bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hình học phần 1

GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN
HÌNH HỌC
PHẦN I: DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Bài 1: Giả sử M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD,EA của ngũ giác lồi ABCDE. Gọi
I,K là trung điểm MP,NQ. Chứng minh IK =
1
4
ED.
HƯỚNG DẪN
Lấy M đối xứng M qua K , chứng minh MNLQ là hình bình hành.
Áp dụng t/c đường trung bình => đpcm
Bài 2: Cho hai đa giác đều n – cạnh và m – cạnh có tỉ số hai góc trong của chúng là
5
7
. Tìm số cạnh hai
đa giác đều trên.
HƯỚNG DẪN
Áp dụng công thức: số đo một góc trong đa giác đều n cạnh :
0
( 2)180n
n
−
.
Chú ý m
≥
3 (ĐS: n = 6; m = 30)
Bài 3: Cho hình thang ABCD và O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng:
a) S(AOD) = S(BOC)
b) S(AOB) . S(COD) = [ S(BOC)]
2

HƯỚNG DẪN
a ) Kẽ đường cao AH, BH
’

b) Kẻ đường cao BK của tam giác ABC; tính tỉ số :
( )
( )
S AOB
S BOC
. Tương tự kẻ đường cao DL
của tam giác ADC; tính tỉ số :
( )
( )
S AOD
S DOC
.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường thẳng đi qua điểm B và C và trung điểm O của đường
cao AH cắt AB , AC ở M và N. Cho diện tích ∆ ABC = S. Hãy tính diện tích tứ gác AMON. ( ĐS:
1/6S).
MỘT SÓ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TỈ SỐ DIỆN TÍCH
Bài 1: Chứng minh công thức tính diện tích tam giác : S = p.r. Với p là nửa chu vi; r là bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác.
HƯỚNG DẪN
Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác cách đều ba cạnh tam giác .
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AA’ , BB
’
, CC
’
và trực tâm H. Tính tổng:

, , ,
, , ,
HA HB HC
AA BB CC
+ +
HƯỚNG DẪN
ĐS :
, , ,
, , ,
HA HB HC
AA BB CC
+ +
= 1.
Bài 3: Chứng minh tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác đều đến ba cạnh
của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.
Trang: 1
GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá
HƯỚNG DẪN
Chứng minh tổng diện tích ba tam giác MBC, MAC, MAB bằng diện tích tam giác ABC =>
MD + ME + MF = AH ( E, D, F là hình chiếu của điểm M trong tam giác ABC).
Bài 4 : Cho góc xOy và một điểm nằm trong góc đó. Hãy dựng qua M một đường thẳng cắt hai cạnh
của góc xOy ở A và B sao cho tổng :
1 1
MA MB
+
lớn nhất .
HƯỚNG DẪN
Kẻ MP // Oy; AH
⊥
OM; BK

⊥
OM. Tính
( )
( )
S MOA OA
S MPO OP
=
VÀ
( )
( )
S OBA AB
S OBM BM
=
=>
( ) 1
( ). ( ) ( )
S OBA
S OMA S OMB S MPO
=
.Chứng minh :
1 1
AH BK
+
không đổi mà MA
≥
AH; MB
≥
BK.
Vậy vị trí của AB cần tìm là AB
⊥

OM.
TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
Cách làm:
• Đặt các diện tích cần tìm bằng cá ẩn số rồi đưa về phương trình hoặc hệ phương trình với các ẩn
số đó.
• Giài các phương trình hoặc hệ phương trình để tìm nghiệm.
Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N asao
cho: AM = 3BM ; AN = 4CN. Đoạn BN cắt doạn CM ở O. Tính diện tích tam giác AOB và AOC.
HƯỚNG DẪN
Đặt S(AOB) = x; S(AOC) = y (x,y > O) => S(OAM) =
3
4
x và S(OAN) =
4
5
y .
Ta có : S(BAN) S(BAO) + S(OAN) = x +
4
5
y ; mà S(BAN) =
4
5
S(ABC) =
4
5
=>
X +
4
5
y =

4
5
(1). Tương tự : y +
3
4
x =
3
4
(2) . Từ (1) và (2) giải hệ => x =
1
2
; y =
3
8
Vậy S(AOB) =
1
2
: S(AOC) =
3
8
.
Bài 2: Giả sử MNPQ là hình vuông nội tiếp tam giác ABC với M thuộc AB, N thuộc AC, và P,Q thuộc
BC. Ính cạnh hình vuông biết BC = a; đường cao AH = h.
Áp dụng: Trên tia phân giác góc vuông xOy ta lấy điểm P tùy ý ( P không trùng O). Một đường thẳng
qua P cắt Ox tại I, cắt Oy tại J. Chứng minh tổng:
1 1
OI OJ
+
có giá trị không đổi khi đường tẳng qua P
thay đổi.

HƯỚNG DẪN
ĐS: x =
ah
a h+
( x là cạnh hình vuông)
Trang: 2
BAI 1
O
H
E
D
B
C
A
K
N
M
BAI 3
H
D
B
C
A
GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá
CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI VỀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Bài 1 : Ch hình bình hành ABCD. Qua A dựng đường thẳng xy không cắt hình bình hành. Gọi E, H lần
lượt là hình chiếu của D, B trên xy. Xác định vị trí xy để BE + DH nhỏ nhất.
Bài 2 : Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B . Cho đường
thẳng xy
⊥

AB ở H. Cho điểm C thuộc xy và C ≠ H . Cho C và D lần lượt
Là trung điểm AC và BC
a) Chứng minh tứ giác CDOE là hình bình hành.
b) Chứng minh tứ giác DHOE là hình thang cân.
c) Khi điểm C di động trên đường thẳng xy, chứng minh trung
điểm K của đoạn DE di động trên một đường cố định.
Bài 3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AB, CD sao cho
AM CN
m
BM DN
= =
( m là hằng
số , m > 0 ). Nối DM, DN. Tính S
DMBN
theo m và S.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có E,F lần lượt thuộc AB sao cho AE = EF = FB. G, H trên cạnh CD sao cho
DH = HG = GC.
Chứng minh : S
EFGH
=
1
3
S
ABCD
.
Trang: 3
y
x
BAI 2

O
H
E
D
B
C
A
F
G
BAI 4
H
E
D
B
C
A
BAI 5
h
a
h
b
b
a
C
B
A
GV soạn và giảng : NGUYỄN THẾ TƯỞNG THCS Lê Quí Đôn – TP Rạch Giá
Bài 5: Trong một tam giác , gọi h
a
là

đường cao ứng với cạnh a, gọi h
b
là
đường cao ứng với cạnh b cho biết a > b .
Chứng minh:
1
a b
h h
a b
−
≥ −
−
. Dấu đẳng
thức xẩy ra khi nào?
Bài 6: a) Hai đường cao tam giác bằng
32cm, 8cm. Chứng minh đường cao thứ
ba nhỏ hơn 11cm.
c) Có tồn tại hay không một tam giác
có hai đường cao của nó lớn hơn
1m còn diện tích thì nhỏ hơn
2005cm
2
.
Bài 7: Tính diện tích một tam giác biết dộ
dài ba đường trung tuyến là 9cm, 12cm và
13cm.
Trang: 4