Sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng liên kết trượt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thị Ngọc Ánh

SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN
ĐÀN HỒI TRỰC HƯỚNG PHỦ LỚP MỎNG
LIÊN KẾT TRƯỢT

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - 2014


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Phạm Chí Vĩnh, thầy
đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Em xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong bộ môn Cơ học và các
thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học đã trang bị kiến thức giúp em hoàn
thành luận văn.
Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận ở xemina
"Sóng và ứng dụng" tại bộ môn Cơ học, khoa Toán - Cơ - Tin học. Em đã nhận
được những góp ý bổ ích từ các thầy cô và các thành viên của xemina.
Cuối cùng, em cảm ơn gia đình đã động viên và tạo điều kiện tốt nhất để
em hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Vũ Thị Ngọc Ánh

1


Mục lục
1 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén
được phủ lớp mỏng trực hướng nén được liên kết trượt

7

1.1

Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Dạng ma trận của các phương trình cơ bản . . . . . . . . .

8

1.1.3

Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

1.3

Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1

Phương trình tán sắc xấp xỉ

. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2

Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3

Trường hợp đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không
nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được liên kết
trượt
2.1

2.2

2.3

24

Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2

Dạng ma trận các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . 26

2.1.3

Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . 27

Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng Rayleigh . . . . . . . 29
2.2.1

Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2

Trường hợp đẳng hướng ngang . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . 34

KẾT LUẬN

37

2


MỞ ĐẦU
Cấu trúc gồm một lớp vật liệu mỏng gắn với một lớp vật liệu dày, mô hình hóa
như một bán không gian bị phủ một lớp mỏng, đã và đang được sử dụng rộng
rãi trong công nghệ hiện đại. Theo Makarov và cộng sự [9], sau khi phủ xong,
tính chất cơ học của lớp vật liệu mỏng bị thay đổi. Vì thế, để sử dụng kết cấu
này có hiệu quả cần đánh giá các tính chất cơ học của lớp mỏng sau khi phủ.
Trong nhiều phương pháp đánh giá, phương pháp sóng mặt được sử dụng rộng
rãi nhất, vì nó không gây phá hủy vật liệu, thời gian kiểm tra ngắn. Trong số
các sóng mặt được sử dụng, sóng mặt Rayleigh là một công cụ thuận tiện [6].
Vì phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh là cơ sở lý thuyết để từ
đó xác định tính chất cơ học của lớp mỏng từ các số liệu thực nghiệm, nên nó
là mục tiêu cơ bản khi nghiên cứu sóng Rayleigh truyền trong cấu trúc này.
Sử dụng giả thiết lớp mỏng, các tác giả đã rút ra phương trình tán sắc
xấp xỉ của sóng Rayleigh bằng cách sử dụng điều kiện biên hiệu dụng: thay thế
toàn bộ ảnh hưởng của lớp lên bán không gian bằng một điều kiện biên tại mặt
biên phân chia. Điều kiện biên này có thể rút ra bằng cách thay thế lớp mỏng
bằng một bản theo lý thuyết Kirchhoff như Tiersten [20], hay theo lý thuyết
Mindlin như Achenbach [2], hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên của
lớp vật liệu theo độ dày h của lớp mỏng như Niklasson và cộng sự [13], Rokhlin
& Huang [15, 16], Benveniste [3], Steigmann [17], Ting [22], Phạm Chí Vĩnh &

Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32].
Tiersten [20], Bovik [4], Trần Thanh Tuấn [24] giả thiết lớp và bán không

gian là đẳng hướng và đã rút ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai (chúng
không trùng nhau). Steigmann [17] giả thiết lớp mỏng là đẳng hướng ngang và
có ứng suất dư, bán không gian là đẳng hướng. Tác giả đã tìm được phương
trình tán sắc xấp xỉ bậc hai của sóng. Trong khi đó, Wang và cộng sự [33] xét
bán không gian là đẳng hướng phủ một lớp dẫn điện, và đã thu được phương
trình tán sắc xấp xỉ bậc một. Gần đây, trong [31] lớp và bán không gian được
giả thiết là đàn hồi trực hướng, trong [32] chúng được giả thiết là đàn hồi trực
hướng và có ứng suất trước. Các tác giả đã tìm được phương trình tán sắc xấp
xỉ bậc ba cho cả hai trường hợp này.
3


Trong tất cả các công trình nêu trên, lớp và bán không gian được giả thiết
là gắn chặt. Trong thực tế, sau một thời gian sử dụng, lớp (mỏng) thường bị bóc
tách khỏi bán không gian. Khi đó, liên kết giữa chúng là liên kết trượt. Cho đến
nay, có duy nhất phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba tìm ra bởi Achenbach và
Keshava [2] cho trường hợp liên kết trượt, trong đó lớp và bán không gian được
giả thiết là đẳng hướng. Tuy nhiên, phương trình tán sắc này phụ thuộc vào hệ
số trượt, có nguồn gốc từ lý thuyết bản Mindlin, mà việc sử dụng nó cần phải
tránh như đã nhấn mạnh bởi Touratier [23], Muller và Touratier [12], Stephen
[18].
Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng các phương trình tán sắc xấp
xỉ (bậc ba) của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng
phủ một lớp mỏng trực hướng với liên kết trượt. Lớp và bán không gian được giả
thiết hoặc cùng nén được hoặc cùng không nén được.
Để đạt mục đích này, luận văn sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu
dụng: thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp lên bán không gian bằng điều kiện
biên hiệu dụng (dạng ma trận). Nó liên kết (một cách tuyến tính) véctơ chuyển
dịch với véctơ ứng lực tại mặt biên của bán không gian (xem Phạm Chí Vĩnh
& Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]). Sự truyền sóng Rayleigh trong bán không

gian phủ lớp (mỏng) sau đó được xét như sóng Rayleigh truyền trong bán không
gian, không bị phủ bởi lớp mỏng, mà biên của nó chịu điều kiện biên hiệu dụng
thu được.
Để thu được điều kiện biên hiệu dụng, cần thiết lập mối liên hệ (tuyến
tính) giữa véctơ chuyển dịch với véctơ ứng lực tại biên phân chia giữa lớp và
bán không gian, được gọi là "điều kiện biên tiền hiệu dụng". Điều kiện biên
tiền hiệu dụng được rút ra bằng cách sử dụng phương trình dạng ma trận của
lý thuyết đàn hồi và khai triển Taylor véctơ chuyển dịch-ứng lực (thành lập từ
véctơ chuyển dịch và véctơ ứng lực) tại biên trên của lớp (được giả thiết là tự
do đối với ứng suất) theo độ dày của lớp (xem Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị
Khánh Linh [31, 32]).
Khi liên kết giữa bán không gian và lớp là gắn chặt, véctơ chuyển dịch-ứng
lực liên tục qua biên phân chia giữa bán không gian và lớp. Điều kiện biên hiệu
dụng khi đó được suy ra trực tiếp từ điều kiện biên tiền hiệu dụng bằng cách
4


thay các véctơ chuyển dịch, ứng lực của lớp tại biên dưới của nó bằng các véctơ
chuyển dịch, ứng lực của bán không gian tại biên của bán không gian.
Khi liên kết giữa bán không gian và lớp là trượt: các thành phần chuyển
dịch pháp và ứng suất pháp (vuông góc với biên phân chia giữa lớp và bán không
gian) liên tục qua biên phân chia, các thành phần ứng suất tiếp bằng không tại
đó, các thành phần chuyển dịch ngang (song song với biên phân chia) bị gián
đoạn. Khi đó véctơ chuyển dịch-ứng lực không liên tục qua biên phân chia và
điều kiện biên hiệu dụng không được suy ra dễ dàng từ điều kiện biên tiền hiệu
dụng như trường hợp liên kết gắn chặt. Để vượt qua khó khăn này, ta sử dụng
biểu diễn nghiệm của sóng Rayleigh để khử các thành phần chuyển dịch ngang
của lớp ra khỏi điều kiện biên tiền hiệu dụng. Cuối cùng ta thu được một hệ
thức liên hệ (tuyến tính) thành phần chuyển dịch pháp với thành phần ứng suất

pháp của lớp tại biên phân chia. Từ đó (cùng với điều kiện các thành phần ứng
suất tiếp bằng không tại biên của bán không gian), ta thu được điều kiện biên
hiệu dụng bằng cách thay thành phần chuyển dịch pháp và thành phần ứng suất
pháp của lớp tại biên phân chia bằng các đại lượng tương ứng của bán không
gian.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén
được phủ lớp mỏng trực hướng nén được liên kết trượt.
Chương 2: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không
nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được liên kết trượt.
Các kết quả chính của luận văn là:
1. Thiết lập được phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi trực
hướng, nén được và không nén được.
2. Tìm ra được điều kiện biên hiệu dụng bậc ba cho cả hai trường hợp: (i)
lớp và bán không gian là đàn hồi trực hướng nén được, liên kết trượt với nhau .
(ii) lớp và bán không gian là đàn hồi trực hướng không nén được, liên kết trượt
với nhau.
3. Tìm ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho cả hai trường hợp
nêu trên.
4. Xây dựng được các công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba.
5


5. Các ví dụ bằng số chỉ ra rằng các phương trình tán sắc và các công
thức vận tốc sóng xấp xỉ thu được có độ chính xác cao.
Các kết quả chính của chương 1 được công bố trên bài báo sau:
Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Rayleigh waves in an orthotropic
half-space coated by a thin orthotropic layer with sliding contact, International
Journal of Engineering Science 75 (2014) 154–164.
Cần nhấn mạnh rằng, phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi

là một công cụ thuận tiện không những để rút ra điều kiện biên tiền hiệu dụng
mà còn được sử dụng cho nhiều bài toán khác, chẳng hạn để rút ra biểu diễn
Stroh [19], để nghiên cứu sự phản xạ và khúc xạ của sóng [1]. Khi môi trường
là không nén được (hay nói chung chịu một ràng buộc trong nào đấy), để thu
được phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi cần khử áp suất thủy
tĩnh (các nhân tử Lagrange) ra khỏi các phương trình cơ bản. Do vậy quá trình
đi đến phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi không nén được phức
tạp và khó khăn hơn so với trường hợp nén được.

6


Chương 1
Sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi trực hướng nén được
phủ lớp mỏng trực hướng nén được
liên kết trượt
Trong chương này, ta nghiên cứu sự lan truyền của sóng Rayleigh theo
hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 , trong bán không gian đàn hồi trực hướng
nén được vô hạn x2 ≥ 0 được phủ bởi lớp mỏng đàn hồi trực hướng nén được có
độ dày h.

x2 = -h
_ _

c,
ij

0

c,
ij

x3

x1

x2

Hình 1.1: Mô hình bán không gian trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén
được.

Ở đây, ta giả thiết các trục chính vật liệu của lớp và của bán không gian
là trùng nhau. Một hệ tọa độ Descartes Ox1 x2 x3 được sử dụng sao cho các trục
của nó trùng với các trục chính của vật liệu (hình 1.1). Giả thiết lớp mỏng và
7


bán không gian liên kết trượt với nhau. Chú ý rằng các đại lượng giống nhau
của bán không gian và lớp có cùng ký hiệu nhưng được phân biệt bởi dấu gạch
ngang ở trên nếu liên quan đến lớp.

1.1

Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba

1.1.1

Các phương trình cơ bản

Xét trạng thái biến dạng phẳng, các thành phần chuyển dịch có dạng sau:
ui = ui (x1 , x2 , t), u¯i = u¯i (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 = u¯3 ≡ 0

(1.1)

trong đó ui , u¯i là thành phần của vectơ chuyển dịch, t là thời gian.
Do vật liệu là đàn hồi trực hướng nén được, mối liên hệ giữa các thành phần
ứng suất σij và các thành phần của gradien chuyển dịch (ui,j = ∂ui /∂xj ) (xem
[21]) là :
σ
¯11 = c¯11 u¯1,1 + c¯12 u¯2,2 ,
σ
¯22 = c¯12 u¯1,1 + c¯22 u¯2,2 ,

(1.2)

σ
¯12 = c¯66 (¯
u1,2 + u¯2,1 )

trong đó các hằng số đàn hồi c¯11 , c¯22 , c¯12 , c¯66 phải thỏa mãn các bất đẳng thức
sau (điều kiện cần và đủ để năng lượng biến dạng xác định dương):
c¯kk > 0, k = 1, 2, 6, c¯11 c¯22 − c¯212 > 0

(1.3)

Bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động của lớp có dạng [21]:
σ
¯11,1 + σ
¯12,2 = ρ¯u¨¯1 ,

(1.4)

σ
¯12,1 + σ
¯22,2 = ρ¯u¨¯2

với ρ¯ là mật độ khối lượng của lớp, dấu chấm " . " biểu thị đạo hàm theo biến
thời gian t .

1.1.2

Dạng ma trận của các phương trình cơ bản

Từ (1.2)3 , ta có:
u¯1,2 = −¯
u2,1 +
8

1
σ¯12 .
c¯66

(1.5)


Từ (1.2)2 , suy ra:
u¯2,2 = −

1

c¯12
u¯1,1 +
σ
¯22 .
c¯22
c¯22

(1.6)

Theo (1.4)1 thì :
(1.7)

σ
¯12,2 = −¯
σ11,1 + ρ¯u¨¯1 .

Đạo hàm (1.2)1 theo x1 , ta được:
(1.8)

σ
¯11,1 = c¯11 u¯1,11 + c¯12 u¯2,21 .

Đạo hàm (1.6) theo x1 và sử dụng kết quả vào (1.8), dẫn tới:
σ
¯11,1 =

c¯11 c¯22 − c¯212
c¯12
u¯1,11 +
σ¯22,1 .

c¯22
c¯22

(1.9)

Thay (1.9) vào (1.7), ta có:
σ
¯12,2 = −

c¯11 c¯22 − c¯212
c¯12
u¯1,11 −
σ
¯22,1 + ρ¯u¨¯1
c¯22
c¯22

(1.10)

Theo (1.4)2 suy ra:
(1.11)

σ
¯22,2 = −¯
σ12,1 + ρ¯u¨¯2 .

Như vậy, ta đã biểu diễn được đạo hàm theo hướng vuông góc với lớp u¯1,2 , u¯2,2 ,
σ
¯12,2 , σ
¯22,2 qua đạo hàm theo hướng song song với lớp và đạo hàm theo t của

4 đại lượng u¯1 , u¯2 , σ¯12 , σ¯22 và các tham số vật liệu qua các phương trình (1.5),
(1.6), (1.10), (1.11). Từ các phương trình (1.5), (1.6), (1.10), (1.11) ta rút ra được

phương trình ma trận (toán tử) sau:
(1.12)

ξ = Mξ,

trong đó


ξ=
U¯ =

¯
U
T¯





,M = 
T

u¯1 u¯2

, T¯ =

9

M1 M2
M3 M4



,
T

σ
¯12 σ
¯22


với " T " là kí hiệu chuyển vị của ma trận, dấu phẩy " " chỉ đạo hàm riêng
theo x2 và


M1 = 

0
c¯12
− ∂1
c¯22



1
−∂1

 , M2 = 
 c¯66
0
0



0



1 ,
c¯22







c¯212 − c¯11 c¯22 2
∂1 + ρ¯∂t2 0 

T
c
¯
22
M3 = 
 , M4 = M1
0

ρ¯∂t2

(1.13)

Ở đây sử dụng các kí hiệu: ∂1 = ∂/∂x1 , ∂12 = ∂ 2 /∂x21 , ∂t 2 = ∂ 2 /∂t2 .
Phương trình (1.12) còn được viết dưới dạng:
 


U¯

Từ (1.14) suy ra:



U¯ (n)



T¯ (n)

1.1.3

 = Mn 



¯
U
T¯



T¯

=


, M = 

M1 M2
M3 M4

M1 M2
M3 M4



U¯
T¯



,



 , n = 1, 2, 3, ..., x2 ∈ [−h, 0]

(1.14)

(1.15)

Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba
Vì lớp mỏng nên h nhỏ. Khai triển Taylor T¯ (−h) tại điểm x2 = 0 đến cấp

3, ta được:
1
1
T¯ (−h) = T¯ (0) + T¯ (0)(−h) + T¯ (0)h2 − T¯ (0)h3 .
2
3!

(1.16)

Do tại x2 = −h lớp tự do với ứng suất nên ta có:
T¯ (−h) = 0.

(1.17)

h2
h3
T¯ (0) = hT¯ (0) − T¯ (0) + T¯ (0).
2
6

(1.18)

Sử dụng (1.17) vào (1.16) suy ra:

Từ (1.15) với n = 1, 2, 3 và (1.18) ta có:
1
1
I − hM4 + h2 M6 − h3 M8 T¯ (0)
2
6
1 2
1 3
= hM3 − h M5 + h M7 U¯ (0)
2
6
10

(1.19)


trong đó I là ma trận đơn vị cấp 2; M1 , M2 , M3 , M4 xác định bởi (1.13) và:
M5 = M3 M1 + M4 M3 ,
M6 = M3 M2 + M42 ,
M7 =

M3 M12

(1.20)

+ M4 M3 M1 + M3 M2 M3 + M42 M3 ,

M8 = M3 M1 M2 + M4 M3 M2 + M3 M2 M4 + M43 .

Sử dụng (1.13) và (1.20) vào (1.19) ta được:

h2
ρ¯
¨¯12 − r3 u¯2,111 − ρ¯(1 + r1 )u¨¯2,1
σ
r2 σ
¯12,11 +
2
c¯66
h3
ρ¯2
¨¯22,1 − r6 u¯1,1111 − ρ¯r7 u¨¯1,11 −
+
r4 σ
¯22,111 + ρ¯r5 σ
u¨¯1,tt
6
c¯66

σ
¯12 + h r1 σ
¯22,1 − r3 u¯1,11 − ρ¯u¨¯1 +

= 0, tại x2 = 0 ,

(1.21)
h2

ρ¯
¨¯22 − r3 u¯1,111 − ρ¯(1 + r1 )u¨¯1,1
σ

2
c¯22
h3
ρ¯2
¨¯12,1 − r3 u¯2,1111 − ρ¯(1 + 2r1 )u¨¯2,11 −
+
u¨¯2,tt
r2 σ
¯12,111 + ρ¯r8 σ
6
c¯22

σ
¯22 + h σ
¯12,1 − ρ¯u¨¯2 +

r1 σ
¯22,11 +

(1.22)

= 0, tại x2 = 0 .

trong đó
c¯2 − c¯11 c¯22
c¯12
r3
r3
, r2 = r1 +
, r3 = 12

, r4 = r1 r2 +
c¯22
c¯66
c¯22
c¯22
r1
1 + r1
1
1 + r1
+
, r6 = (r1 + r2 )r3 , r7 = r12 + 2r2 , r8 =
+
r5 =
c¯22
c¯66
c¯66
c¯22
r1 =

(1.23)

Nếu liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt, nhờ sự liên tục của chuyển
dịch và ứng suất qua biên phân chia, ngay lập tức ta thu được điều kiện biên
hiệu dụng từ phương trình (1.21) và (1.22) bằng cách thay u¯1 , u¯2 , σ¯12 , σ¯22 bởi
u1 , u2 , σ12 , σ22 . Tuy nhiên, khi liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết

trượt, tính liên tục của chuyển dịch tại mặt phân chia bị phá vỡ nên ta không
nhận được ngay điều kiện biên hiệu dụng từ (1.21) và (1.22). Để giải quyết vấn
đề này, ta xét sóng Rayleigh truyền theo hướng x1 với vận tốc sóng c, số sóng
k và tắt dần theo phương x2 . Chuyển dịch và ứng suất của sóng được xác định

bởi các công thức sau:
u¯1 = U¯1 (y)eik(x1 −ct) , u¯2 = U¯2 (y)eik(x1 −ct) ,
σ¯12

= −ik T¯1 (y)eik(x1−ct) , σ
¯22 = −ik T¯2 (y)eik(x1 −ct)
11

(1.24)


cho lớp, và
u1 = U1 (y)eik(x1 −ct) , u2 = U2 (y)eik(x1 −ct) ,
ik(x1 −ct)

σ12 = −ikT1 (y)e

(1.25)

ik(x1 −ct)

, σ22 = −ikT2 (y)e

cho bán không gian, trong đó y = kx2 . Thế (1.24) vào (1.21) và (1.22), ta được:
ρ¯c2
ε3
ε2
r2 +
− r4 − ρ¯c2 r5

+ T¯2 (0) εr1 +
2
c¯66
6
2 4
3
¯1 (0) ε r3 + ρ¯c2 + ε − r6 − ρ¯c2 r7 − ρ¯ c
+U
6
c¯66
2
ε
r3 + ρ¯c2 (1 + r1 ) = 0,
+iU¯2 (0)
2
iT¯1 (0) − 1 +

T¯1 (0) ε +

ε3
6

− r2 − ρ¯c2 r8

+ iT¯2 (0) − 1 +

ε2

ε2
r3 + ρ¯c2 (1 + r1 )

+iU¯1 (0)
2
ρ¯2 c4
ε3
¯
− r3 − ρ¯c2 (1 + 2r1 ) −
+U2 (0) ε¯
ρc2 +
6
c¯22

2

r1 +

(1.26)

ρ¯c2
c¯22

=0

với ε = kh là độ dày không thứ nguyên của lớp.
Do liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt, nên ta có:
σ12 = 0, σ
¯12 = 0, u2 = u¯2 , σ22 = σ
¯22 tại x2 = 0

(1.27)

hay tương đương:
T1 (0) = 0, T¯1 (0) = 0, U2 (0) = U¯2 (0), T2 (0) = T¯2 (0)

(1.28)

Thay (1.28)2 vào (1.26) và khử U¯1 , ta được mối liên hệ giữa biên độ ứng suất
pháp và biên độ chuyển dịch pháp là:
iT¯2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = −(a3 ε + a4 ε3 )U¯2 (0)

(1.29)

trong đó
1
e2 e¯3 + rv2 x e¯22 e¯23 + 2¯
e2 e¯3 − 3¯
e1 e¯2 − 2¯
eδ
e¯δ e¯δ − 2¯
6
c¯66 2
+ rv4 x2 (1 + 3¯
e2 ) , a3 = c¯66 rv2 x(rv2 x − e¯δ ), a4 =
e¯δ + rv2 x 2¯
eδ e¯2 e¯3 − e¯δ − 1
12

a1 = xrv2 − e¯δ , a2 =

+ rv2 x 1 − 2¯
e2 e¯3 − e¯22 e¯23 + 4¯

eδ + 2¯
e1 e¯2 − 2rv4 x2 1 + e¯2

,

(1.30)
12


và
x=

c¯66
c¯12
c¯11
c2
, e¯2 =
, e¯3 =
, e¯δ = e¯1 − e¯2 e¯23 ,
, e¯1 =
2
c¯66
c¯22
c¯66
c2

c¯66
c2
rµ =
, rv = , c2 =

c66
c¯2

c66
, c¯2 =
ρ

c¯66
.
ρ¯

(1.31)

Sử dụng điều kiện liên tục của biên độ chuyển dịch pháp và biên độ ứng suất
pháp trong (1.28) vào (1.29) suy ra:
T2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = i(a3 ε + a4 ε3 )U2 (0)

(1.32)

Như vậy, qua (1.28)1 và (1.32) ta thấy rằng tại mặt phẳng x2 = 0 của bán không
gian được cho bởi điều kiện sau:
T1 (0) = 0 ,

(1.33)

T2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = iU2 (0)(a3 ε + a4 ε3 )

Phương trình (1.33)2 là điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc ba mà ta mong muốn.
Nó thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp lên bán không gian.

1.2
1.2.1

Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba
Phương trình tán sắc xấp xỉ

Bây giờ ta có thể bỏ qua lớp và chỉ xét sự truyền sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi trực hướng nén được mà mặt phẳng x2 = 0 chịu điều kiện biên
(1.33).
Theo các tác giả Phạm Chí Vinh & Ogden [26], các thành phần chuyển dịch của
sóng truyền theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 với vận tốc sóng c và số
sóng k được xác định bởi (1.25)1,2 với U1 (y) và U2 (y) được cho bởi:
U1 (y) = B1 e−b1 y + B2 e−b2 y ,
−b1 y

U2 (y) = α1 B1 e

(1.34)
−b2 y

+ α2 B2 e

trong đó B1 , B2 là những hằng số cần xác định còn b1 , b2 là nghiệm của phương
trình sau:
c22 c66 b4 +[(c12 +c66 )2 +c22 (ρc2 −c11 )+c66 (ρc2 −c66 )]b2 +(c11 −ρc2 )(c66 −ρc2 ) = 0 (1.35)
13


với b1 , b2 có phần thực dương để đảm bảo sự tắt dần khi x2 → +∞ và

√
c11 − ρc2 − c66 b2k
bk (c12 + c66 )
,
k
=
1,
2,
i
=
−1
αk = iβk , βk =
=
(c12 + c66 )bk
c22 b2k − c66 + ρc2

(1.36)

Từ (1.35), ta có:
(c12 + c66 )2 + c22 (X − c11 ) + c66 (X − c66 )
= S,
c22 c66
(c11 − X)(c66 − X)
=P
b21 b22 =
c22 c66

b21 + b22 = −

(1.37)

Dễ dàng thấy rằng, nếu sóng Rayleigh tồn tại (→ b1 , b2 có phần thực dương)

thì:

0 < X < min{c11 , c66 }

và
b1 b2 =

√

P , b1 + b2 =

√
S+2 P

(1.38)
(1.39)

Sử dụng (1.25)1,2 và (1.34) vào mối quan hệ ứng suất - biến dạng khi bỏ dấu
gạch ngang trong (1.2) thì biểu thức σ12 , σ22 cho bởi (1.25)3,4 với
T1 (y) = −ic66 (b1 + β1 )B1 e−b1 y + (b2 + β2 )B2 e−b2 y ,

(1.40)

T2 (y) = − (c12 − c22 b1 β1 )B1 e−b1 y + (c12 − c22 b2 β2 )B2 e−b2 y

Thay (1.34) và (1.40) vào (1.33) ta được hệ phương trình tuyến tình thuần nhất
cho B1 , B2 :

trong đó



 f (b1 )B1 + f (b2 )B2 = 0

(1.41)


 F (b1 )B1 + F (b2 )B2 = 0
F (bn ) = (c12 − c22 bn βn )(−a1 + a2 ε2 ) − βn (a3 ε + a4 ε3 ),

(1.42)

f (bn ) = c66 (bn + βn ), n = 1, 2

Để hệ có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ (1.41) phải bằng không,
suy ra:
f (b1 )F (b2 ) − f (b2 )F (b1 ) = 0

(1.43)

Sử dụng (1.42) vào (1.43) dẫn tới phương trình tán sắc của sóng được cho dưới
dạng sau:
A0 + A1 ε + A2 ε2 + A3 ε3 = 0
14

(1.44)

với
A0 = a1 (c12 + c22 β1 β2 )(b2 − b1 ) + (c12 + c22 b1 b2 )(β2 − β1 ) ,
A1 = a3 (β1 b2 − β2 b1 ),

(1.45)

A2 = −a2 (c12 + c22 β1 β2 )(b2 − b1 ) + (c12 + c22 b1 b2 )(β2 − β1 ) ,
A3 = a4 (β1 b2 − β2 b1 )

Từ (1.36) dễ dàng suy ra:
(c11 − X)(b1 + b2 )
(b2 − b1 ),
(c12 + c66 )b1 b2
c11 − X + c66 b1 b2
c11 − X
, β2 − β1 = −
(b2 − b1 )
β1 β2 =
c22 b1 b2
(c12 + c66 )b1 b2
β1 b2 − β2 b1 =

Thế (1.46) vào (1.45) suy ra: Ak = θA¯k , (k = 0, 1, 2, 3), θ =
đó

(1.46)

b2 − b1
trong

b1 b2 (c12 + c66 )

A¯0 = a1 (c212 − c11 c22 + c22 X)b1 b2 + (c11 − X)X ,
A¯1 = a3 (c11 − X)(b1 + b2 ),

(1.47)

A¯2 = −a2 (c212 − c11 c22 + c22 X)b1 b2 + (c11 − X)X ,
A¯3 = a4 (c11 − X)(b1 + b2 )

với b1 b2 và b1 + b2 xác định từ (1.39). Giản ước θ trong (1.44) phương trình này
trở thành:
A¯0 + A¯1 ε + A¯2 ε2 + A¯3 ε3 = 0

(1.48)

Đây là phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cần tìm và nó hoàn toàn tường minh.
Phương trình (1.48) được đưa về dạng không thứ nguyên như sau:
E0 + E1 ε + E2 ε2 + E3 ε3 = 0

15

(1.49)


trong đó
E0 = xrv2 − e¯δ

e2 x − eδ b1 b2 + e1 − x x ,

E1 = rµ rv2 x xrv2 − e¯δ
E2 = −

1 4 2
r x 1 + 3¯
e2 + rv2 x e¯22 e¯23 + 2¯
e2 e¯3 − 2¯
eδ − 3¯
e1 e¯2
6 v

e2 e¯3 − e¯δ
− e¯δ 2¯
E3 =

e1 − x b1 + b2 ,

e2 x − eδ b1 b2 + e1 − x x ,

1
e2 e¯3 − e¯22 e¯23 + 4¯
eδ + 2¯
e1 e¯2
rµ e¯2δ + rv2 x 2¯
eδ e¯2 e¯3 − e¯δ − 1 + rv2 x 1 − 2¯
12

− 2rv4 x2 1 + e¯2

e1 − x b1 + b2 ,

√
(1 − x)(e1 − x)
S + 2 P, P =
,
e2
e2 (e1 − x) + 1 − x − (1 + e3 )2
S=
e2

b1 b2 =

√

P , b1 + b2 =

(1.50)
và
e1 =

c11
c22
c12
, e2 =
, e3 =
, eδ = e1 e2 − e23 .
c66
c66
c66

(1.51)

Từ (1.49) và (1.50), ta thấy rằng vận tốc sóng Rayleigh phụ thuộc vào 9 tham
số không thứ nguyên là ek , e¯k , (k = 1, 2, 3), rµ , rv và ε.
Chú ý: Từ (1.3) ta có ek > 0, e¯k > 0, (k = 1, 2), eδ > 0, e¯δ > 0.
Từ (1.49) và (1.50)1 , khi ε = 0 thì:

hoặc (e2 x − eδ )b1 b2 + (e1 − x)x = 0

hoặc x = e¯δ c¯22 /c22 = x∗

(1.52)

Như chúng ta đã biết, phương trình (1.52)1 được biết đến là phương trình tán
sắc của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được
(Chadwich [5], Phạm Chí Vĩnh và Odgen [26]) còn (1.52)2 là tốc độ sóng dọc
của lớp. Vậy khi ε → 0 có hai mốt sóng xuất hiện, một mốt tiệm cận đến sóng
Rayleigh cổ điển trong bán không gian đàn hồi trực hướng, mốt còn lại tiệm cận

đến sóng dọc của lớp với vận tốc sóng xác định bởi (1.52)2 (xem [2] cho trường
hợp đẳng hướng), với điều kiện x∗ < 1 .

16


1.2.2

Ví dụ số

Phần trên, ta đã rút ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng

Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp
mỏng trực hướng nén được liên kết trượt. Sau đây, xét vật liệu cụ thể cho lớp và
bán không gian và tiến hành giải số phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba (1.49),
so sánh kết quả tìm được với kết quả giải từ phương trình chính xác.
0.8

0.7

0.6

x

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ε

Hình 1.2: Đồ thị của vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên bình phương x(ε) trong
đoạn [0,1] được tính dựa trên phương trình tán sắc chính xác (nét liền) và phương
trình tán sắc xấp xỉ (1.49) (nét đứt). Với e1 = 2.5, e2 = 3, e3 = 1.5, e¯1 = 1.8, e¯2 = 1,
e¯3 = 0.6, rµ = 0.5, rv = 3.

Hình 1.2 biểu diễn sự phụ thuộc vào ε = kh ∈ [0, 1] của x = c2 /c22 được

xây dựng dựa trên: phương trình tán sắc chính xác (có dạng định thức tương

tự phương trình (30) trong [2]) (nét liền) , phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba
(1.49) (nét đứt). Ở đây, ta lấy e1 = 2.5, e2 = 3, e3 = 1.5, e¯1 = 1.8, e¯2 = 1, e¯3 = 0.6,
rµ = 0.5, rv = 3. Từ hình 1.2, ta thấy: đường cong xấp xỉ bậc ba bám rất sát

đường cong vận tốc chính xác. Điều này chứng tỏ rằng phương trình tán sắc xấp
xỉ bậc ba là xấp xỉ có độ chính xác cao.

17


1.2.3

Trường hợp đẳng hướng

Khi cả lớp và bán không gian là đẳng hướng, ta có:
¯ + 2¯
¯ c¯66 = µ
c11 = c22 = λ + 2µ, c12 = λ, c66 = µ, c¯11 = c¯22 = λ
µ, c¯12 = λ,
¯ (1.53)

Từ (1.36), (1.37) và (1.53), ta suy ra:
1 − γx, b2 =

b1 =

với
c2 =

√

1 − x, β1 = b1 , β2 =

1
b2

µ

µ
c2
, x = 2, γ =
ρ
λ + 2µ
c2

(1.54)

(1.55)

Sử dụng (1.30), (1.53) và (1.54) vào (1.45), sau một số tính toán phương trình
(1.44) trong trường hợp này là:
Aˆ0 + Aˆ1 ε + Aˆ2 ε2 + Aˆ3 ε3 = 0

(1.56)

trong đó
Aˆ0 = rv2 x − 4(1 − γ¯ ) (x − 2)2 − 4b1 b2 , Aˆ1 = rµ rv2 x2 b1 rv2 x − 4(1 − γ¯ ) ,

1
γ 2 − 2) + rv4 x2 (1 + 3¯
γ ) (x − 2)2 − 4b1 b2 ,
Aˆ2 = − 8(1 − γ¯ ) + 4rv2 x(¯
6
1
Aˆ3 = rµ xb1 8(1 − γ¯ )2 + rv2 x 8(−2 + 3¯
γ − γ¯ 2 ) + 2rv2 x(4 − 2¯
γ − γ¯ 2 )
6

− rv4 x2 (1 + γ¯ )

(1.57)

,

ở đây rµ = µ¯/µ, rv = c2 /¯c2 , γ¯ = µ¯/(λ¯ + 2¯
µ ).
Phương trình (1.56) là phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho trường hợp
đẳng hướng. Ta thấy rằng với trường hợp này, vận tốc sóng Rayleigh không thứ
nguyên bình phương x = c2 /c22 phụ thuộc vào 4 tham số γ , γ¯ , rµ và rv .
Nhờ (1.50)- (1.54), không khó để chỉ ra rằng Ek =
E¯0 = 4(¯
γ − 1) + rv2 x

E¯k
, (k = 0, 1, 2, 3), trong đó
γ

[4(γ − 1) + x]b1 b2 + (1 − γx)x ,

E¯1 = rµ rv2 x 4(¯
γ − 1) + rv2 x (1 − γx)(b1 + b2 ),

1
γ 2 − 2) + rv4 x2 (1 + 3¯
γ)
E¯2 = − 8(1 − γ¯ ) + 4rv2 x(¯
6
+ (1 − γx)x ,

[4(γ − 1) + x]b1 b2

1
E¯3 = rµ 8(1 − γ¯ )2 + rv2 x 8(−2 + 3¯
γ − γ¯ 2 ) + 2rv2 x(4 − 2¯
γ − γ¯ 2 )
6
− rv4 x2 (1 + γ¯ )

(1 − γx)(b1 + b2 )
18

(1.58)


Do vậy, ta đi đến phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba dạng thứ hai cho trường
hợp đẳng hướng như sau:
(1.59)

¯0 + E
¯1 ε + E¯2 ε2 + E¯3 ε3 = 0
E

với E¯k , (k = 0, 1, 2, 3) được xác định bởi (1.58).

1.3

Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba

Trong phần này, chúng ta đi thiết lập công thức xấp xỉ bậc ba cho vận tốc sóng
Rayleigh không thứ nguyên bình phương x(ε) mà nó có dạng sau:
x(ε) = x(0) + x (0) ε +

x (0) 2 x (0) 3
ε +
ε + O(ε4 )
2
6

(1.60)

trong đó x(0) là vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên bình phương truyền
trong bán không gian đàn hồi trực hướng xác định bởi [26]
x(0) =

trong đó s1 =

√

√
s1 s2 s3 / ( s1 /3)(s2 s3 + 2) +

3

R+

√

D+

3

R−

√

(1.61)

D

e2
e2
, s2 = 1 − 3 , s3 = e1 và R, D xác định như sau:
e1
e1 e2

1
h(s1 , s2 , s3 ),
54
1 √
[2 s1 (1 − s2 )h(s1 , s2 , s3 ) + 27s1 (1 − s2 )2 + s1 (1 − s2 s3 )2 + 4]
D=−
108
R=−

(1.62)

với
h(s1 , s2 , s3 ) =

√

(1.63)

s1 [2s1 (1 − s2 s3 )3 + 9(3s2 − s2 s3 − 2)]

ở đây các căn thức trong (1.49) lấy giá trị chính.
Từ (1.49) suy ra:
x (0) = −
x (0) =

E1
E0x

x=x(0)

, x (0) = −

2 − 2E E E + E
2
2E2 E0x
0x 1 1x
0xx E1
3
E0x

− 6E3 + 6E2x x (0) + 3E1xx x 2 (0) + 3E1x x (0)

+ 3E0xx x (0)x (0) + E0xxx x 3 (0) /E0x

19

x=x(0)

,
x=x(0)

(1.64)


trong đó E1 , E2 và E3 cho bởi (1.50) và
√
√
(e2 x − eδ ) 1 − x e1 − x
+ (e1 − x)x
E0x =
√
e2
4e2 x2 − [2eδ + 3e2 (1 + e1 )]x + 2e1 e2 + eδ (1 + e1 )
+ (rv2 x − e¯δ )
+ e1 − 2x ,
√
√ √
2 e2 1 − x e1 − x
rv2

E0xx = 2rv2

4e2 x2 − 2eδ + 3e2 (1 + e1 ) x + 2e1 e2 + eδ (1 + e1 )

+ e1 − 2x
√
√ √
2 e2 1 − x e1 − x

+ (rv2 x − e¯δ ) − 2
8e2 x3 − 12e2 (1 + e1 )x2 + 3e2 (1 + 6e1 + e21 )x + eδ (1 − e1 )2 − 4e1 e1 (1 + e1 )
,
+
√
4 e2 (1 − x)3 (e1 − x)3
E0xxx = 3rv2 − 2
+

8e2 x3 − 12e2 (1 + e1 )x2 + 3e2 (1 + 6e1 + e21 )x + eδ (1 − e1 )2 − 4e1 e1 (1 + e1 )
√
4 e2 (1 − x)3 (e1 − x)3

3(rv2 x − e¯δ )(1 − e1 )2 e2 (e1 + 1) − 2eδ x − 2e1 e2 + eδ (1 + e1 )
+
,
√
8 e2 (1 − x)5 (e1 − x)5
E1x = rµ rv2 − e¯δ e1 + 2(rv2 e1 + e¯δ )x − 3rv2 x2 (b1 + b2 )
+ rµ rv2 x(rv2 x − e¯δ )(e1 − x)

2x − 1 − e1 − (1 + e2 )b1 b2
,
2e2 b1 b2 (b1 + b2 )

E1xx = 2rµ rv2 (rv2 e1 + e¯δ − 3rv2 x)(b1 + b2 )
+ − e¯δ e1 + 2(rv2 e1 + e¯δ )x − 3rv2 x2 )

2x − 1 − e1 − (1 + e2 )b1 b2
2e2 b1 b2 (b1 + b2 )

rµ rv2 x(rv2 x − e¯δ )(e1 − x)
4e2 b1 b2 + (1 + e2 )(1 + e1 − 2x)
4e22 b21 b22 (b1 + b2 )
[2x − 1 − e1 − (1 + e2 )b1 b2 ]2
−
(b1 + b2 )2
[2x − 1 − e1 − (1 + e2 )b1 b2 ](1 + e1 − 2x)
+
,
b1 b2
1
e2 + rv2 x(¯
e22 e¯23 + 2¯
e2 e¯3 − 2¯
eδ − 3¯
e1 e¯2 ) + e¯δ (¯
eδ − 2¯
e2 e¯3 )
E2x = − rv4 x2 1 + 3¯
6
4e2 x2 − [2eδ + 3e2 (1 + e1 )]x + 2e1 e2 + eδ (1 + e1 )
×
+ e1 − 2x
√

√ √
2 e2 1 − x e1 − x
1
e2 ) + e¯22 e¯23 + 2¯
e2 e¯3 − 2¯
eδ − 3¯
e1 e¯2 (e2 x − eδ )b1 b2 + (e1 − x)x
− rv2 2rv2 x(1 + 3¯
6
+

(1.65)
với b1 b2 =

√

P , b1 + b2 =

√
S + 2 P , P, S được xác định trong (1.37).
20


Khi cả lớp và bán không gian là đẳng hướng, vận tốc sóng Rayleigh được
tính bởi (1.59) trong đó:
E¯1
x (0) = − ¯
E0x

x=x(0)

, x (0) = −

¯2 E¯ 2 − 2E¯0x E¯1 E¯1x + E
¯0xx E¯ 2
2E
0x
1
¯3
E
0x

,
x=x(0)

(1.66)

¯ 3 + 6E
¯2x x (0) + 3E
¯1xx x 2 (0) + 3E¯1x x (0)
− 6E

x (0) =

¯0xx x (0)x (0) + E¯0xxx x 3 (0) /E
¯0x
+ 3E

x=x(0)

với E¯1 , E¯2 , E¯3 xác định từ (1.58), còn E¯0x , E¯0xx , E¯0xxx , E¯1x , E¯1xx , E¯2x được tính
qua công thức sau:
¯0x = r 2
E
v

E¯0xx

4(γ − 1) + x

√

1−x

1 − γx + (1 − γx)x

4γx2 + (8γ 2 − 11γ − 3)x + 2(3 − 2γ 2 )
√
,
√
2 1 − x 1 − γx
4γx2 + (8γ 2 − 11γ − 3)x + 2(3 − 2γ 2 )
2
√
= 2rv 1 − 2γx +
√
2 1 − x 1 − γx

+ 4(¯
γ − 1) + xrv2

1 − 2γx +

+ 4(¯
γ − 1) + xrv2

− 2γ

+

8γ 2 x3 − 12γ(1 + γ)x2 + 3(γ 2 + 6γ + 1)x + 4γ(−4 + 3γ − γ 2 )
4

(1 − x)3

(1 − γx)3

E¯0xxx = 3rv2 − 2γ
+

8γ 2 x3 − 12γ(1 + γ)x2 + 3(γ 2 + 6γ + 1)x + 4γ(−4 + 3γ − γ 2 )

+

3(γ − 1)2 [4(¯
γ − 1) + xrv2 ][(8γ 2 − 7γ + 1)x − 2(2γ 2 − 1)]

4

8

(1 − x)3

(1 − x)5

(1 − γx)3

(1 − γx)5

¯1x = rµ rv2 4(¯
γ − 1) + 2[rv2 − 4γ(¯
γ − 1)]x − 3γrv2 x2 (b1 + b2 )
E
− rµ rv2 x[4(¯
γ − 1) + xrv2 ](1 − γx)

γb2 + b1
,
2b1 b2

21

,

,


E¯1xx = 2rµ rv2

rv2 − 4γ(¯

γ − 1) − 3γrv2 x (b1 + b2 )

(γb2 + b1 )
2b1 b2
2
2
rµ rv x[4(¯
γ − 1) + rv x](1 − γx) 4γb1 b2 + (1 + γ)(1 + γ − 2γx) − (γb2 + b1 )2
+
b1 + b2
4b21 b22
(γ + 1 − 2γx)(γb2 + b1 )
−
,
b1 b2
¯2x = − 1 r 2 r 2 x(1 + 3¯
E
γ ) + 2(¯
γ 2 − 2)
4(γ − 1) + x b1 b2 + (1 − γx)x
3 v v
1
γ ) + 4rv2 x(¯
γ 2 − 2) − 8(¯
γ − 1)
− rv4 x2 (1 + 3¯
6
4γx2 + (8γ 2 − 11γ − 3)x + 2(3 − 2γ 2 )
√
× 1 − 2γx +

√
2 1 − x 1 − γx
− 4(¯
γ − 1) + 2(rv2 − 4γ¯
γ + 4γ)x − 3γrv2 x2

(1.67)

ở đây b1 =

√

1 − γx, b2 =

√

1 − x còn x(0) là vận tốc sóng Rayleigh không

thứ nguyên bình phương truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng (xem
[25]) :
4
x(0) = 4(1 − γ) 2 − γ +
3

3

R+

√

D+

3

R−

√

−1

D

(1.68)

với
R = 2(27 − 90γ + 99γ 2 − 32γ 3 )/27 ,
2

2

(1.69)
3

D = 4(1 − γ) (11 − 62γ + 107γ − 64γ )/27

và các căn thức trong (1.68) lấy giá trị chính. Ngoài ra, x(0) còn có thể được
tính bởi công thức khác của Malischewsky [10] hoặc bởi các công thức xấp xỉ
có độ chính xác cao được tìm ra gần đây bởi Phạm Chí Vĩnh và Malischewsky
[27, 28].
Chú ý, ta cũng có thể thu được các biểu thức của (1.67) bởi cách lấy đạo hàm

của E¯0 , E¯1 và E¯2 trong (1.50) theo x.
Ở trên, ta đã tìm ra được công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba (1.60). Sau đây,
ta xét vật liệu cụ thể, tính vận tốc sóng Rayleigh theo công thức xấp xỉ (1.60)
và so sánh với các giá trị chính xác tương ứng.

22


0.92

1/2

x

0.9

0.88

0.86

0.84

0.82

0.8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Hình 1.3: Đồ thị của vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên

0.9

ε

1

x(ε) trong đoạn [0,1]

được tính dựa trên phương trình tán sắc chính xác (nét liền) và công thức vận tốc
sóng xấp xỉ (1.60) cho trường hợp đẳng hướng (nét đứt). Ở đây lấy rµ = 3, rv = 0.6,
γ = 1/3 và γ¯ = 2/3.

Từ hình 1.3, ta thấy: đường cong chính xác khá gần với đường cong xấp
xỉ bậc ba khi ε ∈ [0, 0.8] .

23


Chương 2
Sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi trực hướng không nén
được phủ lớp mỏng trực hướng
không nén được liên kết trượt
Trong chương này, ta nghiên cứu sự lan truyền của sóng Rayleigh theo
hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 , trong bán không gian đàn hồi trực hướng
không nén được x2 ≥ 0 bị phủ bởi lớp mỏng đàn hồi trực hướng không nén được
có độ dày h.

x2 = -h
_ _ _

c , ,p
ij

0

c , ,p
ij

x3

x1

x2

Hình 2.1: Mô hình bán không gian trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực
hướng không nén được.

24