CONG THUC NGUYEN HAM b0d3c5fb8a090178f55962b8fcdf347d

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

a/ Định nghĩa:
Cho hai hàm số F  x  , f  x xác định trong khoảng a, b . F  x  được gọi là một nguyên hàm của

f x nếu F ' x   f x , x  a, b .
b/ Định lý:
Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x trong khoảng a, b thì f  x sẽ có vô số nguyên hàm
trong khoảng a, b . Các nguyên hàm này có dạng F x   c (c là hằng số).
Người ta thường ký hiệu

 f x dx là tập hợp các nguyên hàm của f x .

 f x  dx  F x  c
c/ Các tính chất:
/

1)

  f ( x)  f (x).

2)

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx (k  0)
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 f (t )dt  F (t )  C   f (u( x)).u '( x)dx  F (u( x))  C

3)
4)

d/ Các công thức nguyên hàm

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
thường gặp

 0dx  C;

 x dx 



 dx  x  C

x 1
 C (  1)
 1

dx
 ln x  C ( x  0)
x
x

 e dx  e
x
 a dx 

x

C

ax
 C (0  a  1)

ln a

 coxdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
dx

 cos

2

x

dx

 sin

2

x

Nguyên hàm của các hàm số hợp
( với u = u(x) )

 u ' dx   du  u  C

 u ' u dx 





 u du 

u  1
C
 1

u'
du
dx  
 ln u  C
u
u

 u 'e

u

(   1)

( u  0)

dx   e u du  e u  C

u
 u ' a dx 

u
 a du 

au

C
ln a

(0  a  1)

 u' cos udx   cos udu  sin u  C
 u' sin udx   sin udu   cos u  C
u ' dx
du

 tan u  C
2
u
cos 2 u
u ' dx
du

  cot u  C
2
sin u
sin 2 u

 tan x  C

 cos

 cotx  C



e/ Công thức các nguyên hàm thường gặp
dx 1
0. 2 
c
x
x
2.  ax  b  dx 

4. xdx 

6.
8.

1
x

2
3

ax 2
 bx  C
2

 
x

dx

ax  b

n



1
n1

a n  1ax  b

1  ax  b 
3.  ax  b  dx 
a n 1

3

C

7.

dx
1
 ln ax  b  c
ax  b a

9.

e kx
C
k

a kx
12. a kx dx 
C
k.ln a



dx

ax  b

2





1
c
a ax  b

1 axb
e
c
a
1
13. a px  q dx 
a px  q  c
p ln a
dx

1
15. 2

cot  ax  b   c
sin  ax  b  a
dx
1
17.
 tan  ax  b   c
2
cos ax  b  a
dx
1
ax  b
19.
 ln tan
c
sin  ax  b  a
2
11. eaxb dx 

1

14  sin ax  b dx   a cos ax  b  c
1

16  cos ax  b dx  a sin ax  b  c
dx
1
ax  b

 ln tan
c
sin  ax  b  a
2

20. tan xdx   ln cos x  c

21.  cot xdx  ln sin x  c

1
22. tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   c
a

23. cot  ax  b  dx 

24.  tan 2 xdx  tan x  x  C



c

3
2
ax  b  c
3a
1
2
dx 
ax  b  C
a

ax  b

5. ax  bdx 

dx  2 x  C

c

n 1

n

10. e kx dx 

18.

1.

1
ln sin  ax  b   c
a

25.  cot 2 xdx   cot x  x  C







26.  tan 2 x  1 dx  tan x  C

27.  co t 2 x  1 dx   cot x  C

1
28.  tan 2  ax  b  dx  tan  ax  b   x  C
a

29. 

1
30.  cot 2  ax  b  dx   cot  ax  b   x  C
a
32. ln  ax  b  dx  x ln  ax  b   x 
33.
35. 

31.

dx
1
x a

ln
c
2
2a
x a
x a
2

b 
ln ax  b   c
a

x
1
x 2  1  ln x  x 2  1  c
2
2
x
k
x2  kdx 
x2  k  ln x  x2  k  c
2
2

34. lnx dx  x lnx  x  c

x 2  1dx 

37. 1  x 2 dx , đặt x = sin t

dx
1
x 1
 ln
c
x 1 2 x 1
2

36.
38.

dx
2

x k
1
1  x2

 ln x  x 2  k  c

dx , đặt x = sin t


39. a 2  x 2 dx , đặt x = a.sin t
1
dx , đặt x = tan t
x 1
sin n 1 x
43. sin n x.cosx .dx 
C
n 1
45. esin x .cos xdx  esin x  C
41.

1

dx , đặt x = a.sin t

a  x2
1
42. 2
dx , đặt x =a tan t
x  a2
cos n 1 x
44. cos n x.sinx .dx  
C
n 1
46. e cos x .sin xdx  e cos x  C

40.

2

2

1.1.1. Tích Phân:
a/ Định nghĩa:
Cho hàm số f x lên tục trên đoạn a, b , F  x  là một nguyên hàm của f  x . Tích phân của f  x
 
trên đoạn a, b là một số thực. Kí hiệu:
 

b

 f x dx và được xác định bởi :
a

b

 f x dx  F b  F a 
a

b

b

Người ta thường dùng kí hiệu F x  (hoặc F x  ) để chỉ F b  F a  .

a
a
b

Khi đó:


a

b

f x  dx   F x 

a

b/ Các tính chất :
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng  ;   và có nguyên hàm trên khoảng đó, a,
b, c   ;   , ta có:
a

1)

b



f ( x)dx  0

a
b

4)


a

b

a

b

f ( x)dx    f ( x)dx

3)

b

b

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx
a

a

b

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a

c

5)

2)


a

a

b

a

c

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a

b

b

6)

f ( x)  0 trên đoạn [a; b] =>

 f ( x)dx  0
a

b

7)

f ( x)  g ( x) trên đoạn [a; b] =>


a

b

f ( x)dx   g ( x )dx
a

b

8) m  f ( x)  M trên đoạn [a; b] => m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a )
a

t

9) Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] => G (t )   f ( x)dx là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0
a


ỨNG DỤNG HINH HỌC CỦA TÍCH PHÂN.
1.1.1.1. Tính diện tích hình phẳng :
a/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y = f(x), các đường thẳng
b

x = a, x = b và trục hoành Ox là : S   f ( x) dx

(đvdt)

a

* Chú ý :
- Nếu f(x) không đổi dấu đoạn [a;b] (hay phương trình f(x) = 0 vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép
b

trên đoạn [a;b]) thì S 

(đvdt)

 f ( x)dx
a

- Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn [a;b] ( phương trình f(x) = 0 có nghiệm đơn trên đoạn [a;b], giả sử
x2

x1

các nghiệm đó là x1, x2 thì S 



f ( x ) dx

+

a



b

f ( x)dx

+

 f ( x)dx

x1

( đvdt)

x2

b/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1): y = f(x), (C2) : y = g(x) và các đường

b

thẳng x = a, x = b là : S   f ( x)  g ( x) dx

( đvdt)

a

( Lập luận tương tự ta có các trường hợp như ở phần a) )
1.1.1.2. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
- Vật thể tròn xoay được tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường (C):y = f(x)
b

x = a, x = b và y = 0 quay quanh Ox có thể tích là:

V    y 2 dx
a

- Vật thể tròn xoay được tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường (C):x = g(y)
b

x = a, x = b và x = 0 quay quanh Oy có thể tích là:

V    x 2 dx
a