Mũ - Logarit - PT Mũ - PT Logarit (nhiều)

CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARIT
A/ LÝ THUYẾT
Lũy thừa thừa với số mũ nguyên
Định nghĩa: a
n
=

. ...
n thuaso
a a a
, a ∈ R, n ∈ N*.

Khi a ≠ 0 ta có a
0
= 1 , a
-n
=
1
n
a
, a
-1
=
1
a

Tính chất: với a,b ≠ 0 , m,n ∈Z ta có:
. ; . ( )
;
( )
m n m n n n n

n
m n
m n
n n
n m mn
a a a a b ab
a a a
a
a b b
a a
+
−
= =
 
= =
 ÷
 
=
Căn bậc n:
•
m
n m
n
a a=
;
=
.
;
m
n m n

a a
( )
= ;
m
n m
n
a a

•
= = . . ; ;
n
n n n
n
n
a a
a b a b
b
b

•
n
n n
n
a n chan
a
a n le


=




Tínhchất :
+ a > 1: m > n ⇒ a
m
> a
n

+ 0 < a < 1 : m > n ⇒ a
m
< a
n
+ 0 < a < b * a
x
< b
x
khi x > 0 ;
* a
x
> b
x
khi x < 0
HÀM SỐ LOGARIT:
1. Đ/n : y = log
a
x ( 0 <a ≠1) TXĐ: R*
+
; TGT:
R
log

a
x = y ⇔ a
y
= x
Nếu : a > 1 HS: đồng biến trên R*
+ ;

Nếu: 0 < a < 1 HS nghịch biến trên R*
+
2. Công thức về logarit : 0 < a ≠ 1
• log
a
1 = 0; log
a
a = 1;
•
log ;
x
a
a x=

log
a
x
a x=
( x > 0)
1 2 1 2
log ( . ) log log
a a a
x x x x= +

, ( x
1
,x
2
> 0 )
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x
= −
, (x
1
,x
2
> 0 )
log log
n
a a
x n x=
(x > 0)
log
log
log
a
b
a

x
x
b
=
(x,b > 0 )
log .log log
a b a
b x x=
1
log
log
a
b
b
a
=

a
1
log .log x
a
x
α
α
=
Giải pt mũ :
Đưa về dạng cơ bản :
* a
x
= a

b
⇔ x=b đk: 0 < a ≠ 1
* a
x
= c (*)
 Nếu c ≤ 0 (*) vô nghiêm
 Nếu c > 0 thì a
x
= c ⇔
a
x=log c
Đưa về cùng một cơ số :

( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
a a
f x g x
a

=
⇔ =

< ≠

 Đặt ẩn phụ : t= a
x
( đk t > 0) đưa về pt đại số
với ẩn t .

 Dùng PP: Logarit hóa 2 vế theo cơ số a.
 Đóan nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất.
 Bằng phương pháp đồ thị
Giải pt Logarit
Đưa về dạng cơ bản :
* log
a
x = log
a
b ⇔ x = b đk (0 < a ≠ 1 , b> 0)
* log
a
x = c ⇔ x= log
a
c đk (0 < a ≠ 1 )
Đưa về cùng một cơ số dạng :

log ( ) log ( )
a a
f x g x=
Đk: g(x) ≥ 0 ; 0 <a ≠ 1
Gpt: f(x)=g(x)
 Đặt t = log
a
x đưa pt đại số với ẩn t
 Đoán nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất.
 Bằng phương pháp đồ thị
Bất pt mũ : Bất pt Logarit :
- Biến đổi đưa về
Dạng 1 : a

f(x)
>a
g(x)
(*) (0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > g(x)
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < g(x)
Dạng 2 : a
f(x)
>c

(0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > log
a
c
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < log
a
c
-Có thể đặt ẩn phụ
-Biến đổi đưa về
Dạng 1 :log
a
f(x) >log
a
g(x) (*)

(0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > g(x)
+ Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) > g(x)
Dạng 2 : log
a

f(x) > c

(*) (0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > a
c
+ Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) < a
c
-Có thể đặt ẩn phụ
1
B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
I. LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ:
1.Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
c) ( )
– 10
.27
– 3
+ (0,2)
– 4
.25
– 2

d)
e) –
f)(x.a
–1
– a.x
–1
). –

2.Tính các biểu thức sau:
a)
2:22.2
5
3
b)
3
3
8.2.4

c)
16
11
a:aaaa

d)
2
1
3 3
a:a.a.a
e)
5
4
3
2
x.x.x

f)
5
3

b
a
.
a
b
g)
5152
53
3.2
6
++
+
g)
1
2
1
2
1
23)23()23(23
−








−++









−−+
h)
24 2123
2.2.4
−−−+

l)
2212221
5).525(
−−+
−
3.Cho hai số a ,b > 0.Tính các biểu thức sau:
a)
2
4
3
4
3
)a3a2(
+
−

b)

)aa)(aa)(aa(
5
1
5
2
5
4
5
2
5
2
5
1
−−−
−++

c)
)1aa)(1aa)(1aa(
44
+−+++−
d)
a1
)a1)(a1(
aa
2
1
2
1
2
1

+
−−
++
−
−

e)
)aa(a
)aa(a
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4
−
−
+
+
f)
66
3
1
3

1
ba
abba
+
+
g)
)abba)(ba(
3
3
2
3
2
33
−++
h)








+++
33
3
1
3
1
a

b
b
a
2:)ba(

i)
1
3
1
1
22
22
4334
)ba(:
)ba(a
)ba(b3
)ba(
bab2a
aabbaa
−
−
−
+






−

−
++
++
+++
4.Rút gọn các biểu thức sau:
a)A =
)52)(25104(
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
++−

b) B =
2
1
2
1
2
1
2
1
yx
x.yy.x

−
−
c) C =
ab
ba
)ba)(ba(
2
1
2
1
4
3
4
3
4
3
4
3
−
−
+−

d) D =
2
2
1
2
1
2
1

2
1
2
1
2
3
2
3
ax
ax
.)ax(
ax
ax










−
−











+
−
−
e) E =
)ba(:
ba
ba
b.aa
ba
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1

4
3
−










+
−
−
+
−

f) F =
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1

1
aa
a34a
a3a2
a9a4








−
+−
+
−
−
−
−
−
−
g)G =
2
1
2
1
2
2
3

2
1
2
1
2
aa
a1
a
2
aa
aa
−
−
−
−
+
−
−−
−
−

h)
:

5.Cho biết 9
x
+ 9
– x
= 23 ,hãy tính 3
x

+ 3
– x
6.Cho f(x) = Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
II. HÀM SỐ LÔGARIT:
1.Tính
3
2
164log
;
3
3
1
327log
;
5
2
328log
;
3
a
aalog
; log
3
(log
2
8) ;
3log
8
2
;

2log
7
49
;
10log3
5
25
;
7log2
2
64
;
3log2
2
4
+
;
8log3
10
10
; (
5log3
2
)25,0(

2. Chứng minh rằng
5
1
3
1

5log
3
=









2
blog
ba
a
=
3.Rút gọn các biểu thức sau:
2
a)
36log.3log
3
6
b)
81log.8log
4
3
c)
3
252

2log.
5
1
log
d) f)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−
4.Cho log
2
3 = a ; log
2
5 = b.Tính các số sau: log
2
,log
2
3
135
, log
2
180, log

3
, log
15
24,
30log
10
5. a)Cho log
5
3 = a, tính log
25
15 b) Cho log
9
6 = a , tính log
18
32
6.Cho log2 = a , log
2
7 = b,tính log56
7.Cho log
6
15 = a ,log
12
18 = b , tính log
25
24
8.Cho log
25
7 = a ,log
2
5 = b hãy tính

9
5
49
log
8
9. Chứng minh rằng log
18
6 + log
2
6 = 2log
18
6.log
2
6
10.Cho a
2
+ b
2
= 7ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng : log
7
() = ( log
7
a + log
7
b )
11.Cho a
2
+ 4b
2
= 12ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng: log(a + 2b) – 2log2 = ( loga + logb )

12.Cho x
2
+ 4y
2
= 12xy x > 0,y > 0, Chứng minh rằng log
3
(x + 2y) – 2log
3
2 = (log
2
x + log
2
y).
13.Cho log
12
18 = a , log
24
54 = b ,chứng minh rằng ab + 5(a – b) = 1
14.So sánh các cặp số sau:
a) log
4
3 và log
5
6 b)
5log
2
1
và
3log
5

1
c) log
5
4 và log
4
5 d) log
2
31 và log
5
27
e) log
5
9 và log
3
11 f) log
7
10 và log
5
12
15.Tìm miền xác định của các hàm số sau:
a)y = log
6
b) y = c) y =
III. Đạo hàm của hàm luỹ thừa – hàm số mũ – hàm số lôgarit:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = (5x
2
– 4)ln
3
x

2. y =
4
1x +
. lnx
6
3. y = (x + 2) ln
1
1x +
4. y =
4
ln( 1)x
x
+
5. y =
5 3
2
x
e −
6. y =
3 4
ln 2x
7. y =
5 2
sin x
8. y =
4
os 5c x
e
9. y =
5

5
log (cotx)
10. y = x
2

4
1
x
e +
11. y = (x
2
+ 2) e
2x
12. y = xlnx - xln5
13. y =
1
2
xlnx – xln2
14. y = (x
2
– 2x + 2)e
x
15. y = (sinx – cosx) e
2x
16. y = 2
x
-
x
e
17. y = (3x + 1)

e
IV. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
1.
13
86
2
=
+−
xx

2. 3
3x – 1
= 9
x + 2
3.
xx
−−
=
)
2
25,0
(4.125,0
82
4.
2
3 2
2 4
x x− +
=
5. 4

x
= 8
2x – 1
6. 3
4 – 2x
=
2
5 3
9
x x− −
7.
5008.5
1
=
−
x
x
x
8.
4 6
5
x−
= 25
2x – 4
9.
3 4
3
x−
= 9
2x – 2

10.
2
4 2
2 3
x x− −
=
11.
2
8
x
x+
= 36. 3
2 –x
16. 9
x
+ 6
x
= 2.4
x

17. 2
2x-3
- 3.2
x-2
+ 1 = 0
18.
022
64312
=−
−++

xx
19.
1444
7325623
222
+=+
+++++−
xxxxxx
20.
1
12
3
1
3
3
1
+






+







xx
= 12.
21.
1 1 2
4 2 2 12
x x x+ + +
+ = +
22.
1099
22
cossin
=+
xx
23.
( ) ( )
43232
=++−
xx
24.
( ) ( )( ) ( )
3243234732
+=−+++
xx
25.
( )
05232.29
=−+−+
xx
xx
26. 7. 3

x+1
- 5
x+2
= 3
x+4
- 5
x+3

30.
2 3 1
x
x
= +

31. 3
x+1
+ 3
x-2
- 3
x-3
+ 3
x-4
= 750
32. 3..25
x-2
+ (3x - 10)5
x-2
+ 3 - x
= 0
33.5

x
+ 5
x +1
+ 5
x + 2
= 3
x
+ 3
x + 3
-
3
x +11
34. 3
x
+3
x+1
+3
x+2
=5
x
+5
x+1
+5
x+2
35. 2
x
+2
x-1
+2
x-2

=7
x
+7
x-1
+7
x-2
36.
2442
)
2
5
()
5
2
(
−−
=
xx
37.
033.43
24
=+−
xx
38.
33,0.2
100
3
2
+=
x

x
x
3
12. 5
x
.
2 1
1
2
x
x
−
+ = 50
13. 3
x
.

2
8
x
x+
= 36
14. 3
x-1
.
2
2
x
= 8. 4
x - 2

15. 5
2x-1
+5
x+1
- 250 = 0
27. 6. 4
x
- 13.6
x
+ 6.9
x
= 0
28. 7
6-x
= x + 2
29.
( ) ( )
43232
=++−
xx

39.
363.2
=
xx
40.
xxx
)22()154()154(
=++−
41.

xxx
)5()23()23(
=++−

42.
3
2)125(7)215(
+
=++−
xxx
V. PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT:
1.
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2
= + − +
2.
5 25 0,2
log x log x log 3
+ =
3.
( )
2
x
log 2x 5x 4 2
− + =

4.
2
x 3

lg(x 2x 3) lg 0
x 1
+
+ − + =
−
5.
1
.lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18
2
− + + = +
6.
1 2
1
4 lg x 2 lgx
+ =
− +
7.
2 2
log x 10 log x 6 0+ + =
8.
3
log log 9 3
x
x + =
9. 1/.
3
log log 9 3
x
x + =
10/.

2
2
2
log 3.log 2 0x x− + =
11/.
( )
( )
5 5 5
1
.log 3 log 3 2 log 3 4
x x
x
+
+ − = −
12/.
( )
( )
2
3 3
log 5 log 2 5x x x
− − = +
13/.
2
3 3
log log
3 6
x x
x+ =
14/.
2

2 2 2
2
log 3.log 2 log 2x x x
− + = −
15/.
2 3 3 2 3
log .log .log 3 log 3logx x x x x x x+ + = + +
16/.
( ) ( )
3 2
3.log 2 2.log 1x x+ = +
18. 2
2x-3
- 3.2
x-2
+ 1 = 0
19.
022
64312
=−
−++
xx
20.
1
12
3
1
3
3
1

+






+






xx
= 12.
21.
1 1 2
4 2 2 12
x x x+ + +
+ = +
22.
1099
22
cossin
=+
xx
23.
( ) ( )
43232

=++−
xx
24.
( ) ( )( ) ( )
3243234732
+=−+++
xx
25.
( )
05232.29
=−+−+
xx
xx
26. 7. 3
x+1
- 5
x+2
= 3
x+4
- 5
x+3

27. 6. 4
x
- 13.6
x
+ 6.9
x
= 0
28/.

( ) ( )
2
2
2
log 4 log 2 5x x− =
16/.
( ) ( )
3 27 27 3
1
3
log log log logx x+ =
29/.
3 3
log 2 4 logx x+ = −
30/.
2 3 3 2
log .log 3 3.log logx x x x
+ = +
4