5A. Bài tốn về khoảng cách và góc
5A. BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH & GĨC
Dạng 61. Tính khoảng cách - góc
Câu 1. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB BC a. Biết thể
a3
tích của khối chóp là . Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SBC .
6
a 3
a 2
A. h a 2 .
B. h
.
C. h a 3 .
D. h
.
2
2
Lời giải tham khảo
1
V a 3 SA a . Kẻ AH vng góc SB. Khi đó khoảng cách từ A đến SBC là AH .
6
1
1
1
a 2
AH
Áp dụng
.
2
2
2
2
AH
SA
AB
Câu 2. Cho hình chóp S. ABC có mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy, đáy là tam giác ABC vng cân tại B , AB a 2 . Biết góc tạo
bởi SC và ABC bằng 450 . Tính khoảng cách d từ SB đến SC .
A. d
a 3
.
2
a 2
.
2
Lời giải tham khảo
C. d
B. d a 2 .
D. d
a 5
.
2
450 SH a .
SCH
Gọi H là trung điểm của AC. Tính được AC 2 HC 2 a; BH
1
AC a
2
CM được SH ABC SC , ABC SCH 450 SH a
Tam giác SHB vuông cân tại H SB a 2
Trong SHB : Dựng HI SB tại I 1
CM được AC SHB AC HI tại H 2
Từ 1 và 2 d SB , AC HI
1
a 2
SB
.
2
2
Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a , I là trung
điểm của SC , hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của
BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Tính khoảng cách d từ điểm I đến
mặt phẳng SAB theo a .
A. d
a 3
.
4
File word liên hệ qua
B. d
a 3
.
C. d a 3 .
2
Lời giải tham khảo
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
D. d
a
.
4
[ Nguyễn Văn Lực ]
|1
5A. Bài tốn về khoảng cách và góc
Gọi M là trung điểm của AB. Ta có SMH 600. Kẻ HK vng góc với SM
d I ; SAB d H ; SAB HK
a 3
.
4
Câu 4. Khối chóp S. ABC có SA vng góc với ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại
B . Biết BC a và SB 2 a và thể tích khối chóp là a 3 . Tính khoảng cách h từ A đến
SBC .
A. h 2 a .
B. h 3a .
C. h
3a
.
2
Lời giải tham khảo
D. h
a 3
.
4
S
Đặt d A , SBC h
Diện tích SBC : SSBC a 2
1
Ta có .a 2 .h a3
3
Suy ra h 3a .
A
C
Câu 5. Cho hình chóp S. ABC có SA , SB , SC đơi một vng góc nhau và SA SB SC a.
Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ABC .
A. h
a
2
a
B. h
.
.
C. h
3
Lời giải tham khảo
a
1
1
1
1
3
2
2 . Suy ra h
.
2
2
2
h
SA
SB
SC
a
3
a
.
2
D. h
a
.
3
Câu 6. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết BC a 3 ,
BA a . Hình chiếu vng góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh
AC và biết thể tích khối chóp S. ABC bằng
a3 6
. Tính khoảng cách d từ C đến mặt
6
phẳng SAB .
A. d
2a 66
.
11
B. d
Đặt SH x . Suy ra V
a 30
a 66
.
.
C. d
10
11
Lời giải tham khảo
D. d
a 30
.
5
1 1
a3 6
a3 6
6
x. a.a 3
. 2
a 2
x
3 2
6
6 a 3
S
Ta có d C , SAB 2d H, SAB 2 HK
1
1
4
a 66
2 2 HK
2
11
HK
2a
3a
2a 66
.
d C , SAB
11
mà
K
A
H
C
N
B
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ]
|2
5A. Bài tốn về khoảng cách và góc
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB a , AC a 2 , AD a 3 , các tam giác ABC , ACD ,
ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng
BCD .
A. d
a 6
.
3
B. d
a 30
a 3
.
C. d
.
5
2
Lời giải tham khảo
D. d
a 66
.
11
Gọi H là trực tâm tam giác BCD. Khi đó, AH BCD d A , BCD AH .
Ngồi phương pháp tính thể tích khối tứ diện, ta có thể sử dụng cơng thức:
1
1
1
1
a 66
AH
.
2
2
2
2
11
AH
AB
AC
AD
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và
AD , biết EF a 3 . Tính (AB,CD ) .
B. 450 .
A. 600 .
C. 300 .
Lời giải tham khảo
D. 900 .
Gọi M là trung điểm BD , AB,CD MF , ME
Áp dụng định lý cosin trong tam giác EMF tính được:
cos EMF
1
1200 (
EMF
AB,CD ) 600 .
2
Câu 9. Cho hình chóp đều S. ABC . Người ta tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần. Để thể tích giữ
ngun thì tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi bao nhiêu lần?
A. 8 lần.
B. 2 lần.
C. 3 lần.
D. 4 lần.
Lời giải tham khảo
Gọi S là đỉnh hìnhchóp, O làtrọng tâm tam giác ABC ; là góc tạo bởi cạnh bên và
mp ABC . Chứng minh được thể tích của khối chóp là V
Khi cạnh bên tăng lên 2 lần thì thể tích là V
tan '
1 3
a tan
12
1
(2a)3 tan ' . Để thể tích giữ ngun thì
12
tan
, tức là tan góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi 8 lần.
8
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ]
|3
5A. Bài tốn về khoảng cách và góc
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Tính khoảng cách d từ
A ' B và B ' D .
A. d a 6 .
B. d
a 6
.
6
C. d
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
a 6
.
2
D. d
a 6
.
3
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Góc
giữa CA ' và mặt ( AA ' B ' B) bằng 30 . Gọi d AI ', AC là khoảng cách giữa A ' I và AC ,
tính d AI ', AC theo a với I là trung điểm AB .
A. d
a 210
.
70
B. d
a 210
.
35
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
C. d
2a 210
.
35
D. d
3a 210
.
35
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
Câu 12. Cho lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB a , AD a 3.
Hình chiếu vng góc của điểm A1 trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC và
BD . Góc giữa hai mặt phẳng ADD1 A1 và ABCD bằng 600. Tính khoảng cách d từ
điểm B1 đến mặt phẳng A1 BD theo a .
A. d
a 3
.
2
B. d
a 3
.
3
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
File word liên hệ qua
C. d
a 3
.
4
D. d
a 3
.
6
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ]
|4
5A. Bài tốn về khoảng cách và góc
1200. Đường thẳng
Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABCA ’B’C ’ có AC a , BC 2 a , ACB
A ’C tạo với mặt phẳng ABB’ A’ góc 300. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính khoảng
cách d giữa hai đường thẳng AM và CC ’ theo a.
A. d
a 3
.
21
B. d
a 7
.
3
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
C. d
a 3
.
7
3
.
7
D. d a
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
a 17
hình chiếu
2
vng góc H của S lên mặt ABCD là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm
Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SD
của AD . Tính khoảng cách d giữa hai đường SD và HK theo a .
A. d
3a
.
5
B. d
a 3
.
7
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
C. d
a 21
.
5
D. d
3a
.
5
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
Câu 15. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , cạnh bên SA
vng góc với đáy và SA a 3 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) .
A. d
a 3
.
2
B. d a 2 .
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
File word liên hệ qua
C. d a 3 .
D. d a .
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ]
|5
5A. Bài tốn về khoảng cách và góc
Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng và tam giác SAB là tam
giác cân tại đỉnh S . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt
phẳng SAB và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD , biết
rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a 6 .
8a3 3
4a3 3
.
.
B. V
3
3
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
A. V
2a3 3
a3 3
.
.
D. V
3
3
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
C. V
Câu 17. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , BC 2 a , cạnh
bên SA vng góc với đáy và SA a 3 . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng
SBD .
A. d
a 5
.
2
B. d
a 15
.
17
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
2a 3
.
D. d a 3 .
19
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
C. d
Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , D 600 và SA
a3
vng góc với ABCD . Biết thể tích của khối chóp S. ABCD bằng . Tính khoảng cách
2
d từ A đến mặt phẳng SBC .
A. d
3a
.
B. d a
3
.
5
5
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
File word liên hệ qua
C. d
2a
.
D. d a
2
.
3
5
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ]
|6
5A. Bài tốn về khoảng cách và góc
Câu 19. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Hình chiếu vng
góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB 2 HA. Cạnh
SC tạo với mặt phẳng đáy ABCD một góc bằng 600 . Tính khoảng cách d từ trung
điểm K của HC đến mặt phẳng SCD .
a 13
a 13
.
.
A. d
B. d
2
4
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
a 13
.
8
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
C. d a 13 .
D. d
Câu 20. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , mặt phẳng SAB
vng góc với mặt phẳng ABCD và tam giác SAB đều. Tính khoảng cách d từ điểm A
đến mặt phẳng (SCD).
a 21
a 21
.
.
B. d
7
14
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
.
A. d
File word liên hệ qua
a 3
a 7
.
.
D. d
7
7
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
C. d
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ]
|7