Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
---------------

ĐỖ THẾ SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỖ THẾ SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học
Mã số: 9460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. NGUYỄN VĂN QUẢNG
2. TS. LÊ HỒNG SƠN

NGHỆ AN - 2020


i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả
viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi
đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa
từng được ai công bố trước đó.

Tác giả

Đỗ Thế Sơn


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng
dẫn khoa học của GS.TS. Nguyễn Văn Quảng và TS. Lê Hồng Sơn. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy đã hướng dẫn
tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan
tâm và góp ý của TS. Nguyễn Thị Thế, PGS.TS. Lê Văn Thành, TS.
Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, TS.
Dương Xuân Giáp, TS. Trần Anh Nghĩa, PGS. TS Nguyễn Chiến Thắng,
TS. Nguyễn Huy Chiêu cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu đó.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng
Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiện
thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại
học Công nghiệp TP. Hồ Chí Minh, nơi tác giả đang làm việc, đã tạo điều
kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán vì đã
hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và nghiên cứu
tại Viện.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè và đồng nghiệp đã luôn
động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn là chỗ
dựa vững chắc cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác.
Đỗ Thế Sơn


1

MỤC LỤC

Mở đầu

4

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

10

1.1. Toán tử trong không gian Hilbert

. . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Toán tử đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Các dạng hội tụ và sự độc lập

. . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chương 2. Một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn
đối với dãy các toán tử đo được

26

2.1. Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương . . 26
2.2. Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi

một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3. Một số dạng khả tích đều và luật mạnh số lớn đối với dãy các
toán tử đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chương 3. Một số định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối
với dãy và mảng các toán tử đo được
3.1. Luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được

64
. . . . . . . 64


2

3.2. Luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo được

. . . . . . 69

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án

87

Tài liệu tham khảo

88


3

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

R+

Tập số thực không âm

C

Tập số phức

∅

Tập rỗng

B(R)

σ -đại số Borel của tập số thực R

B ∈ B(R)

B là tập con Borel của tập số thực R

H

Không gian Hilbert phức

x, y
L(H)
T

∞

Tích vô hướng của x, y ∈ H
Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H
Chuẩn của toán tử T ∈ L(H)

A

Đại số von Neumann

1

Toán tử đồng nhất

1A

Hàm chỉ tiêu của tập A

σ(T )

Phổ của toán tử T

W ∗ (X)

Đại số von Neumann sinh bởi toán tử đo được X

eB (X)

Phép chiếu phổ của toán tử tự liên hợp X tương ứng
với tập con Borel B của tập số thực R

τ

Trạng thái vết

✷

Kết thúc chứng minh

4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên
cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành
khoa học thực nghiệm khác. Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiên
cứu cho nhiều đối tượng khác nhau. Chẳng hạn, luật số lớn cho các biến
ngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất không
giao hoán. Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán
đang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được những
kết quả nhất định (xem [3], [23], [35], [43], [60]).
1.2. Lý thuyết tích phân không giao hoán được bắt đầu nghiên cứu vào
những năm 1952-1953 bởi I. E. Segal [52]. Sau đó, nó tiếp tục được nghiên
cứu bởi R. A. Kunze [31], W. F. Stinespring [53], E. Nelson [36], F. J.
Yeadon [59]... Trên cơ sở của lý thuyết tích phân không giao hoán, lý
thuyết xác suất không giao hoán đã được nghiên cứu bởi C. J. Batty [3],
A. R. Padmanabhan [37], A. Luczak [35], R. Jajte [23] và đang tiếp tục
được quan tâm. Trong xác suất không giao hoán, không có không gian
xác suất cơ bản, thay vì nghiên cứu các biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu các
toán tử trên đại số von Neumann hoặc toán tử đo được. Do phép nhân
các toán tử không có tính giao hoán và chúng ta cũng không thể nói về
max, min của các toán tử nên để nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết xác


5

suất không giao hoán, cần có những công cụ mới và kỹ thuật mới.
1.3. Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theo
hai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái
và toán tử đo được với trạng thái vết. Khó khăn trong hướng thứ nhất là
tính chất hạn chế của trạng thái, còn trong hướng thứ hai thì tính không
bị chặn của các toán tử đo được làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp. Các
đặc điểm đó góp phần tạo nên sự đa dạng của các vấn đề cần được quan
tâm, nghiên cứu về các định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán.
1.4. Do yêu cầu của nhiều bài toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng
tử, những vấn đề của toán tử bị chặn trên đại số von Neumann hoặc các
toán tử đo được đã được nghiên cứu sôi nổi từ những năm bảy mươi của
thế kỷ trước và tiếp tục được nghiên cứu cho đến nay. Chính vì vậy, việc
nghiên cứu định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán không chỉ có
ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án của mình là:

“Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán” .
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận án là thiết lập một số định lý giới hạn
dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện
khác nhau.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các toán tử đo được và luật số
lớn cho các toán tử đo được đối với trạng thái vết trong xác suất không
giao hoán.
4. Phạm vi nghiên cứu

6

Luận án tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn dạng luật số lớn
của các toán tử đo được dưới các dạng hội tụ khác nhau như: hội tụ hầu
đều hai phía, hội tụ trong LP , hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng các
khái niệm khả tích sang không gian xác suất không giao hoán.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp cơ bản của lý thuyết
xác suất trong chứng minh luật số lớn và các kỹ thuật của lý thuyết toán
tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn
phổ của toán tử.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng
nghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất không giao
hoán.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê
toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Luật số lớn đầu tiên trong xác suất không giao hoán được chứng minh
năm 1979 bởi C. J. K. Batty [3]. Trong bài báo của mình, ông đã thiết
lập dạng không giao hoán của bất đẳng thức Kolmogorov và chứng minh
luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập liên tiếp. Sau
đó, A. Luczak [35] đã xây dựng một số luật mạnh và luật yếu số lớn cho
dãy các toán tử đo được độc lập liên tiếp cùng phân phối. Tiếp đến, R.
Jajte [23], [24] đã chứng minh một số kết quả đáng quan tâm như: luật
mạnh số lớn đối với dãy các toán tử trực giao, định lý 3 chuỗi Kolmogorov

7

hay luật mạnh số lớn Chung Kailai.
Trong nước, luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử cũng được
một số tác giả như Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quảng, Lê Hồng Sơn,
Nguyễn Ngọc Huy nghiên cứu (xem [43], [45]).
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng
luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được.
Đối với luật mạnh số lớn, đầu tiên chúng tôi sử dụng một số kỹ
thuật của lý thuyết toán tử và các phương pháp được phát triển bởi N.
Etemadi ([18], [19]), S. Cs¨org˝o, K. Tandori, V. Totik [16], T. K. Chandra,
A. Goswami ([8], [9]) và V. Korchevsky [29] để thiết lập một số luật mạnh
số lớn cho dãy các toán tử đo được dương.
Sử dụng những kết quả này, chúng tôi chứng minh một số luật mạnh
số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối
hoặc không cùng phân phối.
Tiếp đến, chúng tôi chứng minh các điều kiện tương đương của khả
tích đều đối với dãy các toán tử đo được. Dựa vào kết quả đó, chúng tôi
xây dựng một số khái niệm khả tích đối với dãy các toán tử đo được trong
xác suất không giao hoán.
Cuối cùng, luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử độc lập đôi một
và khả tích mạnh Cesàro mức α được chúng tôi nghiên cứu.
Đối với luật yếu số lớn, trước hết chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ trong

L1 đối với dãy các toán tử đo được, khả tích Cesàro dư mức α và độc lập
đôi một hoặc m-phụ thuộc.
Sau đó, chúng tôi xây dựng các khái niệm: khả tích đều theo nghĩa
Cesàro, h-khả tích tương ứng với mảng hằng số {ani } và h-khả tích với
mũ r của mảng các toán tử đo được.

8

Cuối cùng, chúng tôi thiết lập một số định lý hội tụ trung bình và
luật yếu số lớn cho mảng các toán tử đo được từ các khái niệm trên.
7.2. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu,
Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liên
quan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba
chương.
Chương 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở cho
những nghiên cứu của luận án. Mục 1.1 giới thiệu một số khái niệm về đại
số Banach, toán tử trong không gian Hilbert, khai triển đơn vị và định lý
phổ. Mục 1.2 giới thiệu về đại số von Neumann, phép chiếu, trạng thái
và trạng thái vết. Mục 1.3 trình bày định nghĩa và một số tính chất của
toán tử đo được. Cuối cùng, Mục 4.4 trình bày một số dạng hội tụ và
một số khái niệm độc lập trong xác suất không giao hoán.
Chương 2 nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn
đối với dãy các toán tử đo được. Trong Mục 2.1, chúng tôi thiết lập một
số luật mạnh số lớn cho dãy các toán tử đo được dương. Mục 2.2 chứng
minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được, độc lập
đôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối. Trong Mục 2.3, đầu
tiên chúng tôi chứng minh một số tính chất tương đương của điều kiện
khả tích đều đối với dãy các toán tử đo được trong xác suất không giao
hoán. Sau đó, chúng tôi xây dựng một số khái niệm khả tích và chứng
minh một số tiêu chuẩn khả tích trong xác suất không giao hoán. Cuối
cùng, chúng tôi sẽ trình bày một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán
tử đo được độc lập đôi một thỏa mãn điều kiện khả tích mạnh mức α
(SCI(α)) hoặc khả tích đều mạnh Cesa
`ro (SCUI).

Chương 3 nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với


9

dãy và mảng các toán tử đo được. Mục 3.1 thiết lập một số luật yếu số
lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một hoặc m-phụ thuộc.
Trong Mục 3.2, chúng tôi xây dựng một số khái niệm mới về một số dạng
khả tích đối với mảng các toán tử đo được trong xác suất không giao
hoán. Ngoài ra, trong mục này, chúng tôi còn chứng minh một số định lý
hội tụ trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo được
dưới các điều kiện thích hợp.
Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại: Đại hội Toán
học Việt Nam lần thứ 9 (Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Nha Trang,
14-18/8/2018); Hội thảo khoa học: “Nghiên cứu và dạy học toán đáp ứng
yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay” (Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại
học Vinh, 19/9/2019); Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán
ứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh (từ năm
2015 đến năm 2019). Phần lớn các kết quả này đã được viết thành 3 bài
báo, công bố trên các tạp chí Statistics and Probability Letters, Journal
of Theoretical Probability và Lobachevskii Journal of Mathematics.


10

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của
lý thuyết xác suất không giao hoán. Nội dung của chương này được viết

dựa trên các tài liệu [5], [13], [20], [23], [27], [30], [37], [48], [50].

1.1

Toán tử trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 ([50]). Giả sử A là một không gian vectơ trên trường
số phức C. Khi đó, A được gọi là một đại số phức nếu trên A có phép
nhân thỏa mãn các điều kiện sau:

i) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;
ii) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ A;
iii) α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C.
Ví dụ 1.1.2. Xét Cn = {(x1 , . . . , xn )|xi ∈ C} với phép nhân

(x1 , . . . , xn ).(y1 , . . . , yn ) = (x1 y1 , . . . , xn yn ).
Khi đó Cn là đại số phức.
Định nghĩa 1.1.3 ([50]). Giả sử A là một đại số phức. Khi đó, A được
gọi là một đại số Banach nếu:

i) A là không gian Banach với chuẩn tương ứng thỏa mãn điều kiện
xy

x . y , (∀x, y ∈ A);


11

ii) A chứa phần tử đơn vị e sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ A và e = 1.
Nếu thêm điều kiện xy = yx, ∀x, y ∈ A thì A được gọi là đại số

Banach giao hoán.
Ví dụ 1.1.4. Giả sử X là không gian Banach. Ký hiệu

L(X ) = {T : X → X là ánh xạ tuyến tính liên tục}.
Trên L(X ) ta định nghĩa các phép toán:

• (S + T )(h) = S(h) + T (h), ∀S, T ∈ L(X ), ∀h ∈ X ;
• (αT )(h) = α.T (h), ∀T ∈ L(X ), ∀α ∈ C, ∀h ∈ X ;
• (ST )(h) = S(T (h)), ∀S, T ∈ L(X ), ∀h ∈ X .
Khi đó, L(X ) với chuẩn T

∞

= sup T (h) là một đại số Banach
h

1

không giao hoán có đơn vị e chính là toán tử đồng nhất 1.
Nếu thay không gian Banach X bởi không gian Hilbert phức H thì ta
được L(H) là đại số Banach không giao hoán các toán tử tuyến tính liên
tục trong H.
Định nghĩa 1.1.5 ([50]). Giả sử A là đại số Banach với phần tử đơn vị
là e và x ∈ A. Khi đó

i) Phần tử x được gọi là khả nghịch nếu nó có nghịch đảo trong A,
tức là, tồn tại x−1 ∈ A sao cho

x−1 x = xx−1 = e.
ii) Tập σ(x) = {λ ∈ C : (λe − x) không khả nghịch} được gọi là phổ

của x.
Ví dụ 1.1.6. Nếu λ là giá trị riêng của toán tử tuyến tính liên tục

T ∈ L(H) thì T (h) = λh, với mọi h ∈ H, h = 0, hay (λ1 − T )(h) = 0.


12

Trong trường hợp này λ1 − T không khả nghịch, do đó nếu λ là giá trị
riêng của toán tử tuyến tính liên tục T thì λ ∈ σ(T ).
Định nghĩa 1.1.7 ([5]). Ánh xạ tuyến tính T : H → H được gọi là toán
tử bị chặn nếu có một hằng số K ≥ 0 sao cho

K. h , ∀h ∈ H.

T (h)

(1.1)

Số K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là chuẩn của toán tử T và
được ký hiệu là T

∞,

tức là

T

∞

= sup T (h) .
h

1

Nhận xét 1.1.8 ([5]). Toán tử T liên tục khi và chỉ khi T là toán tử bị
chặn.
Định nghĩa 1.1.9 ([5]). Giả sử D là không gian con của H, toán tử
tuyến tính T : D → H được gọi là toán tử xác định bộ phận trên H. Nếu
miền xác định D(T ) của toán tử T trù mật trong H thì T được gọi là
toán tử xác định trù mật trên H.
Một toán tử xác định bộ phận (hoặc xác định trù mật) trên H có thể
bị chặn hoặc không bị chặn.
Toán tử xác định trù mật trên H được gọi là toán tử đóng nếu đồ thị
của nó là một không gian con đóng của H × H.
Định nghĩa 1.1.10 ([30]). Hai toán tử S và T được gọi là bằng nhau,
ta viết S = T , nếu các miền xác định D(S) = D(T ) và S(x) = T (x) với
mọi x ∈ D(S) = D(T ).
Định nghĩa 1.1.11 ([50]). Giả sử T là toán tử xác định trù mật trên H.
Toán tử T ∗ : D(T ∗ ) → H được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T nếu:

i) D(T ∗ ) = {y ∈ H : ánh xạ x → T (x), y liên tục trên D(T )};


13

ii) T (x), y = x, T ∗ (y) , ∀x ∈ D(T ), y ∈ D(T ∗ ).
Nếu T = T ∗ thì T được gọi là toán tử tự liên hợp.
Định nghĩa 1.1.12 ([50]). Một toán tử tuyến tính (không nhất thiết bị
chặn) T đóng và xác định trù mật trên H được gọi là toán tử chuẩn tắc

nếu T ∗ T = T T ∗ .
Mệnh đề 1.1.13 ([50]). Nếu T ∈ L(H) là toán tử chuẩn tắc thì

T

∞

= sup

T (x), x

: x ∈ H, ||x|| ≤ 1 .

Định nghĩa 1.1.14 ([5]). Toán tử xác định trù mật T trên H được
gọi là toán tử dương, ký hiệu T ≥ 0, nếu T là toán tử tự liên hợp và

T (h), h ≥ 0, ∀h ∈ D(T ).
Giả sử S, T là hai toán tử xác định trù mật trên H, ta viết T ≤ S
nếu S − T ≥ 0.
Mệnh đề 1.1.15 ([5]). Giả sử T là toán tử xác định trù mật trên H. Khi
đó, các khẳng định sau đúng.
i) Nếu T là toán tử tự liên hợp thì σ(T ) ⊂ R.
ii) Nếu T là toán tử đóng thì T ∗ T là toán tử dương.
iii) Nếu T là toán tử dương thì σ(T ) ⊂ [0, ∞).
Định nghĩa 1.1.16 ([5]). Giả sử T là toán tử đóng trên H. Toán tử
dương S được gọi là căn bậc hai của toán tử dương T ∗ T , ký hiệu S = |T |,
nếu S 2 = T ∗ T .
Định nghĩa 1.1.17 ([5]). Giả sử M là một tập con của H, đặt

M ⊥ = {x ∈ H : x, y = 0 với mọi y ∈ M }.

Khi đó, M ⊥ là một không gian con đóng của H và được gọi là phần bù
trực giao của M .


14

Định nghĩa 1.1.18 ([5]). Giả sử M là một không gian con đóng của H.
Khi đó, mọi x ∈ H có thể được viết duy nhất dạng: x = x1 + x2 , trong
đó x1 ∈ M , x2 ∈ M ⊥ .
Toán tử tuyến tính

p:H→M
x → p(x) = x1
được gọi là phép chiếu (trực giao) lên M .
Nhận xét 1.1.19 ([5]). Phép chiếu p là toán tử bị chặn và p = p∗ = p2 .
Ngược lại, nếu p ∈ L(H) thoả mãn p = p∗ = p2 thì p là một phép
chiếu lên M = p(H).
Do đó, có sự tương ứng một-một giữa các phép chiếu trong L(H) và
các không gian con đóng của H.
Định nghĩa 1.1.20 ([20]). Giả sử Ω = ∅, F là một σ -đại số các tập con
của Ω. Ánh xạ µ : F → C được gọi là độ đo phức nếu:
i) µ(∅) = 0;
ii) Nếu {An , n ≥ 1} là dãy các phần tử rời nhau của F thì
∞

µ

∞

An

n=1

=

µ(An ).
n=1

Định nghĩa 1.1.21 ([50]). Giả sử Ω = ∅, F là một σ -đại số các tập con
của Ω. Ánh xạ E : F → L(H) được gọi là khai triển đơn vị nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) E(∅) = 0 và E(Ω) = 1;
ii) Với mọi A ∈ F thì E(A) là một phép chiếu;


15

iii) E(A ∩ B) = E(A)E(B), ∀A, B ∈ F ;
iv) Nếu A, B ∈ F, A ∩ B = ∅ thì E(A ∪ B) = E(A) + E(B);
v) Với mọi x, y ∈ H thì ánh xạ Ex,y : F → C được xác định bởi

Ex,y (A) = E(A)(x), y , ∀A ∈ F là độ đo phức.
Định lý 1.1.22 ([50]). Nếu T là toán tử tự liên hợp xác định bộ phận
trên H thì tồn tại duy nhất khai triển đơn vị E xác định trên các tập con
Borel B của tập số thực R sao cho
+∞

T (x), y =

λdEx,y (λ)

(x ∈ D(T ), y ∈ H).

(1.2)

−∞

Hơn nữa, E tập trung trên σ(T ) ⊂ (−∞, +∞), tức là E σ(T ) = 1.
Công thức (1.2) được gọi là biểu diễn phổ của toán tử T và thường
+∞

được viết dưới dạng: T =

+∞

λdE(λ) hoặc T =
−∞

λedλ (T ).
−∞

Khai triển đơn vị E trong Định lý 1.1.22 được gọi là phép phân tích
phổ của toán tử T và E(B) được gọi là phép chiếu phổ của toán tử T
tương ứng với tập con Borel B của tập số thực R, ta viết E(B) = eB (T ).
Nhận xét 1.1.23 ([5]). Nếu E là phép phân tích phổ của toán tử T và

B là tập con Borel của R thì E(B) giao hoán với T .
Ngoài ra, với mọi toán tử S ∈ L(H) giao hoán với T thì E(B) giao
hoán với S .

1.2

Đại số von Neumann

Định nghĩa 1.2.1 ([5]). Dãy suy rộng {Ti } ⊂ L(H) được gọi là hội tụ
đến T ∈ L(H) theo tôpô toán tử mạnh nếu

Ti − T (h) → 0, với mọi h ∈ H.


16

Dãy suy rộng {Ti } ⊂ L(H) được gọi là hội tụ đến T ∈ L(H) theo
tôpô toán tử yếu nếu

Ti − T (h), k → 0, với mọi h, k ∈ H.
Định nghĩa 1.2.2 ([23]). Một đại số con A của L(H) được gọi là đại số
von Neumann nếu:
i) A đóng đối với phép liên hợp, nghĩa là nếu T ∈ A thì T ∗ ∈ A;
ii) A chứa toán tử đồng nhất 1;
iii) A đóng yếu, nghĩa là nếu dãy suy rộng {Ti } ⊂ A và Ti → T theo
tôpô toán tử yếu thì T ∈ A.
Ví dụ 1.2.3. L(H), {1} là các đại số von Neumann.
Ví dụ 1.2.4. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, J 2 = L2 (Ω, F, P)
là họ các đại lượng ngẫu nhiên phức X : Ω → C thoả mãn E|X|2 < ∞.
Khi đó, J 2 là không gian Hilbert phức với tích vô hướng

XY dP, X, Y ∈ J 2 .

X, Y =
Ω

Ta gọi L∞ (Ω) là họ các đại lượng ngẫu nhiên X : Ω → C sao cho

P {ω ∈ Ω : |X(ω)| ≤ M } = 1,
với M > 0 nào đó.
Với mỗi X ∈ L∞ (Ω), ánh xạ

TX : J 2 → J 2
Y → TX (Y ) = XY
là toán tử tuyến tính bị chặn.
Đặt

A = {TX : X ∈ L∞ (Ω)}.
Khi đó A ⊂ L(J 2 ) là đại số von Neumann.


17

Mệnh đề 1.2.5 ([23]). Giả sử P rojA là tập các phép chiếu thuộc A. Với
mỗi họ (pi )i∈I ⊂ P rojA, đặt:

pi là phép chiếu từ H lên không gian con đóng sinh bởi
i∈I

pi (H),
i∈I

pi là phép chiếu từ H lên không gian con
i∈I

pi (H).
i∈I

Khi đó

pi
i∈I

⊥

p⊥
i ,

=
i∈I

trong đó p⊥ = 1 − p là phép chiếu bù trực giao của p.
Định nghĩa 1.2.6 ([23]). Toán tử U ∈ L(H) được gọi là toán tử đẳng
cự bộ phận nếu U ∗ U là một phép chiếu.
Định nghĩa 1.2.7 ([23]). Hai phép chiếu p, q trong đại số von Neumann

A ⊂ L(H) được gọi là tương đương, ký hiệu p ∼ q , nếu tồn tại toán tử
đẳng cự bộ phận U ∈ A sao cho U ∗ U = p và U U ∗ = q .
Giả sử p, q là hai phép chiếu trong đại số von Neumann A ⊂ L(H).
Khi đó, p được gọi là phép chiếu con của q nếu p ≤ q. Chúng ta viết

p ≺ q nếu p tương đương với một phép chiếu con của q .
Mệnh đề 1.2.8 ([23]). Nếu p, q là các phép chiếu trong A thì p ∨ q − q ∼

p − p ∧ q . Đặc biệt, nếu p ∧ q = 0 thì p ≺ 1 − q .

Định nghĩa 1.2.9 ([23]). Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann. Ký
hiệu A+ = {X ∈ A : X ≥ 0} và τ : A → C là phiếm hàm tuyến tính.
Khi đó
i) τ được gọi là dương nếu τ (X) ≥ 0, ∀X ∈ A+ .
ii) τ được gọi là chính xác nếu τ (X) = 0 suy ra X = 0 với mọi X ∈ A+ .


18

iii) τ được gọi là trạng thái nếu τ dương và τ (1) = 1.
iv) Trạng thái τ được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi dãy suy rộng

{Xi } ⊂ A+ , Xi ↑ X (theo tôpô toán tử mạnh) đều có τ (Xi ) ↑ τ (X).
v) Trạng thái τ được gọi là trạng thái vết nếu

τ (XY ) = τ (Y X), ∀X, Y ∈ A;
τ (p ∨ q)

1.3

τ (p) + τ (q), ∀p, q ∈ P rojA.

Toán tử đo được

Mệnh đề sau đây được sử dụng để định nghĩa toán tử đo được trong
xác suất không giao hoán.
Mệnh đề 1.3.1 (Phân tích cực của một toán tử [23]). Nếu X là một
toán tử đóng xác định trù mật trên H thì tồn tại duy nhất một toán tử
đẳng cự bộ phận U sao cho

X = U |X|,

(1.3)

với |X|2 = X ∗ X .
Công thức (1.3) được gọi là phân tích cực của toán tử X .
Định nghĩa 1.3.2 ([23]). Giả sử toán tử đóng xác định trù mật X trên

H có phân tích cực X = U |X|. Khi đó, toán tử X được gọi là liên kết với
đại số von Neumann A nếu U thuộc A và mọi phép chiếu phổ của toán
tử |X| cũng thuộc A.
Ký hiệu A là tập các toán tử liên kết với đại số von Neumann A. Mỗi
phần tử X ∈ A được gọi là một toán tử đo được.


19

Định nghĩa 1.3.3 ([13]). Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann
với trạng thái vết chuẩn tắc, chính xác τ . Với P ≥ 1, ta gọi không gian
Banach các phần tử trong A, ký hiệu LP (A, τ ), là tập các phần tử thuộc

A thỏa mãn
1

||X||P = [τ (|X|P )] P < ∞.
Để thống nhất, A sẽ được ký hiệu là L0 (A, τ ). Khi đó, với 1 ≤ P ≤

Q < ∞, chúng ta có bao hàm thức
A ≡ L∞ (A, τ ) ⊂ LQ (A, τ ) ⊂ LP (A, τ ) ⊂ ... ⊂ L0 (A, τ ) = A.
Mệnh đề 1.3.4 (Bất đẳng thức Chebyshev). Giả sử X ∈ L0 (A, τ ) và

g : (0; ∞) → (0; ∞) là hàm đo được không giảm sao cho τ (g(|X|)) < ∞.
Khi đó, với mọi ε > 0 ta có

τ (g(|X|))
.
g(ε)

τ e[ε,∞) (|X|) ≤

Chứng minh. Giả sử |X| có biểu diễn phổ là
∞

|X| =

λ.edλ (|X|).
0

Khi đó
∞

τ g(|X|) =

g(λ).τ edλ (|X|)
0
∞

≥

g(λ).τ edλ (|X|)

ε
∞

≥ g(ε).

τ edλ (|X|)
ε

= g(ε).τ e[ε,∞) (|X|) .
Mệnh đề được chứng minh.


20

Hệ quả 1.3.5 (Bất đẳng thức Markov). Nếu X ∈ L0 (A, τ ) thì với mọi

ε > 0, ta có
τ |X|P
τ e[ε,∞) (|X|)
, P > 0.
εP
Mệnh đề 1.3.6. Nếu X ∈ L0 (A, τ ) thì với mọi ε > 0, ta có:
i) |X|e[0,ε) (|X|)(h)

< ε h , ∀h ∈ H.

ii) |X|e[ε,∞) (|X|)(h)

≥ ε h , ∀h ∈ e[ε,∞) (|X|)(H).

Chứng minh. i) Giả sử |X| có biểu diễn phổ là
∞

|X| =

λedλ (|X|).
0

Khi đó

ε

|X|e[0,ε) (|X|) =

λedλ (|X|).
0

Do đó

|X|e[0,ε) (|X|)(h)

2

= |X|e[0,ε) (|X|)(h) , |X|e[0,ε) (|X|)(h)
= |X|2 e[0,ε) (|X|)(h) , h
ε

λ2 dEh,h (λ)

=

0

ε

< ε2 .

dEh,h (λ)
0

2

= ε .Eh,h [0, ε)
= ε2 . e[0,ε) (|X|)(h)

2

ε2 . h 2 , ∀h ∈ H.
Vậy

|X|e[0,ε) (|X|)(h)
ii) Chứng minh tương tự.

< ε h , ∀h ∈ H.


21

Hệ quả 1.3.7. Nếu X ∈ L0 (A, τ ) thì với mọi ε > 0, ta có:

i) |X|e[0,ε) (|X|)

< ε.

∞

ii) Xe[0,ε) (|X|)(h)

∞

iii) Xe[ε,∞) (|X|)(h)

< ε h , ∀h ∈ H và Xe[0,ε) (|X|)

< ε.

≥ ε h , ∀h ∈ e[ε,∞) (|X|)(H).

|X|e[0,ε) (|X|)(h)

Chứng minh. Từ

∞

< ε h , ∀h ∈ H ta suy ra i).

Để chứng minh ii) và iii) ta sẽ chứng minh

Xe[0,ε) (|X|)(h) = |X|e[0,ε) (|X|)(h) , với mọi h ∈ H.
Thật vậy, với mọi h ∈ H, ta có

Xe[0,ε) (|X|)(h)

2

= Xe[0,ε) (|X|)(h), Xe[0,ε) (|X|)(h)
= e[0,ε) (|X|)|X|2 e[0,ε) (|X|)(h), h
= |X|e[0,ε) (|X|)(h), |X|e[0,ε) (|X|)(h)
2

= |X|e[0,ε) (|X|)(h) .
Hệ quả được chứng minh.
Mệnh đề 1.3.8. Giả sử X là toán tử tự liên hợp thuộc A. Khi đó, với
mỗi số thực a ∈ R, ta có

|X + a| ≤ |X| + |a|.
Chứng minh. Giả sử biểu diễn phổ của toán tử tự liên hợp X là
+∞

λdE(λ).

X=
−∞

Khi đó, với mọi h ∈ H, ta có

(|X| + |a|) (h), h − |X + a| (h), h
+∞

+∞

(|λ| + |a|) dEh,h (λ) −

=
−∞

|λ + a| dEh,h (λ)
−∞