội dung lí thuyết trên.
- Các phơng pháp giải phơng trình bậc cao:
I. Nhẩm nghiệm của Pt, đa Pt về Pt tích :
a) Ví dụ 1. Giải phơng trình : x
3
+ 5x
2
+ 3x - 9 = 0 (*)
Giải:
Pt có tổng các hệ số bằng 0 ( 1+5+3-9 =0 ) nên có một nghiệm nguyên x = 1. Sử dụng sơ
đồ Hoocne có :
1 5 3 -9
1 1 6 9 0
(*) <=> (x - 1)(x

2
+ 6x + 9) = 0. Tìm đợc x
1
= 1; x
2,3
= -3
b, Ví dụ 2. Giải phơng trình : 3x
3
- 14x
2
+ 4x + 3 = 0 (*)
Giải:
Ta thấy Pt có nghiệm hữu tỉ x =
3
1

, nên khi phân tích VT của Pt thành nhân tử, sẽ có
nhân tử 3x + 1. Khi đó ngoài việc sử dụng sơ đồ Hoocne ta có thể dùng các phơng pháp phân
tích đa thức thành nhân tử làm xuất hiện nhân tử 3x + 1:
(*)

3x
3
+ x
2
- 15x
2
- 5x+ 9x + 3 = 0

x

2
(3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0

(3x + 1)( x
2
- 5x+ 3) = 0 . Nghiệm Pt : x
1
=
3
1

; x
2,3
=
2
135

.
* Bài luyện tập
BT1 : Giải các phơng trình :
a, 2x
3
- 5x
2
- 3x = 0
b, x
3
- 7x + 6 = 0
c, x
3

- 5x
2
+ x + 5 = 0
d, x
3
- 13x
2
- 42x - 36 = 0
e, x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x - 12 = 0
f, 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5 = 0
II. Các dạng đặc biệt :
5
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
1. Phơng trình tam thức :
Phơng trình tam thức là phơng trình có dạng : ax
2n
+ bx
n
+ c = 0 ( a

0)
Trong đó a,b,c là các số thực, n nguyên dơng và n

2
- Nếu a,b,c đồng thời khác 0 và n = 2 thì ta có phơng trình trùng phơng :
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 .
Ví dụ. Giải phơng trình : x
4
- 4x
2
+ 3 = 0
Đặt x
2
= t . Điều kiện t

0
Phơng trình đã cho có dạng : t
2
- 4t + 3 = 0
Có : a + b + c = 1 - 4 +3 = 0. Pt có hai nghiệm t
1
= 1; t
2
= 3
+ Với t
1

= 1 = > x
2
= 1


+ Với t
2
= 3 = > x
2
= 3


Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm x
1
= -
3
; x
2
= -1; x
3
= 1; x
4
=
3
- Khi n > 2 . Đặt x
n
= t , để tìm nghiệm của phơng trình ta giải hệ :
x
n
= t

at
2
+ bt + c = 0
Ví dụ 1. Giải phơng trình : x
6
- 9 x
3
+ 8 = 0
Giải:
Đặt x
3
= t , ta có : t
2
- 9 t + 8 = 0 => t
1
= 1 => x
1
= 1
t
2
= 8 => x
2
= 2
Ví dụ 2. Giải phơng trình : x
8
+ 6x
4
- 7 = 0
Giải:
Đặt x

4
= t ( t

0) Pt đã cho có dạng : t
2
+ 6t - 7 = 0 => t
1
= 1 => x =

1
t
2
= -7 ( loại).
* Bài luyện tập
BT2 . Giải các phơng trình :
a, x
4
+ 4x
2
- 5 = 0
b, x
6
- 7x
3
- 8 = 0
c, x
8
+ x
4
- 2 = 0

d, x
10
- 10x
5
+ 31 = 0
2. Phơng trình đối xứng.
Một phơng trình dạng : a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ .............. + a
1
x + a
0
= 0
x = 1
x = -1
x =
3
x = -
3
6
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
trong đó vế trái là đa thức bậc n đợc gọi là phơng trình đối xứng nếu các hệ số của các số
hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau, nghĩa là :
a

n
= a
0
, a
n - 1
= a
1
,.
Tùy theo n là số chẵn hay lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ.
Ví dụ 1. Giải phơng trình : x
4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x + 1 = 0
Giải:
Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x
2


0 ta có :
x
2
+ 6x+ 11 +
x
6
+
2
1

x
= 0


(x
2
+
2
1
x
) + 6( x+
x
1
) + 11 = 0
Đặt x+
x
1
= t x
2
+
2
1
x
+ 2 = t
2
x
2
+
2
1

x
= t
2
- 2
Pt có dạng : t
2
- 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3)
2
= 0 => t = -3
x+
x
1
+ 3 = 0 => x
2
+ 3x+1 = 0 . Nghiệm Pt : x
1,2
=
2
53

Ví dụ 2. Giải phơng trình : 3x
6
- 4x
5
+ 2x
4
- 8x
3
+ 2x
2

- 4x + 3 = 0 (*)
Giải:
Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x
2


0 ta có :
3x
3
- 4x
2
+ 2x - 8 +
x
2
-
2
4
x
+
3
3
x
= 0


3(x
3
+
3
1

x
) - 4( x
2
+
2
1
x
) + 2(x+
x
1
) - 8 = 0
Đặt x+
x
1
= t x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2
x
3
+
3
1
x
= t

3
- 3t
Pt đã cho có dạng : 3 ( t
3
- 3t) - 4( t
2
- 2) + 2t - 8 = 0

3t
3
- 4t
2
- 7t = 0

t ( 3t
2
- 4t -7) = 0

t ( t + 1) ( 3t - 7) = 0
=> (*)

( x
2
+ 1) ( x
2
+ x +1) ( 3x
2
- 7x + 3) = 0.
x
2

+ 1 = 0. Pt vô nghiệm

3x
2
- 7x + 3 = 0. Pt có 2 ngiệm: x
1,2
=
6
137

x
2
+ x +1 = 0. Pt vô nghiệm
7
Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=
6
137

Ví dụ 3. Giải phơng trình : 2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 (*)

Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5), ta không thể giải ngay tơng tự nh VD1 và VD2.
Ta nhận thấy Pt đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một nghiệm là x = -1
Khi đó (*)

(x + 1)( 2x
4
+ x
3
- 6x
2
+ x + 2) = 0 .
x + 1 = 0
2x
4
+ x
3
- 6x
2
+ x + 2 = 0 ( Pt đối xứng bậc chẵn đã biết cách giải )
Chú ý: Nếu m là nghiệm của phơng rình đối xứng thì
m
1
cũng là nghiệm của phơng trình
đó.
* Cách chia cả hai vế của Pt cho x
2


0 cũng đợc sử dụng đối với các Pt có dạng :
ax

4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 trong đó
2






=
b
d
a
e
gọi là phơng trình hồi quy .Để giải Pt dạng này ta đặt ẩn phụ : t = x +
bx
d
Ví dụ. Giải phơng trình : x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1 = 0 (*)
Giải:
Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x

2


0 ta có :
(x
2
+
2
1
x
) + 6 ( x -
x
1
) + 7 = 0
. Đặt x -
x
1
= t x
2
+
2
1
x
= t
2
+ 2
Pt đã cho có dạng : t
2
+ 2 + 6t + 7 = 0

( t
2
+ 3 )
2
= 0
(*)

( x
2
+ 3x - 1)
2
= 0. Nghiệm của Pt (*): x
1,2
=
2
73

* Bài luyện tập
BT3 . Giải các phơng trình :
a, x
4
- 7x
3
+ 14 x
2
- 7x + 1 = 0
b, x
6
+ 3x
5

- 30x
4
- 29 x
3
- 30 x
2
+ 3x + 1 = 0
c, x
5
- 5x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
- 5x + 1 = 0
d, x
4
- 3x
3
- 6x
2
+ 3x + 1 = 0
e, x
4
+ 3x
3
- 14 x
2
- 6x + 4 = 0

3. Phơng trình dạng : (ax + m) (bx + n) ( cx + k) ( dx + l) = r (*)
trong đó a.d = b.c và a.l + d.m = b.k + c.n
Cách giải : (*)

[(ax + m) ( dx + l)][ (bx + n) ( cx + k)] = r

8