Bài giảng xác suất thống kê đại học chương 5: định lý giới hạn trong xác suất


Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
§1. Một số loại hội tụ trong xác suất và các định lý
§2. Các loại xấp xỉ phân phối xác suất
………………………………………………………………………
2.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson
§2. CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức
2.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
2.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức
Xét BNN
X
có phân phối Siêu bội
( ; ; )
A
H N N n
.
• Nếu
p
cố định,
N
® ¥
và
1
A
N
p q
N
® = -

thì:
A A
k n k
N N N
d
k k n k
n
n
N
C C
C p q
C
-
-
-
¾ ¾®
.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
ỨNG DỤNG
Nếu
N
khá lớn và
n
rất nhỏ so với
N
thì

( ; ), .
A

N
X B n p p
N
=:

Chú ý
Khi cỡ mẫu
n
khá nhỏ so với kích thước
N
(
khoảng
5%
N
) của tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại
hay
không hoàn lại là như nhau.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Đỏ:
(10.000; 4.000; 10)
X H
Î
,
Xanh:
(10; 0, 4)
X B
Î
.
VD 1. Một vườn lan có 10.

000 cây sắp nở hoa, trong đó
có 1.000 cây hoa màu đỏ.
1) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 20 cây lan thì

được 5 cây có hoa màu đỏ.
2) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 50 cây lan thì

được 10 cây có hoa màu đỏ.
3) Có thể tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 200 cây

lan thì có 50 cây hoa màu đỏ được không ?

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
2.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson
Xét biến ngẫu nhiên
X
có phân phối Nhị thức
( ; )
B n p
.

• Khi
n
® ¥
, nếu

0
p
®
và
np
® l
thì:
.
!
k
d
k k n k
n
e
C p q
k
- l
-
l
¾ ¾ ®
.
• Ứng dụng, đặt
np
l =
.
Nếu
n
đủ lớn và
p
gần bằng 0 (hoặc gần bằng 1) thì:

( ).
X P
l
:


Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Xanh:
(1.000; 0, 005)
X B
Î
,
Đỏ:
(5)
X P
Î
.

VD 2.
Một lô hàng
thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu
có chứa 0,4% bị nhiễm khuẩn
. Tìm xác suất để khi
chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lô hàng này có:
1) không quá 2 gói bị nhiễm khuẩn;
2) đúng 34 gói bị nhiễm khuẩn.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất


Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
VD 3. Giải câu 3) trong VD 1.
Giải
Ta có:
(10.000; 1.000; 200)
X H
Î
.
Ta xấp xỉ
(200; 0,1)
X B
:
, với
0,1
p
=
.
Tiếp tục xấp xỉ
(20)
X P
:
, với
20
np
l = =
.
Vậy
50

20 9
50
20
( 50) . 7,6.10
50!
P X p e
- -
= » = =
.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Tóm tắt các loại xấp xỉ rời rạc
( , , )
A
X H N N n
Î
A
N
p
N
=
( , )
X B n p
Î
5
5
np
nq
é
<

ê
ê
<
ê
ë
( )
X P
l
Î
(
)
5%
n N
<
np
l
=
.
A
N
n
N
l =
Sai số rất lớn

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
2.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn

a) Định lý giới hạn địa phương Moivre – Laplace
Xét biến ngẫu nhiên

X
có phân phối Nhị thức
( ; )
B n p
.

Với
0,1, ,
k n
=
bất kỳ và
k np
x
npq
-
=
, ta có :
2

2
. ( )
lim 1
1
2
n
x
n
npq P X k
e
® ¥

-
=
=
p
.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
b) Định lý giới hạn tích phân Moivre – Laplace
Xét biến ngẫu nhiên
X
có phân phối Nhị thức
( ; )
B n p
.

Với mọi
,
a b
Î
¡
và
a b
<
, ta có:
2
2
1
lim ( )
2
b np

npq
x
n
a np
npq
P a X b e dx
-
-
® ¥
-
£ £ =
p
ò
.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
c) Ứng dụng xấp xỉ
Cho
( ; )
X B n p
Î
. Nếu
n
khá lớn,
5
np
³
và
5
nq

³

thì
2
( ; )
X N
m s
:
với
2
,
np npq
m= s =
.
Khi đó:
1
( ) . .
k
P X k f
æ ö
- m
÷
ç
= =
÷
ç
÷
ç
÷
s s

è ø

(giá trị được cho trong bảng
A
với
( ) ( )
f x f x
- =
).

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
2 1
1 2
( ) .
k k
P k X k
æ ö æ ö
- m - m
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
£ £ = j - j
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç çs s
è ø è ø

(giá trị được cho trong bảng
B
với
( ) ( )
x x
j - = - j
).
Chú ý
Khi
k
= m
, ta sử dụng công thức hiệu chỉnh:
( ) ( 0, 5 0, 5).
P X k P k X k
= » - £ £ +


Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất
Xanh:
(30; 0,6)
X B
Î
,
Đỏ:
(18; 7, 2)
X N
Î
.

VD 4
.
Trong một đợt thi tuyển công chức ở một
thành
phố có 1.000 người dự thi với tỉ lệ thi đạt là 80%.
Tính xác suất để:
1) có 172 người không đạt;
2) có khoảng 170 đến 180 người không đạt.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

VD 5
.

Trong 10.000 sản phẩm trên một dây chuyền sản
xuất có 2.000 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng.

Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm sản xuất ra:
1) có 80 sản phẩm không được kiểm tra;
2) có từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra.

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất