CHỦ ĐỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

Chủ đề: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Số tiết: 03(Tiết 9+10+11)
I. Nội dung của chuyên đề
- Định nghĩa hệ trục tọa độ, hệ trục tọa độ;
- Tọa độ của một điểm trên trục tọa độ, tọa độ của vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán
vectơ, tọa độ của điểm;
- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác
Thời lượng dạy : 3 tiết (2 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập)
II. Mục tiêu
1.Kiến thức:
- Hiểu được khái niệm trục tọa độ, tọa độ của vectơ và của điểm trên trục. Biết khái niệm độ
dài đại số của một vectơ trên trục;
- Hiểu được tọa độ của vectơ, của điểm đối với một hệ trục;
- Biết được biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai
điểm, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác.
2. Kĩ năng:
- Xác định được tọa độ của điểm, của vectơ trên trục. Tính được độ dài đại số của một vectơ
khi biết tọa độ hai điểm đầu mút của nó;
- Tính được tọa độ của vectơ nếu biết tọa độ hai đầu mút. Sử dụng được biểu thức tọa độ của
các phép toán vectơ;
- Xác định được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ của trọng tâm tam giác.
3. Thái độ:
- Tích cực, tự giác trong quá trình lĩnh hội kiến thức;
- Rèn luyện tính cẩn thận, tỉ mỉ trong quá trình làm bài.
III. Mô tả các mức độ nhận thức, biên soạn câu hỏi và bài tập
1. Bảng mô tả các chuẩn được đánh giá

Năm học 2017 - 2018

Page 1


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

Nội dung

Nhận biết

Tìm tọa độ của
một điểm và
độ dài đại số
của một vectơ
trên
trục
r
O; e

Mô tả: Học sinh biết biểu diễn các
điểm trên trục số, tìm độ dài đại số
của các vectơ.
r
Trên truc O ; e cho các
Ví dụ 1:
điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt
là: 1,2,3, 2.

a, Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm
đã cho trên trục;
uuu
r
b, Tính độ dài đại số của AB và
uuuu
r
uuu
r
MN . Từ đó suy ra hai vectơ AB và
uuuu
r
MN ngược hướng.
Mô tả: Học sinh biết tìm tọa độ của
các vectơ trong trường hợp đơn
giản.
Ví dụ 2: Tìm tọa độ của các vectơ
sau r r
a, a  2i
r
r
b, b  3j
r r r
c, c  3i  4j
r
r
r
d, d  0,2i  3 j





Xác định tọa
độ của vectơ
và

của

một

điểm trên mặt
phẳng tọa độ
Oxy

Năm học 2017 - 2018



Thông hiểu

Vận dụng cơ bản

Vận dụng nâng cao



Mô tả: Học sinh biết tìm tọa độ
một đỉnh của hình bình hành
khi đã biết các đỉnh còn lại.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành
ABCD có
A 1; 2 , B 3;2 , C  4; 1 .
Tìm tọa độ đỉnh D.

Mô tả: Học sinh biết dựa vào Mô tả: Học sinh biết tìm tọa độ của
một điểm đối xứng với một điểm cho
điều kiện của các vectơ bằng
trước qua một tục đối xứng hoặc qua
nhau để tìm tọa độ các điểm.
tâm đối xứng.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
cho điểm M0  x0; y0  .
Các điểm
M  1;0 , N  2;2 , P  1;3 a, Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M
qua trục Ox;
lần lượt là trung điểm của các b, Tìm tọa độ của điểm B đối xứng
với M qua trục Oy;
cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa
c, Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M
độ các đỉnh của tam giác.
qua gốc O
Page 2


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

Tìm tọa độ của Mô tả: HS biết dựa vào các công Mô tả: HS biết dựa vào điều

các
vectơ thức tổng, hiểu của hai vectơ, tích kiện cùng phương của hai vectơ
r r r r r của vectơ với một số để tìm được để tìm tham số thỏa mãn
u v, u- v, ku
Ví dụ 7: Cho
tọa độ của các vectơ thỏa mãn yêu
r 1r r r
r r
u

i

5
j
,
v

m
i  4j . Tìm
cầu bài toán
2
Ví
r
r
r dụ 6: Cho
r
r
m để u và v cùng phương.
a   2;1 , b   3;4 , c   7;2 .
a, Tìm tọa độ của vectơ

r
r
r r
u  3a  2b  4c
r
b, Tìm tọa độ vectơ x sao cho
r r r r
x  a  b c
c, Tìm các số k, h sao cho
r
r
r
c  ka  hb .
Chứng minh ba Mô tả: HS biết dựa vào điều kiện để Mô tả: HS biết dựa vào điều
điểm

thẳng ba điểm thẳng hàng, hai đường kiện thẳng hàng để tìm giá trị

hàng,

của tham số sao cho ba điểm

hai thẳng song song để chứng minh.
Ví dụ 8:
đường thẳng
a, Cho ba điểm A  1;1 , B  1;3 , .
song song bằng
C  2;0 . Chứng minh ba điểm A,
tọa độ.
B, C thẳng hàng.

b, Cho bốn điểm A  0;1 , B  1;3 ,

cho trước thẳng hàng.
Ví dụ 9:
a, Cho A  3;4 , B 2;5 . Tìm x
để điểm C  7; x thuộc đường

thẳng AB.
C  2;7 , D  0;3 . Chứng minh hai b, Cho A  1;1 , B  3;2 ,

đường thẳng AB và CD song song.
Năm học 2017 - 2018

C  m 4;2m 1 . Tìm m để ba
Page 3


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai
điểm A, B, C thẳng hàng.

Tọa độ trung Mô tả: HS biết dựa vào công thức Mô tả: HS biết dựa vào công Mô tả: HS biết vận dụng linh
điểm của một để tìm tọa độ trọng tâm khi biết tọa thức và dựa vào các đặc điểm hoạt các công thức trung điểm,
đoạn thẳng, tọa độ ba đỉnh của tam giác.
của điểm nằm trên Ox, Oy để hai vectơ bằng nhau để làm bài
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC với
độ trọng tâm
tìm tọa độ thỏa mãn yêu cầu bài tập.
Ví dụ 12:

A  3;2 , B 11;0 , C  5;4 . Tìm toán.
của tam giác.
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có Cho A  2;1 , B 4;5 . Tìm tọa
tọa độ trọng tâm G của tam giác.
A  1; 1 , B  5; 3 , đỉnh C trên độ trung điểm I của đoạn thẳng
AB và tọa độ điểm C sao cho
Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm
tứ giác OACB là hình bình
tọa độ của C
hành (O là gốc tọa độ).

Năm học 2017 - 2018

Page 4


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

2. Câu hỏi và bài tập
I. Lý thuyết:
1. Trục và độ dài đại số trên trục:
a, Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm
r
r
gốc và một vectơ đơn vị e. Ta kí hiệu trục đó là O ; e .





r
uuuu
r
r
O
;
e
b, Cho M là một điểm tùy ý trên trục
. Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM  ke . Ta gọi





số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
r
uuu
r
r
c, Cho hai điểm A và B trên trục O ; e . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB  ae . Ta gọi số a là





uuu
r
độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a  AB .

uuu
r
r
uuu
r
r
Nhận xét: Nếu AB cùng hướng với e thì AB  AB , còn nếu AB ngược hướng với e thì AB   AB
r
Nếu hai điểm A và B trên trục O ; e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB  b  a





2. Hệ trục tọa độ:
a, Định nghĩa:

r r
r
r
Hệ trục tọa độ O ; i, j gồm hai trục O ; i và O ; j vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung













r
r
của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O ; i được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục O ; j





r r
được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i, j





là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và

r r
r r
i = j  1. Hệ trục tọa độ O ; i, j còn được kí hiệu là Oxy.





b, Tọa độ của vectơ:

r
r
r
Cặp số  x; y được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết u   x; y hoặc u x; y .
r
r
r r
r
Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u . Ta có: u   x; y � u  xi  yj
Nhận xét: Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có
hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
r ur
r
ur
�x  x'
Nếu u   x; y , u'   x'; y' thì u  u' � �
�y  y'
Như vậy mỗi vectơ hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
Năm học 2017 - 2018

Page 5


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

c, Tọa độ của một điểm:
uuuu
r

Cặp số  x; y được gọi là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM   x; y . Khi đó ta viết M   x; y .
Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí
hiệu là xM , tung độ của điểm M được kí hiệu là yM
uuuu
r
r r
M   x; y � OM  xi  yj
d, Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ
uuu
r trong mặt phẳng
Cho hai điểm A  xA ; yA  và B  xB ; yB  . Ta có : AB   xB  xA ; yB  yA  .
r r r r r
3. Tọa độ của các vectơ u v, u- v, ku
Ta córcác công thứcrsau:
Cho u   u1 ; u2  , v   v1 ; v2  . Khi đó :
r r
u v   u1  v1 ; u2  v2 
r r
u v   u1  v1 ; u2  v2 
r
ku   ku1 ; ku2  , k ��
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác.
x  xB
�
xI  A
�
�
2
a, Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có: �
�y  yA  yB

�I
2
x  xB  xC
�
xG  A
�
�
2
b, Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì �
�y  yA  yB  yC
�G
2
II. Bài tập:
1. Các dạng bài tập :

r
Dạng 1 : Tìm tọa độ của một điểm và độ dài đại số của một vectơ trên trục O ; e





Phương pháp:
Căn cứ vào định nghĩa tọauđộ
và độ dài đại số của vectơ.
uuu
rcủa điểm
r
+ Điểm M có tọa độ a � OM  ae với O là điểm gốc.
uuu

r
uuu
r
r
+ Vectơ AB có độ dài đại số là m AB � AB  me
+ Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a và b thì MN  b  a
Dạng 2: Xác định tọa độ của vectơ và của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Phương pháp:
Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của một vectơ và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
* Tọa độ của vectơ:
r
r
r
Cặp số  x; y được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết u   x; y hoặc u x; y .
r
r
r r
r
Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u . Ta có: u   x; y � u  xi  yj
Nhận xét: Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành
độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
r ur
r
ur
�x  x'
Nếu u   x; y , u'   x'; y' thì u  u' � �
�y  y'
Như vậy mỗi vectơ hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
Năm học 2017 - 2018

Page 6


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

* Tọa độ của một điểm:
uuuu
r
Cặp số  x; y được gọi là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM   x; y . Khi đó ta viết M   x; y .
Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí
hiệu là xM , tung độ của điểm M được kí hiệu là yM
uuuu
r
r r
M   x; y � OM  xi  yj
* Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ
uuu
r trong mặt phẳng
Cho hai điểm A  xA ; yA  và B  xB ; yB  . Ta có : AB   xB  xA ; yB  yA  .
r r r r r
Dạng 3 : Tìm tọa độ của các vectơ u v, u- v, ku
r r r r r
Phương pháp: Tính theo các công thức tọa độ của u v, u- v, ku
r r
u v   u1  v1 ; u2  v2 
r r
u v   u1  v1 ; u2  v2 
r

ku   ku1 ; ku2  , k ��
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song bằng tọa độ.
Phương pháp:
Sử dụng các điều kiện cần và đủ sau:
uuu
r
uuur
*Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng � AB  kAC ;
r r r
r
r
*Hai vectơ a, b�0 cùng phương � Có số k để a  kb
Dạng 5: Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác.
Phương pháp: Sử dụng các công thức sau:
x  xB
�
xI  A
�
�
2
a, Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có: �
�y  yA  yB
�I
2
x  xB  xC
�
xG  A
�
�
2

b, Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì �
�y  yA  yB  yC
�G
2
2. Bài tập và lời giải:
Dạng 1:
r
Bài 1: Trên truc O ; e cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là: 1,2,3, 2 .





a, Hãy vẽ trục và biểu diễnuu
các
u
r điểm
uuuu
rđã cho trên trục;
uuu
r
uuuu
r
b, Tính độ dài đại số của AB và MN . Từ đó suy ra hai vectơ AB và MN ngược hướng.
Lời giải:
a, Biểu diễn các điểm A, B, M, N như sau:

b, Ta có:

AB  2   1  3, MN  2 3  5

uuu
r uuuu
r
Vậy hai vectơ AB, MN ngược hướng.
r
Bài 2: Trên truc O ; e cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là: 4,3,5, 2 .





a, Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;
Năm học 2017 - 2018

Page 7


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

uuu
r uuur
uuuu
r
b, Tính độ dài đại số của AB, AM và MN .
Lời giải:
a, Biểu diễn các điểm A, B, M, N như sau:

b, Ta có:

AB  3  4  7, AM  5  4  9, AB  2  5  7

Dạng 2:
Bài 3: Tìm tọa độ của các vectơ
r saur
r r
a, a  2i
b, b  3j
Lờir giải:
a, a   2;0
r
b, b  0; 3
r
c, c   3; 4
r
d, d  0,2; 3



r r r
c, c  3i  4j

r
r
r
d, d  0,2i  3 j



Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có A 1; 2 , B 3;2 , C  4; 1 . Tìm tọa độ đỉnh D.
Lời giải:
uuu
r
Ta có: AB   4;4 . Gọi D  x; y .
uuur
Ta có: DC   4  x; 1 y
uuur uuu
r
�4  x  4
�x  0
��
Vì DC  AB nên �
�1 y  4 �y  5
Vậy D  0; 5

Bài 5: Cho tam giác ABC. Các điểm M  1;0 , N  2;2 , P  1;3 lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Lời giải:
uuur uuur
Vì NAPM là hình bình hành nên ta có: NA  MP
uuur
uuur
NA   xA  2; yA  2 , MP   2;3
�xA  2  2 �xA  0
��
� A  0;5
Suy ra: �
�yA  2  3
�yA  5

uuuu
r uuur uuur uuur
Tương tự ta có: MC  PN, MB  NP ta tính được B 2;1 , C  4; 1 .
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M0  x0; y0  .
a, Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M qua trục Ox;
b, Tìm tọa độ của điểm B đối xứng với M qua trục Oy;
c, Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O.
Lời giải:
Điểm M có tọa độ  x0; y0  thì ta có:
a, Tọa độ điểm A đối xứng với M qua truc Ox là: A  x0;  y0 
Năm học 2017 - 2018

Page 8


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

b, Tọa độ điểm B đối xứng với M qua trục Oy là: B   x0; y0 
c, Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O là: C   x0;  y0 
Dạng 3:
r
r
r
Bài 7: Cho a   2;1 , b   3;4 , c   7;2 .
r
r
r r
a, Tìm tọa độ của vectơ u  3a  2b  4c

r
r r r r
b, Tìm tọa độ vectơ x sao cho x  a  b  c
r
r
r
c, Tìm các số k, h sao cho c  ka  hb .
Lời giải:
a, Ta có:
r
r
r r
u  3a  2b  4c  3 2;1  2 3; 4  4 7;2   6;3   6; 8   28;8   6  6  28;3 8 8

  40; 13
r r r r
r r r r
b, Ta có: x  a  b  c � x  b  c  a   3;4   7;2   2;1   8;7
r
r
c, Ta có : ka  hb  k 2;1  h 3;4   2k  3h;k  4h
r
r
r
2k  3h  7 �k  2
�
��
Khi đó: c  ka  hb � �
k  4h  2
h  1

�
�
r
r
r
r
r
Bài 8: Cho a   2; 2 , b   1;4 . Hãy phân tích vectơ c   5;0 theo hai vectơ a và b .
Lời giải:
2k  h  5
r
r
r
�
�k  2
��
Giả sử c  ka  hb . Khi đó: �
2k  4h  0 �
h 1
�
r
r r
Vậy : c  2a  b
r 1r r r
r r
r
r
Bài 9: Cho u  i  5j , v  mi  4j . Tìm m để u và v cùng phương.
2
Lời giải:

r �1
�r
, v   m; 4
Ta có: u  � ; 5�
�2
�
m 4
2
r
r
� 
� m
1 5
Hai vectơ u và v cùng phương
5
2
r
r
2
Vậy với m thì hai vectơ u và v cùng phương.
5
Dạng 4:
Bài 10: Cho ba điểm A 1;1 , B  1;3 , C  2;0 . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
uuu
r
uuur
Ta có: AB   2;2 , AC   1; 1 .
uuu
r

uuur
Vậy AB  2AC . Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 11: Cho A  3;4 , B 2;5 . Tìm x để điểm C  7; x thuộc đường thẳng AB.
Lời giải:
uuu
r
uuur
Điểm C thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi ba điểm A, B, C thẳng hàng � AB  kAC
uuu
r
uuur
Ta có: AB   1;1 , AC   10; x  4
uuu
r
uuur
10 x  4
AB  kAC �

� 10  x  4 � x  14
1
1
Năm học 2017 - 2018

Page 9


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

Vậy với x  14 thì điểm C thuộc đường thẳng AB.
Bài 12: Cho bốn điểm A  0;1 , B 1;3 , C  2;7 , D  0;3 . Chứng minh hai đường thẳng AB và CD
song song.
Lời giải:
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
Ta có: AB   1;2 , CD   2; 4 � CD  2AB . Do đó hai đường thẳng AB và CD song song hoặc
trùng nhau.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
Ta có: AC   2;6 , AB   1;2 . Vậy hai vectơ AC và AB không cùng phương. Do đó điểm C
không thuộc đường thẳng AB. Vậy AB//CD
Bài 13: Cho A  1;1 , B  3;2 , C  m 4;2m 1 . Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
uuur
uuu
r
Ta có: AC   m 3;2m , AB   2;1 .
uuu
r
uuur
m 3 2m


� m 3  4m� m 1
Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB  kAC �
2
1
Vậy với m 1 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 5:
Bài 14: Cho tam giác ABC với A  3;2 , B 11;0 , C  5;4 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.
Lời giải:
Theo công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có:
3 11 5
�
xG 
 1
�
�
3
� G  1;2
�
�y  2  0  4  2
�G
3
Bài 15: Cho tam giác ABC có A  1; 1 , B  5; 3 , đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa
độ của C, G.
Lời giải:
Vì C nằm trên Oy nên ta có C  0; y .

Vì trọng tâm G nằm trên Ox nên ta có : G  x;0
Theo công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có:
� 1 5 0

x
�
�x  2
�
3
��
�
1 3 y �y  4
�
0
�
3
Vậy: C  0 ; 4 , G  2 ; 0

Bài 16: Cho A  2;1 , B 4;5 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tọa độ điểm C sao cho
tứ giác OACB là hình bình hành. (O là gốc tọa độ).
Lời giải:
Theo công thức tọa độ trung điểm ta có:
� 2  4
x 
1
�
�I
2
� I  1;3
�
1

5
�y 

3
�I
2
Vậy tọa độ điểm I là I  1;3
Năm học 2017 - 2018

Page 10


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

Tứ giác OACB là hình bình hành khi và chỉ khi I là trung điểm của đoạn thẳng OC. Do đó:
xC  0
 1� xC  2
2
yC  0
 3 � yC  6
2
Vậy tọa độ C là C  2;6

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM :
Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD, goi O là giao điểm của AC và BD, phát biểu nào là đúng
A. OA = OB = OC = OD
B. AC = BD
C.  OA + OB + OC + OD = 0
D. AC - AD = AB
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của AC và BD .Tìm câu sai
1

A. AB + AD = AC
B. OA = ( BA + CB )
2
C. OA + OB = OC + OD
d ) OB + OA = DA

r

r

r

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho a  (0,1) , b  ( 1;2) , c  ( 3; 2) .Tọa độ của

r
r
r r
u  3a  2b  4c :

A. (10; -15)
B. (15; 10)
C. (10; 15)
D. (-10; 15).
Câu 4: Cho ba điểm A(1; 3), B(-3; 4) và G(0; 3). Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác
ABC.
A. (2; 2)
B. (2; -2) uuur uuur C. (2;
0)
D. (0; 2)
uuur r

Câu 5: Cho A(0; 3), B(4;2). Điểm D thỏa OD  2 DA  2 DB  0 , tọa độ D là:
A. (-3; 3)

B. (-8; 2)

C. (8; -2)

Câu 6: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng:
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur
A. AB  AC
B. AC  a
C. AC  BC

D. (2;

5
)
2

uuu
r
D. AB  a

Câu 7: Cho hai điểm A vàuurB phân
biệt. Điều
kiệnuuđể
I là trung

điểm AB là:
uur
uu
r
r
uur uur
A. IA = IB
B. IA  IB
C. IA   IB
D. AI  BI
r
r
r
r r
r
Câu 8: Cho a =( 1; 2) và b = (3; 4); cho c = 4 a - b thì tọa độ của c là:
r
r
r
r
A. c =( -1; 4)
B. c =( 4; 1)
C. c =(1; 4)
D. c =( -1; -4)
Câu 9: Cho tam giác ABC với A( -5; 6); B (-4; -1) và C(4; 3). Tìm D để ABCD là hình bình hành
A. D(3; 10)
B. D(3; -10)
C. D(-3; 10)
D. D(-3; -10)
Câu 10: Tam giác ABC có C(-2 -4), trọng tâm G(0; 4), trung điểm cạnh BC là M(2; 0). Tọa độ A và

B là:
A. A(4; 12), B(4; 6)
B. A(-4;-12), B(6;4)
C. A(-4;12), B(6;4)
D. A(4;-12), B(-6;4)
Năm học 2017 - 2018

Page 11


Chủ đề Hệ trục tọa độ

r r
(O; i , j

r
i

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

r
+j

Câu 11: Trong hệ trục
), tọa độ của
là:
a) (0; 1)
b) (−1;
1)
c) (1; 0)

d) (1; 1)
r
r
r r
Câu 12: Cho a = (3;−4), b = (−1; 2). Tọa độ của a + b là:
a) (−4; 6)
b) (2;−2)
c) (4;−6)
d) (−3;−8)
r
r
r r
Câu 13: Cho a = (−1; 2), b = (5;−7). Tọa độ của a – b là:
a) (6;−9)
b) (4;−5)
c) (−6; 9)
d) (−5;−14)
r
r
r r
Câu 14: Cho a = (−5; 0), b = (4; x). Hai vectơ a , b cùng phương nếu x là:
a) –5
b) 4 r
c) 0
d) –1
r
r
r
r
r

Câu 15: Cho a = (x; 2), b = (−5; 1), c = (x; 7). Vectơ c = 2 a + 3 b nếu:
a) x = –15
b) x = 3
c) rx = 15
d) x = 5
r
r
r r
a
Câu 16: Cho hai vectơ : = ( 2 , –4 ) và b = ( –5 , 3 ) . Tìm tọa độ của vectơ : u  2a  b
r
r
r
r
a) u = ( 7 , –7 ) b) u = ( 9 , –11 ) c) u = ( 9 , –5 ) d) u = ( –1 , 5u)uur uuur
Câu 17: Cho ba điểm A ( 1; 3) ; B ( –1; 2) C( –2; 1) . Toạ độ của vectơ AB  AC là :
a) ( –5; –3)
b) ( 1; 1)
c) ( –1;2)
d)
(4; 0)
uuur
Câu 18: Trong mp Oxy cho A(5;2), B(10;8). Tọa độ của AB là:
a) (15; 10)
b) (2; 4)
c) (5; 6)
d) (50; 16)
Câu 19: Cho A(2, 1), B(0, – 3), C(3, 1). Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành.
a) (5, 5)
b) (5, – 2)

c) (5, – 4)
d) (– 1, – 4)
Câu 20: Cho ba điểm A(1, 1) ; B(3, 2) ; C(6, 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành:
a) D(4, 3)
b) D(3, 4)
c) D(4, 4)
d) D(8, 6)
Câu 21: Cho A(2;–3), B(4;7). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
a) (6; 4)
b) (2; 10)
c)uu
(3;
2)
d) (8;−21)
uuuu
r
ur
Câu 22: Cho 3 điểm M, N, P thoả MN  k MP . Tìm k để N là trung điểm của MP ?
a)

1
2

b) – 1

c) 2

d) –2

Câuu23:
Cho tam giác ABC có B(9;7), C(11;–1), M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Tọa độ
uuu
r
của MN là:
a) (2;−8)
b) (1;−4)
c) (10; 6)
d) (5; 3)
Câu 24: Các điểm M(2;3), N(0;–4), P(–1;6) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC. Tọa độ đỉnh A là:
a) (1; 5)
b) (−3;−1)
c) (−2;−7)
d) (1;−10)
Câu 25: Cho tam giác ABC có A(3;5), B(1;2), C(5;2). Trọng tâm của ABC là:
a) G1(−3; 4)
b) G2(4; 0)
c) G3( 2 ; 3)
d) G4(3; 3)
Câu 26: Tam giác ABC có A(6;1); B(–3;5). Trọng tâm của tam giác là G(–1;1). Toạ độ đỉnh C là:
a) C(6;–3)
b) C(–6;3)
c) C(–6;–3)
d) C(–3;6)
Câu 27: Cho A(1;1), B(–2;–2), C(7;7). Khẳng định nào đúng?
a) G(2;2) là trọng tâm tam giác ABC b) B
ở giữa hai điểm A và C
uuur uuur
c) A ở giữa hai điểm B và C

d) AB, AC cùng hướng
Câu 28: Cho ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A(–2;2) và B(3;5). Tọa độ đỉnh C là:
a) (−1;−7)
b) (2;−2)
c) (−3;−5)
d) (1; 7)
Câu 29: Cho bốn điểm A(1;1), B(2;–1), C(4;3), D(3;5). Chọn mệnh đề đúng:
a) Tứ
giác ABCD là hbh
b) G(2;
5/3) là trọng tâm BCD
uuur uuur
uuur uuur
c) AB  CD
d) AC , AD cùng phương
uu
r uur r
Câu 30: Cho A (1; 2) ; B(–2; 3) . Tìm toạ độ của điểm I sao cho IA  2 IB  0 ?
a) ( 1; 2)

2
5

b) ( 1; )

8
3

c) ( –1; )

d) ( 2; –2)
uuur

uuur

uuur

Câu 31: Cho A(2;5); B(1;1); C(3;3). Toạ độ điểm E thoả AE  3 AB  2 AC là:
a) E(3;–3)
b) E(–3;3)
c) E(–3;–3)
d) E(–2;–3)
�

�

�

Câu 32. Cho A ( -1 ; 2) ; B( -2; 3) . Toạ độ của điểm I sao cho IA 2 IB  0 ?
Năm học 2017 - 2018

Page 12


Chủ đề Hệ trục tọa độ

Trường THPT số 2 TP Lào Cai

A) ( 1; 2)

B) ( 1;

�

2
)
5

8
C) ( -1; )
3

D) ( 2; -2)

�

Câu 33. Cho u = ( 2; -3) ; v = ( 8; -12) . Câu nào sau đây đúng ?
�

�

�

A) u và v cùng phương
�

�

B) u vuông góc với v

�

�

C) | u | = | v |

D) Các câu trên đều sai.

�

Câu 35. Cho u = ( 3; 4) ; v = (- 8; 6) . Câu nào sau đây đúng ?
�

�

�

A) | u | = | v |

�

B) u và v cùng phương

�

�

�

C) u vuông góc với v

�

D) u = – v
�

� �

Câu 36. Trong hệ toạ độ (O; i , j ) , cho a  
A)

6
5

B) 1

C)

�

3� 4�
�
i  j . Độ dài của a là
5 5

7
5

D)

1
5

�

�

Câu 37. Cho a = ( - 3; 4) .Giá trị của y để b = ( 6; y ) cùng phương với a
A) 9
B) -8
C) 7
D) -4.
�

�

�

Câu 38. Cho a = ( 1;-2) . Giá trị của y để b = ( -3; y ) vuông góc với a ?
3
A) 6
B) 3
C) -6
D) - .
2
� �

Câu 39. Trong hệ toạ độ (O; i , j ) cho M ( 2; - 4) ; M’( -6; 12) . Hệ thức nào sau đây đúng ?

5 �

�
�
A) OM '  2 OM B) OM '  4 OM C) OM '  OM D) OM '  3 OM
2
�

�

�

�

�

Câu 40. Cho A(2, 1), B(0, - 3), C(3, 1). Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành.
A. (5, 5)
B. (5, - 2)
C.(5, - 4)
D.(- 1, - 4)
Câu 41. Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D để ABDC là hbh
A. D( 3;6)
B. D(-3;6)
C. D( 3;-6)
D. D(-3;-6)
Câu 42. Cho M  3;1 ,N  7;3 . Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là:
A.  10;2

B.  2;2

C.  10;2

D.  4;4

B.  2;3

C.  1;4

D.  1;4

Câu 43. Cho tam giác ABC có A 0;7 , B 1;3 ,C  2;5 . Trọng tâm của tam giác ABC là điểm có
tọa độ:
A. 1; 2
B.  3;0
C.  0;5
D.  1;3
uuu
r
Câu 44. Cho A 1;3 ,B  1;0 . Vectơ AB có tọa độ là:





A.  2;3

Câu 45. Cho hai điểm A 1;2 , B 2;3 . Nếu M là điểm đối xứng với A qua B thì tọa độ điểm M là:
A.  5;4

B.  1;2

D.  10;2
1
Câu 46. Cho tam giác ABC với A( -3 ; 6); B ( 9 ; -10) và G( ; 0) là trọng tâm.Tọa độ C là:
3
A. C( 5 ; -4) B. C( 5 ; 4) C. C( -5 ; 4)
D. C( -5 ; -4)
uuu
r uuur r
Câu 47. Cho hai điểm A 2;1 , B 0;1 . Điểm E thỏa BE  2AO  0 có tọa độ là:
A.  2;0

B.  6;5

C.  4;4

C.  6;5

D.  2;5

Câu 48. Cho K  1;3 . Điểm A �Ox, B �Oy sao cho A là trung điểm OKB. Tọa độ điểm B là:
Năm học 2017 - 2018

Page 13


Chủ đề Hệ trục tọa độ
A.  0;3

�1 �
B. � ;0�

�3 �

Trường THPT số 2 TP Lào Cai
C.  0;2

D.  4;2

Câu 49. Cho hình bình hành ABCD có A 2; 1 , B 0;1 ,D  3;0 . Tọa độ điểm C là:
A.  3;1
B.  3;5
C.  1;2
Câu 50. Cho I là trung điểm của AB. Tìm đẳng thức sai?
uu
r uu
r
uuu
r
uur
uu
r uu
r r
A. AB  2BI
B. IA  IB
C. IA  IB  0

D.  0;3

uur uur
D. IA  IB
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Năm học 2017 - 2018

Page 14