chuyên đề lý

phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển
động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25
N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn
2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.

(cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên.
Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
kl = mg
l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ =
===
5105
1,0
25
m
k

(Rad/s)
+ m dao động điều hoá với phơng trình
x = Asin (t + )
Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0
v = 10
3
(cm/s) <0
Ta có hệ 2 = ASin Sin >0
-10
3
= 5.Acos cos <0
Chia 2 vế tg =
3
1

=
6
5

(Rad) A = 4(cm)
Vậy PTDĐ:
x = 4sin (5t +
6
5

) (cm)
b) Tại VTCB lò xo dãn l = 4cm
+ ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn l = 4 + 2 = 6 (cm)
+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì
v<0.

Vậy lúc đó x = -2 (cm)
l
l
0
0(VTCB)
)
x
- l



Ta có: -2 = 4sin (5t +
6
5

)
sin (5t +
6
5

) =
2
1

5t +
6
5

=
6

7

t =
15
1
(s)
( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn
đều)
Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phơng thẳng đứng vật nặng có khối l-
ợng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm
t = 0, kéo m xuống dới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận
tốc 25cm/s hớng lên ngợc chiều dơng Ox (g = 10m/s
2
)
a. CM vật dđđh.
b. Viết PTDĐ
Lời giải
a. Tại VTCB kl = mg kl = 0,4.10 = 4 l =
k
4
(mét)
Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm
x = 2,6 - l = 0,026 -
k
4
( mét)
Chiều dơng 0x hớng xuống x >0
Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E =

3
10.25
2
2
1
2
2
1

=+
mvkx
(J)
Ta có phơng trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1

=+
k(2,6.10
-2
-
025,0)
4

2
=
k

0,026
2
.k
2
- 0,233k + 16 = 0 k = 250 (N/m) TM
k = 94,67 (N/m) loại
Vậy k = 250 N/m =
25
4,0
250
==
m
k
(Rad/s)
=> k > 153,8 N/m
Tại t = 0 x = 1cm > 0
v = -25cm/s < 0
1 = Asin ; sin >0 =
4
3

Rađ
-25 = 25Acos; cos<0 A =
2
cm
Vậy phơng trình điều hoà là x =

)
4
3
t25sin(2

+
(cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
đợc gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo
tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang.
Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của
vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1
; x

2
là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng
dãn hoặc nén).
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x
1
=
1
k
F

; x
2
=
2
k
F

Vậy x =








+=
2121
11

kk
F
k
F
k
F
Mặt khác F = - kx
kkk
111
21
=+
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
mx
''
= - k.x hay x
''
= - x
2
với
2
=
)(
.
21
21
kkm
kk
m
k

+
=
Vật dao động điều hoà theo phơng trình
L
1
L
2
M
x = Asin (t + )
Vậy vật dao động điều hoà
* Phơng trình dao động
=
10
)2030(12,0
20.30
)(
.
21
21
=
+
=
+
=
kkm
kk
m
k
(Rad/s)
Khi t = 0 x = 10cm>0

v = 0 cm/s
Ta có hệ 10 = Asin ; sin >0 =
2

0 = Acos ; cos = 0 A = 10 (cm)
Vậy phơng trình dao động là
x = 10sin (10t +
2

) (cm)
2. Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3
cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên. Bỏ
qua ma sát (g = 10m/s
2
;

2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?

Lời giải
1. Chọn trục 0x thẳng đứng hớng xuống
gốc 0 tại VTCB
+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi
lò xo.
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo
cùng độ cứng và chiều dài và bằng
2
1
lực đàn hồi
tổng cộng)
k
0
F
k
0
F
P
+
m
O


F = 2F
0
-Kx = -2kx
K = 2k
+ Tại VTCB:

P
+

P2
=

0
Hay mg - 2kl
o
= 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn l = x + l
0
Hợp lực:

P
+

=
FF2
dh
mg - 2k(l
0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
x
''
=
x

m
k2

x = Asin (t + ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4
2
m/s = - 40
2
(cm/s)
Ta có hệ 3 = A sin ; sin > 0
- 40
2
= 10
2
Acos ; cos < 0
Biên độ A =
5
200
2.40
3
2
2
=+
cm
Ta có hệ 3 = 5sin sin = 0,6
-40
2
= 10
2

.5.cos cos = -0,8


2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10
2
t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi nh một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
l
0
=
05,0
50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối
143,13
0

vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L
1
, L
2
có độ cứng k
1
= 60N/m, k
2
= 40
N/m. Ngời ta kéo vật đến vị trí sao cho L
1
bị dãn một đoạn

l = 20 (cm) thì
thấy L
2
không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban
đầu. Bỏ qua ma sát và khối lợng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều d-
ơng hớng từ A

B,chọn t = 0 là lúc thả vật.
a) CM vật DĐĐH?
b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lợng toàn phần E.
c) Vẽ và tính cờng độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A,
B ở thời điểm t=
2
T
.
Lời giải

a) CM vật DĐĐH
+ Chọn trục toạ độ nh hình vẽ.
+ Khi vật ở VTCB lò xo L
1
dãn l
1
lò xo L
2
dãn l
2
Khi đó vật để L
1
dãn l = 2cm ;
L
2
khi nén k dãn thì l chính là độ biến
dạng tổng cộng của vật ở VTCB.
l = l
1
+ l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+=+++

FFFFNP
Hay + K
1

l
1
- k
2
l
2
= 0 (2)
+ Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L
1
là (l
1
+ x) cm, L2 là (l
2
- x)
Tổng hợp lực

=+++
amFFNP
21
Hay - k
1
(l
1
+ x) + k
2
(l
2
- x) = mx''
- (k
1

+ k
2
) x = mx''
x'' =
2
21
.

=
+

x
m
kk
với 2 =
m
kk
21
+

BA

01
F

02
F
0
+
x

G
x
Vậy x = Asin (t + ) (cm) vật DĐĐH
b) =

10
1,0
4060
21
=
+
=
+
m
kk
(Rad/s)
+ Biên độ dao động A = l
2
(vì A =
2
2
2
2
0
lxx

==+

)
Giải (1), (2) l

1
+ l
2
= 20 l
1
= 8cm
60l
1
+ 400l
2
= 0 l
2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin = A
v
0
= Acos = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t +
2

) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==

(s)
Năng lợng
E =
72,0)012.(,100.
2
1
2
1
22
==
KA
(J)
c) Vẽ và tính cờng độ các lực
+ Khi t =
1,0
2
=
T
(s) thì x = 12 sin (10.0,1 +
2

) = -12 (cm)
Vì vậy, tại t =
2

vật ở biên độ x = - A
Tại vị trí này lò xo l
1

bị nén 1 đoạn A - l
1
= 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L
2
bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lợt là

21
, FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
F
2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (

21
, FF
cùng chiều dơng)
Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các hình
vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng
=
2

a

b

P

0
F
0 (VB)
+
x

0
T
có khối lợng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối
lợng của r
2
và lò xo dây treo k dãn. Khối lợng
k đáng kể.
1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật
ở VTCB.
2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng
rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật.
Lời giải
1) Hình a
+ Chọn chiều dơng ox hớng xuống, gốc 0 tại VTCB
+ Phơng trình lực

=+
0
00
FT

=+
0
00
PT
Chiều lên ox -T
0
+ Kl = 0
-T
0
+ mg = 0
T
0
= kl = mg = 0,1.10 = 1 T
0
= 1N
l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox -T
0
+ mg = 0
-kl + 2T
0
= 0
T
0
= mg = 1 (N)
l = 10 (cm)

2) Chứng minh vật DĐĐH
Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn l kl - mg = 0
+ Khi vật ở li độ x lò xo dãn l + x
F = mg - T


P

0
F
+
x

0
T

0
T
O
T - k(l + x) = 0
F = mg - kl
0
- kx F = -kx
áp dụng định luật II N - kx = mx
''
=
xx
m
k
.

2

=
Với =
m
k
x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn l
2
1
kl - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn l +
2
x
mg - T = F
2T - k(l +
2
x
) = 0
F = mg -
2
1
kl -
x
k
4
F =
x
k
4

Hay
x
k
4

= mx
''
x =
x
m
k
4

= -
2
x với =
m
k
4
x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà
Bài 7: Một vật có khối lợng m = 400g đợc gắn
trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50
(N/m) đặt m
1
có khối lợng 50 g lên trên m. Kích thích
cho m dao động theo phơng thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ
qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên độ dao động lớn
nhất của m, để m
1

không với khối lợng m trong quá
trình dao động (g = 10m/s
2
)
Lời giải
Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a =
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
=
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
m
1
m
a
max
< g
2
A < g A<
2

g

+ =
m
k

2
=
125
4,0
50
=
A <
125
10
= 0,08 (m) = 8cm
A
max
= 8cm
Bài 8: Cho 1 hệ dao động nh hình vẽ, khối
lợng lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M = 200g,
có thể trợt không ma sát trên mặt phẳng ngang.
1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ. Tính V
TB
của M
sau khi nó đi qũang đờng 2cm .
2) Giả sử M đang dao động nh câu trên thì có 1 vật m
0
= 50g bắn vào M
theo phơng ngang với vận tốc

o
v
. Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra
tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn
o
v
, biết rằng sau khi va chạm
m
0
gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu
của chuyển động tròn đều của 1 chất điểm
nh hình vẽ. Khoảng thời gian vật đi từ x =
4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời gian
vật chuyển động tròn đều theo cung M
1
M
2
t =



3
=

a
với =
2,0
50
=
m
k
= 5

(Rad/s)
-> t =
15
1
5
1
.
3
=


(s)
V
TB
=
)(30 scm
t
S
=
2 - Theo câu 1, M có li độ x
0

= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất
M
k
o
v
m
0
M
1
+
2
4
M
2



+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lợng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc

'
=
05,02,0
50
0
+
=
+
mM
k
= 10
2
(Rad/s)
Lại có v =
2
0
2''
)( xA



= 40
2
(m/s)
Từ (1) | v
0
| =
05,0
240).5,02,0(

)(
0
+
=
+
m
vmM
= 200
2
(cm/s)

Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lợng m = 0,4kg, chiều cao h =
10cm tiết diện s = 50cm
2
đợc treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi
cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng
D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn
4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox nh hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong
chất lỏng có chiều cao h

0
, lò xo bị dãn 1
đoạn l
0

Phơng trình lực : mg- F
0A
- kl
0
= 0
l
0
=
k
Fmg
A0

(1)
A0
F
dh0
F
0
+x
P
Với F
0A
= Sh
0
Dg

l
0
=
150
10.10.05,0.10.5010.4,0
34


= 0,01 (m) = 1 (cm)
2) Chứng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn l
0
+ x
Kéo vật xuống dới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
x
max
= 4(cm) <
2
h
luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
dhA
FFPF
++=

F
= mg - S(h
0

+ x) Dg - k(l
0
+ x)
= mg - Sh
0
Dg- kl
0
- SDgx - kx
F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx
''
mx
''
= - (SDg + k)x x
''
=
2
.x với
2
=
m
KSDg
+
x = Asin (t + ) vậy vật dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T =
15010.10.10.50
4,0
22
2
34

+
=
+
=




KSDg
m
= 0,28 (s)
3. Cơ năng E
Coi vật dao động vật đợc gắn vào lò xo có độ cứng k
'
= SDg+ K = 200 N/m
Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
Cơ năng: E =
16,0)04,0.(200.
2
1
2
1
22'
==
Ak
(J)
Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m. Một đầu của lò xo đợc chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc
theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s

2
).
1. Tìm chiều dài quãng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3. Tính thời gain dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đờng đo đợc khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến
lúc dừng lại ở đây cơ năng E =
==
SFKA
ms
.
2
1
2
à.mg.S
S =
m
mgM
KA
(2
10.02.,1,0.2
1,0.80
.
.
2
1
22
==
)

2 - Độ giảm biên độ
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A
1
sau
2
1
chu kì vật
đến VT biên độ lớn A
2
. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đờng
A
1
+ A
2
2
1
KA
2
1
-
2
1
KA
2
2
= àmg (A
1
+ A
2
) A

1
- A
2
=
k
mg.2
à
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A
3
thì A
2
- A
3
=
k
mg.2
à
Vậy A =
k
mg.4
à
= const
3 - Thời gian dao động
Tính A: A =
01,0
80
10.2,0.1,0.4
=
(m) = 1 cm
Số chu kì thực hiện đợc : n =

10
=
A
A

(chu kỳ)
Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s).
Phần II
con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tơng ứng là
T
1
; T
2
, tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con
lắc có chiều dài l
1
+ l
2

, chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.
Lời giải
+ Con lắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
g
l
.2
1

l
1
=
g.
4
T

2
2
1

(1)
+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
g
l
.2
2

l
1
=
g.
4
T
2
2
2

(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2

có chu kì T
3
= 2.
g
ll
21
+
l
1
+ l
2
=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=

=

(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l
1
- l
2

có chu kì T
'
= 2.
g
ll
21

l
1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=

=

(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l

2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2
42,1
10
51,0
=
(s)
T
2
= 2
1,1
10
3,0
=
(s)
Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lợng m, kéo con lắc ra khỏi
VTCB một góc
0
rồi thả không vận tốc đầu.
1. Lập BT vận tốc tơng ứng với li độ góc suy ra BT vận tốc cực đại.
2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc . Suy tab t lực căng dây cực đại,
cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g,
0
= 6
0

; g = 10(m/s
2
);

2
= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tơng ứng với li độ
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng,
cơ năng của con lắc tại VT li giác bất kì
bằng thế năng của con lắc tại VT biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
với h
0

= l(1 - cos)
h = l(1 - cos)
v
2
= 2gl (cos - cos
0
)
Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2
0

Vì cos = 1- 2sin
2

2

khi << cos =
2
1
2


Tơng tự cos
0
=
2
1
2
0

| v | =
)(gl
22
0

+ Vận tốc cực đại khi

= 0, vật ở VTCB 0
| v
max
| =
gl
0

I

h
0
- h
+ áp dụng số:
| v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=

(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc

+ Định luật 2 N
maTPF
=+=
Chiều lên phơng dây treo
F
th
= -mg.cos +T = m
aht
T = mgcos + m.
l
v
2
= m (gcos +
l
v
2
)
v
2
= 2gl (
2
-
2
) ta đợc
T = mg (3cos - 2 cos
0
) = mg (
2
0
-

2
3

2
+ 1)
+ Lực căng dây cực đại khi = 0, vật ở VTCB
T
max
= mg (
2
0
+ 1)
Thay số
T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1
150
6
2
=+=

+







(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
, vật ở VT biên
T
min
= mg (1 -
2
1

2
0
)
Thay số
T
min
= 0,1.10
99,0
150
6

2
1
1
2
=
















(N)
Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lợng m.
Khi con lắc đơn đang ở VTCB, ngời ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v
0
lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc của vật
nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc .
Xét trờng hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải

* Vận tốc tơng ứng với li góc
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác
Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1
=+
v
2
= v
2
0
- 2gh
v
2
= v
2
0
- 2gl(1 - cos)
| v | =
)cos1(gl2v
2
0

Khi góc << thì 1 - cos = 2sin
2
2

=
2
2

| v | =
22
0
gl2v

+ Vận tốc cực đại khi = 0 | v
max
| = v
0
, vật ở VTCB
Thay số | v
max
| = 1m/s
+ Vận tốc cực tiểu khi =
0
v
0
=
0

gk
v

min
= 0
* Lực căng dây
amTPF
=+=
= mgcos + T = m
aht
T = mgcos + m
l
v
2
= m(gcos +
l
v
2
)
Thay v
2
ở trên
I

h
l
T
l
0
v
P
l
T = mg

2cos3
gl
v
2
0
+








+ Khi nhỏ: cos = 1 -2sin
2
2


= 1 -
2
2

T = mg
)
2
3
1
gl
v

(
2
2
0
+
+ Lực căng dây cực đại khi = 0, con lắc ở VTCB
T
max
= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
(con lắc ở VTCB)
v
0
=
0
gl

2
0
=
gl
v
2
0
T

min
= mg
)
gl2
v
1(mg)
gl
v
.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
=+
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2

=
T
min
= 0,1 . 10
)
1.10.2
1
1(
2

= 0,95 (N)
Bài 14:
Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh
chậm thế nào khi đa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và
TPHCM lần lợt là 9,7926 m/s
2
9,7867 m/s
2
. Bỏ qua sự ảnh hởng của nhiệt độ.
Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc nh thế
nào?
Lời giải
+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là
T
1
= 2
1
g
l
.

= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2
1
g
l
.



0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
==
T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)

+ Vì T
2
>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời
gian chạy chậm là:
t = 24.60.60.
26
T
TT
1
21
=

(s)
+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
T
'
2
= 2
2
'
g
l
.

= 2 (s)
VT T
1
= T
'
2

2
'
g
l
=
2
1
'
2
g
g
l
l
g
l
=
Thay số:
l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lợng là
l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4

T.g

nên l = 0,0006.
2
2
11
4
T.g

Thay số
l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2
=

(m) = 0,6 mm
Bài 15:
Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối l-
ợng m = 100 (g), đợc treo tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8 (m/s
2
).
1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc.
2. Cho quả cầu mang điện tích dơng q = 2,5.10
-4
tạo ra đờng trờng đều có
cờng độ E = 1000 (v/m).
Hãy xác định phơng của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ
của con lắc trong các trờng hợp.

a) Véctơ
E
hớng thẳng xuống dới
b) Véctơ
E
có phơng nằm ngang.
Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T
0
= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
.

= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrờng đều
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP
=
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trờng
+ Coi con lắc dao động trong trờng trọng lực hiệu dụng g

'
d
'
EPP
+=
= m
'
g
Khi CB dây treo con lắc có phơng của
'
P
và chu kì dao động nhỏ đợc tính
theo công thức:
T
'
= 2
'
g
1
.

a)
E
thẳng đứng xuống dới
+ g> 0 nên
d
F
cùng hớng với
E
, tức là

thẳng đứng xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phơng
thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
mg
'
= mg + qE
g
'
= g +
m
qE
+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc






VTCB
T
'
= 2
m
qE
g
1

2
g
1
.
'
+
=
Thay số
T
'
= 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34

+
= 1,8 (s)
b) Trờng hợp E nằm ngang
+)
d
E
có phơng với
P
Khi CB, dây treo lệch góc

so với phơng thẳng đứng, theo chiều của lực
điện trờng.
tg

=
mg
qE
P
F
d
=
tg

=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34




~ 14
0
+ Chu kì dao động của con lắc
T
'
= 2
'
g
l

Từ hình vẽ:

P
'
=
g
cos
g
g
cos
P
'
>

=

Do đó: T

= 2
=


cosT
g
cosl
.
0
T
'
= T
0
97,114cos2cos

0
=

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga =
10m/s
2
. Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều
trên đờng ngang thì dây treo hợp với phơng thẳng đứng 1 góc
0
= 9
0
+

T
d
F
'
P
P
a) Hãy giải thích hiện tợng và tính gia tốc a của xe.
b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc
theo T
0
.
Lời giải
a) Giải thích hiện tợng:

Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn
phải chịu 3 lực tác dụng.
+ Trọng lực
gmP
=
+ Lực căng dây T
+ Lực quán tính
0
amF
=
Khi con lắc ở VTCB
0FTP
q
=++
q
F
ngợc chiều với
0
a
nên ngợc chiều với
0
v
Vậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc về phía ngợc với chiều chuyển
động của xe.
tg =
g
a

mg
ma
P
F
at
==
<< tg

do đó
a

g = 10.
9.
180

~ 1,57 (m/s
2
)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP
=+=
(Coi con lắc dao động trong trờng gia tốc ghd = g
'
)

Từ hình vẽ P
'
=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'
>

=

=

Chu kì dao động của con lắc khi đó xác định theo công thức
+

F
'
P
P
0
v
T = 2
'
g

l
.

Lại có T
0
= 2
g
l
.


=

==
cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0
Vậy T = T
0

cos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lợng
m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc

0
= 6
0
rồi thả nhẹ cho
dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi nh
không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là = 3
0
coi chu kỳ dao
động của con lắc nh khi không có lực cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lợng không
đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma
sát tối thiểu là len. (g = 10m/s
2
,
2
= 10).
Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lợng không đổi
+ Lúc đầu, li giác cực đại là
0
, cơ năng của con lắc là:
E
0
= mgh
0
= mgl(1 - cos)
1 - cos = sin
2
2

2
0



E
0
=
2
0
mgl
2
1

+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là
1
, cơ năng
của con lắc là:
E
1
=
2
0
mgl
2
1

E
0
- E

1
=
mgl
2
1
(
2
0
-
2
1
)
+ Sau nửa chu nửa chu kì thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại
2
, cơ năng
của con lắc là:
E
2
=
mgl
2
1

2
2
E
1
- E
2
=

mgl
2
1
(
2
1
-
2
2
)
Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm E
E = (E
0
- E
1
) + (E
1
- E
2
) =
mgl
2
1
(
2
0
-
2
2
)

E =
mgl
2
1
(
0
-
2
)(
0
+
2
) = mgl
0
.
+ Công của lực cản:
A
C
= (S
0
+ 2S
1
+ S
2
)F
c
~ 7S
0
R
c

~4
0
kF
c
mgl
0
. = 4
0
lF
c
=
mg
F4
c
= const
Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lợng không đổi (đpcm).
2. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
+ CHu kì dao động của con lắc
T = 2
10
1
.2
g
l
.
=
= 2 (s)
+ Độ giảm năng lợng trong N chu kì là
E =
mgl

2
1

2
0
-
mgl
2
1

2
=
mgl
2
1
(
2
0
-
2
)
E =
222
2
2
10.08,2)36(
180
.10.5,0.
2
1

=

(J)
+ Công suất của động cơ là
2.100
10.08,2
T.N
E
t
E
12

===

= 1,04.10
-5
W
Bài 18:
Tại một nơi nang bằng mực nớc biển, ở nhiệt độ 10
0
C, một đồng hồ quả lắc
trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ nh 1 con lắc đơn
thanh treo con lắc có hệ số nở dài = 2.10
-5
K
-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t
0

là 6
0
C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ.
Giải thích hiện tợng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nớc biển. Coi trái
đất là hình cầu có bán kính R = 6400 km.
Lời giải
1. Xác định nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ
Giả sử đồng hồ chạy đúng ở t
0
C với chu kì
T = 2
g
)t1(l
2
g
l
10
+
=
ở t
1
= 100
0
, chu kì là T
1
= 2
g
)t1(l
10
+

2
1
t1
t1
T
T
11

+
+
+
=
(t
1
- t
x
)
(VT t
1
<< 1; t
1
<< 1)
+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh T
1
<T t
1
< t
+ Độ l

0
t chu kì theo t
0
T
1
= T
1
- T ~
)tt(
2
T
1

Thời gian mà đồng hồ chạy sai trong 1 ngày đêm là
t = 24.60.60.
)tt(.43200
T
T
1
1

Theo biên độ t = 6,48 (s) t ~ 17,5
0
C
2 - Khi đồng hồ ở trên đỉnh núi
Chu kì của quả lắc hoat động thay đổi do