DS c6 cung va goc luong giac

Chương 66

LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ 1
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1
rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian còn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và
góc.
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:
0
Cung tròn bán kính R có số đo a ( 0 � a � 2p ) , có số đo a ( 0 �a � 360) và có độ dài là l thì:
l = Ra =

pa
a
a
.R do đó =
180
p 180

0

�
180�
p

�
Đặc biệt: 1rad = �
, 10 =
rad .
�
�
�
�
180
�p �
2. Góc và cung lượng giác.
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều
chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường
tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động
theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng
chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia
Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu
là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu ( Ou,Ov )
 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm
V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm
đầu U , điểm cuối V . Kí hiệu là




�

UV
Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay
hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng
p
25
ta nói nó quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(
vòng) thì nói
2
7
25
50p
nó quay góc )…
.3600 (hay 7
7
Ta coi số đo của góc lượng giác ( Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giác

c) Hệ thức Sa-lơ.
 Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:

�

UV

Sđ ( Ou,Ov ) + Sđ ( Ov,Ow) = Sđ ( Ou,Ow) + k2p ( k �Z )
Sđ ( Ou,Ov ) - Sđ ( Ou,Ow) = Sđ ( Ow,Ov ) + k2p ( k �Z )

Trang
1/13



Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường tròn định hướng ta có :

�

�

�

�

�

Sđ
Sđ
Sđ
UV + VW = UW + k2p ( k �Z )
�

Sđ
Sđ
Sđ
UV UW = WV + k2p ( k �Z )
Câu 1: Góc có số đo 108o đổi ra radian là
3

A. .
B. .

5
10

3
.
2
Lời giải

C.

Chọn A.
Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad  
Cách 2:
3
tương ứng 108o .
5

tương ứng 18o .
10
3
tương ứng 270o .
2

. tương ứng 45o .
4
Câu 2: Biết một số đo của góc

 Ox, Oy 

 Ox, Oy  

D.


.
4

n.
.
180

3
 2001 . Giá trị tổng quát của góc
2

là

3
 k .
2

C.  Ox, Oy    k .
2

B.  Ox, Oy     k 2 .

A.  Ox, Oy  

Chọn A.
Câu 3: Góc có số đo

A. 240o .

D.  Ox, Oy  
Lời giải

2
đổi sang độ là
5
B. 135o .
C. 72o .
Lời giải

Chọn C.
Áp dụng công thức đổi rad sang độ n 
Câu 4: Góc có số đo
A. 15o .


đổi sang độ là
9
B. 18o .

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n 

D. 270o .

 .180
.


C. 20o .
Lời giải

Chọn C.


 k 2 .
2

D. 25o .

 .180
.


 180o
.
 20o.
9 
o
o
o
Câu 5: Cho  Ox, Oy   22 30 ' k 360 . Với k bằng bao nhiêu thì  Ox, Oy   1822 30 ' ?
A. k ��.
B. k  3.
C. k  5.
D. k  5.
n

Trang

2/13


Lời giải
Chọn D.
 Ox, Oy   1822o30 '  22o30 ' 5.360o � k  5 .

Câu 6: Góc có số đo
đổi sang độ là
24
A. 7o .
B. 7 o30 ' .
C. 8o .
Lời giải
Câu 7: Chọn B.
 .180
áp dụng công thức đổi rad sang độ n 
.

 180o
n .
 7,5o  7 o30 '.
24 
Câu 8: Góc có số đo 120o đổi sang rađian là góc

3

A. .
B. .
C. .

10
2
4
Lời giải
Chọn D.
120o. 2
120o 

.
180o
3

D. 8o30 ' .

D.

2
.
3

Câu 9: Số đo góc 22o30�đổi sang rađian là:

7


.
A. .
B.
C. .
D. .

8
12
6
5
Lời giải
Chọn A.
22o30�
. 
22o30�

 .
o
180
8
Câu 10:
Đổi số đo góc 105o sang rađian bằng
5
7
9
5
.
A. .
B.
C.
D. .
12
12
12
8
Lời giải

Chọn B.
105o. 7
.
105o 

180o
12

Câu 11:
Giá trị k để cung    k 2 thỏa mãn 10    11 là
2
A. k  4.
B. k  6.
C. k  7.
D. k  5.
Lời giải
Chọn D.

19
21
19
21
10    11 � 10   k .2  11 �
 k 2 
�
k
� k 5.
2
2
2

4
4
Câu 12:
Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục  l  đi qua O . Xác định số
đo của các góc giữa tia OA với trục  l  , biết trục  l  đi qua đỉnh A của hình
vuông.
A. 180o  k 360o .

B. 90o  k 360o .

C. 90o  k 360o .
Lời giải

D. k 360o .

Chọn D.
Vì trục  l  đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục  l  �OA nên số đo

Trang
3/13


của các góc giữa tia OA với trục  l  bằng 0o  k 360o  k 360o .
10

Câu 13:
Một đường tròn có bán kính R  cm . Tìm độ dài của cung
trên đường

2

tròn.
20
2
A. 10 cm .
B. 5cm .
C. 2 cm .
D.
cm .

20
Lời giải
Chọn B.

rad  90o trên đường tròn được tính bằng công thức:
Độ dài của cung
2

 . ao

10
.R 
.90.  5cm .
180
180

Câu 14:
Một đường tròn có bán kính R  10 cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn
gần bằng:
A. 7 cm .
B. 9 cm .

C. 11cm .
D. 13cm .
Lời giải
Chọn A .
Độ dài của cung 40o trên đường tròn được tính bằng công thức:

 . ao

.R 
.40.10 �7 cm .
180
180
Câu 15:
Góc 18o có số đo bằng rađian là



A.
.
B.
.
C.
.
D.  .
18
10
360
Lời giải
Chọn B.




rad � 18o  18.
rad  rad .
Ta có: 1o 
180
180
10

Câu 16:
Góc
có số đo bằng độ là:
18
A. 18o .
B. 36o .
C. 10o .
D. 12o .
Lời giải
Chọn C.
o
o
180 � 
�
� 180 �
o
Ta có: 1rad  � �� rad  � .
� 10 .

18
18


� �
�
�
20
cm
Câu 17:
Một đường tròn có bán kính
. Tìm độ dài của cung trên đường tròn
đó có số đo
A. 4,19 cm .


(tính gần đúng đến hàng phần trăm).
15
B. 4,18cm .
C. 95, 49 cm .
Lời giải

Chọn B.
Độ dài của cung

D. 95,50 cm .


rad  12o trên đường tròn được tính bằng công thức:
15

 . ao


.R 
.12.20 �4,18cm .
180
180
Câu 18:
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.
B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2 .
C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2 ] .
Trang
4/13


D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.
Lời giải
Chọn C.
Câu 19:
Chọn điểm A  1; 0  làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn
lượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo

25
.
4

A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I .
B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II .
C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III .
D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV .
Lời giải
Chọn A.

�
25 
  6 , suy ra điểm M là điểm chính giữa
Theo giả thiết ta có: AM 
4
4
của cung phần tư thứ I .
Câu 20:
Một đường tròn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm
bằng 300 là :
5
5
2

A.
.
B.
.
C.
.
D. .
2
3
5
3
Lời giải
Chọn B.
a
.R nên
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R 

180
a
 30
5
.R 
.15 
Ta có l 
.
180
180
3
Câu 21:
Cho đường tròn có bán kính 6 cm . Tìm số đo ( rad ) của cung có độ dài là
3 cm :
A. 0,5 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
a
.R nên
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R 
180
l 3
Ta có     0,5 .
R 6
3
Câu 22:
Góc có số đo 

được đổi sang số đo độ là :
16
A. 33o 45' .
B. 29o30 ' .
C. 33o 45' .
D. 32o55' .
Lời giải
Chọn C.
Lời giải
o

o

o

180 �
3 �3 180 � �135 �
�
o
o
Vì 1rad  � � nên
� .
� �
� 33.75  33 45'.

16
16

4
� �

�
� �
�
o
Câu 23:
Số đo radian của góc 30 là :




A. .
B. .
C. .
D.
.
6
4
3
16
Lời giải
Chọn A.



rad nên 30o  30.
 .
Vì 1o 
180
180 6
Trang

5/13


Câu 24:


là :
4
B. 90o .

Số đo độ của góc

A. 60o .

C. 30o .
Lời giải

D. 45o .

Chọn D.
Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc
Số đo radian của góc 270o là :
3
A.  .
B.
.
2


là 45o .

4

Câu 25:

3
.
4
Lời giải

C.

Chọn B.
Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 2700 là

D. 

5
.
27

3
.
2

Góc 63o 48' bằng (với   3,1416 )
3
A. 1,114 rad .
B. 
.
C. 2 .

D. 1,113rad .
3
Lời giải
Chọn A.
Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng
63�
48�
. ; 1.114 radial, với  ; 3,1416 .
180�
Câu 27:
Cung tròn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là:
2
1
A.  cm .
B. 32, 45 cm .
C. cm .
D. 32,5 cm .
21
2
Lời giải
Chọn D.
Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85 rad là
l  R.  8, 43.3,85  32, 4555 cm . Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D.
Câu 28:
Xét góc lượng giác  OA; OM    , trong đó M là điểm không làm trên các
trục tọa độ Ox và Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sin  và cos
cùng dấu
A. I và  II  .
B. I và  III  .
C. I và  IV  .

D.  II  và  III  .
Lời giải
Chọn B.
Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác.
Câu 29:
Cho  là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin   0 .
B. cos   0 .
C. tan   0 .
D. cot   0 .
Câu 26:

Lời giải
Chọn C.
Vì  là góc tù, nên sin   0 , cos   0 � tan   0
Câu 30:

Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):   

5

,  ,
6
3

25
19
,
. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:
3

6
A.  và  ;  và  . B.  và  ;  và  .
C.  ,  ,  . D.
,.
Lời giải
Chọn B.



Trang
6/13

,


5 7
25 
19 7

 2 ;  
  8 ;  

 2 .
6
6
3
3
6
6
�  và ;  và  là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau.


Câu 31:
Cho a   k 2  k �� . Để a � 19; 27  thì giá trị của k là
3
A. k  2 , k  3 .
B. k  3 , k  4 .
C. k  4 , k  5 .
D. k  5 , k  6 .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
9
13
17
� 19; 27  ; k  3 � a 
� 19; 27  ; k  4 � a 
� 19; 27  ;
k 2 �a 
2
2
2
21
� 19; 27  .
k 5 �a
2
Cách 2:

19   k 2  k ��  27 � k =  3; 4 .
3


Câu 32:
Cho góc lượng giác  OA, OB  có số đo bằng . Hỏi trong các số sau, số
5
nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng
giác  OA, OB  ?

 

A.

6
.
5

B. 

11
.
5

9
.
5
Lời giải

C.

D.

31

.
5

Chọn D.
6 
 .
*
5
5
11

   2 .
*
5
5
9 4

.
*
5
5
31 
  6 .
*
5
5
Câu 33:
Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của  là
y
B

A

A’

O
M

A.

3
 k .
4

B. 

3
 k .
4

x

B’

3
 k 2 .
4
Lời giải

C.

D. 

3
 k 2 .
4

Chọn D.
Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là
5
 k 2 nên loại A,C.
4

Trang
7/13


Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều âm có số đo là 

3
4

và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B.
Câu 34:
Cho hình vuông ABCD có tâm O và trục  i  đi qua O . Xác định số đo

góc giữa tia OA với trục  i  , biết trục  i  đi qua trung điểm I của cạnh AB.
A. 45o  k 360o.
B. 95o  k 360o.
C.135o  k 360o.
D. 155o  k 360o.

Lời giải
Chọn A

�
AOB  90o và OA  OB
Tam giác AOB vuông cân tại O
 i  đi qua trung điểm của AB nên  i   AB





u
uu
r
�
OA
,  i   45o .
�  i  là đường phân giác của góc �
nên
AOB

Câu 35:
Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di
chuyển 10 răng là
A. 30o.
B. 40o.
C. 50o.
D. 60o.
Lời giải

Chọn C.
360o
Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng
 5o
72
Khi di chuyển được 10 răng là 10.5o  50o .
Câu 36:
Tìm khẳng định sai:
A. Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou, Ow   2k , k ��.
B.

Với
�

ba
�

điểm

U ,V , W trên

đường

tròn

định

hướng:

�

 sđ UV  sđ VW  sđ UW  2k , k ��.

C. Với ba tia Ou, Ov, Ox , ta có: sđ  Ou , Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   2k , k ��.

D. Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ov, Ou   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou, Ow   2k , k ��.
Lời giải
Chọn D.
Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu
A, B, C đều đúng.
Câu 37:
Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:
 I .  .
4
 II  .  7 .
4

Trang
8/13


13
.
4
 IV  .  5 .
4
Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. Chỉ  I  và  II  .
B. Chỉ  I  ,  II  và  III  .

 III  .

C. Chỉ  II  ,  III  và  IV  .

D. Chỉ  I  ,  II  và  IV  .
Lời giải

Chọn A.
7 
13 5
5 3
  2 ;

 2 ; 

 2 .
Ta có: 
4
4
4
4
4
4

7
Suy ra chỉ có hai cung
và 
có điểm cuối trùng nhau.
4
4

Câu 38:
Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài
quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính
bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy   3,1416 ).
A. 22054 cm .
B. 22063 cm .
C. 22054 mm .
D. 22044 cm .
Lời giải
Chọn A.
Lời giải
a
.R nên
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R 
180
60.180
 540 vòng, bánh xe lăn được:
Trong 3 phút bánh xe quay được
20
l  6,5.540.2 �6,5.540.2.3,1416  cm  �22054  cm  .
Câu 39:
Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo
chiều
ngược
với
chiều
quay
của
kim
đồng

hồ,
biết
sđ
o
o
 Ox, OA   30  k 360 , k �Z . Khi đó sđ  OA, AC  bằng:
A. 120o  k 360o , k �Z .
C. 450  k 3600 , k �Z .

B. 45o  k 360o , k �Z.
D. 90o  k 360o , k �Z .
Lời giải

Chọn B.
Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ
trùng tia AC nên góc
o
o
sđ  OA, AC   45  k 360 , k �Z .
Câu 40:
Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou, Ov, Ox . Xét các hệ thức sau:
 I  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ou, Ox   sđ  Ox, Ov   k 2 , k �Z .

 II  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   k 2 , k �Z .
 III  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ox, Ou   k 2 , k �Z .

Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:
A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  II  .
C. Chỉ  III  .

Lời giải
Chọn A.
Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou , Ov, Ox , ta có
sđ  Ou , Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ou , Ox  + k 2

D. Chỉ  I  và  III  .

 k �� .
Trang
9/13


Câu 41:
Góc lượng giác có số đo  ( rad ) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và
tia cuối với nó có số đo dạng :
A.   k180o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
B.   k 360o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
C.   k 2 ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
D.   k ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
Lời giải
Chọn C.
Nếu một góc lượng giác  Ou, Ov  có số đo  radian thì mọi góc lượng giác
cùng tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo   2k , k ��, mỗi góc tương ứng với
một giá trị của k . Các cung lượng giác tương ứng trên đường tròn định
hướng tâm O cũng có tính chất như vậy. Tương tự cho đơn vị độ.
5
 m 2 , m �Z và sđ
Câu 42:
Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   
2


 Ox, Ov     n 2 , n �Z . Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. Ou và Ov trùng nhau.
B. Ou và Ov đối nhau.

C. Ou và Ov vuông góc.
D. Tạo với nhau một góc .
4
Lời giải
Chọn A.
5


 m2    2  m2     m  1 2 m �Z .
2
2
2
Vậy n  m  1 do đó Ou và Ov trùng nhau.
63
Câu 43:
Nếu góc lượng giác có sđ  Ox, Oz   
thì hai tia Ox và Oz
2
A. Trùng nhau.
B. Vuông góc.
3
C. Tạo với nhau một góc bằng
.
D. Đối nhau.

4
Lời giải
Chọn B.
63  64 
 
  32 nên hai tia Ox và Oz vuông góc.
Ta có sđ  Ox, Oz   
2
2
2
2
o
o
Câu 44:
Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   45  m360 , m �Z và sđ

Ta có:sđ  Ox, Ou   

 Ox, Ov   135o  n360o , n �Z . Ta có hai tia
A. Tạo với nhau góc 45o .
C. Đối nhau.

Ou và Ov
B. Trùng nhau.
D. Vuông góc.
Lời giải

Chọn C.

 Ox, Ov   135o  n360o  225o  n360o  45o  180o  n360o  n �Z .

Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhau
Câu 45:
Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay
được số vòng bằng:
A. 12960.
B. 32400.
C. 324000.
D. 64800.
Lời giải
Chọn B.
Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)
Kim phút quay 9.60  540 vòng
Trang
10/13


Kim giây 540.60  32400 vòng
Câu 46:
Góc có số đo 120o được đổi sang số đo rad là :
3
2
A. 120 .
B.
.
C.  .
D.
.
2
3
Lời giải

Chọn D.
120 2
180o   � 120o 

.
180
3
137
 thì góc  Ou, Ov  có số đo dương
Câu 47:
Biết góc lượng giác  có số đo là 
5
nhỏ nhất là:
A. 0, 6 .
B. 27, 4 .
C. 1, 4 .
D. 0, 4 .
Lời giải
Chọn A.
137
  27, 4 . Vậy góc dương nhỏ nhất là 28  27, 4  0, 6 .
Ta có 
5
Câu 48:
Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B�


A.    k 2 .
B.     k 2 .
2

2
o
o
C. a  90  k 360 .
D. a  –90o  k180o.
Lời giải
Chọn D.
��
B
B  180o  
Cung có mút trùng với B hoặc B�có chu kì  hoặc 180o .
Câu 49:

Trên đường tròn định hướng gốc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn
1
1
1
1



 6 , với x là số đo của cung AM ?
2
2
2
sin x cos x tan x cot 2 x
A. 6 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 10 .

Lời giải
Chọn C.
ĐK: sin 2 x �0
1
1
1
1
1
1



6 �

 cot 2 x  tan 2 x  8
2
2
2
2
2
sin x cos x tan x cot x
sin x cos 2 x

2
2
2
4
1

8 �

8 �
 8 � sin 2 2 x  � cos 4 x  0 .
2
2
2
2
2
sin x cos x
sin x.cos x
sin 2x
2
Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt.
Câu 50:
Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong
các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng
giác có số đo 4200o.

A. 130o .
B. 120o .
C. 120o .
D. .
8
Lời giải
Chọn C.
Ta có 4200� 120� 12.360�nên cung có số đo 120o có ngọn cung trùng với
ngọn cung có số đo 4200�
.
Câu 51:
Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm
.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

A. 2, 77 cm .
B. 2,9 cm .
C. 2,76 cm .
D. 2,8 cm .
Lời giải
Chọn A.
�

Trang
11/13


Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính 10,57 cm và đi

được cung có số đo là
nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là
24

10,57. ; 2, 77 cm .
24
Câu 52:
Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ
 k
�
AM  
, k �Z ?
3 3
A. 6.
B. 4.
C. 3.

D. 12.
Lời giải
Chọn A.


2
3
4
5
k  0, �
AM  ; k  1, �
AM 
AM 
AM 
AM 
; k  2, �
; k  3, �
; k  4, �
;
3
3
3
3
3
7
AM 
.
k  5, �
AM  2 ; k  6, �
3

Câu 53:
Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo
chiều
ngược
với
chiều
quay
của
kim
đồng
hồ,
biết
sđ
0
0
 Ox, OA   30  k 360 , k �Z . Khi đó sđ  Ox, BC  bằng:
A. 175o  h360o , h �Z .
B. 210o  h360o , h �Z .
5
3 �
�
C. sin a  ; cos b  �  a   ; 0  b  �.
D.
13
5 �2
2�
210o  h360o , h �Z .
Lời giải
Chọn D.

sđ  Ox, BC   sđ  Ox, OA�
  210o  h360o , h �Z .


, trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác.
4
Khi đó M thuộc góc phần tư nào ?
A. I .
B. II .
C. III .
D. IV .
Lời giải
Chọn A.

Ta có 4 1 . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.

2 8

Câu 54:

Xét góc lượng giác

Trang
12/13


Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo


.

4

y
B

M
x
A'

O

A

B'

Cho L, M , N , P lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB, BC , CD, DA.
3
 k . Mút cuối của 
Cung  có mút đầu trùng với A và có số đo   
4
trùng với điểm nào trong các điểm L, M , N , P ?
A. L hoặc N .
B. M hoặc P.
C. M hoặc N .
D. L hoặc P.
Lời giải
Chọn A.

�
Vì L là điểm chính giữa �

AB nên AL 
4
3
� nên �
AN 
Vì N là điểm chính giữa CD
4

3

AN 
Ta có �
và �
AL  �
AN  
4
3
 k .
Vậy L hoặc N là mút cuối của   
4

Câu 55:

Cung  có mút đầu là A và mút cuối trùng với một trong bốn điểm
M , N , P, Q . Số đo của  là




A.   45o  k .180o. B.   135o  k.360o. C.    k .

D.    k .
4
4
4
2
Lời giải
Chọn D.

AM  450 
Số đo cung �
4
�  NP
�  PQ
�  900  
Ta có MN
2
Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q thì

chu kì của cung  là
2


Vậy số đo cung    k .
4
2
Câu 57:
Biết OMB�và ONB�là các tam giác đều. Cung  có mút đầu là A và mút
cuối là B hoặc M hoặc N . Tính số đo của  ?






2

2
.
.
A.    k .
B.     k .
C.    k
D.    k
2
2
6
3
2
3
6
3
Lời giải
Chọn C.
Câu 56:

Trang
13/13


Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B nên  


2

 1


� �
� �
 NOB

OMB�và ONB�là các tam giác đều nên MOB
3
2

��
��
� BA
M  MB
N
3
Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M hoặc N nên
2 �
2
�
� �
� �
AM  �
AB  BM
AB 
AM  MN

AM 
 2
, AN  �
3
3
2
Chu kì của cung  là
3

2
.
Từ  1 ,  2  ta có    k
2
3
Câu 58:
Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo
chiều
ngược
với
chiều
quay
của
kim
đồng
hồ,
biết
sđ
o
o
 Ox, OA  30  k 360 , k �Z . Khi đó sđ  Ox, AB  bằng

A. 120o  n360o , n �Z.
C. 300  n3600 , n �Z .

B. 60o  n360o , n �Z.
D. 60o  n360o , n �Z.
Lời giải

Chọn B.





�  180o  45o  75o  60o .
�  45o , BOD
�  75o � BDO
Xét tam giác OBD, ta có OBD

Trang
14/13