De thi chuyen Luong Van Tuy - Ninh Binh

Đề thi chuyên Lơng Văn Tụy
Năm học 2006 2007
(Thời gian 150 phút)

Bài 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
a b
A
1 b 1 a
= +
+ +

Trong đó a, b là các số d"ơng thỏa mãn điều kiện a.b = 1
Bài 2:
Giải ph"ơng trình x +
x 2006+
=
2006

Bài 3:
Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì
2.(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y

2
+ z
2
)
Bài 4:
Cho đ"ờng tròn (O; R) với dây BC cố định, số đo cung BC là 120 và điểm A trên cung lớn
BC (A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung lớn BC). Gọi H là hình chiếu của
A trên BC, E và F lần l"ợt là hình chiếu của B và C trên đ"ờng kính AA.
a. Chứng minh rằng

HEF

ABC
b. Khi A thay đổi trên cung lớn BC. Chứng minh các điểm H, E, F luôn cách đều một
điểm cố định.
c. Gọi r là bán kính đ"ờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
Chứng minh 0 < r <
R 3
2

Bài 5:
Cho các số d"ơng x
1
, x
2
, , x
2006

Chứng minh:
1 2 2006 1 2 2005 2006

1 2 2006 2 3 2006 1
1 1 1 1 1 1 1
x . x x x x x x
x x x x x x x

+ + + + + + +



Bài 6:
Trên mặt phẳng cho 4013 điểm thỏa mãn cứ 3 điểm bất kỳ tồn tại 2 điểm có khoảng cách
nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có ít nhất 2006 điểm trong số các điểm đã cho cùng nằm
trong một đ"ờng tròn có bán kính bằng 1.