Đề chọn đội tuyển 11 Toán Lương Văn Tụy - Ninh Bình

Đề chọn đội tuyển 11 Toán Lương Văn Tụy -
Ninh Bình
Vòng 1:
Bài 1:Giải các pt,hpt sau :
a,
b,
Bài 2:
a,Tìm các điểm M có tọa độ không âm trên đồ thị (P): sao
cho tiếp tuyến tại M cắt Ox tại A, cắt Oy tại B thỏa mãn độ dài đoạn AB
nhỏ nhất.
b, Chứng minh rằng đồ thị hàm số : có 3 điểm cực
trị tạo thành 3 đỉnh của tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC và cắt cạnh
AD của tứ diện tại E. Gọi lần lượt là góc tạo bởi (P) với các mặt
phẳng (BCD) và (ABC)
a, cm
b, Cho . Tính tỉ số thể tích 2 tứ diện ABCE và BCDE
Bài 4:
a, Cho dãy số : Chứng minh dãy số có
giới hạn. Tính giới hạn đó.
b, Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và mỗi góc lớn hơn 45 độ. Tìm GTLN
của:
Bài 5:
Cho
a, CMR phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.
b, Gọi là nghiệm của PT Tính giá trị của biểu thức:
------------------------------
Vòng 2
Bài 1:
Cho là một số nguyên tố lẻ.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên sao cho chia hết cho khi

và chỉ khi (k là số nguyên)
Bài 2:
Cho các số x,y,z thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 3:
Tìm hàm số liên tục trên R thỏa mãn:
Bài 4 :
Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. M,N là trung điểm của AH,BC.
Các đường phân giác của góc ABH, ACH cắt nhau tại P. Chứng minh:
a, Góc BPC là góc vuông
b, M,N,P thẳng hàng.
Bài 5:
Cho n điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Tìm số cách tô màu n điểm trên bằng 5 màu sao cho 2 điểm kề nhau tô
bởi 2 màu khác nhau.
Bài 6
Tìm tất cả các số tự nhiên để đa thức là đa thức khả quy
trên