skkn cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số trong chương trình đại số và giải tích 11

Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình.
Chúng tôi, gồm:
1. Nguyễn Tiên Tiến
Sinh ngày: 08 tháng 06 năm 1981.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng.
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 60%.
2. Vũ Xuân Đài
Sinh ngày: 22 tháng 12 năm 1972.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 20%.
3. Hoàng Thị Năm
Sinh ngày: 04 tháng 10 năm 1985.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Giáo viên.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 20%.
I. Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng
- Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài
liệu dạy học về dãy số và cấp số trong chương trình Đại số và Giải tích 11.
- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy bộ môn Toán lớp 11 cấp THPT.
II. Nội dung sáng kiến

1. Giải pháp cũ thường làm
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tôi và dựa vào kết quả lấy phiếu điều tra đối
giáo viên dạy Toán 11 về kinh nghiệm, tình hình giảng dạy về dãy số và cấp số trong
chương trình Đại số và Giải tích 11, tôi xin được đánh giá ưu điểm và hạn chế như sau:
Giáo viên giảng dạy theo tiến trình trong sách giáo khoa. Cách làm này có ưu
điểm là học sinh dễ theo dõi bài giảng của giáo viên với việc xem sách giáo khoa. Tuy
nhiên, do khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa không trình bày các ví dụ một cách chi
tiết để học sinh nhận biết, thông hiểu từng định nghĩa hoặc đơn vị kiến thức. Đồng
thời, học sinh không được cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ bản chất của khái
niệm toán học hoặc đơn vị kiến thức đó.
Giáo viên thường sử dụng các ví dụ và bài tập tự luận trong giảng dạy lý thuyết
và dành câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho tiết ôn tập hoặc tiết tự chọn. Điều này vừa

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 1/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
mất nhiều thời gian vừa hạn chế việc rèn kỹ năng làm bài tập tự luận, câu hỏi trắc
nghiệm cho học sinh.
Giáo viên sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong tiết ôn tập, tiết tự
chọn hoặc học thêm buổi chiều và câu hỏi được xây dựng thành chủ đề nhưng các câu
hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên quan đến nhau và không thành hệ thống. Cách làm này có
ưu điểm là học sinh được tập trung rèn luyện kỹ năng làm bài trắc nghiệm và dễ nhận
dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Học sinh giải được bài nào chỉ biết bài đó
chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài toán. Bên cạnh đónên học
sinh sẽ khó hình dung các yêu câu sẽ được đặt ra trước những thông tin, dữ liệu cho
trước.

2. Giải pháp mới cải tiến
Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá
những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy học
chương 3 Đại số và Giải tích 11 với những cải tiến như sau:
Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức.
Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học
sinh tiện theo dõi nhưng mỗi bài học được thiết kế thành hai phần: Kiến thức cần biết
và Một số ví dụ điển hình.
Giải pháp 2: Thiết kế phần kiến thức cần biết.
Ngoài việc trình bày các kiến thức đã có trong sách giáo khoa (không trình bày
lại cách chứng minh các định lý), thì còn bổ sung một số kiến thức cập nhật cho thi
THPT Quốc gia hiện nay. Ứng với mỗi khái niệm, định lý hoặc đơn vị kiến thức đều có
những ví dụ minh họa, phân tích hoặc nhận xét, bình luận để học sinh hiểu rõ bản chất
của khái niệm, định lý hoặc đơn vị kiến thức đang học. Bên cạnh đó, với mỗi khái niệm,
định lý các tác giả còn đề xuất một số dấu hiệu nhận biết như các cách thường dùng để
chứng minh một dãy số là dãy số tăng, dãy số giảm; dấu hiệu nhận biết một dãy số là
cấp số cộng, cấp số nhân; dãy số không phải là cấp số cộng, cấp số nhân;...
Giải pháp 3: Thiết kế phần các ví dụ điển hình.
Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng và phân tích các đề thi học kỳ, thi chọn học
sinh giỏi và thi THPT Quốc gia, các tác giả xây dựng, phân loại các ví dụ điển hình
thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ, thi học sinh giỏi hoặc thi THPT Quốc gia. Các
ví dụ được thiết kế khác so với sách giáo khoa để học sinh có thêm tư liệu tham khảo và
được trình bày từ cơ bản đến nâng cao, có sự phân tích, đánh giá, nhận xét và bình luận
nhằm giúp học sinh nhận biết, thông hiểu và biết vận dụng kiến thức. Các ví dụ trong
phần này vừa được phân dạng vừa được thiết kế ở cả hai dạng tự luận và trắc nghiệm
khách quan.
Đối với những ví dụ ở dạng tự luận, bên cạnh việc bổ sung các bài tập cùng dạng để học
sinh có cơ hội rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy thì có khai thác đến các dạng câu
hỏi trắc nghiệm khách quan với những thông tin, dữ liệu cho trước. Điều này sẽ giúp
cho học sinh có cái nhìn tổng thể về các tình huống có thể đặt ra hoặc xuất hiện với

những thông tin, dữ liệu cho trước. Và khi đó, năng lực tự học, tự đặt vấn đề và giải
quyết vấn đề của học sinh tiếp tục được bồi dưỡng. Bên cạnh đó, các câu hỏi trắc
nghiệm khách quan được đề xuất đều có dụng ý phân hóa học sinh ở các cấp độ nhận
biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Việc kết hợp giữa khai thác các bài tập tự
luận và các câu hỏi trắc nghiệm khách quan một mặt giúp học sinh có cái nhìn tổng

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 2/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
quát, rõ ràng trước những tình huống cụ thể. Mặt khác, vừa rèn cho học sinh kỹ năng
làm bài tự luận, kỹ năng làm bài trắc nghiệm vừa tiết kiệm được thời gian và vừa đạt
được hiệu quả cao.
Đối với những ví dụ ở dạng trắc nghiệm khách quan, chúng tôi trình bày chi tiết
lời giải tự luận hoặc lời giải trắc nghiệm. Điều này giúp học sinh làm bài tập trắc
nghiệm nhưng vẫn được rèn kỹ năng tính toán, kỹ năng trình bày lời giải. Sau mỗi câu
hỏi trắc nghiệm khách quan, chúng tôi còn đề xuất thêm một số câu hỏi trắc nghiệm
khác ở các mức độ nhận thức để học sinh tự luyện.
Giải pháp 4: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan.
Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng về dãy số, cấp số, chúng tôi xây dựng hệ
thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng đơn vị bài học: dãy số, cấp số cộng và
cấp số nhân. Việc xây dựng được hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng
bài học một mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu
luyện tập. Bên cạnh các câu hỏi mang đặc trưng toán học, chúng tôi còn cung cấp một
số lượng đáng kể các bài toán có liên quan đến thực tiễn. Điều này vừa đáp ứng với yêu
cầu của thi THPT Quốc gia hiện nay vừa tạo hứng thú học tập cho học sinh và nâng cao
được chất lượng giảng dạy và bước đầu đáp ứng được với việc đổi mới phương pháp

dạy học hiện nay.
III. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được
1. Hiệu quả kinh tế
Thứ nhất, xét về mặt thời gian. Để biên soạn một chủ đề hoặc một chuyên đề dạy
học, luyện thi thì giáo viên sẽ phải mất rất nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ các
tài liệu trên internet và các sách tham khảo. Học sinh có nhu cầu tìm kiếm bài tập để tự
luyện thì cũng phải tìm kiếm trong nhiều tài liệu rồi hệ thống lại. Điều này cũng sẽ mất
nhiều thời gian, trong khi đó, giáo viên và học sinh có thể sử dụng ngay tài liệu này để
giảng dạy, ôn tập cũng như luyện thi. Nếu cần thì giáo viên chỉ cần bổ sung hàng năm
để có được tài liệu phong phú về bài tập cho riêng mình hoặc phù hợp với đối tượng
học sinh của lớp giảng dạy.
Thứ hai, xét về tài chính. Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo khoa
(học sinh và giáo viên nào cũng có), không kể rất nhiều giờ truy cập internet, và nhiều
giờ để sáng tác các bài toán, tác giả đã phải đọc ít nhất 05 đầu sách tham khảo (bài tập
về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân chủ yếu ở dạng tự luận). Trong khi với tài liệu này,
giáo viên chỉ cần phô tô hoặc in tài liệu này với giá không quá 15.000 đồng.
2. Hiệu quả xã hội
Các tác giả đã xây dựng tài liệu này từ năm 2015 và hoàn thiện dần qua các năm
học. Nội dung tài liệu đã được các thầy, cô trong trường sử dụng để giảng dạy chính
khóa cũng như trong ôn luyện thi và bước đầu đã cho thấy tính khả thi và phổ dụng của
sáng kiến.
Nhiều học sinh đã sử dụng tài liệu này để tự học, tất nhiên có sự hướng dẫn của
giáo viên và đạt được thành tích cao trong học tập. Điều này cho thấy, nếu sáng kiến
tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thì sẽ là tài liệu bổ ích để học sinh tự học. Từ đó, tạo
được hứng thú, sự tự tin trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học và nâng
cao chất lượng, hiệu quả học tập của học sinh.
IV. Điều kiện và khả năng áp dụng
1. Điều kiện áp dụng

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 3/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
Sáng kiến này đã được các tác giả triển khai thực hiện từ năm 2015 tại nhà
trường và được hoàn thiện dần qua các năm học. Qua thực nghiệm và tiến hành áp
dụng trong các năm học qua, kết quả tài liệu rất hữu ích trong công tác giảng dạy của
giáo viên và công tác ôn tập của học sinh. Đồng thời, chất lượng giảng dạy và học tập
nội dung chương 3 Đại số và Giải tích 11 được nâng lên đáng kể, tạo được hứng thú và
góp phần bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu cho học sinh. Vì vậy, sáng kiến có
thể áp dụng cho các trường THPT trên địa bàn tỉnh và toàn quốc.
2. Khả năng áp dụng
Sáng kiến là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh và được áp dụng
trong giảng dạy ở các trường THPT. Tài liệu này được các đồng nghiệp trong trường
cũng như trên địa bàn huyện đánh giá cao về chất lượng nội dung, phương pháp và mục
tiêu dạy học.
Danh sách những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất cả giáo viên đều
công tác tại trường THPT Gia Viễn B):
STT
Họ và tên
Chức danh
Trình độ chuyên môn
1
Phùng Thị Hằng
Giáo viên
Cử nhân
2
Đào Thị Nụ

Giáo viên
Cử nhân
3
Đặng Đình Phương
Giáo viên
Thạc sỹ
Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật
và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.

Gia Viễn, ngày 14 tháng 05 năm 2018
Xác nhận của Ban giám hiệu

Người nộp đơn
Nguyễn Tiên Tiến
Vũ Xuân Đài
Hoàng Thị Năm

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 4/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

PHỤ LỤC
PHẦN 1. LÝ THUYẾT VỀ DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ
§1. DÃY SỐ
Trong bài học này, chúng ta tìm hiểu một số nội dung liên quan đến dãy số. Cụ
thể là tìm hiểu các nội dung sau:

(1): Định nghĩa về dãy số;
(2): Các cách cho một dãy số;
(3): Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng;
(4): Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn.

A. KIẾN THỨC CẦN BIẾT
1. Định nghĩa

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương  * được gọi là một
dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1, u2 ,..., un ,... , trong đó

 

 

un  u n hoặc viết tắt là un . Số hạng u1 gọi là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát

(số hạng thứ n ) của dãy số.
2. Các cách cho một dãy số

Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây:
Cách 1. Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.
Ví dụ 1. Cho dãy số  x n  với x n 

n
.
3n 1

Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất

kì của dãy số. Chẳng hạng, x 10 

10
10

.
11
177147
3

Cách 2. Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
Ví dụ 2. Cho dãy số an  xác định bởi a1  1 và an 1  3an  7, n  1.
b1  1, b2  3
.
b  4bn 1  5bn , n  1
 n 2

Ví dụ 3. Cho dãy số bn  xác định bởi 

Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là giúp chúng ta xác định được ngay mối liên hệ
giữa một vài số hạng hoặc một nhóm các số hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi.
Tuy nhiên, để tính được số hạng bất kỳ của dãy số thì chúng ta cần phải tính được các
số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.
Cách 3. Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định
mỗi số hạng của dãy số.
Ví dụ 4. Cho dãy số un  gồm các số nguyên tố.
Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4. Trên cạnh BC , ta lấy điểm A1 sao cho
CA1  1 . Gọi B1 là hình chiếu của A1 trên CA , C 1 là hình chiếu của B1 trên AB , A2 là

hình chiếu của C 1 trên BC , B2 là hình chiếu của A2 trên CA , … và cứ tiếp tục như thế.

  với u

Xét dãy số un

n

 CAn .

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 5/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng

Dãy số un  được là dãy số tăng nếu ta có un 1  un với mọi n  * .
Dãy số un  được là dãy số giảm nếu ta có un 1  un với mọi n  * .
Dãy số un  được là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có un 1  un với
mọi n  * .
Ví dụ 6. a) Dãy số  x n  với x n  n 2  2n  3 là một dãy số tăng.

 

b) Dãy số yn với yn 

  với z

c) Dãy số z n

n

n 2
là một dãy số giảm.
5n
n

 

 1

không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy

số giảm.
2

Chứng minh: a) Ta có x n 1  n  1  2 n  1  3  n 2  2.



 



Suy ra x n 1  x n  n 2  2  n 2  2n  3  2n  1  0, n  1 hay x n 1  x n , n  1.

  là một dãy số tăng.
 n  1  2  n  3 .

b) Cách 1. Ta có y 
Vậy, x n

n 1

Suy ra yn 1  yn 

5n 1

5n 1

n 3 n 2
4n  7
 n   n 1  0, n  1 hay yn 1  yn , n  1.
n 1
5
5
5

 

Vậy, yn là một dãy số giảm.

Cách 2. Với mọi n  * , ta có yn  0 nên ta có thể xét tỷ số
Ta có yn 1 

 n  1  2  n  3
n 1

n 1

5

5

nên

yn 1



yn

n3



5 n 2



yn 1
yn

.

 1, n  1 hay yn 1  yn , n  1.

 

Vậy, yn là một dãy số giảm.
n 1

 

c) Vì z n 1  z n  1

n

 

 1

n

 

 2. 1

không xác định được dương hay âm nên đây

không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.

 Nhận xét: Để chứng minh dãy số un  là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta
thường sử dụng một trong hai hướng sau đây:
Hướng thứ nhất: Lập hiệu un  un 1  un . Sử dụng các biến đổi đại số và các kết quả đã
biết để chỉ ra un  0, n   * (dãy số tăng) hoặc un  0, n  * (dãy số giảm).

Hướng thứ hai: Nếu un  0, n  1 thì ta có thể lập tỷ số Tn 

un 1
un

. Sử dụng các biến đổi

đại số và các kết quả đã biết để chỉ ra Tn  1, n   * (dãy số tăng) hoặc Tn  1, n  *
(dãy số giảm).

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 6/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
4. Dãy số bị chặn

  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M

Dãy số un

sao cho

un  M , n   * .

  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m

Dãy số un

sao cho

un  m, n   * .

  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là

Dãy số un

tồn tại các số M , m sao cho m  un  M , n   * .

Ví dụ 7. a) Dãy số an  với an  2017 sin

 3n  1 
4

là một dãy số bị chặn vì

2017  an  2017, n   * .

  với b

b) Dãy số bn

n



2n  3
là một dãy số bị chặn vì
3n  2
2

 bn  1, n  * .
3

 





c) Dãy số cn , với cn  3n  2 .7n 1 , bị chặn dưới vì cn  49, n  * .

 

d) Dãy số dn , với dn  6  6  ...  6 (có n dấu căn), bị chặn trên vì dn  3, n   * .

B. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Cho dãy số an  xác định bởi an  2017 sin

n
n
 2018 cos
.
2
3

a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
b) Chứng minh rằng an 12  an , n   * .
Lời giải
a) Ta có a1  2017 sin


2

 2018 cos

a2  2017 sin   2018 cos

3

 2017  1009  3026 ;

2
3
 1009 ; a 3  2017 sin
 2018 cos   4035 ;
3
2

a 4  2017 sin 2  2018 cos
a 6  2017 sin



4
5
5
 1009 ; a 5  2017 sin
 2018 cos
 3026 ;
3

2
3

6
6
 2018 cos
 2018 .
2
3

b) Ta có an 12  2017 sin

n  12   2018 cos n  12  
2

3

 n

 n

n
n
 2017 sin 
 6   2018 cos 
 4   2017 sin
 2018 cos
 an ./.
2
3

 2

 3


 Nhận xét: 1) Bằng kỹ thuật tương tự như trong ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể
giải được các bài tập dưới đây:

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 7/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

  xác định bởi x

Bài 1. Cho dãy số x n

n

 2018. sin

2n  1  .
3

a) Chứng minh rằng x n  3  x n , n  1.
b) Hãy tính tổng của 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

 

Bài 2. Cho dãy số yn xác định bởi yn  2018 cos

 3n  1  .
6

a) Chứng minh rằng yn  4  yn , n  1.
b) Hãy tính tổng của 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
n
n
 7 cos
.
3
6
a) Hãy viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

  xác định bởi z

Bài 3. Cho dãy số z n

n

 20 sin

b) Chứng minh rằng z n 12  z n , n  1.
2) Qua ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

  xác định bởi a

Cho dãy số an

n

 2017 sin

n
n
 2018 cos
. Hãy chọn phương án trả lời
2
3

đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 1. Số hạng thứ 6 của dãy số là số nào trong các số dưới đây?
A. 2018.
B. 1.
C. 4035.
D. 2018.
Câu 2. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để an  p  an , n  * .
A. p  6.

B. p  18.

C. p  12.

D. p  24.

C. 1009 3  2017.

D. 3026.

Câu 3. Tính số hạng thứ 2017 của dãy số.
A. 3026.

B. 2017  1009 3.

3
5
2
2
a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Tính tổng của 6 số hạng đó.

Ví dụ 2. Cho dãy số an  xác định bởi a1  1 và an 1   an2  an  1, n  * .

b) Chứng minh rằng an  3  an với mọi n  * .

 

c) Số hạng thứ 2018 của dãy số an có giá trị bằng bao nhiêu?
2
d) Tính S  a1  a2  ...  a2018 và Z  a12  a22  ...  a2018
.

Lời giải
3
5
3
5
a) Ta có a1  1; a 2   a12  a1  1  2; a 3   a22  a 2  1  0; a 4  1; a 5  2 và a 6  0 .

2
2
2
2





Suy ra a1  a2  a 3  a 4  a 5  a 6  2 1  2  0  6 .
b) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học hệ thức: an  3  an với mọi
n  * .

Với n  1 thì a1  1 và a 4  1 nên a 4  a1 3  a1 . Vậy đẳng thức đúng với n  1 .
Giả sử đẳng thức đúng với n  k  1 , nghĩa là ak  3  ak .
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n  k  1 , nghĩa là phải chứng minh ak  4  ak 1 .

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 8/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
3
5
Thật vậy, ta có ak  4   ak2 3  ak  3  1 (theo hệ thức truy hồi).
2
2
3

5
Theo giả thiết quy nạp thì ak  3  ak nên ak  4   ak2  ak  1  ak 1 .
2
2
Vậy đẳng thức đúng với n  k  1 . Suy ra điều phải chứng minh.





c) Từ kết quả ở ý b) ta có: nếu m  p mod 3 thì am  a p .





Ta có 2018  2 mod 3 nên a2018  a 2  2 . Vậy số hạng thứ 2018 của dãy số là 2.
d) Vì an  3  an n   * nên với 2016 số hạng đầu, chúng ta chia thành 3 nhóm, mỗi
nhóm có 672 số hạng. Nhóm thứ nhất gồm các số hạng bằng a1 , nhóm thứ hai gồm các
số hạng bằng a2 , nhóm thứ ba gồm các số hạng bằng a 3 . Do đó















+) S  672 a1  a 2  a 3  a 2017  a2018  672. 1  2  0  1  2  2019.



2
2
+) Z  672 a12  a22  a 32  a 2017
 a2018
 672. 12  22  02  12  22  3365. /.

 Nhận xét: 1) Việc chứng minh được hệ thức an  3  an , n  1 giúp chúng ta giải quyết
được bài toán tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát
hiện ra tính chất đặc biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên
quan đến dãy số một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúng ta cùng tìm hiểu tính chất
đặc biệt của mỗi dãy số trong các bài tập sau đây nhé.

  xác định bởi x  2 và x  14 x
a) Chứng minh rằng  x  là một dãy số không đổi.
Bài 1. Cho dãy số x n

n 1

1

2

n



 4 , n  1.

n

b) Tính tổng của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

 

Bài 2. Cho dãy số yn xác định bởi y1  2 và yn 1  3yn2  10, n  1.

 

a) Số hạng thứ 2017 của dãy số yn bằng bao nhiêu?
b) Tính tổng của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

 

c) Số 2018 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên của dãy số yn ?

  xác định bởi z

Bài 3. Cho dãy số z n

1

 3 và z n 1  z n3  6z n2  12z n  6, n  1.

 

a) Tính tổng của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số z n .

 

b) Số 2019 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên của dãy số z n ?
a1  1, a2  2
.
Bài 4. Cho dãy số an xác định bởi 
an 2  3an 1  an , n  1

 

a) Viết 13 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
b) Kiểm nghiệm hệ thức an 12  an , n  1.

 

c) Tính tổng của 2017 số hạng đầu tiên của dãy số an .
2) Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan
dưới đây:

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 9/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số

trong chương trình Đại số và Giải tích 11
3
5
 1 và an 1   an2  an  1, n  * . Hãy chọn phương
2
2
án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.

  xác định bởi a

Cho dãy số an

1

 

Câu 1. Tính tổng S của 6 số hạng đầu tiên của dãy số an .
A. S  0.

B. S  6.

C. S  4.

D. S  5.

Câu 2. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất sao cho an  p  an , n  * .
A. p  9.

B. p  2.

C. p  6.

D. p  3.

C. a2018  0.

D. a2018  5.

 

Câu 3. Tìm số hạng thứ 2018 dãy số an .
A. a2018  2.

B. a2018  1.

 

Câu 4. Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số an .
A. S  2016.

B. S  2019.

C. S  2017.

D. S  2018.

 

Câu 5. Tính tổng bình phương của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số an .
A. 3360.

B. 3361.

C. 3364.

D. 3365.

Ví dụ 3. Cho dãy số an  xác định bởi a1  1 và an 1  1  an2 , n  * .

 
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số a  .
c) Xét tính tăng, giảm của dãy số a  .

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số an và tính tổng của 5 số hạng đó.
n

n

Lời giải
a) Ta có a2  1  a12  2; a 3  1  a22  3; a 4  1  a 32  4; a 5  1  a 42  5 .
Do đó a1  a2  a 3  a 4  a 5  1  2  3  4  5  3  2  3  5.

 

b) Từ 5 số hạng đầu của dãy số an ta dự đoán được an  n .
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được an  n .

 

c) Để xét tính tăng, giảm của dãy số an chúng ta có thể dựa vào một trong các cách sau:

Cách 1. Từ công thức tính số hạng tổng quát của dãy số an  , ta có
an 1  n  1  n  an , n  * .

 

Suy ra an là dãy số tăng.

Cách 2. Từ công thức truy hồi, ta có an  0 n  * .

 

Suy ra an 1  1  an2  an  an , n   * . Do đó an là dãy số tăng.

Cách 3. Ta có an 1  an  1  an2  an 

1
2
n

1  a  an

 0 n   * .

 

Suy ra an là dãy số tăng./.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 10/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
Ví dụ 4. Cho dãy số an  có tổng của n số hạng đầu tiên bằng Sn  n 3 .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

 

b) Xét tính tăng, giảm của dãy số an .
Lời giải





3

a) Ta có a1  a2  ...  an 1  an  Sn  n 3 và a1  a2  ...  an 1  S n 1  n  1 .



Suy ra an  Sn  Sn 1  n 3  n  1



3

 3n 2  3n  1 .

 
 3 n  1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số an là an  3n 2  3n  1 .
b) Ta có an  3n 2  3n  1 và an 1



 

2





 3 n  1  1  3n 2  9n  7 .







Do đó an  an 1  3n 2  3n  1  3n 2  9n  7  6 n  1  0 n  * .
Dấu bằng chỉ xảy ra khi n  1  0 hay n  1 .
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng./.
Nhận xét: 1) Bằng kỹ thuật tương tự như trong ví dụ này, chúng ta có thể giải được các
bài tập dưới đây:

 

Bài 1. Cho dãy số x n
công thức Sn 



n 7  3n
2

có tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn ) được tính theo

 . Tìm số hạng tổng quát và xét tính tăng, giảm của dãy số

x  .
n

Đáp số: x n  5  3n.

 

Bài 2. Cho dãy số yn
công thức Sn 

Đáp số: yn 

có tổng của n số hạng đầu tiên, kí hiệu là Sn , được tính theo

3n  1

. Tìm số hạng tổng quát và xét tính tăng, giảm của dãy số yn .
3n 1

 

6
.
3n

 

Bài 3. Cho dãy số z n
công thức Sn 

có tổng của n số hạng đầu tiên, kí hiệu là Sn , được tính theo

1
2n  1 .3n 1  3  . Tìm số hạng tổng quát và xét tính tăng, giảm của

4





 





dãy số z n . Đáp số: z n  n  1 .3n.
2) Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan
dưới đây:

  có tổng của n

Cho dãy số an

số hạng đầu tiên bằng Sn  n 3 . Hãy chọn phương án trả

lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.

 

Câu 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số an .
A. an  3n 2  3n  1.

B. an  3n 2  3n  1.

C. an  3n 2  3n  1.

D. an  3n 2  3n  1.

 

Câu 2. an là một dãy số
A. không tăng.

B. không giảm.

C. giảm.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

D. tăng.

Trang 11/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
Ví dụ 5. Cho dãy số an  xác định bởi a1  1 và an 1  3an  10, n  * .
a) Tính a 3 , a 5 , a 7 .

 

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số an .
Lời giải
a) Ta có

a2  3a1  10  13; a 3  3a2  10  49; a 4  3a 3  10  157;
a 5  3a 4  10  481; a 6  3a 5  10  1453; a 7  3a 6  10  4369.

Vậy a 3  49; a 5  481; a 7  4369.
b) Đặt bn  an  5 . Khi đó bn 1  an 1  5 .





Từ hệ thức truy hồi an 1  3an  10 suy ra bn 1  5  3 bn  5  10  bn 1  3bn .
Như vậy, ta có b1  a1  5  6 và bn 1  3bn , n   * .
Ta có b2  3b1 ; b3  3b2  32 b1 ;b4  3b3  33b1 .
Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta chứng minh được bn  3n 1b1  2.3n , n  * .

 

Suy ra an  2.3n  5, n   * . Vậy số hạng tổng quát của dãy số an là an  2.3n  5 ./.

 Chú ý: Dãy số an  xác định bởi a1  a và an 1  qan  d , với mọi n  1 .

 

n 1

 



- Nếu q  1 thì số hạng tổng quát của dãy số an là an  a.q



d 1  q n 1


1q

.



- Nếu q  1 thì số hạng tổng quát của dãy số an là an  a  n  1 d .

 Nhận xét: 1) Bằng kỹ thuật tương tự như trong ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể
giải được các bài tập dưới đây:

  xác định bởi u

Bài 1. Cho dãy số un

 2 và un 1  2un  1, n  1.

1

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
b) Chứng minh rằng un  2n 1  1.
x 1  1

  xác định bởi x

Bài 2. Cho dãy số x n

 

a) Lập dãy số yn , với yn  x n 



n 1

 6x n  1, n  1

.

1
. Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số
5

y  theo n .
n

  theo n .

b) Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số x n

Đáp số: a) yn 

4 n 1
.6 ;
5

b) x n 
u1  1

  xác định bởi u

Bài 3. Cho dãy số un

1 4 n 1
 .6 .
5 5



n 1

 5un  8, n  1

.

 

 

a) Lập dãy số vn , với vn  un  2 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số vn .

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 12/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

 

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un .

Đáp số: a) vn  3.5n 1 ;

b) un  3.5n 1  2.
x  2
xác định bởi  1
. Xác định số hạng tổng quát
x n 1  3x n  1, n  1

 

Bài 4. Cho dãy số x n

 

của dãy số x n . Đáp số: x n  

1 5 n 1
 .3 .
2 2

2) Với những kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm
khách quan dưới đây:

  xác định bởi a

Cho dãy số an

1

 1 và an 1  3an  10, n   * . Hãy chọn phương án trả

lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.

 

Câu 1. Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số an lần lượt là
A. 13; 49;157.

B. 49; 481; 4369.

C. 49;157;1453.

D. 49;1453; 4369.

 

Câu 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số an .
A. an  2.3n  5.

B. an  2.3n 1  5.

C. an  2.3n 1  5.

D. an  2.3n  5.

 

Câu 3. Tìm số hạng thứ 15 của dãy số an .
A. a15  28 697 809.

B. a15  28 697 814.

C. a15  9 565 933.

D. a15  86 093 437.

 

Câu 4. Số 2 324 522 929 có là số hạng của dãy số an không, nếu có thì nó là số hạng thứ
bao nhiêu?
A. Không.

B. Có, 18.

C.Có, 19.

D. Có, 20.

 

Câu 5. an là một dãy số
A. giảm và bị chặn trên.
C. tăng và bị chặn dưới.

B. tăng và bị chặn trên.
D. giảm và bị chặn dưới.

Ví dụ 6. Cho dãy số an  xác định bởi a1  5, a2  0 và an 2  an 1  6an , n  1 .

 

a) Tính tổng 5 số hạng đầu tiên của dãy số an .

  với b
c) Lập dãy số c  với c

 
 a  3a , n  1 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số c  .
d) Tìm số hạng tổng quát của dãy số a  .
b) Lập dãy số bn
n

n

n

 an 1  2an , n  1 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số bn .
n 1

n

n

n

Lời giải
a) Ta có a 3  a2  6a1  30; a 4  a 3  6a2  30; a 5  a 4  6a 3  210 .

 

Năm số hạng đầu tiên của dãy số an là a1  5; a2  0; a 3  30; a 4  30; a 5  210 .
Do đó S 5  a1  a 2  a 3  a 4  a 5  275 .





b) Ta có an 2  an 1  6an , n  1  an 2  2an 1  3 an 1  2an , n  1 .
Do đó ta có b1  a 2  2a1  10 và bn 1  3bn , n  1 .

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 13/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số bn , ta có b2  3b1 ; b3  3b2  32 b1 ;b4  3b3  33b1 .
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được bn  3n 1b1  10.3n 1, n  1 .





c) Ta có an 2  an 1  6an , n  1  an 2  3an 1  2 an 1  3an , n  1 .
Do đó ta có c1  a2  3a1  15 và cn 1  2cn , n  1 .
2

 

 

 

3

Từ hệ thức truy hồi của dãy số cn , ta có c2  2c1; c3  2c2  2 c1; c4  2c3  2 c1 .
n 1

 

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được cn  2

n 1

 

c1  15. 2

an 1  2an  10.3n 1

d) Từ kết quả của ý b) và ý c) ta có hệ phương trình 
an 1  3an  15. 2

, n  1.

n 1

 

n 1

 

 an  2.3n 1  3. 2

.
n 1

 

 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số an là an  2.3n 1  3. 2

, n  1. /.

 Chú ý: Dãy số an  xác định bởi a1  a , a2  b và an 2  an 1  an , với mọi n  1 ,
trong đó phương trình t 2   t    0 có hai nghiệm phân biệt là t1 và t2 . Khi đó số
hạng tổng quát của dãy số an  là an  m1 .t1n 1  m2 .t2n 1 , trong đó m1, m2 thỏa mãn hệ
m1  m2  a
.
m t  m2t2  b
 1 1

phương trình 

 Nhận xét: 1) Bằng kỹ thuật tương tự như ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể giải
được các bài tập dưới đây:

  xác định bởi u

Bài 1. Cho dãy số un

1

 2, u2  5 và un 2  5un 1  6un , n  1.

 

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số un .
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có un  2n  3n .
F1  F2  1

  được xác định bởi F

Bài 2. Cho dãy số Phi-bô-na-xi Fn



n 2

 Fn 1  Fn , n  1

. Xác định

 

công thức tính số hạng tổng quát của dãy số Fn theo n .
n
n

1  5  
5  1  5 
 
 .
Đáp số: Fn 
. 
 2  
5  2 

 


  được xác định bởi

Bài 3. Cho dãy số Lucas Ln

L1  1; L2  3
. Xác định công

Ln 2  Ln 1  Ln , n  1

 

thức tính số hạng tổng quát của dãy số Ln theo n .
n

n

1  5 
1  5 
 
 .
Đáp số: Ln  
 2 
 2 





Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 14/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
x 1  2017, x 2  2018

xác định bởi 
. Xác định công thức tính
7x n 1  3x n
, n  1
x n 2 


2

 

Bài 4. Cho dãy số x n

  theo n .

số hạng tổng quát của dãy số x n

Đáp số: x n 

1
673.3n  4033.22 n .
5





2) Với những kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm
khách quan dưới đây:

 

Cho dãy số an

xác định bởi a1  5, a2  0 và an 2  an 1  6an , n  1 . Hãy chọn phương

án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.

 

Câu 1. Tính số hạng thứ năm của dãy số an .
A. a 5  210.

B. a 5  66.

C. a 5  36.

D. a 5  360.

 

Câu 2. Số hạng tổng quát của dãy số an là
n 1

 

A. an  2.3n 1  3. 2

n

 

B. an  2.3n  3. 2 .

.

C. an  2.3n 1  3.2n 1.

D. an  2.3n  3.2n.

Câu 3. Số hạng thứ 14 của dãy số là số hạng nào?
A. 3 164 070.
B. 9 516 786.
C. 1 050 594.

D. 9 615 090.

Ví dụ 7. Cho dãy số an  xác định bởi a1  3 và an 1  an  n 2  3n  4, n  * .

 

a) Chứng minh rằng an là một dãy số tăng.

 

b) Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số an theo n .
Lời giải

  ta có a

a) Từ hệ thức truy hồi của dãy số an

n 1

  là

 an  n 2  3n  4  0, n  1 nên an

một dãy số tăng.

 

b) Từ hệ thức truy hồi của dãy số an ta có
a2  a1  12  3.1  4;
a 3  a2  22  3.2  4;

…
2









an  an 1  n  1  3. n  1  4.

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, rồi rút gọn ta được
2
n 3  6n 2  17n  21
an  a1  12  22  ...  n  1   3 1  2  ...  n  1   4 n  1  an 
.





3







 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số an là an 







n 3  6n 2  17n  21
. /.
3

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 15/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

 Chú ý: Dãy số an  xác định bởi a1  a và an 1  an  f n  , n  1.
n 1

Số hạng tổng quát của dãy số an  được tính theo công thức an  a   f i .
i 1

Dãy số an  xác định bởi a1  a và an 1  qan  d . n , với mọi n  1 và   q .


Số hạng tổng quát của dãy số an  là an   a 


d  n 1
d
. n
 .q 
q  
q 

 Nhận xét: Bằng kỹ thuật tương tự như ví dụ này, chúng ta hoàn toàn giải được các
bài tập dưới đây:

  xác định bởi u  1 và u
a) Chứng minh rằng u  là một dãy số tăng.
b) Chứng minh rằng u  1  n  1 .2 , n  1.
Bài 2. Cho dãy số a  xác định bởi a  5 và a
Bài 1. Cho dãy số un

1

n 1





 un  n  1 .2n , n  1 .

n

n

n

1

n

 

tổng quát của dãy số an . Đáp số: an 

 

Bài 3. Cho dãy số an

n 1

 an  3n  2, n  1. Xác định số hạng

3n 2  7n  14
.
2

xác định bởi a1  1 và an 1  an  n 3 , n  1. Xác định số hạng

 

tổng quát của dãy số an . Đáp số: an  1 



n2 n  1
4



2

.

 

Bài 4. Cho dãy số an xác định bởi a1  1; a2  2 và an 2  2an 1  an  1, n  1.

 

a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số an .

  với b

b) Lập dãy số bn

n

 

 an1 an . Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số bn .

c) Tìm công thức tính an theo n .
c) an 

Đáp số: b) bn  n ;

n2  n  2
.
2

 

Bài 5. Cho dãy số an xác định bởi a1  2 và an 1  3an  2n  1, n  1.

  với b

a) Lập dãy số bn

n

 an  n . Tìm công thức tính bn theo n .

b) Tìm công thức tính an theo n .

Đáp số: a) bn  3n ;

b) an  3n  n.

Ví dụ 8. Cho dãy số an  xác định bởi a1  2 và an 1 

1
a  1 , n  1. Chứng minh
2 n





 

rằng an là một dãy số giảm và bị chặn.
Lời giải

 

a) Chứng minh an là một dãy số giảm.
Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng an 1  an , n  1.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 16/52

Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
Thật vậy: Ta có a2 

1
3
a1  1   a1  2 .
2
2





Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k , nghĩa là ta có ak 1  ak .
Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n  k  1 , nghĩa là phải chứng minh
rằng ak 2  ak 1 .

 

Theo hệ thức truy hồi của dãy số an và giả thiết quy nạp, ta có
ak  2 

1
1
ak 1  1  ak  1  ak 1 .
2
2









Do vậy an 1  an , n  1.

 

b) Chứng minh an là một dãy số bị chặn.

 

Vì an là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi a1  2 .

 

Cũng do an là một dãy số giảm nên

1
1  an  an 1  an  0, n  1.
2





 

Suy ra an  1, n  1 . Vậy dãy số an bị chặn dưới bởi 1.

 

 

Dãy số an bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 2 nên an là một dãy số bị chặn./.

 Nhận xét: Bằng kỹ thuật tương tự như ví dụ này, chúng ta có thể giải được các bài
tập dưới đây:

 

Bài 1. Cho dãy số x n

xác định bởi x 1  2 và x n 1 

1
x  8 , n  1. Chứng minh rằng
2 n





x  là một dãy số tăng và bị chặn.
n

 

Bài 2. Cho dãy số yn

xác định bởi y1 

1
1 
1
và yn 1   yn  yn2  n  , n  1. Chứng
2
2 
4 

 

minh rằng yn là một dãy số giảm và bị chặn.

  xác định bởi z

Bài 3. Cho dãy số z n

1

 1 và z n 1 

zn  2
zn  1

, n  1. Chứng minh rằng dãy

  bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 23 ./.

số z n

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 17/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

§2. CẤP SỐ CỘNG
Trong bài học này, chúng ta tìm hiểu một số nội dung liên quan đến cấp số cộng.
Cụ thể là tìm hiểu các nội dung sau:
(1): Định nghĩa cấp số cộng;
(2): Số hạng tổng quát của cấp số cộng;
(3): Tính chất của cấp số cộng;
(4): Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
A. KIẾN THỨC CẦN BIẾT
1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d .
Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng
đều bằng nhau).
 Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

  là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi
u  u  d, n   . 1
2) Cấp số cộng u  là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d  0.
3) Cấp số cộng u  là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d  0.
4) Để chứng minh dãy số u  là một cấp số cộng, chúng ta cần phải
1) Nếu un

*

n 1

n

n

n

n

chứng minh

un 1  un là một hằng số với mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:
2,1, 4, 7,10,13,16,19.
1  2  3 ;
4 1 3;
7  4  3;
10  7  3 ;
13  10  3 ; 16  13  3 ; 19  16  3

nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2,1, 4, 7,10,13,16,19 là một cấp số cộng với công

Lời giải. Vì

sai d  3.
Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công
sai của nó.

 
c) Dãy số c  , với c

2  3n
;
 
4
d) Dãy số d  , với d  n .
 2018 ;
 4 n  1  3  4n  1 nên a  a   4n  1   4n  3   4, n  1.

b) Dãy số bn , với bn 

a) Dãy số an , với an  4n  3 ;
n

n

Lời giải. a) Ta có an 1

n

2

n

n

n 1

n

 

Do đó an là cấp số cộng với số hạng đầu a1  4.1  3  1 và công sai d  4.
b) Ta có bn 1 



23 n 1
4

  1  3n
4

nên bn 1  bn 

  là cấp số cộng với số hạng đầu b

Suy ra bn

1



1  3n 2  3n
3

  , n  1.
4
4
4

2  3.1
1
3
  và công sai d   .
4
4
4

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 18/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
c) Ta có cn 1  2018n 1 nên cn 1  cn  2018n 1  2018n  2017.2018n (phụ thuộc vào giá trị

  không phải là một cấp số cộng.
  n  1  n  2n  1 nên d  d  2n  1

của n ). Suy ra cn
d) Ta có dn 1

2

2

n 1

(phụ thuộc vào giá trị của n ).

n

 

Do đó dn không phải là một cấp số cộng./.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng un  có 7 số hạng với số hạng đầu u1 

2
4
và công sai d   .
3
3

Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.

Lời giải. Ta có u2  u1  d   ;

2
3

u3  u2  d  2 ;

u4  u3  d  

10
;
3

14
;
3

u6  u5  d  6 ;

u7  u6  d  

22
.
3

u5  u 4  d  

  là:

Vậy, dạng khai triển của cấp số cộng un

2 2

10 14
22
;  ;  2;  ;  ;  6;  . /.
3 3
3
3
3

 Chú ý: 1) Để chứng minh dãy số un  là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chứng
minh un 1  un là một hằng số với mọi số nguyên dương n .

 

2) Để chỉ ra dãy số un

không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số

hạng liên tiếp uk , uk 1, uk 2 của dãy số không lập thành một cấp số cộng.
2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định lý 1. Nếu cấp số cộng un  có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát





un được xác định bởi công thức un  u1  n  1 d, n  2.

2 

 Nhận xét: Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau:
Cho cấp số cộng un  , biết hai số hạng u p và uq thì số hạng đầu và công sai được tính
theo công thức sau:
(1): d 

u p  uq
p q

;





(2): u1  u p  p  1 d .

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng un  có u1  2 và d  5 .
a) Tìm u20 .
b) Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Lời giải. a) Ta có u20  u1   20  1 d  2  19.  5   93.





b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un  u1  n  1 d  7  5n.
Vì un  2018 nên 7  5n  2018  n  405 . Do n  405 là số nguyên dương nên số
2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho./.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 19/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2. Trong một cấp số cộng un  , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là
trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk 

uk 1  uk 1
2

với k  2 .

 3
Một cách tổng quát, ta có: nếu un  là một cấp số cộng thì u p 

u p k  u p  k
2

,1  k  p.

Ví dụ 5. a) Cho cấp số cộng un  có u99  101 và u101  99 . Tính u100 .
b) Cho cấp số cộng 2, x , 6, y. Tính giá trị của biểu thức P  x 2  y 2 .

Lời giải. a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có u100 
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x 

2

2

2

u99  u101
2

nên u100  100.

 2  6  2 và 6  x  y .
2

2

2

Vì x  2 nên y  10 . Vậy, P  x  y  2  10  104. /.
4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Định lý 3. Cho cấp số cộng un  . Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó
Sn 





n u1  un
2

4

hoặc Sn  nu1 



n n 1
2

 d.

5

 Chú ý: 1) Chúng ta thường sử dụng công thức  4  để tính Sn khi biết số hạng đầu và
số hạng thứ n của cấp số cộng.



2) Để tính được Sn , thì công thức 5 được sử trong mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng

ta cần tìm được số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng.
3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u1, d, n, un , Sn . Chúng ta cần

biết 3 đại lượng trong 5 đại lượng thì có thể tìm được 2 đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo
các công tính un , Sn thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính 3 đại lượng u1, d, n .
Ví dụ 6. Cho cấp số cộng un  có u1  2 và d  3 .
a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết Sn  6 095 374 , tìm n .

Lời giải. Ta có Sn  nu1 
a) Ta có S 25 



25 3.25  7
2



n n 1
2

 d  2n  3 n

2

n

2

  n  3n  7  .
2

  850.


n 3n  7

  6 095 374  3n

2
 7n  12 190 748  0
2
Giải phương trình bậc hai trên với n nguyên dương, ta tìm được n  2017. /.

b) Vì Sn  6 095 374 nên

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 20/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

B. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

 
B. Dãy số b  , với b

A. Dãy số an , với an  2n , n  * .
1

n

 1 và bn 1  2bn  1, n   * .



 

C. Dãy số cn , với cn  2n  3

2



 4n 2 , n   * .

 

D. Dãy số dn , với d1  1 và dn 1 

2018
, n  * .
dn  1

Lời giải. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2, 4, 8 .
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 4  2  2  4  8  4 .
- Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 1, 3, 7.
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 3  1  7  3.
- Phương án C: Ta có cn  9  12n, n   * .

 

Do đó cn 1  cn  12, n   * nên cn

là một cấp số cộng.

- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 1,1009,

1009
. Ba số này không lập
505

thành cấp số cộng.
Vậy, phương án đúng là C./.

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng un  có u1  123 và u3  u15  84. Tính số hạng u17 .
A. u17  242.

B. u17  235.

C. u17  11.

Lời giải. Ta có công sai của cấp số cộng là d 



u 3  u15
3  15

D. u17  4.


84
 7.

12



Suy ra u17  u1  17  1 d  11. Vậy phương án đúng là C./.

 Nhận xét: Với việc biết được số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, chúng ta
hoàn toàn xác định được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát,
thứ tự của số hạng và tổng của n số hạng đầu tiên. Cụ thể, chúng ta có thể đề xuất các
câu hỏi sau đây:

 

Câu 1. Cho cấp số cộng un

có u1  123 và u3  u15  84. Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu

của cấp số cộng đã cho?
A. 17.
B. 16.

 

Câu 2. Cho cấp số cộng un

C. 18.

D. 19.

có u1  123 và u3  u15  84. Tìm số hạng tổng quát của cấp

 

số cộng un .
A. un  130  7n.

B. un  116  7n.

 

Câu 3. Cho cấp số cộng un

C. un  123  7n.

D. un  123  7n.

có u1  123 và u3  u15  84. Tính tổng S 2017 của 2017 số

hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 21/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
A. S 2017  14 487 102, 5.

B. S 2017  13 983 861.

C. S 2017  13 990 920, 5.

D. S 2017  14 480 043.

 

Câu 4. Cho cấp số cộng un

có u1  123 và u3  u15  84. Biết rằng tổng n số hạng đầu

tiên của cấp số cộng bằng 18, tìm n .
A. n  34.
B. n  35.

C. n  36.

D. n  37.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng un  có u1  2u5  0 và S 4  14. Tính số hạng đầu u1 và công
sai d của cấp số cộng.
A. u1  8, d  3.

B. u1  8, d  3.

Lời giải. Ta có

u1  2u 5  0  u1  2 u1  4d  0  3u1  8d  0.

S 4  14 



4 2u1

C. u1  8, d  3.



 3d 
 14  2u

1

2

D. u1  8, d  3.

 3d  7.

3u  8d  0
u  8
 1
.
Do đó ta có hệ phương trình  1
2u1  3d  7
d  3

Vậy, phương án đúng là D./.

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng un  . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
A. um k  un k  um  un , với k  m, k  n.
B. um k  um k  2um , với k  m.





C. um  uk  m  k d , với k  m.
D. u 3n  u2n  un 1.

Lời giải. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.









+ Phương án A: Ta có um k  un k  u1  m  k  1 d  u1  n  k  1 d









 u1  m  1 d  u1  n  1 d  um  un . Do đó A là phương án đúng.









+ Phương án B: Ta có um k  um k  u1  m  k  1 d  u1  m  k  1 d





 2 u1  m  1 d   2um . Do đó B là phương án đúng.



















+ Phương án C: Ta có um  u1  m  1 d  u1  k  1 d  m  k d  uk  m  k d .
Do đó C là phương án đúng.





+ Phương án D: Ta có u2n  un 1  u1  2n  1 d  u1  nd





 u1  3n  1 d  u1  u 3n  u1  u 3n . Vậy, D là phương án sai./.

 Chú ý: Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như:
1) um k  un k  um  un , k  m, n.
2) um k  um k  2um , k  m.





3) um  uk  m  k d, k  m.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 22/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

Ví dụ 5. Cho dãy số un  xác định bởi u1  321 và un 1  un  3, n  * . Tính tổng S của
125 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
A. S  16 875.
B. S  63 375.

C. S  63 562, 5.

D. 16 687, 5.

Lời giải. Từ công thức truy hồi của dãy số un  thì un  là cấp số cộng với công sai
d  3. Do đó tổng của 125 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
S 





125. 2u1  125  1 d 

  16 875.

2

Vậy phương án đúng là A./.

Ví dụ 6. Cho cấp số cộng un  có công sai d  3 và u22  u 32  u42 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
A. S100  14 650.

B. S100  14 400.

C. S100  14 250.
2

2

D. S100  15 450.

Lời giải. Đặt a  u1 thì u22  u 32  u 42  a  d   a  2d   a  3d 



 3a 2  36a  126  3 a  6

2



2

 18  18, a.

Dấu bằng xảy ra khi a  6  0  a  6. Suy ra u1  6.





100. 2u1  100  1 d 

  14 250. Vậy phương án đúng là C./.
Ta có S100 
2
Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có đề xuất các câu hỏi sau đây:

 

Câu 1. Cho cấp số cộng un

có công sai d  3 và u22  u 32  u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm

số hạng thứ 2017 của cấp số cộng đó.
A. u2017  6 042.

B. u2017  6 045.

 

Câu 2. Cho cấp số cộng un

C. u2017  6 044.

có công sai d  3 và u22  u 32  u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Số

2019 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?
A. 676.
B. 675.
C. 672.

 

Câu 3. Cho cấp số cộng un

D. u2017  6 054.

D. 674.

có công sai d  3 và u22  u 32  u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm

số hạng tổng quát của cấp số cộng.
A. un  9  3n.

B. un  6  3n.

 

Câu 4. Cho cấp số cộng un

C. un  5  3n.

D. un  3n  3.

có u1  m và công sai d  3 , trong đó m là tham số. Tìm

giá trị nhỏ nhất min F của biểu thức F  u22  u32  u42 .
A. min F  18.

B. min F  6.

C. min F  99.

D. min F  117.

Ví dụ 7. Cho cấp số cộng 3, 8,13,... Tính tổng S  3  8  13  ...  2018.
A. S  408 422.

B. S  408 242.

C. 407 231, 5.

D. 409 252, 5.

Lời giải. Cấp số cộng 3, 8,13,... có số hạng đầu a1  3 và công sai d  5.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 23/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11

Suy ra 2018 là số hạng thứ
Do đó S  S 404 

2018  3
 1  404 của cấp số cộng.
5



404. 3  2018
2

  408 242. Vậy, B là phương án đúng./.

Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết được các câu hỏi sau đây:
Câu 1. Cho cấp số cộng 3, 8,13,... Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
A. 402.
B. 403.
C. 404.
D. 405.
Câu 2. Cho cấp số cộng 3, 8,13,..., x ,... Tìm x , biết 3  8  13  ...  x  408 242.
A. x  2017.
B. x  2016.
C. x  2019.
D. x  2018.
Câu 3. Cần viết thêm vào giữa hai số 3 và 2018 bao nhiêu số hạng để thu được một cấp
số cộng hữu hạn có tổng các số hạng bằng 408 242 ?
A. 402.

B. 403.

C. 405.

 

Câu 4. Cho cấp số cộng un

D. 404.

có u1  3, uk  2018 và Sk  408 242. Số hạng thứ 2018 của

cấp số cộng là số nào dưới đây?
A. 10 088.
B. 10 093.

C. 10 083.

D. 10 098.

Ví dụ 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân





biệt lập thành một cấp số cộng: x 3  3mx 2  2m m  4 x  9m 2  m  0.
A. m  0.

B. m 

17  265
.
12

C. m 

17  265
.
12

D. m  1.

Lời giải.
Cách 1. Giải bài toán như cách giải tự luận.
- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x 1, x 2 , x 3 lập thành
một cấp số cộng.
Theo định lý Vi-et đối với phương trình bậc ba, ta có x 1  x 2  x 3  3m.
Vì x 1, x 2 , x 3 lập thành cấp số cộng nên x 1  x 3  2x 2 .
Suy ra 3x 2  3m  x 2  m.
Thay x 2  m vào phương trình đã cho, ta được





m 3  3m.m 2  2m m  4 .m  9m 2  m  0  m 2  m  0  m  0 hoặc m  1.

- Điều kiện đủ:
+ Với m  0 thì ta có phương trình x 3  0  x  0 (phương trình có nghiệm duy nhất).
Do đó m  0 không phải là giá trị cần tìm.

+ Với m  1 , ta có phương trình x 3  3x 2  6x  8  0  x  1; x  2; x  4.
Ba nghiệm 2,1, 4 lập thành một cấp số cộng nên m  1 là giá trị cần tìm.

Cách 2. Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Trước hết ta kiểm tra các phương án A và D (vì m nguyên).
+ Với m  0 thì ta có phương trình x 3  0  x  0 (phương trình có nghiệm duy nhất).
Do đó m  0 không phải là giá trị cần tìm.

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 24/52


Cải tiến cách xây dựng tài liệu dạy học về dãy số và cấp số
trong chương trình Đại số và Giải tích 11
+ Với m  1 , ta có phương trình x 3  3x 2  6x  8  0  x  1; x  2; x  4.
Ba nghiệm 2,1, 4 lập thành một cấp số cộng nên m  1 là giá trị cần tìm.
Vậy, phương án đúng là D./.

 Chú ý: Phương trình bậc ba ax 3  bx 2  cx  d  0, a  0  , có ba nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là x  

b
là nghiệm của phương trình. Giải
3a

điều kiện cần này ta có hệ thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là
2b 3  9abc  27a 2d  0.

Trong thực hành giải toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là: x  

b
là
3a

nghiệm của phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 .
Ví dụ 9. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm
phân biệt lập thành một cấp số cộng: x 4  10x 2  2m 2  7m  0, tính tổng lập phương của
hai giá trị đó.
A. 

343
.
8

B.

721
.
8

C. 

721
.
8

D.

343

.
8

Lời giải.



+ Đặt t  x 2 , t  0. Khi đó ta có phương trình t 2  10t  2m 2  7m  0 * .



Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình *



có hai



  '  52  2m 2  7m  0
 0  2m 2  7m  25 (do tổng hai
nghiệm dương phân biệt   2
2m  7m  0
nghiệm bằng 10  0 nên không cần điều kiện này).



+ Với điều kiện trên thì *





có hai nghiệm dương phân biệt là t1, t2 , t1  t2 . Do đó

phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là  t2 ,  t1 , t1 , t2 .
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi





 

 t1   t2  t1   t1  t2  t1  t2  9t1 .

Theo định lý Vi-ét ta có t1  t2  10, t1t2  2m 2  7m.
t  9t
t  1
2
1
1


Suy ra ta có hệ phương trình t1  t2  10
 t2  9

t t  2m 2  7m
2m 2  7m  9


 1 2
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều nhận được.

m  1

.
m   9

2

3

 9
721
. Suy ra phương án đúng là C./.
Do đó 1      
8
 2
3

Nhóm tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Vũ Xuân Đài, Hoàng Thị Năm

Trang 25/52