Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng hall trong siêu mạng hợp phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Thị Minh Phúc

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Thị Minh Phúc

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN VŨ NHÂN

Hà Nội – Năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS. Nguyễn Vũ
Nhân, là ngƣời đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành khóa
luận.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ Bộ
môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại
học, trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn
thành luận văn.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể ngƣời thân, bạn bè đã
giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý
báu để em có thể hoàn thành luận văn này.
Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học
NAFOSTED (103.01 – 2011.18) VÀ QGTD.12.01.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếu
sót, em rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, 16 tháng 12 năm 2013
Học viên


Nguyễn Thị Minh Phúc

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU:…………………………………………….……………………………....…1

CHƢƠNG 1: SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU
ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI…………………………………...…………..4
1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần………………………………………...…….4
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần………………………………………….4
1.1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
…………………………………………………………………………………...5
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối………………………...6
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CHO TENXƠ ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL CHO SIÊU MẠNG
HỢP PHẦN…………………………………………………………………………….13
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong siêu mạng hợp phần…...13
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần...14
2.3. Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall……………………………………...35
CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ ĐỒ THỊ………………………………………….50
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ………………………….50
r

3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trƣờng B …………………..……………..51
3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chu kỳ siêu mạng…………………..………..52
KẾT LUẬN……………………………………………………………………………..53
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………54
PHỤ LỤC……………………………………………………………………………….55


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ ở các
giá trị B = 4T (đƣờng trơn), B = 4.2T (đƣờng gạch ngang), B = 4.4T

Trang 50

(đƣờng chấm).

r

Hình 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trƣờng B ở những giá
trị khác nhau của chu kỳ siêu mạng : T=100K (đƣờng nét

Trang 51

liền),T=200K (đƣờng nét gạch) và T=300K (đƣờng nét chấm).

Hình 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chu kỳ siêu mạng với các
giá trị   1012  s 1  (đƣờng liền),   5.1012  s 1  (đƣờng nét gạch) và
  1013  s 1  (đƣờng nét chấm).

Trang 52


MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Cuối những năm 80 của thế kỷ 20 thành tựu của khoa học vật lý đƣợc đặc trƣng

bởi sự chuyển hƣớng đối tƣợng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn
có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là, các bán dẫn hai chiều (giếng lƣợng
tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán dẫn một chiều (dây
lƣợng tử hình trụ, dây lƣợng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không chiều (chấm lƣợng tử
hình lập phƣơng, chấm lƣợng tử hình hình cầu).

Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều). Nhƣng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ một
chiều và hệ không chiều), ngoài điện trƣờng của thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử
tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trƣờng điện thế phụ. Trƣờng điện thế phụ
này cũng biến thiên tuần hoàn nhƣng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của
hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần). Tuỳ thuộc vào trƣờng điện thế phụ tuần
hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều (giếng
lƣợng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây lƣợng tử). Nếu dọc theo
một hƣớng nào đó có trƣờng điện thế phụ thì chuyển động của hạt mang điện sẽ bị giới
hạn nghiêm ngặt ( hạt chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có trƣờng điện
thế phụ), phổ năng lƣợng của các hạt mang điện theo hƣớng này bị lƣợng tử hoá. Chính
sự lƣợng tử hóa phổ năng lƣợng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại
lƣợng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, tenxơ độ dẫn, tƣơng tác điện tử với
phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới, ƣu việt mà hệ điện
tử ba chiều không có [1,2]. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo
ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao,
hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử


nói riêng. Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp
chiều đối với khoa học công nghệ và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp
chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng nhƣ thực
nghiệm trong và ngoài nƣớc.
Trong nhiều năm, có rất nhiều nghiên cứu giải quyết vấn đề về sự ảnh hƣởng
của sóng điện từ lên bán dẫn thấp chiều. Sự hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu gây ra
bởi sự giam giữ các điện tử trong bán dẫn thấp chiều, đƣợc nghiên cứu tỉ mỉ bằng cách
sử dụng phƣơng pháp Kubo - Mori [3,4]. Những tính toán về hệ số hấp thụ phi tuyến
tính sóng điện từ mạnh đƣợc nghiên cứu sử dụng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện
tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần [6, 7] và trong dây lƣợng
tử [8]. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ đƣợc nghiên

cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử trong [9 –
13].
Những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều ở nhiệt độ tƣơng đối cao,
đặc biệt là với sự có mặt của trƣờng laser đang đƣợc nghiên cứu. Hiệu ứng Hall trong
hố lƣợng tử với hố thế Parabol có tính đến sự có mặt của từ trƣờng với chuyển động
của điện tử là tự do nhƣng trong trƣờng hợp trƣờng điện từ trực giao trong mặt phẳng
của chuyển động tự do của electron không đƣợc nghiên cứu.Tuy vậy, nghiên cứu về lý
thuyết lƣợng tử hiệu ứng Hall trong siêu mạng hợp phần chƣa đƣợc nghiên cứu và do
đó, trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu và trình bày các kết quả nghiên cứu đối
với đề tài: “Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong siêu mạng hợp phần”.

2.

Phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử. Từ

Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần với trục siêu mạng
đƣợc giả thiết theo phƣơng z, sự có mặt của một từ trƣờng đặt dọc theo trục Oz:
ur
ur
B  (0, 0, B) , một điện trƣờng dọc theo trục Ox: E1  ( E1, 0, 0) trƣờng laser nhƣ trƣờng


ur

điện E  ( 0,E0 sint,0) (trong đó Eo và Ω tƣơng ứng là biên độ và tần số của trƣờng
laser).Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho hệ điện tử và giải phƣơng trình để tìm
ra biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall và hệ số Hall. Biểu thức này chỉ ra rằng độ
dẫn Hall phụ thuộc vào từ trƣờng, chu kỳ siêu mạng, tần số sóng điện từ. Điều đó thể
hiện rõ ràng qua đồ thị bằng cách và sử dụng chƣơng trình Matlab để tính toán số cho

siêu mạng hợp phần. Đây là phƣơng pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều.
Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.

 Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong siêu mạng hợp phần để làm rõ hơn
các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều.
 Đối tƣợng nghiên cứu: Siêu mạng hợp phần.
 Phạm vi nghiên cứu: Xét trƣờng hợp từ trƣờng dọc theo trục siêu mạng và tán
xạ chủ yếu là tán xạ điện tử - phonon quang.
4.

Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này đƣợc

chia làm ba chƣơng:
CHƢƠNG 1: Siêu mạng hợp phần và lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán
dẫn khối.
CHƢƠNG 2: Phƣơng trình động lƣợng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn
Hall, hệ số Hall cho siêu mạng hợp phần.
CHƢƠNG 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho siêu mạng hợp phần
cụ thể.
Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần xây dựng
phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần với thế siêu mạng
tuần hoàn theo phƣơng z, với sự có mặt của điện trƣờng ngoài, từ trƣờng, trƣờng laser
(sóng điện từ mạnh) trong đó Eo và Ω tƣơng ứng là biên độ và tần số của trƣờng laser).
Từ đó thu đƣợc biểu thức giải tích của độ dẫn Hall cũng nhƣ hệ số Hall.


CHƢƠNG 1

SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG
HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI
Trong chƣơng đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lƣợc về siêu mạng hợp
phần và hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lƣợng tử. Từ Hamiltonnian
của hệ điện tử - phonon, bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử, đƣa ra công
thức tenxơ độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn

khối.
1.1.

TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN

1.1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai
chiều, đƣợc cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d1, kí hiệu là A, độ rộng vùng
A
cấm hẹp  g (ví dụ GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày d 2, kí hiệu là
B

B, có độ rộng vùng cấm  g (ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc
theo trục siêu mạng (hƣớng vuông góc với các lớp trên). Chu kì của siêu mạng:
d=d1+d2 . Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dƣới dạng B/A/B/A… và độ
rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau nhƣ một hệ tuần hoàn bổ sung vào
mạng tinh thể. Khi đó điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn
vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác.
Từ sự tƣơng quan giữa đáy và đỉnh vùng dẫn của các lớp bán dẫn ngƣời ta phân
loại siêu mạng hợp phần nhƣ sau:
- Loại I: Đƣợc tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao nhau..
Trong siêu mạng này tƣơng tác giữa các hạt mang từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra giữa
các vùng năng lƣợng cùng loại. Ở đây cả lỗ trống và điện tử bị giam nhốt trong cùng

lớp A. Loại này đƣợc tạo bởi GaAs/AxGa1-xAs, lớp GaAs có độ dày hơn 20nm, phần Al
có mode ít hơn 0,3
- Loại II: Đƣợc tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gần nhau nhƣng
không bao bọc nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần. Trong trƣờng hợp này các loại hạt
mang khác loại có thể tƣơng tác với nhau. Siêu mạng loại này đƣợc chia làm hai loại:
+ Loại IIA: Bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp. Lỗ trống bị giam trong cùng
lớp A, điện tử bị giam trong cùng lớp B.
+ Loại IIB: Hoặc không có hoặc có khe năng lƣợng rất nhỏ giữa các điện tử trong
lớp B và các lỗ trống trong lớp A.
1.1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp
phần
Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần là hệ điện tử chuẩn hai chiều. Các tính
chất vật lý đƣợc xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc giả phƣơng trình
Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần
hoàn trong siêu mạng, việc giả phƣơng trình Schrodinger ttoongr quát là rất khó. Tuy
nhiên bài toán đơn giản hơn nhiều bởi thực tế chu kỳ siêu mangjlowns hơn nhiều so
với hằng số mạng và biên độ thế của mạng tinh thể. Vì vậy ảnh hƣởng của thế tuần
hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở mép vùng năng lƣợng và quy luật tán sắc của điện tử
có thể coi là dạng bậc hai và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng bán dẫn có
thể xác định bằng phƣơng pháp gần đúng, khối lƣợng hiệu dụng đối với các vùng năng
lƣợng đẳng hƣớng không suy biến, phƣơng trình Schrodinger có dạng:


h2 2 r
r
r
r
   r   U  r   r   E  r 

*
2m

(1.1)

Với m là khối lƣợng hiệu dụng của điện tử (lỗ trống) đƣợc coi nhƣ nhau trong toàn
r

siêu mạng. Dựa vào tính chất tuần hoàn của U  r  mà các siêu mạng có thể coi là một,
hai hoặc ba chiều. Đối với hệ điện tử chuẩn hai chiều, cấu trúc vùng năng lƣợng có thể


tìm đƣợc bằng cách giải phƣơng trình Schrodinger trong đó ta đƣa vào thế tuần hoàn
một chiều có dạng hình chữ nhật.
Phổ năng lƣợng:
 n, pr 


2
h2 p
2m*



 

h2 2n2
  ncos pPn d
2m*d

(1.2)

Trong đó: d: chu kỳ siêu mạng
m* : khối lƣợng hiệu dụng của điện tử

 n : một nửa độ rộng của mini vùng n

Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng
(xy) có dạng sóng phẳng và theo phƣơng của trục siêu mạng (có dạng hàm Block).
r
 r r  
n,k

1
Lx L y N

N
d
exp i k x x  k y y  exp  ik z jz  n  z  jd 
j 1
d





(1.3)

Với Lx : độ dài chuẩn theo phƣơng x
Ly : độ dài chuẩn theo phƣơng y

N d : số chu kỳ siêu mạng

 n  z  : Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập

1.2.

Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu tổng quát về ảnh hƣởng của sóng điện từ

lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phƣơng Ox, một từ trƣờng
theo phƣơng Oz thì thấy xuất hiện một điện trƣờng theo phƣơng Oy. Hiện tƣợng này
đƣợc gọi là Hiệu ứng Hall cổ điển.
Ở đây, để có ảnh hƣởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trƣờng và từ trƣờng không đổi, vuông góc với nhau.


Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trƣng bởi vecto cƣờng độ điện trƣờng
E  (E0sin  t,0,0) với Eo và  tƣơng ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ).

Trƣớc hết, ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối khi có mặt trƣờng sóng điện từ. Sử dụng Hamiltonnian của hệ điện tử - phonon
trong bán dẫn khối:
H  He  H

ph

H

(1.4)

e ph

Với:
 ur e ur  r r
He  

r  p  hc A(t)  a p a p

p 
r br
H
 h r b
ph  q q q
H

e ph



 rr D r a r r a r b r  b  r
q , p q p q p q q




 ur e ur  uur uur
H 
A(t)  a p a p   hquur bquur bquur  uuruur Dquur auupr quur auupr bquur  bquur

uur   p 
hc
p 
q, p




Trong đó:
a r , a r : Toán tử sinh và hủy điện tử
p p
r , b r : Toán tử sinh hủy phonon
b
q q

D r : Hằng số tƣơng tác điện tử - phonon
q
ur ur r
p, p  q : Trạng thái của điện tử trƣớc và sau khi tán xạ
ur
 p : Năng lƣợng của điện tử

 

ur
A(t) : Thế vectơ của trƣờng điện từ

qr : Tần số của phonon
ur

Số điện tử trung bình đƣợc đặc trƣng bởi xung lƣợng p là: n pr  t   a pr a pr
t
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:

(1.5)


ih

n r  t 
p
µ
  a r a r , H
p
p

 t

t

(1.6)

Số hạng thứ nhất:
 
 ur e ur  r r 
r
r
a
a
,



 p p r  p  A(t)  a p 'a p ' 
hc

p 


 r e ur  r r r





r  p  hc A(t)  a p  p, p '  a pr 'a pr a pr '  a pr  pr , pr '  a pr a pr ' a pr  0

p 

 



 



(1.7)

Số hạng thứ hai:
 a r a r ,  h r b

r b r   huur a r a r , b
r br   0
q q q   q  p p q q 
 p p

(1.8)

Số hạng thứ ba:





 

 
 a pr a pr , rr Dquur a pr 'qr auuur bqr  bqr  
p'
q, p'


 rr D r a r a r  r r r  a r r a r  r r b r  br
p 'q p p, p ' q q
q , p ' q p p ' p, p 'q







 





r Dqr  a pr a pr qr bqr  a pr a pr qr bqr  a pr qr a pr bqr  a pr qr a pr bqr 
t
t
t
t

q



*
*

r Dqr  Fpr , pr qr ,qr  t   Fpr qr , pr ,qr  t   Fpr , pr qr ,qr  t   F pr , pr qr ,qr  t  
q



(1.9)

Thay (1.7), (1.8), (1.9) vào phƣơng trình (1.2) ta có:
n r  t 
p

*
*


ih

r Dqr  Fpr , pr qr ,qr  t   Fpr qr , pr ,qr  t   Fpr , pr qr ,qr  t   Fpr qr , pr ,qr  t  
t
q

Với : Fpr , pr ,qr  t   a pr a pr bqr
1 2
1 2

(1.10)

t

Để giải phƣơng trình (1.3) ta đi tính hàm F(t):
F r r r  t 
p , p ,q

1 2
µ
ih
  a r a r b r , H

p
p
q

t
 1 2
 t

(1.11)


Chứng minh tự tƣơng ta nhận đƣợc phƣơng trình đối với hàm Fpr , pr ,qr  t  :
1 2
F r r r  t 
p , p ,q
1 2
ih

t
 r

he r
r
r ur
  p   p 
p  p A  t   h r  F r r r  t 
2
1
2
1
q
p , p ,q
m *c


 1 2

   





(1.12)








r Dqr a pr a pr  pr  bqr  bqr  bqr  
r Dqr a pr qr a pr  bqr  bqr  bqr
q
1 2 1 1
1
1 1 2 1
1
t q1 1
t
1 1

Ta sẽ giả thiết có đƣa vào đoạn nhiệt của tƣơng tác điện tử - phonon và của trƣờng cao
tần, khi đó t   . Tƣơng tác điện tử - phonon sẽ đƣợc cho là yếu và nghiên cứu nhƣ

nhiễu loạn. Khi đó phần bên phải có thể đƣa đến sự tách và để lại giá trị trung bình
chéo
r br
n r  t   a r a r ; n r  t   b
p
p p
p
q q

Giải phƣơng trình thu đƣợc ở trên với điều kiện ban đầu:
F r r r  t     0
p , p ,q
1 2

Xét tập hợp tần số thấp của hàm phân bố, đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối
xứng ta sẽ thu đƣợc phƣơng trình:
n r  t  uur n r  t 
p
p
r  eE1
r 
hp
r
2
 2 N r  1   j 2 r kr  n r  n r     r   r  l  
r
 2 
D

  l

 pr k

r
p   pr k
p
 l 


k k  k

 

(1.13)

Bổ sung ảnh hƣởng của từ trƣờng ta thu đƣợc:
r
n r  t 
ur
r r n p  t 
p


r  eE1  c  p, h 
r 
hp
r
2
 2 N r  1   j 2 r kr  n r  n r     r   r  l  
r
 2 

D

  l
 pr k

r
p   pr k
p
 l 


k k  k





 

(1.14)


Sau đó nhân hai vế với





ur
e ur

r
và
lấy
tổng
theo
p




p ta thu đƣợc:
p
m*

ur
ur ur
ur
ur
R  
 c  p, R      Q     S   
T  

(1.15)

Trong đó:





ur
e ur
R    
pn r     r
uur
p
p m* p
r

ur
e
r  ur n p


r
Q   
p
F





r
r
p 
m* p  p

2
ur

2 e
 2 N r  1 r kr n r  n r  n r  
r
S    
D




 r
r
r
p 

p p  p k
m*h k k  k
 





 2   r r   r      r r   r        r r   r          r 
p
k
k
k
 p k

 p k

 
  p k





(1.16)

 

Giải phƣơng trình (1.15) ta thu đƣợc:
T  

(1  c2 T 2 ( ))
ur
ur
r ur
ur
r r ur
ur
 Q     S     cT     h, Q    S     c2T 2   h h, Q    S  
ur
R   





(1.17)



ur

Hàm R    có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” đƣợc chuyển dời bởi các electron với năng
lƣợng  . Đại lƣợng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức:
r 
j   R   d

(1.18)

0

Hay j   im Em từ đó ta thu đƣợc biểu thức tenxo độ dẫn:
i

 im 
b0b2


T  
T  
2
e

a


b

b
 ik  cT   F   ikl hl  c2T  F  hi hk 

0
ik
0
1
2
*
2 2
2
m 1  c T    
1  c T   







T  F   
1  c2T

2

 F


 

ik

 cT   F     ikl hl  c2T



2

 F  hi hk   b0b3

T  F   
1  c2T

2

 F   






  ik  cT  F     ikl hl  c2T

2

 F    hi hk    km  cT  F   kmn hn  c2T  F  hk hm 
2

(1.19)

Trong đó:
a0 

eLx  0



eLx  2 kB  e2 E02 eE1c
b0 
I  N, N ' 
2 *
2
4 4
2
h4 m 0 S h  h0
b1  4
b2 

0
0
0 
 42   74 


3


2



3


2


3


2
 0

 0
 0
1
2
3
1
2
3 
 4  7 

 72   52
57

 72   62
b3 
67
2

 eE  
 0   1 2c  
 h0 
2

 eE  
1   1 2c  
 h0 

1

2m*h 3p  N    e2 E12  2m* p2 F
2

h 202
1

2m*h 3p  N '    e2 E12  2m* p2 F
2

h202

1

2m*h 3p  N '    e2 E12  2m* p2   F  h 
 eE  
2

 2   1 2c  
h202

 h0 
2

1

2m*h 3p  N '    e2 E12  2m* p2   F  h 
 eE  
2

3   1 2c  
h202
 h0 
2

1

2m*h 3p  N    e2 E12  2m* p2 F
 eE  
2

 4   1 2c  
h 202
 h0 
2


1

2m*h 3p  N    e2 E12  2m* p2   F  h 
 eE  

2

5   1 2c  
h 202
 h0 
2

1

2m*h 3p  N    e2 E12  2m* p2   F  h 
 eE  
2

 6   1 2c  
h 202
 h0 
2

2

 eE  
 7   1 2c  
 h0 

1

2m*h 3p  N '    e2 E12  2m* p2 F
2

h202

Ở đây D r là hằng số tƣơng tác của điện tử và phonon (với các cơ chế tán xạ của tƣơng
k

tác điện tử và phonon khác nhau thì D r có giá trị khác nhau). Và dựa vào đó ta sẽ xác
k

định đƣợc các thông số a0 , b0 , b1, b2 , b3 trong biểu thức . Từ đó ta có: công thức xác
định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối:
1  yx
RH 
2  2
B  xx
yx

(1.20)

Bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử, ta thu nhận đƣợc biểu thức
tenxơ độ dẫn Hall từ đó xác định đƣợc công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối. Theo
(1.19) và (1.20) ta có nhận xét: dƣới ảnh hƣởng của trƣờng sóng điện từ hệ số Hall R H
phụ thuộc vào biên độ E0, tần số Ω, bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ thuộc vào từ
trƣờng B, tỉ lệ nghịch với B2 và phụ thuộc vào điện trƣờng không đổi E1.


CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO
TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL CHO SIÊU MẠNG
HỢP PHẦN
Trong chƣơng này, chúng tôi đƣa ra Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm phonon trong siêu mạng hợp phần. Sau đó bằng phƣơng pháp phƣơng trình động
lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần, từ đó tìm đƣợc biểu thức giải tích cho

tenxo độ dẫn Hall và từ trở Hall.
Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong siêu mạng hợp phần.

2.1.

Xét siêu mạng hợp phần với trục siêu mạng đƣợc giả thiết theo phƣơng z, ở đó
khí điện tử đƣợc giam giữ bởi một thế đƣợc đặt vào dọc theo phƣơng z và chuyển động
tự do theo phƣơng (x - y). Chuyển động của electron bị giam giữ trong hệ thống và
năng lƣợng của nó bị lƣợng tử hóa theo phƣơng z. Nếu ta đặt vào trục siêu mạng một
ur

điện trƣờng dọc theo trục Ox: E1  (E1 ,0,0) , một từ trƣờng không đổi theo phƣơng
ur

Oz: B1  (0, 0, B1 ) , không những thế còn có sự góp mặt của trƣờng laser
ur
E  (0, E1sin  t  , 0) đƣợc đặt dọc theo trục z.

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang khi có mặt của trƣờng Laser:

H  H0  U
H0 



(2.1)
r

r
N ,n , ky

 N ,n  k y 



e r
A  t  aN ,n ,kr aN ,n , kr   hqr bqr bqr
y
y
r
hc
q


r
U=  
DN ,n , N ',n'  q  aN ',n ' kr
r
r
N , N ' n ,n ' q , k y

r

y  qy



aN ,n , ky bqr  bqr




e r
r  hc A  t  aN ,n,kr y aN ,n,kr y  qr hqr bqr bqr 
N ,n , k y
r  r
  
D
q

 aN ',n' k  qr aN ,n,ky bqr  bqr
N
,
n
,
N
',
n
'
r
H

(2.2)

r

 N ,n  k y 

r
N , N ' n ,n ' q , k y

y

y





(2.3)


Trong đó:
n: Chỉ số lƣợng tử theo phƣơng z (n=0,1,2,…)
N; Chỉ số Landau

uuv
N , n, k y

hqr

và

v v
N ' , n' , k y  q y

trạng thái của điện tử trƣớc và sau va chạm

: Năng lƣợng của phonon quang với vecto sóng

aN ,n ,kr và aN ,n,kr
y
y

r
q  ( qx , q y , q z )

: Toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử

bqr và bqr là toán tử sinh và toán tửu hủy của phonon quang

r
At 

: Thế vecto của trƣờng điện từ

r
DN ,n ,N ',n'  q 

: Yếu tố ma trận tƣơng tác. Nó phụ thuộc vào trạng thái đầu và trang thái

cuối của điện tử và tƣơng tác cơ học

Cqr

: Hằng số tƣơng tác điện tử và phonon quang. Nó phụ thuộc vào tán xạ cơ học,

tƣơng tác điện tử - phonon quang [5,6,20]
C

r
q

2

2 e2 h0  1
1 




 0V0 q 2     0 

với

V0  Lx Ly Lz

(2.4)

Ở đây:
 0 : Hằng số điện môi
V0 : Thể tích chuẩn hóa của mẫu đo

 0 và   : Hằng số tần số điện môi tĩnh và hằng số tần số điện môi cao

2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp
phần.
Trƣớc hết, ta đi thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử cho số điện tử trung bình
f N ,n,kv y  aN ,n,kr y aN ,n,kr y

. Phƣơng trình có dạng:
t


ih

r
 a r a
N ,n,k y N ,n,k y
t



t  a r a
r ,H
 N ,n,k y N ,n,k y  t

r




e r
r ,   N ',n '  k y'  A  t  a 
ra
r   a  r a
r ,
r br  
 a r a
h r b 

r
hc

 N ',n',ky' N ',n',k y'  t
 N ,n,ky N ,n,ky N ',n ',kz'
 N ,n,k y N ,n,k y q q q q  t


r 
r  br 
r,
r
r
 a r a
D
q
a
a
b

 
r
r
N1,n ,k y' q N ',n',k y' q q 
 N ,n,ky N ,n,ky N ',n', N1,n k ',qr N ',n', N1,n1
1

1 y
 t





(2.5)
- Ta tính số hạng thứ nhất ở vế phải của biểu thức (2.5):
 

r a
r , a
r a
r 
a
 N ,n,k y N ,n,k y N ',n',k y' N ',n',k y' 
r 
r a
r 
 a r a
 n,n' r r '  a 
 r r
N
,
N
'
'
N ,n,k y N ',n',k y
k y ,k y
N ',n ',k y' N ,n,k y N , N ' n,n' k y ,k y'

Từ đó suy ra:



r'
e r  

a r a
r , r 
r a
r  
k  A t a
N ',n'  y hc    N ',n',k ' N ',n',k ' 
 N ,n,k y N ,n,k y
'
y
y
N ',n',k y

 t



r e r  
r
r r

 r  N ',n ' k y'  hc A t    a r aN ',n ',k y'  N , N ' n,n ' k y ,k y' 

  N ,n,k y

N ',n ',k y'


r a
r 
r r  0
a 


N ',n',k y' N ,n,k y N , N ' n,n ' k y ,k y' 
 t

(2.6)
- Ta tính số hạng thứ hai ở vế phải của biểu thức (2.5):
 

 



r a
r ,
r
r
r
r
r
r
r
r
h


b
b

h

a
a
,
b
b
a


 0

r
r
q q  N ,n,k y N ,n,k y q q 
 N ,n,k y N ,n,k y q q q q  t
t

- Ta tính số hạng thứ ba ở vế phải của biểu thức (2.5):

(2.7)


Sử dụng các hệ thức đại số toán tử ta có:



 
r a
r , a
r ra
r br  b r
a
'
 N ,n,k y N ,n,k y N1,n1,k y q N ',n',k y' q q













s 
r 
r ra
  a r a
 n,n' r r ' r  a 
 n,n' r r '   bqr  bqr
'
N

,
N
'
'
N
,
N
'
k y ,k y q
N ,n ,k y q N ,n,k y
k y ,k y 
 N ,n,k y N ',n',k y
1 1





(2.8)
Từ đó suy ra:


r 

a r a
r ,   r D
r
r
r
r

a
b b  
q  a
' qr N ',n ',k ' q q 
 N ,n,k y N ,n,k y N ', N n',n ' r N ',n', N1,n1
N
,
n
,
k
y
1 1 y y
1 1 k y ,q

 t
r 
r
r r r t   F*
r r
r
   r D
q   F

r t  
N
,
n
,
N
',

n
'
r
N ,n,k y , N ',n',k y q y ,q
N ',n',k y q y , N ,n,k y ,q
N ', N n,n' k ' ,q


y






r r
r r t   F* r
r r
F
t 

r
N ',n',k y' q y , N ,n,k y ,q
N ,n,k y , N ',n ',k y' q y ,q 


(2.9)

r
r r  t   aN ,n , pr aN ,n , pr b r

N ,n , p , N ,n , p ,h
1 1 1 2 2 2 h t
1 1 1 2 2 2

Với F

Thay (2.6), (2.7), (2.9) vào (2.5) ta đƣợc:
r
 a r a
N ,n,k y N ,n,k y
t

r
t i    D
q

h N , N ' n,n' k ' ,qr N , N ',n,n'
y


r
r r r t   F*
r r
r
 F
r t  
N
,
n
,

k
,
N
',
n
',
k
N ',n',k y q y , N ,n,k y ,q

y
y q y ,q

r r
r r t   F* r
r r
F
t 

r
N ',n',k y' q y , N ,n,k y ,q
N ,n,k y , N ',n',k y' q y ,q 


(2.10)


Ta

thiết

lập

phƣơng

trình

động

lƣợng

tử

cho:


F
r
r r  t   a N ,n , pr aN ,n , pr b r
N ,n , p , N ,n , p ,h
1 1 1 2 2 2 h t
1 1 1 2 2 2

F
r
r r t 
N ,n , p , N ,n , p ,h


1 1 1 2 2 2
r a

r br , H  
ih
 a
N ,n , p N ,n , p
t
 1 1 1 2 2 2 h  t


e r
r
 
r a
r br ,
r
r
 a 

p

A
t
a
a



r N ,n  3
 N ,n , p N ,n , p 
N ,n , p N ,n , p
hc

 3 3 3 3 3 3 
 1 1 1 2 2 2 h N3,n3, p3 3 3 





r
r r r h r b 
r r
 aN
,n , p a N ,n , p bh , q
q q bq 
1
1 1 
 1 1 1 2 2 2
1



r
r r
 a 

N ,n , p a N , n , p b , 
 1 1 1 2 2 2 h N3, N4 n3,n4


t


t


r
 r

 r 
r
r
r
D
q
a
a
b

b

r r


p ,q N3,n3, N4 ,n4 1 N4 ,n4 , p3 q1 N3,n3, p3  q1 q1  
3 1
 t

 

(2.11)
Ta tính số hạng thứ nhất ở vế phải của biểu thức (2.11)

Sử dụng các hệ thức đại số toán tử ta có:
 


 aN ,n , pr aN ,n , pr b r , aN ,n , pr aN ,n , pr  
3 3 3 3 3 3
 1 1 1 2 2 2 h

r a
r br
r a
r br 
r r
 a

 r r  aN
N , N  n ,n  p , p
N ,n , p N ,n , p h N2 , N3 n2 ,n3 p , p
,n , p N ,n , p
1 1 1 3 3 3
2 3
3 3 3 2 2 2 h 1 3 1 3 1 3

(2.12)


e r  
r
r a
r,

r
r
 a
b

p

A
t
a
a




 N ,n , p N ,n , p  
 N1,n1, p1 N2 ,n2 , p2 h N ,n , pr N3,n3  3 hc
 3 3 3 3 3 3
3 3 3

 t


r
e r  
r
r aN3,n3, pr 3bh N2 , N3 n2 ,n3 pr 2 , pr 3 
 r  N ,n  p3  A  t   aN
1,n1, p1
hc



N ,n , p
3 3 3 3 3

r a
r br 
a 

r r
N ,n , p N ,n , p h N1, N3 n1,n3 p , p
3 3 3 2 2 2
1 3 t

e r 
e r 
r
r
  N ,n  p  A  t     N ,n  p  A  t     F
r
r r t 
2 hc
1 hc

  N1,n1, p1, N2n2 , p2 ,h
 2 2
1 1

(2.13)

Có:
e r 
e r 
eh r

r
r
r r
r
r

p

A
t


p

A
t


p


p

p


p








 N ,n

N ,n 1
2 hc
2
1 A t 
 N1,n1  1 hc
 N2 ,n2 2
1 1
 2 2
m*c

 

 





(2.14)
Vậy (2.13) trở thành:


e r  
r
a
r a
r
r
r
b ,


 p  A  t   a N ,n , p aN ,n , p  
 N1,n1, p1 N2 ,n2 , p2 h N ,n , pr N3,n3  3 hc
 3 3 3 3 3 3
3 3 3

 t


eh r
r
r
r r 
  N ,n p2   N ,n p1 
p2  p1 A  t    F
r
r r t 

1 1
m*c
 2 2
 N1,n1, p1, N2n2 , p2 ,h

 

 





(2.15)
Ta tính số hạng thứ hai ở vế phải của biểu thức (2.11)



a
  h r  F
r a
r br , 
r
r
r
h

b
b
r

r r t 
r
q q q 
q
N ,n , p , N n , p ,h
 N1,n1, p1 N2 ,n2 , p2 h q
1
1
1
1
1 1 1 2 2 2

1
 t

(2.16)

Ta tính số hạng thứ ba ở vế phải của biểu thức (2.11)
Sử dụng các hệ thức đại số toán tử ta có:
 


 
 a N ,n , pr a N ,n , pr b r , a N ,n , pr qr a N n , pr  bqr  bqr   
4 4 3 1 3 3 3 1
1 
 1 1 1 2 2 2 h


r a

r b r  br  b r 
 a



N ,n , p N n , p  q
q h N2 , N4 n2 ,n4 p2 , p3 q1
1 1 1 3 3 3 1
1


r r a
r  br  br  b r 
a 



N ,n , p q N ,n , p
q
q h N1, N3 n1,n3 p1, p3
4 4 3 1 2 2 2 1
1
r a
r 
a


r

N ,n , p N n , p N2 , N4 n2 ,n4 p2 , p3 q1 h ,qr

1 1 1 33 3
1


r a
r r a
r a
r r
a
N ,n , p N ,n , p q N ,n , p N n , p h ,qr
1 1 1 4 4 3 1 2 2 2 33 3
1

(2.17)
Từ đó suy ra:




r a
r br , 
aN

,n , p N ,n , p
 1 1 1 2 2 2 h N3, N4 n3,n4


r
 r


r  
r
r
r
D
q
a
a
b

b

r r


p ,q N3,n3, N4 ,n4 1 N4 ,n4 , p3 q1 N3 ,n3 , p3  q1 q1  
3 1
 t

 



r
 r DN ,n , N ,n q1
N , n ,q
2 2 3 3
3 3 1



r 
r
r r r r
aN
,n , p a N ,n , p q bh  bq  bq  
1 1 1 3 3 2 1
1
1 t



r
 r DN ,n , N ,n q1
N ,n ,q
4 4 1 1 1 4 4

 


r 
r r
r r r
aN
,n , p q a N ,n , p bh  bq  bq  
4 4 1 1 2 2 2
1
1 t



r
 r DN ,n , N ,n  q1
N ,n ,q
4 4 1 1 1 4 4

 

 


r r
r 
r
r
aN
, n , p  q a N , n , p a N ,n , p a N , n , p
4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 t

(2.18)
Thay (2.15), (2.16), (2.18) vào (2.11) ta có:
F
r
r r t 
N ,n , p , N ,n , p ,h

eh r
r
r
r r 
1 1 1 2 2 2

ih
  N ,n p2   N ,n p1 
p2  p1 A  t    F
r
r r t  
*
t
1 1
m c
 2 2
 N1,n1, p1, N2n2 , p2 ,h

 

 





 



r a
r r b r br  br  
a
N ,n , p N ,n , p q h  q
q
1 1 1 3 3 2 1  1

1 t

 



r r a
r b r br  br  
a
N ,n , p  q N ,n , p h  q
q
4 4 1 1 2 2 2  1
1 t



r
 r DN ,n , N ,n q1
N ,n ,q
2 2 3 3
3 3 1



r
 r DN ,n , N ,n q1
N , n ,q
4 4 1 1 1 4 4



r
 r DN ,n , N ,n  q1
N , n ,q
4 4 1 1 1 4 4

 


r r
r 
r
r
aN
,n , p q a N ,n , p a N ,n , p a N ,n , p
4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 t

(2.19)
Ta thấy số hạng thứ tƣ trong (2.19) : f r2 , mà khí điện tử trong bán dẫn khối có
ky

f r = 1 nên ta bỏ qua số hạng thứ tƣ.
ky
r
r r  t     0
N ,n , p , N n , p ,h
1 1 1 2 2 2

Điều kiện đoản nhiệt: F
Chú ý toán tử:

r br
N r  t   b
q
q q t


F
r
r r t 
N ,n , p , N ,n , p ,h
1 1 1 2 2 2


t
i
eh r

r
r
r r 
   N ,n p2   N ,n p1 
p2  p1 A  t    F
r
r r t  
*
N
,
n
,

p
,
N
n
,
p
,h
h  2 2
1
1
m c


1 1 1 2 2 2

 

 





 



r a
r r b r b r  br  
a

N ,n , p N ,n , p q h  q
q
1 1 1 3 3 2 1  1
1 t

 



r r a
r b r  b r  br  
a
N ,n , p q N ,n , p h q
q
4 4 1 1 2 2 2  1
1 t



r
 r DN ,n , N ,n q1
N ,n ,q
2 2 3 3
3 3 1



r
 r DN ,n , N ,n q1
N ,n ,q

4 4 1 1 1 4 4

(2.20)
Để giải phƣơng trình (2.20) trƣớc hết ta giải phƣơng trình vi phân thuần nhất:
0
F  
r
r r t 
N ,n , p , N ,n , p ,h
1 1 1 2 2 2


t
i
eh r
r
r
r r 
 0
  N ,n p2   N ,n p1 
p2  p1 A  t    F
r
r r t 
*
N
,
n
,
p
,

N
,
n
,
p
,h
h 2 2
1 1
m c

1 1 1 2 2 2

 

 





(2.21)
Dùng phƣơng pháp phân li biến số:

F  0
r
r r t 
N ,n , p , N ,n , p ,h
i
eh r
r

r
r r 
1 1 1 2 2 2


p


p

p

p
 N ,n
N ,n 1
2
2
1 A  t   t
F  0
1 1
m*c

r
r r t  h  2 2
N ,n , p , N ,n , p ,h
1 1 1 2 2 2

 

 





(2.22)
Lấy tích phân hai vế của phƣơng trình (20) ta đƣợc:
F

 0  t   exp  i 


 t
ie t r
r
r
r r

  N ,n p1   N ,n p2  hqr   dt1  *  p1  p2 A  t  dt1 


2 2
m c 
1  
h  1 1


 

 





(2.23)

Từ đó suy ra nghiệm của phƣơng trình không thuần nhất (2.20) bằng phƣơng pháp biến
thiên hằng số và nó có dạng: