giáo trình Vật Lý Chất Rắn Nguyễn Thế Khôi

n g u y ễ n thế k h ô i

— NGUYỄN HỪU MỈNH

Vát Lỉ
c h ổ t tầ n

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1992


NGUYỄN THẾ KHÔI - NGUYấN HÚU MÌNH

Biên ÍỌOT

NG(JYỈ-N Tlir-

KIIÒI

NCiUYUN HỮU MINII

Biên tệp

LH 1IÌJNG

Sùa bàn in

HOÀNG MINH

TÂM

Vệt Lí chât rắn/NGƯYẼN TIỈ!^ KHỎI

NGUYỄN Hữu MÌNH — H. GIÁO DỤC,
1992 — 336 t r ; 20,5 cm (sách ỉ)ại học Sư phạm)
S3l (075)


LCX? NÓI
TĩX>ng ctiôc céch mạ:iS khoa học cong nỊTÌiè hií)n nay ngành vật lí chất rắn đóng
mệ)t '''«'21 tm đẠc biệt q^iian trọng. Vệt ìi ch^ĩ ràtì đa ĩạo Tĩi nhừng vật liệu cho các
Iigãnh kì thuật mủi nhọn uhư đ»>-rs tư. dư hi?.n.h 'või trụ, năng lượĩ\g Dgxiyên tứ v.v...
T^Dng nhừtvg nồm gàn đày xuát
hàng ioạt cong trinh vè sièii •'^ẩn nKitt, độ cao
iảm cho vị trí ng^^nh vật H chiit rắn càng thếĩTi nói bật.

Vàt lí chất ráii là r;»òt khoa
vật. ỉv bân dẫn điện, vật ií kim
các c^iất sất đièn và sát từ V . v . . .
nbiYhg
dụng hết sức phong

học; h^'t sức ix«ng iớn bao nhíèu
bệ ir>òn như :
ìoại và ĩíỢp kim. vât lí cácchất điên ĩr.ới, vật lí vè
Mổi bò môn đèu có nnũYỉp ìí
hấp đản và có
phí:

C u ố n s á c h víit lí c h ấ t r á n n à y c iìi t r i n h \>i\y n h ử h g CẲÌI t n i c v:ỉ n h ử n g t í n h c h ấ t

cơ biiĩi chung nhât của cììắt rár như cấu truc tinh thè của vât rắn, dao động ciia
nụ»ng tinh thè, tữih chất rihiệi, tinh

Sách
bay chiitmg ; nàm f hưfừ\p ơảu do PTS Ngviyển Thế Khỏi bièn soạn và hai
chưi:íĩig cuối do GS, PTS N^v4n Hifu Minh trìnii bày.

Ti^ng chương "'rinh chất tư cua vặt rốn" íchưtmg B) và chươiìg "Siêu dẩn" (chương?)
đưỢc trình bày vởi rihửng miVc đồ khác nhai! và cỏ nhửng pKân đè cao. Sình viên có
thê bõ qua mục
trf'*ngchương 6 mÀ chỉ nắm c«^c công thức xác định mô men ttí,
bỏ qtia các mục
§4, ^5 trong chương 7.
Nl^ửng sinh viên gỉoi, học vièn í»au đại học, CBGD cikt oãc tniừng cao đâng và
ĐiỉSP càn đọc nhửng ir>ục đả bo qua nói trẽn đè Kiểu sồu vè nội dung cuốn sách.
Chúng tôi coi rằng tn ftc khi đọv Síkh nàv sinh viên đả được học vật. li thống kè và
cơ học ỉượng tứ theo chưrmg trình vật H ỉí thuyết của Bộ Giáo Dục và đào tạo cho
các trường DHSP. Nhửnc pỉìàn I>àng cao trong chưttng 6 và chương 7 có lièn quan
đến
học lượng tử nằmngoài chưftng trình vật ỉí JỈÍ thuyết ctia Bò đả được trinh
b ày tro n g sách nàv m ộ t cách ng ắn

và f ù v a u .

Cuốn sách
chu vếu cho sinh viên khoa vàt lí các trương ĐHSP nhưhg cũng
có thè làm tài liệu tham khao chíĩ sinh viế>n các tníờng Đại học khác như ĐHTH,
ĐHBK có học vằt lí chất rán. Vì kinh nghiệm còn ít, đí^u ki^n làm việc và thời gian
còr\ hạn chế nèn chắc chán sách này còn nhỉêu thiếu sót. Chúng tôi mong bạn đọc
góp ý phê bình đè cuốn sách ngàv một hoàn thiện hưTi.

3

Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn GS, tiến sl NgU3ến Châu chu nhiệm
khoa Vàt li 0'niờng ĐHTH Hà Nôi đ ả góp n h iè u ý k iế n c h o c u ố n s á c h này và SIỒI
chỡ& những điểm chifã chính xác ờ các chương I đến V trong sách; cám ơft GS. pTS
Nguyền Xuân Chánh ’/iện trường Viên Vật lí kỉ thuât đã góp nhỉêu ý kiến cho sách
và cảm ơn đòng chí Lê Hùng đà bièn tâp rất chu đáo và góp nhiêu ý kiến làm cho
cuốn sách điíỢc tốt hơn.
TẬP THỂ TÁC GIẢ


CHƯƠNŨ 1

CẤU TRÚC TÍNH THỂ CỦA VẬ
% Ĩ RẮN

§1. CÁC LOẠI LIKN KỄT TRONG VẬI KẮN
ở các vật rắri kết tinh, các nguyên tử hoặc phàn từ xếp đặt một
cách có trậ t tự, tuân hoàn trong không eian Các vật rắn có tính
chất khác nhau, chinh là vì trong mỗi loai, sự phân bố của êlectrôn
và hạt nhân của các nguyên tử có những đặc điểm riêng. Do đổ để
khảo sát tinh thể vật rắn, ta phải nghiên CIÍU một hè
số rất lớn
nguyèn tử và êlectròn. Chảng hạn, vơi tinh thể chi
một loại
nguyên tử, thì với N nguyên tử, ta phải xét một hê N hạt nhân và
NZ êlectrôn, trong đó z là số thứ tự của nguyên tó trong bảng tuần
hoàn Mendêlêép. Việc xét hệ bao ^)m N bạt nhân và NZ êlectrôn ỉà
rất phức tạp và không cần thiết, vì ràng các êỉectrôn ỉấp đầy ỏ những
lớp sâu (chảng hạn các lớp K,
chúng liên kết chặt chẽ với các

hạt nhân của nguyên tử và tạo thành ỉõi nguyên tử. Trong tinh thể,
sự phân bố của những ềle<;tròn này không khác mấy so vỏị ở các
nguyên tử tự do. Chỉ những êỉectrỗn hóa tri là những êlectrồn ỏ lớp
ngoài, mới bị phân bố khác nhỉèu so với ỏ các nguyèn tử cô lập.
Những êlectrôn này thường là êlectrôn s,p và d. Như vậy, ta có thể
coi như mạng tinh thể được tạo thành từ các lõi nguyên tử mang
điện dương, nằm ô các nút mạng
các êlectrôn hóa trị, mằ sự phân
bố của chúng phụ thuộc vào ỉiên kết tĩX)ng tinh thể. Bài toán bây
giờ đưỢc rút vê xét riìột hê
N Ịỏi ngiiyên tử và n.N électrôn
hoá trị, trong đó n là hóa trị của nga vè n tố tạo thành tinh thể.


Trong mục này, ta sê tim hiểu nguyên nhân giữ cho các lỗi ngituyèn
tử và các êlectrôn hóa trị năm cân bằng tixmg tinh thể, đó là các
liên kết trong tinh thể. Tính chất của một vật rắn phụ thuộc rấí
nhĩêu vào bản chất của liên kết
Có thể nói ngay răng liên kết trong tinh thể hầu jmhư hoàn toàn
được bảo đảm bởi lực tương tác tĩnh điện giữa các êlectrôn mang
điện âm và các hạt nhân nguyèn tử mang điện dương. Trong tửng
trường hợp, lực này được thể hiện dưới các dạng khác nhau, chẳiìg
hạn lực tươrig tác trao đổi, lực Vỉựì đe Vanxơ, liên kết đông hóa trị,
liên kết ion, liên kết kim ỉoại V .V .. Căn cứ vào các dạng iiên kết,
người ta ohân loại vật rắn thành các loại : tinh thể ion, tinh fhổ
đông hóa trị, tinh thể kim loại, tinh thể phân tử, tinh thể C5Ó liên
kết hiđrô.

ỉ. Tinh thể ion
a)

Tinh thể ion được tạo thành bởí các ion dưdng và âm năm xen
kẽ với nhau. Bản chất của lièn kết ion là lực tưcíng tác tĩnh điện
giữa các ion mang điện trái dấu.
Tinh thể muối của các kim loại kiêm hũặc kíèm thổ vói halogien
là tinh thể ion, chẳng hạn tinh thổ muối ăn íNaCl) ỉiti ĩlorua (LiF),
cêsi clorua (CsCl)... chúng được tạo thành từ các ion dương kim loại

(Na'*’, Li^, Cs"^,..) và các ion âm halogien (C1

F~). Những ion này

hình thành từ các nguyên tử trung hòa khi một êlectròn chuyển từ
nguyèn tử kim loại sang nguyên tử halogien. Thí dụ cấu tạo các lớp
êlectrồn của nguyên tử liti là Is^ 2s của flo là ls^2s^2p^ còn cấu tạo
của các ion tương ứng trong tinh thể là : Li*^: Is^, F~: Is^ 2s^ 2p^.
Có thể nhận xét thấy râng các ion này có lớp vồ êlectrôB ngoài cùng
đặc trưng cho các nguyên tử khí trơ, vì chúng chứa đầy òlectrôn

(He : Is^; Ar : Is^ 2s^ 2p^). Giốĩig như ồ các nguyên tử khí trơ, sự
phân bố điện tích trong các ion có tính đối xứng cầu.
Tuy vậy trong tinh thể sự đối xứng này có bị biến dạng đôi chút
ô chỗ các nguyên tử lân cận Icê sát vào nhau.
Dùng hình ảnh vè các lỏi nguyên tử và êlectrôn hóa trị* ta nỏi
ỉầng xác suất tìm thấy êlectrôn hóa trị ià cực dại ở xung quanh íon


âm (thi đụ ion F “ ) và
như
tà n g không ỏ xung quanh ion
dương (h.1.1)

Để cho các nguyên t ử nằm
cân tò n g tronơ tinh thểj bên
cạnh lực liần kết (có tác dụng
hút các nguyèn tử), phải có lực
đẩy giữa chúng. Có nhỉêu nguyêo
nhàn gày nèn iực đẩy giữa các
nguyên tử.
b)

F" Li^ F- Li^ F
Hình ĨA

Các ion trong tinh thể oó cấu tạo lớp vỏ êlectrôn giống như ở các
nguyên tử khí trơ, vì vậy lực đẩy giữa chúng giống như lực đẩy giữa
các nguyên tử khí trơ. Với các nguyên tử này, có thể coi rầng sự
phân bố điện tích của êlectròn bèn trong nguyên tử bị giới hạn trong
niột quả càu cứng. Do sự giới hạn vê không gian, theo nguyên lí bất
định Haizenbec (Heisenberg) động năng của èlectrôn táng lên
Sự
tống năng lượng khi quả càu bị nén ứng với lực dẩy và oố tác dụng
chống lại sự nén. Chính sự giới hạn điện tích êlectrôn trong quả <àui
cứng là một thành phần của lực đẩy giữa các nguyên tử trong tinh
thể.
ỉ^ n g góp qiian trọng hơn vào lực đẩy là do sự phủ nhau của các
đám mây êleciròn của hai nguyên tử đặt
nhau. Khoảng cách
giữa các nguyên tử càng giảm, các dám mây èlectrôn càng phủ nhau
nhiêu và năng lượng tĩnh điện của hệ biến đổi đi. ớ những khoảng
cách đủ nhỏ, năng lượng tương tác do sự phủ của các đám mây
êlectrôn gây nên là năng lượng đẩv.

1) Gia sừ èlcclrôn bi đinh xứ irong khu vực có kích thước Ax (trưừng hợp môt chỉeu). Theo
nguyên lí bất đinh Haizenbec, sư không xhc đinh

xung ỉưong ĩà A(mv) ^

, với%fe

Ax

h;mg sõ Plầng (Píanck). Như vằy động nấng ciia êlecirôn có giá Irị ít nhăt bằng------------ .

2m(ốxÝ
Ciiẳng hạn, nếu Ax ** 10
cm (cỡ kích Ihước nguyèn từ) thì đông nầng K
thước Ax càng bé thì K cang ióm.

3 cV. Kích


Đối với các nguyên tử có lớp vỏ ếlectrôn đây, thì nâng lượng tưđng
tác luôn là năng lượng đẩy với mọi khoảng cách (trong khoảng từ
0,5Ầ đến 5Ầ) mà chủ yếu là do tác dụng của nguyên lí Paoli (Pauly).
Nói một cách đơn giản, theo nguyên lí này, hai êlectrôn không thể
cùng có tất cả các số ỉượng tử giống nhau. Như vậy hai êlectrôn
không thể ỏ cùng một trạng thái lượng tử. Khi các đám mây êlectrôn
của hai nguyên tử A và B phủ nhau, thì èlectrôn của nguyên tử B
có xu hướng chiếm một pHần các trạng thái trong nguyên tử A đả
bị các êléctrôn của nguyèn tử này chiếm, và ngược lại. Vì rằng nguyên
lí Paoli không cho phép nhĩều êlectrôn chiếm cùng một trạng thái,
nên hai đám mây êlectrôn chỉ có thể phủ nhau nếu các êlectrôn

chuyển một phần lên các trạng thái lượng tử còn trống, có năng
lượng C8K5 hđn. Kết quả là sự phủ nhau của các đám mây êlectrôn
làm tăng năng Iượng toàn pKân của hệ, hay nổi khác đi, nó làm xuất
hiện lực dẩy.
Dựa vào các kết quả thực nghiệm, người ta thấy có thể mô tả
thế n&ng đấy giữa các nguyên tử khí trơ bằng biểu thức :

u =R i2

11

( - )

trong đó B là một hằng số dương, còn R là khoảng cách giữa các
hạt nhân nguyên tử.
Trong hhỉèu trường hỢp, có thể sử dụng biểu thức thực nghiêm
khác cho ỉực đẩy dưới dạng hàm mũ :
R
ư = A .e ^
trong dó A là một ỈÀng số dưdng, còn p làmột đại
cho kích thước của khu vực có tương tác.

(1 -2 )
iượng đặc trứng

c) Các tinh thể ion dẫn điện kém ở nhiệt độthấp
dẫn
điện
tốt ỏ nhiệt độ cao. Các hạt tải điện trong trường hỢp đó là các ion.
Tinh thể ion hấp thụ mạnh các bức xạ trong dồi Kông ngoại

8


2. Tinh thể cộng hỏa trị
a)
Liên kết cộng hóa trị được tạo thành bởi các cặp êlectrôn có
spẾn đối song. Đó là loại liên kết mạnh mặc dù là liên kết giữa các
ng\iyên tử trung hòa.
Tinh thể kim cương {^m các nguyên
tủ
cacbon), và các tinh thể Ge, Si có
cấu trúc giống kim cương là thí dụ vê
tÌHih thể cộng hóa trị. Troĩìg các tinh
th ể này, mỗi nguyêĩi tử nằm ở tâm một ^
tứ diên đưỢc tạo thàilh từ bốn nguyên
tử
nó nhất (h.1.2). Giữa hai iõi
Hình ỉ. 2
ngtuyên tử cạnh nhau, có một mối liên
kết: (*ộiìg hóa trị do hai êlectrôn từ hai nguyên tử tạo thành. Hai
êlactrôn này có spin đối song, Chúng định xứ chủ yếu trong khoảng
khíông gian giữa hai lõi nguyên tử. Vì vậy, Hên kết cộng hóa trị có
tínih phương hướng rõ, khác với liên kết ion trong đó êiectrôn hóa
trị chủ yếu định xứ quanh các ion.
Theo
êlemớíi tạo
có thể

nguyên lí Paoii như đả nói ở trên, các nguyên tử có lớp vỏ
đây thì đẩy nhau. Nguyên tử c, Ge, Si còn thiếu 4 êlectrôn
thành lớp vỏ đây, nên nguyên tử của các nguyên tố này lại
hút nhau do sự phủ của các lớpvỏêlectrôn.

Thí dụ đơn giản nhất vê liên kết cộng hóatrị là liên kết giữa hai
nguiyèn tử hidrô trong phân tử H 2 . Tùy theo sự định hướng spịn của
hai, êlectrôn trong hai nguyên tử, mà lực liên kết giữa hai nguyên
tử này có độ lớn khác nhau.
Nếu hai êlectrôn có spin đối song, hai nguyên tử liên kết rất
mạmh, tạo thành phân tử hiđrô tìên vững. Nếu hai êlectrôn có spin
somg song, theo nguyên lí Paoli, khi có sự phủ nhau của các đám
mâ\y êlectrôn, giữa hai nguyên tử xuất hiên lực đẩy.
Phần nâng lượng tương tác tĩnh điện giữa các êlectrôn có giá trị
phiụ thuộc vào sự định hướng tương đối của spin như vừa xét gọi là
nõmg lượng trao đổi. Lực tương tác ứng với nó là lực tương tác troo
đ ổ i..


b) Các tinh thể cộng hóa trị có độ cứng cao và dấn điện kém ở
nhiêt độ thấp.
c) Nếu CX3Ì tinh thể cộng hóa trị và tinh thể ion là các trườiìg
hợp giới hạn, thì giữa chủng còn có hàng loạt tinh thể trong đó liên
kết có tính chất trung gian.
Bảng sau đây eho ta một số trường hỢp điển hình. Từ đó, ti\ thấy
NaCl có thể coi là tinh thế ion (mức đô ion 0,94), SiC và GaAs có
tính cộng hóa trị rõ (mức độ ion 0,18 và 0,32)
Các nguyên tử có vo êlectròn
giống với vò đấy (như Na, Cl)
có xu hướng tạo thành liên kết ion. Các nguyên tử nhóm III, IV và

V của bảng tuần hoàn có xu hướng tạo thành liên kết cộng hóa trị
(như In, c, Ge, Si, As)
Tỉnh thể
Si
SiC
Ge
ZnO
ZnS
ZnSe
ZnTe
CdO
CdS
CdSc
CdTe
InP
InAs
InSb

Múc độ ion
0,00
0,18
0,00
0,62
0,fỉ2
0.63
0,61
0,79
0,69
0 J0
0,67

0,44
0,35
0,:vz

Tinh Ihé

Mik' độ I«M1

GaAs
GaSb

0,:ì 2
0,26

CuCl
CuBr
AgCl
AgBr
Agl
MgO

0,75
0,74
0,86
0,85
(K77
0,84
0 J9
0,79
0,92

0,94
0,96

MgSe
LiF
NaCl
RbF

Sự phân bố không gian của êlectrôn hóa trị phụ thuộc mức độ
ion của liên kết. Chảng hạn, ở tinh thể InSb, niật độ êlectrôn ỏ
nguyên tử Sb lớn hơn ỏ
nguyên tử In. Còn ở tinh thể ZnS,
êlectrôn hóa trị chủ yếu tập trung quanh nguyên tử s.

3. Tỉnh thể kim Inại
a)
Trong tinh thể kim loạd, êlectrôn hóa trị không định xứ ở các
nguyên tử mà phân bổ trong tinh thể và ]à chung cho cả tinh th ể
10


(èlectròn bị “tập thể hóa"). Những êỉcctrôn này có thể chuyển động
tự do trong tinh thể nên được gọi là èlectròn tự do. Mật độ êlectrôn
tự do tương đốỉ Ìớiì, cùng bậc với mật độ nguyên tử (cỡ 10^
vì trung binh mỗi nguyên tử đóng góp một vài êlectrôn tự do cho
tinh thể. Chứiig tạo thành đáni mày (hay khí) êlectrôn trong tính
thể Cỉií ah 3ự íiSơniỉ, tác gi đa đám mâ v èlecti^ôn mang ãìộĩì âm vổi
các íon dương đưcic sắp xếp đèu đặn tạo nên lực iiên kết các nguyèn
tử thành tinh thể.
Lực này thắng lực đẩy tĩnh điện giửa các ion đương, nên tinh thể

là ìiẽịn vững.
b) Các tinh thể kim lí>ại dần điện tốt, dẫn nhiệt tót và có độ dèo
cao.
4. T inh thể khí trơ và tinh thể phân tử
a> Tinh thể khí trơ được C!ấu tạo từ các nguyên r.ử khí trơ. Những
nguyên tử này có lổp êỉectrôn ngoài cùng hoàn toàn đày. ơ nguvên
tử tự do, phàn bố èlectrôn có dạng đối xứng dầu. Trong tinh thể, sự
phân l»ố êlectrôn không eỏ thav đổỉ iớn. Lực ỉiên kết trong tính thể
Wìí trơ là lực Van, đe Vanxư, Đó là ioại lực tương tác giữa các nguyẻn
tử trung hòa vh có tác đumg ơ kh^yầng cách ìồn. Bản chất của lực
Van đe Vanxơ chỉ có thể hiểu được một cách chính xác trên cơ sở
cơ học lượng tử. Tuy nhiên, có thể giải thích một cách sơ lược sự
xuất hièn của nó. Nếu vị trí trung bình của hạt nhân nguyên tử ỉuôn
trím g với tâm của đám mây èỉectrôn hìrh câu bao quanh hạt nhân,
thì không thể có tương tác giữa CÁC nguyôn từ trung hòa. Đó là vì
ở bên ngoài nguyên tử, điện thế tĩnh điẹn gây bỏị đám mây êlectròn
hoàn tc?àn bù trừ điện thế gây bởi hạt nhàn. Như vậỵ, không cố sự
iiên kết giữa các nguyòn tử khí tvơ và không có được trạng thái rốn
của khí trơ. l\iy nbièn, troĩìg thực tế có tồn tại các tinh thể khí trơ.
Sở dĩ như vậy là vi các êỉectrồn ỉuôn chuyển động tương đối đối vổi
hạt nhân, ngay cả khỉ chứng ở trạng thái năng lượng thấp nhất. Kết
quả là vị tri tức thời của tâm đám niây êiectrôn có thể không trùĩig
với hạt nhân nguyên tử. Khi dó mòãien ìưỡng cực của nguyên tử trở
nên khác không. Mòĩiien iưỡng cực tức thòi này gây ra điện trường
ờ tâm ngxiyên. tử
nỏ, làn) cho nguyên tử này bị phân cực, tức
là trố nên oó nỉòmen ỉưỡng cực. Kết quả là xuất hièn lực tương tác
11

giữa các mômen lưỡng cực cua các nguyèn tử. Lực này là lực hút
và có giá trị nhò. Nó đóng vai trò lực liên kết các nguyên tử tĩx>ng
tinh thể khí trơ.
Lực Van de Vanxơ củng là lực Hèn kết chủ yếu trong các tinh
thể phân tử, tức là các tinh thể mà ở các nút mạng có các phân tử
trung hòa. Hiđrô, Clc, C0-; và nhỉêu hỢp chất hữu cơ, khi hóa I^ắn
tạo thành tinh thể phân tử.
b)
Tinh thể khí trơ và tinh thể phàn tử có nhiệt độ nóng chảy
thấp và dế bị nén.

5. Tinh thể c6 liên kết hiđrỏ
Nguyên tử hiđrò trung hòa có một êlectròn. TĩX)ng một số trường
hỢp, nguyên tử hiđrô có thể liên kết tòng một lực hút đáng kể với hai
nguyên tử khác, tạo thành lièn kết hiđrô giữa chúng. Có thể hình dung
sự hình thành phân tử nhờ liên kết hiđrô như sau : êlectrôn của nguyèn
tử hiđrô liên kết với một nguyên tử, còn lại proton thì liên kết với
nguyên tử thứ hai. Kết quả là nguyên tử hiđrô liên kết với hai nguyên
tử, mặc dù êlectrôn của nó chỉ có thể tham gia vào một liên kết cộng
hóa trị.
Liên kết hiđrô là dạng tương tác quan trọng nhất giữa các phân
tử H 2O. Cùng với lực hút tĩnh điện giữa các mômen lưỡng cực, nó
gây nên những tính chất kì lạ, đặc biệt của nước và nước đá. Liên kết
hiđrô đóng vai trò quan trọng tĩDng các hợp chất có chứa hiđrô cùng
với các nguyên tố á kim như F,0,N,C,C1 và s. Nó gày nên sự kết hợp
các phân tử, sự pôlinie hóa, nó tồn tại và đóng vai trò quan trọng
trong các tinh thể hữu cxí, các chất anbumin và các cơ thể sống.

552. MẠNG TINH THỂ

1. Mạng không gian
Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách
đêu đặn, tùần hoàn tĩT>ng không gian tạo thành mạng tinh thể. Ta
12


bắt đần bàng việc khảo sát tinh thể lí tưỏng, là tinh thể trang đó
sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn tm n tiìân hoàn. Tinh thể
lí tưởng phải hoàn toàn đòng nhất, nghĩa là ở mọi nơi, nó đêu chứa
những loại nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau. Tinh thể
ií tưông phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới
hạn ỉàm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàrx của
các nguyèn từ, phân tử. Sau này, ta sẽ nghiên cứu đến các tinh thể
thực có một số tính chất khác với tinh thể lí tưởng.
Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian
theo một quy kiật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là
các ô sơ cấp. ở các tinh thể dơn giản như tinh thể đông, bạc, tinh
thể kim loại kiêm, mối ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử, ở các tinh
thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiêu nguyên tử, phân tử.
Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gôm các ô sơ cấp lặp
lại tuần hoàn trong không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là
một nhóm các nguyên tử. Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc.
Tinh thể lí tương có thể coi như

các nguyên tử phân bố

trong m ạ n g khòng gian.

Mạng không J?ian được xây dựng từ ba vectơ ai, a2,
gọi là ba

vectơ tịnh tiến cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể
từ một điểm tùy ý có bán kinh vẻcíơ r. ta t h ^ nó giống hệt như
khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ r ’ :
r* = r 4- ni ãTi + n 2
tĩX)ng đó ĩìị, ĨÌ2,

ÌI3

(1 - 3)

là các số nguyên tùy ý,

Tập hợp các điểm có bán kính vectơ ? (sau này gọi là điểm r^)
xác định theo (1-3) với các giá trị khác nhau của n u H2, 113 lập thành
mạng không gian. Các điểm đó gọi là nủt của niạng không gian.
Ba vectơ cơ sở a 1, a2, a:^ (có khi kí hiệu ìầ % h ,c ) cũng đông thời
xác định các trục của hệ tọa độ trong tinh thể. Nói chung, đó là hệ
tọa độ không vuông góc.
Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp.
n


Sự lựa chọn ba vectơ cơ sỏ,
và đo đó lựa chọn ô sơ câp
khống phải là duy nhất. Hình
1.3 cho ta thấy một vài thí cỉụ
vê cách chọn các vectđ cơ ỔỞ
và ô sơ cấp tm ng mạng hai
chỉêu.
Ngoài ra, trong nhỉêu tníờng

hỢp, còn có thể xây dựng ô sơ
cấp sao cho nó có dạng đối xứng
trung tâm. Ô như vậy gọi là ô
Uình ỈJ
Vicnơ-Daixơ (W ignet-Seitz).
Các ô này dược giới hạn bởi các mật phẲng trung trực của các đoạn
thẩng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lấn cận. Dể dàng thấy
rằng theo các cách xảy dựng khác nhau, ô sơ cấp có thể tích khồng
đổi trên hình 14 là ô Vicnơ-Daixơ trong mạng hai chỉèu.

/ỉình ì 4

1. Các chỉ số Milơ (Miller)
Trong mạng khòng gian, dường thẳng đi qua vô số các nút mạng
được gọi là đường th ẳn g m ạng. Có. thể chứng minh được răng nếu
một đường thẳng đi qua hai nút mạng, thì nó là đường thảng mạng.
14


Mặt phảng có chứa vô số nút mạng gọi là mặt phằng mạng, Mặt
ịphẲng chứa ba nút mạng là mặt phàng mạng.
Đê xác định đường thảng mạngvà mặt phẳng mạng, ta sử dụng
Ihệ tọa độ xyz có các trục dựa t.rènba vectơ cơ sỏ ai, a2, a8- Gốc o
của hệ
độ dặt ở một nứt mạng
Một mặt phàng mạng cắt cá.c
tại các nút có tọa độ (ĩì\ ai,
o , 0), (0,

11232, 0), (0, 0, ĩimH)

((h 1.5) để
kí hiệu mặt phảng này,
ta dùng các chỉ số Milơ được xác
định như sau :
- Viết tọa độ của các giao
điểm của mặt phảng mạng với
cáv. tĩiỊc tọa độ theiO đơn vị ai,
a2, ĩi% tức là ni, ĨÌ2, na
- Lấv nghịch đảo của chúng:

1 L

1

ễĩình /.5

ĩiỊ ÌÌ2 n.s

Tìm bộ ba số ngiiyẻn h,k,l có trị số nhỏ nhất sao cho
Jl . 1. . 1

h : k :1

ĩìị

r\2

n;H

Bộ ba số h k 1 được đặt trong dấu ngoậc (h k 1 ) và được gọi là
chỉ số Milơ của mặt phẳng mạng. Trẻn hình 1.5, ta có ni = 3,
Ĩ12 = 4, m == 2, do đó :
1 1 1
3

4

6

4
2

12

12

= 4 : 3 : 6 .

12

Vậy chỉ số Milơ của mặt phảng đó là { 4 3 6).
Các niặt phảng mạng song song nhau có cùng chỉ số Mỉlơ. Vì vậy
chỉ số Milơ (h k i) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ các
mặt phảng song song với nhau.
15


Nếu mặt phẳng mạng song song vói một trục tọa độ, thì coi như
nó

trục đó ở vô cực, và chỉ số Milơ tương ứng với trục đó tòng 0.
Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ò điểm có tọa độ âm, thì
chỉ số Milơ tương ứng có dấu âm, và được kí hiệu ỈẰng dấu
bên
trên chỉ số đó (thí dụ (h k D).
Hình
1.6
trình bày các chỉ
số Milơ của một
số mặt phẳng
quan trọng nhất
trong mạng lập
phương.
Các mặt bên
của ô lập phưdng
có chỉ số (100);

uinhio

(010);

(001);

( 100 );

( 010);

(OOĨ). Mặt chéo
chính có chỉ số
(111). Mặt chéo

song song với
trục z có chỉ số
(110),

Tập hợp các mặt phẳng mạng tương dương với nhau vè tính chất
đối xứng được kí hiệu tàng bộ chỉ số đặt trong dấu móc í h k 1
Chẳng hạn, các m ặt bên của hình lập phương có kí hiệu là f l 0 0
các mặt chéo chính là | l 1 1 ...
Trong mạng lục giác, ô mạng có dạng hình trụ dứng, đáy là hình
lục giác đêu. Riêng với mạng lục giác, để cho thuận tiện, người ta
dừng 4 trục tọa độ x,y,u,z, trong đó trục z vuông góc với mặt phẳng
đáy, còn .các trục x,y,u nằm trong mặt phẳng đáy và lập với nhau
góc 120”. Gốc cùa các trục tọa độ đặt ở tâm o của đáy lục giác. Chỉ
số Milơ của mặt phẩtig mạng được xác định theo phướng pháp chung
16


v^à được kí hiệu
k i 1) Có thế c! ứng minh ràng các chỉ số h,k và
i không độc lập nhau, mà liên hệ với nhau tòng biểu thức
(h + k)

{1 - 4)

Chinh vì vậy, khòng nhất
thiết phải dùng tìiỊC u và chí
sô i. Tuy nhièn, việc đưa thèm
chúng vào cho phép kí hiệu
nìột cảch tiện ỉợi các mặt
phẰng tương đương nhau vê

tính chất đối xứng. Chẳng
hạn, nếu dùng ba chỉ số (h
k 1) thì các mặt bên của hình
trụ lục giác có cíic chỉ sô
(100). ũ 10) (h.l.7ì, tức là
Hình Ì.7
CỐ (ìhứa số các chữ số ỉ và 0 khác nhau, nèn không thể đưỢc kí hiệu
chung dưới dạng Ịh k lj. Nhưng nếu sử dụngj.hêm trục u thì củng
CÁÌ mặt phẳng đó có cẦc chỉ số (1 0 10) và (1 1 0 0)» do đó chúng
được kí hiộu chung là CÁC mặt phÀng l l 0 Ị o |.
Phương song song với một vectơ nào đó được xác định bhng bộ
ba số nguyên nhỏ nhất tỉ !è với ba thành phân của vectơ đó trên các
trục' tọa độ, tính theo đơn vị ỉầ), a-;, a;^. Các số này được đặt trong
ngoặc vuỏng : [h k 1] Thí dụ một
có tọa độ trên các tnic là
1
2 ; 1 : 6. Do đó
- a i , - a,>, 3a;^, thì h : k : 1 = -1
3
2
2
phương song song với vectd này oó
chỉ số: [2 1 6 ].
Hình 1.8 cho ta chỉ số của một
số phương trong mạng lập phưííng
Rièng với mạng ỉập phương, phương
[h k 1] vaiòng g(')c vớỉ niăt phẢng
có cùng chi ổố (h k 1). Tuy nhiênvới các mạng khác thì nói chưn^
không phỉú như vậy

17


Họ các phương tương đương nhau vê tính chất đối xứKg được kí
hiệu tò n g chỉ số đặt tĩ X ) n g dấu ngoặc nhọn : < h k 1 > Chảng hạn,
các phương song song với các cạnh của hình lập phương có chỉ số

<

100

>

3, Các tính chất đối xứng cùa mạng không gian
Đặc điểm cơ bản của mạng khòng gian là tính chất đối xứng c:ủa
nó. Đỉêu này thế hiện ở chỗ mạiií bất biến đối với một số phép bÌPiì
đổi, hay nói cíìch khác, mạng lại t iàing với chính nó khi ta thực* hiện
một số phép biến đổi.
Mạng không gian có tính đối xihig (inh tiến. Thật vậy, ta hãy
thực hiộn một phép dịch chuyển toàn bộ mạng khòng giin di iDỘt
vectơ R, gợi là vectơ tink tiến:
R = ìĩị aị + 112

+ 11;^ a'^

(1 * 5 )

Sau phép dịch chuyển này, một nút niạiìg nào đó đếr. chiếm vị
trí của một nút mạng khác. Toàn bộ mạng khòng có gì thay đổi.
ĩliii nút mạng bất ki đưực nối với nhau bhng vr^ctờ tịnh tirn (1-5),

trong đó chú ý rang m ,
ns là nhửng số ngiỉyèn. Nếu ta lấy điôiìi
gốc ỏ niôt nút mạng, thì R là vectơ vj trí của các nút mạng, gợi là
vectơ mọng,
Mạng không gian có tính đối xthig với pháp quợ}' quanh một số
trục xác định. Để minh họa đỉôu này, ta hây xét mạng vuôiìg hai
chỉèu (h. 1.10). Có :hể coi nó
như hình chiếu của Trạng không

o

í

i[

ỉĩình ì.9
1«

o

gian ti^ên mặt phc^ng, nghĩa là
phía trên và phía dư^i của mặt
phắng hình vẽ, ta có naững niạiìg
viiòng giống hệt như vặy. Khi la
quav mạng một góc — (hay ~
2
4
vòng tròn) quanh trục vuông góc
với mặt phảng, đi qi:a một n it
mạng (hoặc một tvoĩìg các đi^ìi

có đánh dấu X trên hình 1.9), thì mạng lại trùng với chính nổ. Trục
quay như vậy gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng
với phép quay quanh trục bậc 4.
Mạng không gian chi' có thể có trạc quay bậc n = 2, 3, 4 và 6.
ouay mạng một góc

^T

mạng lại trùng với chính nó. Không
n
tòn tại các mạng có trục quay bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn.
Mạng không gian có tính đối Xỉùig nghịch đảo.
Phép nghịch đao ìà phép biến đối, tix)ng đó vectơ vị trí đổi dấu :
r biến thành - r. Như vậy, mạng không gian có tấni đối xihig, Tất
nhiên, mạng vuông t.mi hình 1.9 hất biến vói phép nghịch đảo và
rjó tâm dối xứng.
Mạng không gian có thể đối xứng với phép phản xạ qua một số
mặt phẳng. Phép nghịch đảo chính ìà ịịộm một phép quay gỏc Jĩ và
phàn xạ qua mặt phảng \oìòng góc với tiạic quay và đi qua tâm đối
xứng (h. 1.10). ơ ảky o là tãni đối xứng, m là mặt phảng phản xạ,
c là trục quay góc 7f.
Các phép biến đổi đối xứne^
vừa nói ỏ trên, gồm các phép

quay, phản xạ và nghịch đao có
thể' cùng tòn tại ở một m ạng

khỏng gian. Tuy nhiên thực tế,

mối niiạng không gian chỉ đốỉ
xứng với một số trong các phép
biến đổi đó.

4. Các hệ tinh thể
Càn cứ vào các tính chất đối
xứng cùa các loại mạng khòng
gian, ngưòi ta chia chúng ra

ỉỉình ì. 10

thành 7 hệ, ứiìg với 7 loại ò sơ cấp khác nhaUj đó là các hệ : tam
tà, đơn tà, thoi, tứ giác, tam giác,lục giác và lậpjphươĩig. Mỗi hệ
được đặc tn ín g bởi quan hệ giữacácvectơ
cơ sở ai, a2,a3 và các
19


góc ư, y3, y giữa các vectơ đó, như được
vẽ trên hình 1.11.
a) H ê ta m tà : các vectơ Qữ sở ai, H2,
a:^ có độ dài khác nhau, các góc a, ịi, ỵ,
khác nhau. Hê chỉ đối xứng với phép
nghịch đảo.
b) Hê đơn tà : ai
a

a 2 5^ a 3 ;

= ỵ = 9 0 ^ /ỉ # 9 0 ^.

ỉỉhìh ỉ. ì ì

Hệ CÓ một trục quay bậc 2 (song song
với a2) và mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục này.
c) Hê thoi : ai

2

a 5«^ a;^ ; a = /!? = ỵ = 90°.

Ô sơ cấp cỏ dạng hình hộp chữ nhật. Hệ có 3 trục quay bậc 2
vuông góc với nhau và 3 mặt phảng phản xạ vuông góc với các trục
quay.
d) H ê tứ g iác : ai = a2

a 3 ; a = /3 = y = 90^.

Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đứng, đáy vuông. Hai phương m
và a2 tương đương nhau. Phương của a:i phân biệt với hai phương
trên có khi gọi là phương c.
Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương c, bốn trục bậc 2 vuông
góc với trục bậc 4 và 5 mặt phảng phản xạ.
đ) Hê tam giác (hay hê lăng trụ thoi) : aj = a 2 =
; a = /ị =:
y < Ì2QP ; ^ 90°. Hê có m ột trục quay bậc 3, 3 trục bậc 2, cắt nhau
dưới góc 60^ và 3 mặt phảng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2.
e) H ệ lục g iác : ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là hlnh
thoi, có góc 60®. Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính đối xứng thuộc
hê lục giác, người ta thường ghép thêm vào hai ô sơ cấp nữa, đạt

lệch nhau 120^, để có ô dưới dạng lăng trụ đứng, đáy lục giác, có
nút mạng ở tâm hai dáy. Ô này có ai = a2 a3 (as gọi là c) ;
a =
= 90^, ỵ = 120^.
Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau góc
20


30*^, một mặt phảng phản xạ \oiông góc với trục bậc 6 và sáu m ặt
phảng chứa trục bậc 6 và niột tn.ic bậc 2.
f)
H ệ lập phư ơ ng : ai = a 2 =
a = /ẩ = y ~ 90®, Ô sơ cấp
là hình lập phương. Hè có ba trục qiiav bậc 4 qua tâm của các m ặt
đối diện, bốn trục quay bậc 3 tnìng với các đường chéo ehính của
hình lập piìương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của cĩác cạnh
đối diện, sáu mặt phảng phản xạ đi qua CÁC cạnh đối diện, ba mặt
phẳng phản xạ chứa trục hạc 4 và song song với các mặt hình hộp
và niột số yếu tố đối xứng khác nửa.
Với một mạng không gian nhất định, có thể có nhỉêu cách lựa
chợn hệ trục tọa độ, cũng tức là lựa chọn ô sơ cấp. Bao giờ ngiídi
tn củng chọn ò sơ (ắp sao cho nó có tính đối xứng cao nhất có thể
được. Ò sơ cấp như vậy khòng nhất thiết chỉ chứa nút mạng ở các
đỉnh của nó, mà có thế ỏ ljẻn trong thế tích (ò tâm khối) hoặc ỏ các
niặt [yèn (ò tâm mặt), và như vậy khỏng nhất thiết mỗi ô chỉ chứa
niột. nứt m ạng.

%

Ta hãy lấy thí dụ vê ò mạng ỉập phương tảm mặt (h. 1.12). Ta

cỏ thế C'họn ô
rấp có dạiìg lạng trụ thoi, với góc giữa các vectd
cơ sỏ là 60^. Tuy nhièn với aích chon
ta làni mất các trục quay
bậc 4 ỉà đặc tm ng cho tính đối xứng của mạng lập phương. Khi nói
vê hê lục giác, ta đá thấy là đê tho
hiện rỏ tính dối xứng của hệ, ta chọn
ô sơ cấp dưới dạng hình tni lục giác,
tòng cách ghép 3 hình trụ thai lại.
Với cách lựa chọn ỏ sơ ciíp như vậv.
tĩX)ng 7 hệ tinh thể có tất cả 14 loại
ô. Chúng tạo thành 14 mạng Brave
(Bravais). Các ô mạng được vẽ trên
hình 1.13

5. Cấu trúc tinh thể

ĩỉình ĩ. ỉ 2

Bây giờ ta chuvển từ mạng không gian là mô hình toán học trừu
tưỢng, sang cấu tiiíc tinh thể. Ta có được cấu trúc thực của tinh
thể nếu ta đặt ngiiyèii tử hoặc nhciVí Dguyên tử vào mối nút mạng
21


L ập phương

L ép p h ư ơ n g
/J m k h ô i

Tứ gỉác

L ập ph ư ơ n g
iẻ m

Tứ Ọỉác
Ỷềm khôi
1
1I
~4

yc

—

&
Thoi

Thoi
fề m đáy

Tho/

iâm kho I

ĩhoí
tìm m ỉ /

lực ỹỉác

Hình ỈA3

22


hoỉặc

Tìiỗi nút mạng Chẳng hạn, có thể đặt các nguyên tử sao
chiQ ở trạn g thái cân tòng, hạt nhân của chúng nằm ở các nút mạng
khòng gian. Còn tix)ng tinh thể hiđrô (ở thể rần), tại mỗi nút mạng
là một phân tỏ H 2 Trong các tinh thế phân tử, ở mỗi nút mạng là
m ột phân tử có chứa hàng chục, có khi hàng trám nguyên tử. Nguyèn
tử hoặc nhóm nguyên tu như vậy gọi là gốc. Do đó có thể viết một
cá*ch tượng tiưng : riiạng không gian 4 gốc - cấu tiiíc tinh thể. Vì
lí do đó, cấu trúc tirh thế có thể có những yếu tó đối xứng mà mạng
không gian khỏng có, đó ià các trục xoán ốc, và một phảtig trượt,
Nếu kết hỢp đông thòi phép quay thòng thường với phép tịnh tiến
song song với trục quay, thì ta được trục xoắn ốc. Trên hình 1.14
là tĩ*ục xoổti ốe bậc 4, với bước tịnh tiốn là - khoảng cách a giữa
4
haii nút mạng (còn gọi là hăng số mạng a).
Mặt phảng tniợt xuất hiên từ sự kf't hỢp đòng thời phép phản xạ
gurơng và phép tịnh tiến song song với mặt phẳng phản xạ. Để bảo
tOỉàn tính đối xứng tịnh tiến, bướí' tịnh tiốn chỉ có thể là m ột nửa

hằtng số mạng (h. 1.15)

ỉỉhih 14

6.

ỊỊình LỈ5

Một số cấu trúc tinh thể đan giản

a) Mô hình đơn giản và củng tương đối phù hỢp với cấu trúc
thụíc của tinh thè là cẩỉ tnic xếp chặt cóc quả càu.
23


Tĩt)ng trường hỢp các nguyên tử tạo thành tinh thể có đối xứng
câu, chẳng hạn như các nguyên tử khí trơ có lớp êlectrôn hóa trị
đây, ta có thể mong đợi răng sự xếp dặt của các nguyên tử trong
tinh thể được mò tả tốt bằng mô hình xếp chặt. Mô hình này cũng
có thể áp dụng cho các tinh thể mà liên kết giữa các nguyên tử
không có tính phương hướng rõ, thí dụ như liên kết kim loại. Thật
vậy, các kim loại hóa trị một như đông, bạc có cấu trúc tinh thể
kiểu xếp chặt.
Có nhiêu cách xếp chặt các quả càu, nhưng mỗi quả càu luôn có
12 quả khác ở sát bên cạnh. Ta nói rằng trong cấu trúc này, số phối
vị là 12. Ta íân lượt xếp các quả câu thành từng lớp. Lớp thứ nhất
hiển nhiên có đối xứng lục giác (h.1.16). Mỗi quả cầu tiếp xúc với 6
quả cầu khác, ơ lớp thứ hai, các quả cầu đưỢc đặt vào những chỗ lõm
ở giữa 3 quả cầu của lớp thứ nhất. Tuy nhiên, ở lớp này khòng thê
xếp các quả cầu vào tât cả các chỗ lõm, mà chỉ lấp được một nửa số
các chỗ đó. Ta gọi hai loại chỗ lõm đó tàn g chữ B và c (h. 1.17), cũíiìg
như hai cách xếp lớp này gọi ỉà B vh c.

ĩ lìn h ỉ. ĩ 6

ỉỉình L ĩ7

Nếu ta xếp vào các vj trí B, thì các vỊ trí c bị trống. Đến Icíp
thứ ba, các quả càu lại có thể đưỢc xếp vào các vị trí hoặc là A hoặìc

là c.
Nếu ià A, thì các lớp lặp lại theo trình tự ABABAB ... Nếu ở lớíp
thứ 3, các quả câu xếp ỏ vị trí c, ròi ở lớp thứ 4, lại d vị trí A, tlhì
ta có trình tự lặp lại là ABC ABC ABC ... Cấu trúc (ABC) có đíối
xứng cao hơn (AB) hay (AC). Các cách xếp khác có đối xứng thấip
hơn nứa.
24


Ta hãy xét cấu tiiJC (ABC). Đó chính là cấu trúc lập phương tảm
mặt (h.1.18). Đường chéc) chính của hình lập phương là trục quay
bạc 3. Tinh thể của các khí trơ Ne, Ar, v.v... và nhỉêu kim ioại hóa
trị 1 tTOiig đó tắt cà các kim loại quý như Ag, Au, P t ... có cầu trúc
lập phương tám măt.
Cấu tiức ÍAB) phức tạp hơn, ĩììặc rỉi\\ưởng có vẻ đơn giản. Đó
là cấu trúc lục giác; ô sơ cấp của ciíu t.ì’úc iục giác xếp chặt có dạng
hình lăng trụ đứng, đáy hình thoi có cạnh ai = a2 = a, góc \2 if\
và chỉẻu c^o c = í8/3)
n = 1,G33 a (h. 1. 19).

ỉỉình Ỉ.ỈS

Hìtìh Ĩ.Ỉ9

Trong thể tích của ô còn có thôiìì nút mạng B ỏ chíèu cao

2

nầm trên tâm của tam giác đèu ụo nón từ 3 nứt mạng A. Chú ý
i-áng đây khồng phải là một ô mạng Brave, vì ô sơ cấp chứa 2 nguyên
tử (2 nút mạng).
Như vậy gốc gôm một ngiiyên tử ở đỉnh của ô, m ột nguyên tử ở
l)ên trong ô. Tinh thể magìè

- = 1,623 nên thuộc loại cấu
a
c
trúc lục giác xếp chặt
lí tưởng. Kẽm có tỉ số - = 1,86, hơi lớn
a
hơn trường hỢp lí tưởng, nhưng củng có thể coi như có cấu trúc lục
giác xếp chặt. Một số tinh thè có cấu trúc này là :
CX)

tỉ

sò

25