Chương I: Hính học ( Véctơ)

CHUN ĐỀ : VEC – TƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1/Đònh nghóa:
 Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.
 Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
Ký hiệu độ dài của vec tơ
AB
uuur
là:
AB
uuur
 Vec tơ – không (Ký hiệu:
0
r
) là vec tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
0 0=
r
 Hai vec tơ cùng phương là hai vec tơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
 Hai vec tơ bằng nhau là hai vec tơ cùng hướng và cùng độ dài.
Ký hiệu
a
r
và
b
r
bằng nhau là
a b=
r r
2/ Tổng của hai vec tơ:
a) Đònh nghóa: Cho
a

r
và
b
r
. Từ điểm A nào đó, vẽ
AB
uuur
=
a
r
, rồi từ B vẽ
BC b=
uuur r
.
Khi đó:
AC
uuur
gọi là tổng của
a
r
và
b
r
. Ký hiệu :
AC a b= +
uuur r r



a

r


a
r

b
r

b
r


a
r
+
b
r
Phép toán tìm tổng của hai véctơ còn được gọi là phép cộng véctơ .
b) Các tính chất của phép cộng vectơ : Với ba véctơ
, ,a b c
r
r r
tuỳ y, ta có :
 Tính chất giao hoán :
a b b a+ = +
r r
r
r

 Tính chất kết hợp (
)() cbacba





++=++

 Tính chất của vec tơ – không:
aaa



=+=+
00
3/ Hiệu của hai vec tơ:
a) Véctơ đối của một vec tơ: Véctơ có cùng độ dài và ngược hướng với
a
r
được gọi là
véctơ đối của véctơ
a
r
. Ký hiệu véctơ đối của véctơ
a
r
là: -
a
r

*
0a b a b+ = ⇔ = −
r r r
r
r

* Véctơ đối của véctơ
0
r
là véctơ
0
r
b) Đònh nghóa hiệu của hai vec tơ :
Hiệu của
a
r
và
b
r
theo thứ tự đó là tổng của
a
r
và vec tơ đối của
b
r
Kí hiệu :
( )a b a b− = + −
r r r uur
Phép toán tìm hiệu của hai véctơ còn được gọi là phép trừ véctơ
4/ Tích của một số với một vec tơ:

a) Đònh nghóa : Cho số k ≠
0
r
và vectơ
a
r
≠
0
r
Tích của số k với vectơ
a
r
là mộât vectơ . Kí hiệu là k
a
r
.
+ Vectơ k
a
r
cùng hướng với
a
r
nếu k>0, ngược hướng với
a
r
nếu k<0.
+ |k
a
r
| = |k| |

a
r
|
* Quy ước: 0.
a
r
=
0
r
, k
a
r
=
0
r

A
B
C
b) Tính chất của phép nhân một số với một vec tơ: ∀
a
r
,
b
r
; ∀k, h∈R, ta có:
1) k(
a
r
±

b
r
) = k
a
r
±
k
b
r
2) (h
±
k)
a
r
= h
a
r
±
k
a
r

3) h(k
a
r
) = (hk)
a
r
4) 1.
a

r
=
a
r
; (-1)
a
r
= -
a
r
.
5/ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C tùy ý:
•
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
(qui tắc cộng)
•
AB
uuur
-
AC CB=
uuur uuur
(qui tắc trừ)
6/ Qui tắc hình bình hành:

Tứ giác ABCD là hình bình hành
⇔
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
7/ Các ứng dụng:

a) I là trung điểm đoạn AB :
•
0IA IB+ =
uur uur r
•
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
(Với mọi điểm M)
b) G là trọng tâm của tam giác ABC :
•
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
•
3MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
(Với mọi điểm M)
c)
a
r
và
b
r
(
b
r
0≠
r
) cùng phương ⇔
∃
k

∈ ¡
/
a
r
=k
b
r
d) A, B, C phân biệt thẳng hàng ⇔
∃
k≠0 /
AB
uuur
=k
AC
uuur
.
B. BÀI TẬP:
1) Phương pháp :
AB AB=
uuur
Ví dụ: Cho hình vng ABCD cạnh a và điểm E sao cho
DB CE=
uuur uuur
. Gọi I là trung điểm đoạn CE
a) Tính
DE
uuur
b) Chứng minh
1
2

BI BD=
uur uuur
Giải:
a) Xét tứ giác DBEC: Vì
DB CE=
uuur uuur
(gt) nên DBEC là hình bình hành
Gọi O là giao điểm của DE và BC thì O là trung điểm của DE và BC
2DE DI⇒ =
uuur
Xét tam giác vng DCO, ta có:
DO
2
=DC
2
+CI
2
2
2 2
5
4 2
a a
DO a DI⇒ = + ⇒ =
Vậy DE=
5a
b) Vì DBEC là hình bình hành nên BE=DC=a
⇒
∆BCE vng cân tại B.
DẠNG : XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VEC TƠ
D

B C
A
BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền CE
Do đó : BI=
1
2
BD
1
2
BI BD⇔ =
uur uuur
2) Phương pháp xác định và tính độ dài của
a
r
+
b
r
,
a
r
-
b
r
:
1/ Xác định:
a
r
+
b
r

=
AB
uuur
,
a
r
-
b
r
=
CD
uuur
2/Tính độ dài các đoạn AB, CD: Gắn AB, CD vào các đa giác đặc biệt: tam giác vng, tam giác
đều, hình vng, … để tính cạnh của nó hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp.
3) Các ví dụ:
Bài1: Chứng minh rằng: |
a
r
+
b
r
| ≤ |
a
r
|+|
b
r
|

Giải:

Giả sử:
AB
uuur
=
a
r
,
BC
uuur
=
b
r
.
+ Nếu
a
r
và
b
r
khơng cùng phương thì A, B, C là 3
đỉnh của tam giác nên AC< AB+BC
Vì
a
r
+
b
r
=
AB
uuur

+
BC
uuur
=
AC
uuur
nên |
a
r
+
b
r
| < |
a
r
|+|
b
r
|
+ Nếu
a
r
và
b
r
khơng cùng hướng, ta có :
|
a
r
+

b
r
| < |
a
r
|+|
b
r
|
+ Nếu
a
r
và
b
r
cùng hướng, ta có: |
a
r
+
b
r
| = |
a
r
|+|
b
r
|
Vậy : |
a

r
+
b
r
| ≤ |
a
r
|+|
b
r
| (đpcm)
Bài 2: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính :
a) |
AB AC+
uuur uuur
| b) |
AB AC−
uuur uuur
|
Giải:
a) |
AB AC+
uuur uuur
| =?
* Xác đònh
AB AC+
uuur uuur
:
Vẽ hình bình hành ABEC, Theo qui tắc hình bình
hành ta có:

AB AC+
uuur uuur
=
AE
uuur
*Tính |
AB AC+
uuur uuur
|=
AE
uuur
=AE=?
Vì ABEC là hình bình hành mà AB=ACnên ABEC
là hình thoi
Gọi I=AE
∩
BC, ta có: AE=2AI
Mà AI=
3
2
a
nên AE= a 3
Vậy: |
AB AC+
uuur uuur
| = a 3
b) ĐS: |
AB AC−
uuur uuur
| =

CB
uuur
= a
4) Bài tập tương tự:
1/ Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ
., CBCABCBA
+−

2/ Cho hình vng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo. Tính :
, ,OA CB AB DC CD DA− + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
3/ Cho hình thoi ABCD có
·
0
60BAD =
và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính :
, ,AB AD BA BC OB DC+ − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
B
A
C
A
B C
E
1) Phương pháp:
Dùng các quy tắc ba điểm tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối, … để thực hiện một
trong các cách sau:
C
1
:

Biến đổi vế này thành vế kia
C
2
:

Biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau.
C
3
:

Biến đổi đẳng thức cần CM đó tương đương với một đảng thức vec tơ được cơng nhận là
đúng.
2) Các ví dụ:
VD1:
Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ . Chứng minh rằng:
AC DB AB DC+ = +
uuur uuur uuur uuur
(1)
Giải:
C1: Biến đổi vế trái:
AC DB AB BC DB AB DC+ = + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

C2:Biến đổi vế phải:
AB DC AC CB DC AC DB+ = + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C3: Ta có :
(1) AC AB DC DB BC BC⇔ − = − ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

là đẳng thức đúng.
Vậy (1) được chứng minh
VD2:
Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA.
Chứng minh rằng :
0AM BN CP+ + =
uuuur uuur uuur r
Giải: Biến đổi vế trái:
( )
1 1 1 1
0
2 2 2 2
AM BN CP AB BC CA AB BC CA+ + = + + = + + =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
3) Bài tập tương tự:
Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD, MN.CMR:
a)
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur r
c)
4OA OB OC OD OI+ + + =
uuur uuur uuur uuur uur
Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng :
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 3 : Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:
a/

PNMQPQMN
+=+
. b/
RQNPMSRSNQMP
++=++
.
Bài 4 : Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và
CA. Chứng minh rằng :
a)
0AN BP CM+ + =
uuur uuur uuuur r
b)
0GM GN GP+ + =
uuuur uuur uuur r
c)Tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh:
a/
.32 ACADACAB
=++
b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD BC AD
= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm
của tam giác và I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác. CMR:
a/
.0
=++
GCGBGA
b/

MGMCMBMA 3
=++
với M là một điểm bất kỳ.
c/
.3OGOHOCOBOA
==++
d/
.32 HGHOHCHBHA
==++
e/
.2OIOH
=
f/
MCMBMAv 253
+−=
là khơng đổi, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M.
1) Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Cho
,a b
r r
không cùng phương,
x∀
r
,
, /k h x ka hb∃ ∈ = +
r r r
R
DẠNG : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ
DẠNG : PHÂN TÍCH MỘT VEC TƠ THEO NHIỀU VEC TƠ
Hoặc các quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , tính chất trung điểm đoạn thẳng,

tính chất trọng tâm tam giác.
2) Ví dụ:
Cho AK vàBM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tơ
, ,AB BC CA
uuur uuur uuur

theo hai vec tơ
;u AK v BM= =
r uuur r uuuur
Giải:
Vì K, M lần lượt là trung điểm của BC và AC nên ta có:
2 ; 2AK AB AC BM BA BC= + = +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
2 (1)
2 (2)
AB CA u
AB BC v

− =

⇒

− + =


uuur uuur ur
uuur uuur r
Từ (1) và (2), ta có:
2 2CA BC u v− + = +
uuur uuur r r

(3)
Mà:
0AB BC CA+ + =
uuur uuur uuur r
(4)
Từ (2) và (4), ta có:
2 2BC CA v+ =
uuur uuur r
(5)
Từ(3) và (5), ta có:
2 4
3 2 4
3 3
BC u v BC u v= + ⇔ = +
uuur r r uuur r r
(6)
Từ (5) và (6), ta có:
4 2
3 3
CA u v= − −
uuur r r
Từ (7) và (1) ta có:
2 2
3 3
AB u v= −
uuur r r
3) Bài tập :
Bài 1 :Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của BI.
Chứng minh: a)
1 1

2 2
AK AB AI= +
uuur uuur uur
b)
3 1
4 4
AK AB AC= +
uuur uuur uuur
Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Phân tích
AM
uuuur
theo
BA
uuur
và
CA
uuur
HD:Sử dụng tính chất trung điểm
( )
1
2
AM AB AC= +
uuuur uuur uuur
Bài 3 : Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện
.032
=++
ICIBIA
a/ Chứng minh rằng: I là trọng tâm tam giác BCD, trong đó D là trung điểm cạnh AC.
b/ Biểu thị vectơ
AI

theo hai vectơ
AB
và
AC
.
Bài 4 : Cho t/giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC. CMR:
a/
( )
DCABMN
+=
2
1
; b/
( )
DCABPQ
−=
2
1
; c/
0
=+++
ODOCOBOA
. (O là t/điểm của MN)
d/
MOMDMCMBMA 4
=+++
. (O là trung điểm của MN)
Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
a)
OM

uuuur
=
OA OB+
uuur uuur
b)
ON
uuur
=
OB OC+
uuur uuur
c)
OP
uuur
=
OC OA+
uuur uuur

Hướng dẫn:
Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của
C,A,B.
C
B
A