DS c6 gia tri luong giac cua mot cung

Chương 66

LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ 2
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.
a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn
điểm A làm gốc.
b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho ( OA,OM ) = a gọi là
điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ). Điểm M
còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc)
lượng giác có số đo a .
Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn
lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên,
mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực
có dạng là a + k2p, k Î Z .
d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ
gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác ( Ou,Ov ) có
số đo a , xác định điểm M ( x;y ) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ... Khi đó ta định nghĩa
cosa = x, sin a = y
tan a =

ö
sin a æ
p
ç
a¹

+ kp ÷
÷
ç
÷
cosa ç
2
è
ø

cosa
( a ¹ kp )
sin a
Ý nghĩa hình học: Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox,Oy . Vẽ trục số At gốc A cùng
hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox , gọi T , S lần lượt là giao điểm của
cot a =

đường thẳng OM cắt với các trục sô At, Bs . Khi đó ta có:
sin a = OH , cosa = OK , tan a = AT ,cot a = BS
e) Tính chất:
• sin a,cosa xác định với mọi giá trị của a và - 1 £ sin a £ 1, - 1 £ cosa £ 1.
•
•

p
+ kp , cot a xác định khi a ¹ kp
2
sin a = sin( a + k2p ) ,cosa = cos( a + k2p )
tana được xác định khi a ¹

tan a = tan( a + kp ) ,cot a = cot ( a + kp )

f) Dấu của các giá trị lượng giác:
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.
Bảng xét dấu
Phần tư
I
II
III
IV
Giá trị lượng giác
cosα
+
–
–
+
sinα
+
+
–
–
tanα
+
–
+
–
Trang
1/12


cotα

+

–

+

–

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc a
sina

0

p
6

p
4

p
3

p
2

2p
3

3p
4

p

3p
2

2p

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

1

3
2

2
2

1
2

0

-

1
2

–1

0

1

0

3
3

1

3

||

-

3

–1

0

||

0

||

3

1

3
3

0

-

3
3

–1

||

0

||

cosa
tana
cot a

-

2
2

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1) sin2 a + cos2 a = 1
1
p
2) 1 + tan2 a =
(a ¹
+ kp)
2
2
cos a
1
3) 1 + cot2 a =
(a ¹ kp)
sin2 a
kp

4) tan a.cot a = 1 (a ¹
)
2
3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.
Góc đối nhau ( a và - a )

Góc bù nhau( a và p - a )

cos(- a) = cosa

sin(p - a) = sin a

sin(- a) = - sin a

cos(p - a ) = - cosa

tan(- a) = - tan a

tan(p - a ) = - tan a

cot(- a) = - cot a

cot(p - a ) = - cot a

Góc hơn kém p ( a và p + a )

Góc hơn kém

Góc phụ nhau( a và

p
- a)
2

æp
ö
sinç
- a÷
÷
ç
÷= cosa
ç
è2
ø
æp
ö
cosç
- a÷
÷
ç
÷= sin a
ç
è2
ø
æp
ö
tanç
- a÷
÷
ç

÷= cot a
ç
è2
ø
æp
ö
cot ç
- a÷
÷= tan a
ç
÷
ç
è2
ø
p
p
( a và + a )
2
2

sin(p + a) = - sin a

æp
ö
sinç
+a÷
÷
ç
÷= cosa
ç

è2
ø

cos(p + a ) = - cosa

æp
ö
cosç
+a÷
÷
ç
÷= - sin a
ç
è2
ø

Trang
2/12


tan(p + a ) = tan a

æp
ö
tanç
+a÷
÷
ç
÷= - cot a
ç

è2
ø

cot(p + a) = cot a

æp
ö
cot ç
+a÷
÷
ç
÷= - tan a
ç
è2
ø

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém p tang côtang,
p
hơn kém
chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.
2
Câu 1.

Giá trị cot
A.

89π
là
6

3.

B. − 3 .

C.
Lời giải

3
.
3

D. –

3
.
3

D.

Không

Chọn B

89π
π
 π

 π
= cot  − + 15π ÷ = cot  − ÷ = − cot = − 3 .
6

6
 6

 6
o
Giá trị của tan180 là
A. 1.
B. 0 .
C. –1.
định.
Lời giải
Chọn B
o
o
o
o
Biến đổi tan180 = tan ( 0 + 180 ) = tan 0 = 0 .
Biến đổi cot

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

π
< a < π . Kết quả đúng là
2

A. sin a > 0 , cos a > 0 .B. sin a < 0 , cos a < 0 .
C.
cos a < 0 .
D. sin a < 0 , cos a > 0 .
Lời giải
Chọn C
π
Vì < a < π ⇒ sin a > 0 , cos a < 0 .
2
5π
Cho 2π < a <
. Kết quả đúng là
2
A. tan a > 0 , cot a > 0 .
B. tan a < 0 , cot a < 0 .
C. tan a > 0 , cot a < 0 .
D. tan a < 0 , cot a > 0 .
Lời giải
Chọn A
5π
⇒ tan a > 0 , cot a > 0 .
Vì 2π < a <
2
2
2
2
Đơn giản biểu thức A = ( 1 – sin x ) .cot x + ( 1 – cot x ) , ta có
Cho

A. A = sin 2 x .

Câu 6.

xác

B. A = cos 2 x .

C. A = – sin 2 x .
Lời giải

sin a > 0 ,

D. A = – cos 2 x .

Chọn A
A = ( 1 – sin 2 x ) .cot 2 x + ( 1 – cot 2 x ) = cot 2 x − cos 2 x + 1 − cot 2 x = sin 2 x .
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?
0
A. sin ( 180 – a ) = – cos a .

0
B. sin ( 180 – a ) = − sin a .

Trang
3/12


0
C. sin ( 180 – a ) = sin a .

Câu 7.

Câu 8.

0
D. sin ( 180 – a ) = cos a .
Lời giải

Chọn C.
Theo công thức.
Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau
π

π

A. sin  − x ÷ = cos x .
B. sin  + x ÷ = cos x .
2

2

π

π

C. tan  − x ÷ = cot x .
D. tan  + x ÷ = cot x .
2

2


Lời giải
Chọn D.
cos 7500 + sin 4200
Giá trị của biểu thức A =
bằng
sin ( −3300 ) − cos ( −3900 )
A. −3 − 3 .

B. 2 − 3 3 .

C.

2 3
.
3 −1

D.

1− 3
.
3

Lời giải
Chọn A.
cos 300 + sin 600
2 3
A=
=
= −3 − 3 .

0
0
sin 30 − cos 30 1 − 3
π

π

π

π

Câu 9. Đơn giản biểu thức A = cos  − α ÷+ sin  − α ÷− cos  + α ÷− sin  + α ÷ , ta có :
2

2

2

2

A. A = 2sin a .
B. A = 2 cos a .
C. A = sin a – cos a . D. A = 0 .
Lời giải
Chọn A .
A = sin α + cos α + sin α − cos α ⇔ A = 2sin α .
Câu 10. Giá trị của cot1458° là
B. −1 .

A. 1.

C. 0 .

D.

5+ 2 5 .

D.

5
.
2

Lời giải
Chọn D
cot1458° = cot ( 4.360° + 18° ) = cot18° = 5 + 2 5 .
Câu 11. Trong các giá trị sau, sin α có thể nhận giá trị nào?
4
A. −0, 7 .
B. .
C. − 2 .
3
Lời giải
Chọn A.
Vì −1 ≤ sin α ≤ 1 . Nên ta chọn A.
Câu 12. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. sin 2 α + cos 2 α = 1 .
2
C. 1 + cot α =

1
( α ≠ kπ , k ∈ ¢ ) .
sin 2 α

1 
π

 α ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷.
2
cos α 
2

kπ


, k ∈ ¢ ÷.
D. tan α + cot α = 1 α ≠
2


Lời giải
2
B. 1 + tan α =

Chọn D

kπ


, k ∈ ¢ ÷.

D sai vì : tan α .cot α = 1 α ≠
2


Trang
4/12


Câu 13. Cho biết tan α =

1
. Tính cot α
2

A. cot α = 2 .

B. cot α =

1
.
4

C. cot α =
Lời giải

1
.
2

D. cot α = 2 .

Chọn A
Ta có : tan α .cot α = 1
Câu 14. Cho sin α =
A.

4
.
5

⇒ cot α =

1
1
= =2
.
tan α 1
2

3
π
và < α < π . Giá trị của cosα là :
5
2
4
4
B. − .
C. ± .
5
5

Lời giải

D.

16
.
25

Chọn B.
4

cos α =

9 16
5
⇔
=
Ta có : sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α =1 − sin 2α = 1 −
.
25 25
cos α = − 4

5
π
4
Vì < α < π ⇒ cosα = − .
2
5
3
cot α − 2 tan α

Câu 15. Cho sin α = và 900 < α < 1800 . Giá trị của biểu thức E =
là :
5
tan α + 3cot α
2
2
4
4
A.
.
B. − .
C.
.
D. − .
57
57
57
57
Lời giải
Chọn B.
4

cosα =

9 16
5
2
2
⇔
=

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α =1 − sin α = 1 −
25 25
cosα = − 4

5
4
3
4
Vì 900 < α < 1800 ⇒ cosα = − . Vậy tan α = − và cot α = − .
5
4
3
4
 3
− − 2.  − ÷
cot α − 2 tan α
3
 4 =− 2
E=
=
.
3
tan α + 3cot α
57
 4
− + 3.  − ÷
4
 3
3sin α + cos α
Câu 16. Cho tan α = 2 . Giá trị của A =

là :
sin α − cos α
5
7
A. 5 .
B. .
C. 7 .
D. .
3
3
Lời giải
Chọn C.
3sin α + cos α 3 tan α + 1
A=
=
= 7.
sin α − cos α
tan α − 1
Câu 17. Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?
1
3
A. sin α = 1 và cos α = 1 .
B. sin α = và cos α = −
.
2
2
Trang
5/12

C. sin α =

1
1
và cosα = − .
2
2

D. sin α = 3 và cos α = 0 .
Lời giải

Chọn B
2

3
1 
B đúng vì: sin α + cos α =  ÷ +  −
÷ = 1.
2  2 ÷

4
π
Câu 18. Cho cos α = với 0 < α < . Tính sin α .
5
2
1
1
3
A. sin α = .
B. sin α = − .

C. sin α = .
5
5
5
Lời giải
Chọn C
2
3
9
4
2
2
⇒ sin α = ± .
Ta có: sin α = 1 − cos α = 1 −  ÷ =
5
25
5
π
3
Do 0 < α <
nên sin α > 0 . Suy ra, sin α = .
2
5
Câu 19. Tính α biết cos α = 1
2

2

A. α = kπ ( k ∈ ¢ ) .
π

C. α = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2

2

B. α = k 2π

3
D. sin α = ± .
5

( k ∈¢) .

D. α = −π + k 2π

( k ∈¢) .

Lời giải
Chọn C

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
3π
5π
7π
2 π
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2

Câu 20. Giá trị của A = cos
bằng
8
8
8
8
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
Lời giải
Ta có: cos α = 1 ⇔ α =

D. −1 .

Chọn C.
π
3π 
π
3π
3π
π

A = cos 2 + cos 2
+ cos 2
+ cos 2 ⇔ A = 2  cos 2 + cos 2
÷
8
8 
8
8

8
8

π
π

⇔ A = 2  cos 2 + sin 2 ÷ = 2 .
8
8

Câu 21. Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai
A+C
B
A+C
B
= cos .
= sin .
A. sin
B. cos
2
2
2
2
C. sin ( A + B ) = sin C .
D. cos ( A + B ) = cos C .
Lời giải
Chọn D .
Câu 22.

π


Đơn giản biểu thức A = cos  α − ÷+ sin ( α − π ) , ta có
2

A. A = cos a + sin a .
B. A = 2sin a .
C. A = sin a – cos a . D. A = 0 .
Lời giải
Chọn D.
π

A = cos  − α ÷− sin ( π − α ) A = sin α − sin α = 0 .
2

Trang
6/12


Câu 23. Rút gọn biểu thức A =

sin ( −2340 ) − cos 2160
sin1440 − cos1260

B. −2 .

A. 2 .

.tan 360 , ta có A bằng
D. −1 .

C. 1.
Lời giải

Chọn C.
−2 cos1800.sin 540
− sin 2340 + sin1260
0 ⇔ A=
.tan 360
A=
.tan
36
0
0
−2sin 90 sin ( −36 )
cos 540 − cos1260
−1.sin 540 sin 360
⇔ A=
.
0 ⇔ A = 1.
1sin ( −360 ) cos 36
Câu 24.

Biểu thức

( cot 44
B=

0

+ tan 2260 ) .cos 4060

cos 3160

− cot 720.cot180

có kết quả rút gọn

bằng
A. −1 .

Chọn B.

( cot 44
B=

−1
.
2
Lời giải

B. 1.

0

+ tan 460 ) .cos 460

C.

− cot 720.tan 720 ⇔ B =

D.

1
.
2

2 cot 440.cos 460
−1 ⇔ B = 2 −1 = 1.
cos 440

cos 440
12
π
Câu 25. Cho cos α = –
và < α < π . Giá trị của sin α và tan α lần lượt là
13
2
5 2
2
5
5 5
5
5
A. − ; .
B. ; − .
C. − ;
.
D.
; − .
13 3
3

12
13 12
13
12
Lời giải
Chọn D
2
π
12
25
< α < π nên sin α > 0. Từ đó ta có sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 −  − ÷ =
Do
2
 13  169
5
⇒ sin α =
13
sin α
5
⇒ tan α =
=− .
cos α
12
Câu 26.

Biết tan α = 2 và 180o < α < 270o . Giá trị cos α + sin α bằng
A. −

3 5
.

5

B. 1 – 5 .

3 5
.
2
Lời giải
C.

D.

5 −1
.
2

Chọn A
Do 180o < α < 270o nên sin α < 0 và cos α < 0 . Từ đó
1
1
1
= 1 + tan 2 α = 5 ⇒ cos 2 α = ⇒ cos α = −
Ta có
.
2
5
cos α
5
2
 1 

sin α = tan α .cos α = 2.  −
÷= −
5
5

2
1
3 5
−
=−
.
5
5
5
Câu 27. Biểu thức D = cos 2 x.cot 2 x + 3cos 2 x – cot 2 x + 2sin 2 x không phụ thuộc x và bằng
Như vậy, cos α + sin α = −

Trang
7/12


A. 2.

B. –2 .

C. 3.
Lời giải

D. –3 .

Chọn A

2
2
2
D = cos 2 x.cot 2 x + 3cos 2 x – cot 2 x + 2sin 2 x = cos x + 2 + cot x ( cos x − 1)

= cos 2 x + 2 − cot 2 x.sin 2 x = cos 2 x + 2 − cos 2 x = 2 .
1
2
Câu 28. Cho biết cot x = . Giá trị biểu thức A =
bằng
2
2
sin x − sin x.cos x − cos 2 x
A. 6.
B. 8.
C. 10.
D. 12.
Lời giải
Chọn C
 1
2
2
2
1 + ÷
2
2 ( 1 + cot x )
2
4

sin
x
A=
=
=
= 
= 10.
2
2
2
2
sin x − sin x.cos x − cos x 1 − cot x − cot x 1 − cot x − cot x 1 − 1 − 1
2 4
0
0
0
0
sin ( −328 ) .sin 958 cos ( −508 ) .cos ( −1022 )
−
Câu 29. Biểu thức A =
rút gọn bằng:
cot 5720
tan ( −2120 )
A. −1 .

B. 1.

C. 0 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A
sin ( −3280 ) .sin 9580 cos ( −5080 ) .cos ( −10220 )
sin 320.sin 580 cos 320.cos 580
A=
−
⇔
A
=
−
−
0
cot 572
tan ( −2120 )
cot 320
tan 320
sin 320.cos 320 cos 320.sin 320
−
= − sin 2 320 − cos 2 320 = −1.
0
0
cot 32
tan 32
Câu 30. Biểu thức:
2003π 

A = cos ( α + 26π ) − 2sin ( α − 7π ) − cos1,5π − cos  α +
÷+ cos ( α − 1,5π ) .cot ( α − 8π )
2 


có kết quả thu gọn bằng :
A. − sin α .
B. sin α .
C. − cos α .
D. cos α .
Lời giải
Chọn B
π

A = cos ( α + 26π ) − 2sin ( α − 7π ) − cos ( 1,5π ) − cos  α + 2003 ÷+ cos ( α − 1,5π ) .cot ( α − 8π )
2

π
π
π 


A = cos α − 2sin ( α − π ) − cos  ÷− cos( α − ÷+ cos  α + ÷.cot α
2
2
2


A = cos α + 2sin α − 0 − sin α − sin α .cot α = cos α + sin α − cos α = sin α .
4
3π
< α < 2π . Khi đó :
Câu 31. Cho tan α = − với
5

2
4
5
4
5
A. sin α = −
, cos α = −
.
B. sin α =
, cos α =
.
41
41
41
41
4
5
4
5
cos α =
C. sin α = −
.
D. sin α =
, cos α = −
.
41
41
41
41
A=−

Lời giải
Chọn C
1 + tan 2 α =

5
1
16
1
1
41
25
⇒ cos α = ±
⇒ 1+
=
⇒
=
⇒ cos 2 α =
2
2
2
41
cos α
25 cos α
cos α 25
41
Trang
8/12

4
25 16
→ sin α = ±
=
41
41 41
5

cos α > 0 → cos α =

3π
41
< α < 2π ⇒ 
4 .
2

sin α < 0 → sin α = − 41

sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 −

Câu 32. Cho cos150 = 2 + 3 . Giá trị của tan15ο bằng :
2
A.

3−2

B.

2− 3
2

C. 2 − 3

D.

2+ 3
4

Lời giải
Chọn C

(

)

2
1
4
−1 =
− 1 = 2 − 3 ⇒ tan150 = 2 − 3 .
2
0
cos 15
2+ 3
0
sin 515 .cos ( −4750 ) + cot 2220.cot 4080
Câu 33. Biểu thức A =
có kết quả rút gọn bằng
cot 4150.cot ( −5050 ) + tan197 0.tan 730

tan 2 150 =

A.

1 2 0
sin 25 .
2

B.

1
cos 2 550 .
2

1
cos 2 250 .
2
Lời giải
C.

D.

1 2 0
sin 65 .
2

Chọn C .
sin1550.cos1150 + cot 420.cot 480
sin 250. ( − sin 250 ) + cot 420.tan 42 0
A=

⇔
A
=
cot 550.cot ( −1450 ) + tan170.cot17 0
cot 550.tan 550 + 1
− sin 2 250 + 1
cos 2 250 .
⇔ A=
2
2
2 cos 2 x − 1
Câu 34. Đơn giản biểu thức A =
ta có
sin x + cos x
A. A = cos x + sin x .
B. A = cos x – sin x . C. A = sin x – cos x . D. A = − sin x – cos x .
Lời giải
Chọn B
2
2 cos 2 x − ( sin 2 x + cos 2 x ) cos 2 x − sin 2 x
Ta có A = 2 cos x − 1 =
=
sin x + cos x
sin x + cos x
sin x + cos x
cos
x
−
sin
x

cos
x
+
sin
x
(
)(
) = cos x − sin x
=
sin x + cos x
Như vậy, A = cos x – sin x .
2
Câu 35. Biết sin α + cos α =
. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?
2
1
6
A. sin α .cos α = – .
B. sin α − cos α = ±
.
4
2
7
C. sin 4 α + cos 4 α = .
D. tan 2 α + cot 2 α = 12 .
8
Lời giải
Chọn D
⇔ A=

Trang
9/12


1
1
1
2
2
⇒ ( sin α + cos α ) = ⇒ 1 + 2sin α cos α = ⇒ sin α cos α = −
2
2
4
2
 1 6
= 1 − 2sin α cos α = 1 − 2  − ÷ = ⇒ sin α − cos α = ± 6
 4 4
2

Ta có sin α + cos α =
⇒ ( sin α − cos α )

2

2

 1 7
⇒ sin α + cos α = ( sin α + cos α ) − 2sin α cos α = 1 − 2  − ÷ =
 4 8
7

4
4
sin α + cos α
⇒ tan 2 α + cot 2 α =
= 8 2 = 14
2
2
sin α cos α
 1
− ÷
 4
2
2
Như vậy, tan α + cot α = 12 là kết quả sai.
Câu 36. Tính giá trị của biểu thức A = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 x cos 2 x .
A. A = –1 .
B. A = 1 .
C. A = 4 .
D. A = –4 .
Lời giải
Chọn B
4

4

2

2

2

2

2

Ta có A = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x ) + ( cos 2 x ) + 3sin 2 x cos 2 x
3

3

= ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3 sin 2 x.cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) + 3 sin 2 x cos 2 x = 1 .
3

Câu 37.

Biểu thức

( 1 − tan x )
A=
2

1
không phụ thuộc vào x và bằng
2
4 tan x
4sin x cos x
1
1
B. –1.
C. .

D. − .
4
4
Lời giải

Chọn B

( 1 − tan x )
A=
2

4 tan 2 x

2

2

2

2
1 − tan 2 x )
(
1
1
 1 
−
=
−
×


÷
4sin 2 x cos 2 x
4 tan 2 x
4 tan 2 x  cos 2 x 
2

( 1 − tan x ) − ( 1 + tan x )
=
2

−

2

A. 1.

Ta có

2

2

4 tan 2 x

2

( 1 − tan x ) − ( 1 + tan x )
=
2

2

2

2

=

−4 tan 2 x
= −1 .
4 tan 2 x

4 tan 2 x
4 tan 2 x
cos 2 x − sin 2 y
− cot 2 x.cot 2 y không phụ thuộc vào x, y và bằng
Câu 38. Biểu thức B =
2
2
sin x.sin y
A. 2 .
B. –2 .
C. 1.
D. –1.
Lời giải
Chọn D
cos 2 x − sin 2 y
cos 2 x − sin 2 y cos 2 x.cos 2 y
2
2

−
cot
x
.cot
y
=
−
Ta có B =
sin 2 x.sin 2 y
sin 2 x sin 2 y
sin 2 x.sin 2 y
=
Câu 39.

cos 2 x ( 1 − cos 2 y ) − sin 2 y
sin 2 x sin 2 y

=

2
2
cos 2 x sin 2 y − sin 2 y sin y ( cos x − 1)
=
= −1 .
sin 2 x sin 2 y
( 1 − cos2 x ) sin 2 y

Biểu thức C = 2 ( sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x ) – ( sin 8 x + cos8 x ) có giá trị không đổi
2

và bằng
A. 2 .

B. –2 .

C. 1.
Lời giải

D. –1.

Chọn C

Ta có C = 2 ( sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x ) – ( sin 8 x + cos8 x )
2

Trang
10/12


2

2
2
= 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) − sin 2 x cos 2 x  – ( sin 4 x + cos 4 x ) − 2sin 4 x cos 4 x 

 

2

2

2
= 2 1 − sin 2 x cos 2 x  – ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2 sin 2 x cos 2 x  + 2sin 4 x cos 4 x


2

2

= 2 1 − sin 2 x cos 2 x  – 1 − 2 sin 2 x cos 2 x  + 2sin 4 x cos 4 x
= 2 ( 1 − 2 sin 2 x cos 2 x + sin 4 x cos 4 x ) – ( 1 − 4 sin 2 x cos 2 x + 4sin 4 x cos 4 x ) + 2sin 4 x cos 4 x
=1
Câu 40. Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

.

2

 1 + sin a
1 − sin a 
−
= 4 tan 2 a .
B. 
÷
÷
1 + sin a 
 1 − sin a
sin α + cos α
2 cos α
sin α
cos α

1 + cot 2 α
=
C.
. D.
.
−
=
2
1 − cos α
sin α − cos α + 1
cos α + sin α cos α − sin α 1 − cot α
Lời giải
Chọn D
tan x + tan y
VT =
= tan x.tan y = VP
1
1
A đúng vì
+
tan x tany
B đúng vì
tan x + tan y
= tan x.tan y .
A.
cot x + cot y

( 1 + sin a ) + ( 1 − sin a ) − 2 = 2 + 2sin 2 a − 2 = 4 tan 2 a = VP
1 + sin a 1 − sin a
VT =

+
−2=
1 − sin a 1 + sin a
1 − sin 2 a
cos 2 a
− sin 2 α − cos 2 α sin 2 α + cos 2 α 1 + cot 2 α
C đúng vì VT =
=
=
= VP .
cos 2 α − sin 2 α
sin 2 α − cos 2 α 1 − cot 2 α
98
4
4
Câu 41. Nếu biết 3sin x + 2 cos x =
thì giá trị biểu thức A = 2sin 4 x + 3cos 4 x bằng
81
101
601
103
603
105
605
107
607
A.
hay
.
B.

hay
. C.
hay
. D.
hay
.
81
504
81
405
81
504
81
405
Lời giải
Chọn D
98
98
4
4
− A ⇔ cos 2 x = A −
Ta có sin x − cos x =
81
81
1
1  98
1 1
1  98
98



5 ( sin 4 x + cos 4 x ) =
+ A ⇔ 1 − sin 2 2 x =  + A ÷ ⇔ + cos 2 2 x =  + A ÷
2
5  81
2 2
5  81
81


2

2

2

98 
2
98  2 
98  392

⇔ 1+  A − ÷ =  A + ÷ =  A − ÷+
81  5 
81  5 
81  405

 13
t = 45
98
2

13
2
=t ⇒t − t+
=0 ⇔
Đặt A −
81
5 405
t = 1
 9
13
607
⇒ A=
+) t =
45
405
1
107
.
+) t = ⇒ A =
9
81
1
Câu 42. Nếu sin x + cos x = thì 3sin x + 2 cos x bằng
2

Trang
11/12


5− 7

5+ 7
hay
.
4
4
5+ 5
.
4
2− 3
2+ 3
C.
hay
.
5
5
3+ 2
.
5
A.

B.

5− 5
7

hay

D.

3− 2

5

hay

Lời giải

Chọn A
1
1
3
3
2
⇒ ( sin x + cos x ) = ⇔ 2 sin x.cos x = − ⇒ sin x.cos x = −
2
4
4
8

1+ 7
sin x =

1
3
4
2
Khi đó sin x, cos x là nghiệm của phương trình X − X − = 0 ⇒ 
2
8

1− 7

sin x =

4
1
Ta có sin x + cos x = ⇒ 2 ( sin x + cos x ) = 1
2
1+ 7
5+ 7
+) Với sin x =
⇒ 3sin x + 2 cos x =
4
4
1− 7
5− 7
+) Với sin x =
.
⇒ 3sin x + 2 cos x =
4
4
2b
Câu 43. Biết tan x =
. Giá trị của biểu thức A = a cos 2 x + 2b sin x.cos x + c sin 2 x bằng
a−c
A. –a .
B. a .
C. –b .
D. b .
Lời giải
Chọn B
A

= a + 2b tan x + c tan 2 x
A = a cos 2 x + 2b sin x.cos x + c sin 2 x ⇔
2
cos x
2
  2b  2 
2b
 2b 
⇔ A ( 1 + tan 2 x ) = a + 2b tan x + c tan 2 x ⇔ A 1 + 
=
a
+
2
b
+
c
÷

÷
  a−c÷
a−c
 ÷
 a −c 


sin x + cos x =

( a − c ) + ( 2b )
⇔A
2

( a − c)

2

( a − c ) + ( 2b )
⇔A
2
( a − c)

2

2

2

Câu 44.

Nếu biết
A.

1

( a + b)

2

a ( a − c ) + 4b 2 ( a − c ) + c 4b 2
2

=

( a − c)

a ( a − c ) + 4b 2 a

2

2

=

( a − c)

2

=

(

a. ( a − c ) + 4b 2
2

( a − c)

2

) ⇔ A=a.

sin 4 α cos 4 α
1

sin 8 α cos8 α
thì biểu thức A =
bằng
+
=
+
a
b
a+b
a3
b3
1
1
1
.
B. 2
.
C.
D. 3 3
3 .
2
( a + b)
a +b
a +b
Lời giải

Chọn C
Đặt cos 2 α = t ⇒ (

1− t )

t2
1
+ =
a
b a +b
2

Trang
12/12


ab
ab
ab
⇔ at 2 + bt 2 − 2bt + b =
⇔ ( a + b ) t 2 − 2bt + b =
a+b
a+b
a+b
b
2
⇔ ( a + b ) t 2 − 2b ( a + b ) t + b 2 = 0 ⇔ t =
a+b
b
a
2
;sin 2 α =
Suy ra cos α =
a+b
a+b

8
8
sin α cos α
a
b
1
+
=
+
=
.
Vậy:
4
4
3
3
3
a
b
( a + b) ( a + b) ( a + b)
⇔ b ( 1 − t ) + at 2 =
2

9π 
 π

Câu 45. Với mọi α, biểu thức : A = cos α + cos  α + ÷+ ... + cos  α + ÷ nhận giá trị bằng :
5
5 



A. –10 .
B. 10 .
C. 0 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn C
9π 
 π

A = cos α + cos  α + ÷+ ... + cos  α + ÷
5
5 



9π  
 
4π 
5π  


A = cos α + cos  α + ÷ + ... +  cos  α + ÷+ cos  α +
÷
5 
5 
5  




 
9π 
9π
9π 
7π
9π 
π



A = 2 cos  α +
+ 2 cos  α +
+ ... + 2 cos  α +
÷cos
÷cos
÷cos
10 
10
10 
10
10 
10



9π 
9π
7π
5π
3π

π 

A = 2 cos  α +
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos ÷
÷ cos
10 
10
10
10
10
10 

9π 
π
2π
π
π
π
9π 


A = 2 cos  α +
+ 2 cos cos + cos ÷ ⇔ A = 2 cos  α +
÷ 2 cos cos
÷.0 = 0.
10 
2

5
2
5
2
10 


Câu 46.

Giá trị của biểu thức A = sin 2
A. 2 .

B. −2 .

π
3π
5π
7π
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
bằng
8
8
8
8
C. 1.
D. 0 .
Lời giải

Chọn A

π
3π
5π
7π
1
π
3π
5π
7π 
1 − cos
1 − cos
1 − cos
= 2 −  cos + cos
+ cos
+ cos
4
4
4
4
÷
A=
+
+
+
2
4
4
4

4 
2
2
2
2
1
π
3π
3π
π
= 2 −  cos + cos
− cos
− cos ÷ = 2.
2
4
4
4
4
2sin 25500.cos ( −1880 )
1
Câu 47. Giá trị của biểu thức A =
bằng :
+
tan 3680
2 cos 6380 + cos 980
A. 1.
B. 2 .
C. −1 .
D. 0 .
Lời giải

Chọn D
2sin 25500.cos ( −1880 )
1
A=
+
tan 3680
2 cos 6380 + cos 980
2sin ( 300 + 7.3600 ) .cos ( 80 + 1800 )
1
1
−2sin 300.cos80
⇔ A=
+
⇔ A=
+
tan ( 80 + 3600 ) 2 cos ( −820 + 2.3600 ) + cos ( 900 + 80 )
tan 80 2 cos820 − sin 80
1 − cos

Trang
13/12


⇔ A=

1
2sin 300.cos80
1
2sin 300.cos80
−

⇔
A
=
−
0
tan 8 2 cos ( 900 − 80 ) − sin 80
tan 80 2sin 80 − sin 80

1.cos80
= cot 80 − cot 80 = 0 .
0
sin 8
Câu 48. Cho tam giác ABC và các mệnh đề :
B+C
A
A+ B
C
= sin
.tan = 1 ( III ) cos ( A + B – C ) – cos 2C = 0
( I ) cos
( II ) tan
2
2
2
2
Mệnh đề đúng là :
A. Chỉ ( I ) .
B. ( II ) và ( III ) .
C. ( I ) và ( II ) .
D. Chỉ ( III ) .

Lời giải
Chọn C
⇔ A = cot 80 −

+) Ta có: A + B + C = π ⇔ B + C = π − A ⇔

B+C π A
= −
2
2 2

A
 B+C 
π A
cos 
nên ( I ) đúng
÷ = cos  − ÷ = sin
2
 2 
2 2
A+ B π C
= −
+) Tương tự ta có:
2
2 2
A+ B
C
A+ B
C
C

C
π C 
tan
= tan  − ÷ = cot ⇔ tan
.tan = cot .tan = 1
2
2
2
2
2
2
2 2

( I)

nên ( II ) đúng.
+) Ta có
A + B − C = π − 2C → cos ( A + B − C ) = cos ( π − 2C ) = − cos ( 2C )
⇔ cos ( A + B − C ) + cos ( 2C ) = 0

nên ( III ) sai.

Câu 49. Cho cot α = −3 2 với
A. 2 19 .

π
α
α
< α < π . Khi đó giá trị tan + cot
bằng :

2
2
2
B. −2 19 .
C. − 19 .
D. 19 .
Lời giải

Chọn A
1
1
1
→ sin α = ±
= 1 + cot 2 α = 1 + 18 = 19 → sin 2 α =
2
19
sin α
19
Vì
1
π
< α < π ⇒ sin α > 0 ⇒ sin α =
19
2
2 α
2 α
α
α sin 2 + cos 2
2
=

= 2 19 .
Suy ra tan + cot =
α
α
2
2
sin
α
sin cos
2
2
tan 2 a − sin 2 a
Câu 50. Biểu thức rút gọn của A =
bằng :
cot 2 a − cos 2 a
A. tan 6 a .
B. cos6 a .
C. tan 4 a .
Lời giải
Chọn A

D. sin 6 a .

Trang
14/12


 1

sin 2 a 

− 1÷
2
2
2
tan a − sin a
 cos a  = tan a.tan a = tan 6 a .
⇔
A
=
A=
cot 2 a
 1

cot 2 a − cos 2 a
cos 2  2 − 1÷
 sin a 
2

2

Trang
15/12