Đề thi chọn HS Giỏi Toán 9 năm 2010 - 2011

PHÒNG GD & ĐT KRÔNG BÚK
TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2010 - 2011
MÔN THI TOÁN 9
Thời gian: 120 phút.
Bài 1: (3 điểm).
a/ Chứng minh đẳng thức:
a
a +2 a +1- -1= 0
a
với
a > 0
.
b/ Tính giá trị của:
( )
12+ 2 14+ 2 13 - 12+2 11 11+ 13
 
 ÷
 
Bài 2: (3 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của:
y = x -1-2 x -2 + x +7-6 x - 2
Bài 3: (5 điểm). Cho biểu thức
2
x + x 2x + x
A =1 + -
x - x +1 x
a/ Rút gọn biểu thức A;
b/ Tính giá trị của x để cho A = 12;
c/ Tính giá trị của biểu thức
A- A
khi x > 1;

d/ Tính giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 4: (4 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm. Trên đoạn HB và HC lấy hai điểm M, N
sao cho các góc AMC và ANB đều vuông. Chứng minh rằng: AN = AM.
Bài 5: (4 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AD là phân giác của góc A.
Cho biết: AB = c, AC = b, AD = d.
Chứng minh rằng:
2 1 1
= +
d b c
.
Bài 6: (1 điểm). Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1
+ + + ... + <
2 2
5 13 25 2
2010 + 2011
PHÒNG GD & ĐT KRÔNG BÚK
TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2010 - 2011
Bài 4:
Áp dụng hệ thức b
2
= a.b’ vào tam giác vuông ANB có:
AN
2
= AF.AB (1)
Tương tự, tam giác vuông AMC có AM

2
= AE.AC (2)
AEB AFC(g.g)
AE AF
AF.AB AE.AC
AB AC
∆ ∆
⇒ = ⇒ =
:
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AN = AM.
Bài 5:
Kẻ DE
⊥
AC
∆
AED vuông cân nên AD = AE.
2
2 1
AD AE
⇒ =
Ta có
EC ED AC EA EA
AC AB AC AB
1 1 1 1 1
AE( ) 1
AB AC AB AC AE
2 1 1
AD AB AC
−

= ⇒ =
⇒ + = ⇒ + =
⇒ = +
Bài 6:
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
VT ...
5 13 25 2010 2011
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 2010 2011
1 1 1 1 1
...
2 1.2 2.3 3.4 2010.2011
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 2 2 3 3 4 4 2010 2011
1 2010 1
.
2 2011 2
= + + + +
+
= + + + +
+ + + +
 
< + + + +
 ÷
 
 

= − + − + − + + + −
 ÷
 
= <
N
M
H
F
E
A
B C
E
D
A C
B