KIỂM TRA CI ĐS@

ĐẠI SỐ 9-CHƯƠNG I-ÔN TS 10 _ P
2
Dành cho học sinh tự luyện ( có giải )
Bài 100) a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1
2( )
( 1) 1
< −
+ +
k k k k
b. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 88
2 45
3 2 4 3 2010 2009
+ + + + <L
Giải
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR:
1 1 1
2( )
( 1) 1k k k k
< −
+ +
b. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 88
2 45
3 2 4 3 2010 2009
+ + + + <L
Bđt
1 2 k 1 2 k
(k 1) k k. k 1

+ −
⇔ <
+ +
⇔
2k 1 2 k(k 1) 0+ − + >

2
( k 1 k) 0⇔ + − >
Luôn đúng với mọi k nguyên dương.

1 1 1
2( )
( 1) 1
⇒ < −
+ +
k k k k
Áp dụng kết quả câu a ta có:
1 1 1 1
VT
2 1 3 2 4 3 2010 2009
= + + + +L
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 2 2 3 2009 2010
   
 
< − + − + + −
 ÷  ÷ ÷
 
   

L
1
2 1
2010
 
= −
 ÷
 
1 88
2 1 VP
45 45
 
< − = =
 ÷
 
(đpcm)
1
Bài 101) Cho
2
1
A =
4x + 4x +1
và
2
2x - 2
B =
x - 2x +1
.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của
x

sao cho
2A + B
C =
3
là một số nguyên.
Giải
Điều kiện xác định: x
≠
1 (do x nguyên).
Dễ thấy
1 2( 1)
;
| 2 1| | 1|
x
A B
x x
−
= =
+ −
, suy ra:
2 1 1
3 | 2 1| | 1|
x
C
x x
 
−
= +
 ÷
+ −

 
Nếu
1x
>
. Khi đó
2 1 4( 1) 4( 1) 1 2
1 0 1 1 0
3 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1)
x x x
C C
x x x x
+ + −
 
= + = > ⇒ − = − = <
 ÷
+ + + +
 
Suy ra
0 1C< <
, hay
C
không thể là số nguyên với
1x >
.
Nếu
1
1
2
x− < <
. Khi đó:

0x =
(vì x nguyên) và
0C =
. Vậy
0x =
là một giá trị cần tìm.
Nếu
1
2
x < −
. Khi đó
1x ≤ −
(do x nguyên). Ta có:
2 1 4( 1)
1 0
3 2 1 3(2 1)
x
C
x x
+
 
= − − = − ≤
 ÷
+ +
 
và
4( 1) 2 1
1 1 0
3(2 1) 3(2 1)
x x

C
x x
+ −
+ = − + = >
+ +
, suy ra
1 0C− < ≤

hay
0C
=
và
1x
= −
.
Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là:
0, 1x x= = −
.
Bài 102) Với số tự nhiên n,
3n ³
.
Đặt
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
...
3 1 2 5 2 3 2 1 1
n
S

n n n
+ + + =
+ + + + +
Chúng minh S
n
<
1
2
Giải
( )
( )
2
2
1 1 1
Ta cã :
2 1
2 1 1
4 4 1
1 n +1 - n 1 1 1
2
2 1. 1
4 4
n n n n
n
n n n
n n
n n
n n n n
n n
+ - + -

= =
+
+ + +
+ +
æ ö
+ -
÷
ç
÷
< = = -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
+ +
+
Do đó
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 2 2
2 2 3 1 1
n
S
n n n
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷

< - + - + + - = - <
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
+ +
Bài 103) Cho biểu thức
a a b b 2b 1 1
P .
a ab b a b a b
 
−
 
= + +
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +
 
 
.
a) Tìm điều kiện đối với a và b để P có nghĩa rồi rút gọn biểu thức P.
b) Khi a và b là các nghiệm của phương trình bậc hai
2
3 1 0x x− + =
. Không cần giải phương trình
này, hãy chứng tỏ giá trị của P là một số nguyên dương.
Giải

Điều kiện để biểu thức P có nghĩa:
a 0, b 0> >
.
2
( ) ( )
3 3
a b
2b 1 1
P
a ab b a b a b
 
−
 
 
= + +
 ÷
 
+ + +
 
 
 


( ) ( )
a b a ab b
2b 1 1
a ab b a b a b
 
− + +
 

 
= + +
 ÷
 
+ + +
 
 

2b a b
a b
a b ab
 
+
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
+
 
 
a b a b
a b ab
 
+ +
 
=
 ÷
 ÷
 ÷

+
 
 


a b
ab
+
=
(*)
Vì a, b là nghiệm của phương trình bậc hai
2
x 3x 1 0− + =
nên theo định lý Vi-ét ta có
a b 3, ab 1+ = =
.
Thế vào biểu thức (*) ta được:
P 3=
(đpcm)
Bài 104) Rút gọn biểu thức P =
10 - 3 11 - 10 + 3 11
.
Giải Rút gọn biểu thức P =
10 3 11 10 3 11− − +
.

P 2
=
(
)

2. 10 3 11 10 3 11− − +
=
20 6 11 20 6 11− − +
=
( ) ( )
2 2
11 3 11 3− − +
=
11 3 11 3− − +
=
( ) ( )
11 3 11 3− − +
= –6
Suy ra P = –3
2
Bài 105) Rút gọn các biểu thức sau :
1) A = +
2) B = +
Giải 1) A = + = + = 2
2) B = + = + = 2
Bài 106) Cho
1 1x x x x
M
x x x x
− +
= −
− +
1- Tìm điều kiện để M có nghĩa.
2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa)
3- Cho N=

 
 ÷
 
3
3
1 6 1
6x + + x +
18 x x
. Tìm tất cả các giá trị của
x
để M=N
Giải ): Cho
xx
xx
xx
xx
M
+
+
−
−
−
=
11
1- Tìm điều kiện để
M
có nghĩa.
2- Rút gọn
M
(với điều kiện

M
có nghĩa)
3
3- Cho
N
=






+++
3
3
16
6
18
1
x
x
x
x
. Tìm tất cả giá trị của
x
để
NM
=
1-(0,5 đ)
* Để

M
có nghĩa, ta có:





≠+
≠−
≥
0
0
0
xx
xx
x

* <=>





≠+
≠−
≥
0)1(
0)1(
0
xx

xx
x
<=>



≠
>
1
0
x
x
2-(1,0 đ)
* Với
x
> 0,
1
≠
ta có:
xx
xxxxxxxx
M
−
−+−+−
=
2
))(1())(1(
* =
xx
xxxxxxxxxx

−
+−+−−−+
2
2222
* =
xx
xx
−
−
2
2
22

*
xx
xx
−
−
=
2
2
)(2
= 2. Vậy
2=M
3-(1,0 đ)
* Với
x
> 0,
1
≠

ta có:






+++=
3
3
1
)
1
(6
18
1
2
x
x
x
x
(1)
Đặt
y
x
x
=+
1
2
>

(vì
1,0
≠>
x
)
* Ta có
)
1
(3
11
.3
1
.3
1
3
3
2
2
3
33
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xy

+++=+++=
=>
yy
x
x 3
1
3
3
3
−=+
* Do đó, từ (1) ta có:
yyy 3636
3
−+=
<=>
0363
3
=−+
yy
<=>
)123)(3()3(3)93)(3()93()3(0
2233
++−=−+++−=−+−=
yyyyyyyyy
<=>
23
>=
y
(vì
0

4
39
2
3
123
2
2
>+






+=++
xyy
)
* Với
3
=
y
, ta có
3
1
=+
x
x
<=>
013
2

=+−
xx
(
∆
= 9- 4= 5 > 0)
<=>
2
53
1
+
=
x
,
2
53
2
−
=
x
(tmđk). Vậy với
2
53
1
+
=
x
,
2
53
2

−
=
x
thì
NM
=
Bài 107) Tính giá trị của biểu thức
3
A = x - 6x
với
3 3
x = 20 +14 2 + 20 -14 2

Giải Tính giá trị của biểu thức
xxA 6
3
−=
với
33
2142021420
−++=
x

* Đặt a =
3
21420
+
, b =
3
21420

−
, ta có
x
= a + b
* Có
3
x
= a
3
+ b
3
+ 3a
2
b +3ab
2
, vì a
3
+ b
3
= 20 +14
2
+20 -14
2
= 40, nên
*
3
x
= 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3ab
x
* Ta lại có ab =

33
21420.21420
−+
=
3
)21420)(21420(
−+
=
3 22
14.220
−
* =
28
3
=
* Vậy
A
=
x
3
- 6
x
= 40 + 6
x
- 6
x
= 40
Bài 108) . Gi¶i ph¬ng tr×nh
4

3 3
x + 2 + 7 - x = 3
Giải

3 3
2 7 3x x+ + − =
( )
3 3 3 3
2 7 3 2. 7 2 7 27x x x x x x⇔ + + − + + − + + − =
3
9 9. ( 2)(7 ) 27x x⇒ + + − =
3
( 2)(7 ) 2x x⇔ + − =
( 2)(7 ) 8x x⇔ + − =
2
5 6 0x x⇔ − − =
1
6
x
x
= −

⇔

=

( tháa m·n )
Bài 109 Cho biÓu thøc

2 23 3 3

3
3 3 3
2
3
3
8 2 4
: 2 .
2 2 2
2
x x x x
A x
x x x
x x
   
− −
= + + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + −
+
   
(
8; 8; 0)x x x≠ ≠ − ≠
Chøng minh A kh«ng phô thuéc biÕn sè
Giải
xxxA
xx
xx
x
xx

x
xx
x
xxx
A
∉=+−=
+
+−








−
+−
+








+
++
+

++−
=
22
)2(
)2)(2(
.
2
222
2
24
:
2
)24)(2(
33
3
3
33
3
3
3
3 2
3
3 2
3
3
3 2
33
Bài 1 Tính giá trị biểu thức:
( )
x 5 2 2 5 5 250= + −

3 3
y
3 1 3 1
= −
− +
5

( )
x x y y
A x y
x xy y
+
= −
− +
Giải Tính giá trị biểu thức:
( )
( )
( )
x 5 2 2 5 5 250
5 2 2 5 5 5 5. 2
5 2 5 2 2 5 5 2
10
= + −
= + −
= + −
=

( ) ( )
( )

3 3
y
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3 1 3 1
3 3 1
3
2
= −
− +
+ −
= −
− −
−
= =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3
x x y y
A x y
x xy y
x y x y x xy y
x y x y
x xy y x xy y
x y x y x y 10 3 7
+

= −
− +
+ + − +
= − = −
− + − +
= + − = − = − =
Bài 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh
+ − − = +
2 2
2 19 2 39x x x x
Giải
≥
=


= −

=


= −

+ − − = +
− −
⇔ + + =
⇒
⇒ − − =
⇔ − − =
⇒
2

1
2
1
2
0
4(
5(
7
5
2 2
2 19 2 39 (*)
2
2 19
(*) 2 0
2
2 19 16
2
2 35 0
t
t
x
x
x x x x
x x
t t
x x
x x
®Æt t =
nhËn)

lo¹i

Bài 3 Cho biểu thức
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1
 
 
= − +
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Giải a)
Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 (0,25đ)
6
a 1 1 2
K :
a 1 a( a 1) a 1 ( a 1)( a 1)
 
 
= − +
 ÷

 ÷
− − + + −
 
 
a 1 a 1
:
a( a 1) ( a 1)( a 1)
− +
=
− + −
a 1 a 1
.( a 1)
a( a 1) a
− −
= − =
−
b)
a = 3 + 2
2
= (1 +
2
)
2

a 1 2⇒ = +

3 2 2 1 2(1 2)
K 2
1 2 1 2
+ − +

= = =
+ +
c)
a 1 0
a 1
K 0 0
a 0
a
− <

−
< ⇔ < ⇔

>


a 1
0 a 1
a 0
<

⇔ ⇔ < <

>

Bài 113) Cho hàm số:
y f (x) 2 x x 2= = − + +
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Chứng minh f(a) = f(- a) với
2 a 2− ≤ ≤

c) Chứng minh
2
y 4≥
.
Giải a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa là:

2 x 0 x 2
2 x 2
x 2 0 x 2
− ≥ ≤
 
⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
+ ≥ ≥ −
 
(hoặc | x | ≤ 2)
Tập xác định là [-2; 2].
b)
f (a) 2 a a 2 ; f ( a) 2 ( a) a 2 2 a a 2= − + + − = − − + − + = − + +
.
Từ đó suy ra f(a) = f(- a)
c)
2 2 2
y ( 2 x) 2 2 x. 2 x ( 2 x)= − + − + + +

2
2 x 2 4 x 2 x= − + − + +

2
4 2 4 x 4= + − ≥

(vì 2
2
4 x−
≥ 0).
Đẳng thức xảy ra
x 2⇔ = ±
. Giá trị nhỏ nhất của y là 2.
Bài 114) ) Cho biểu thức
4 x 8x x 1 2
P :
4 1
2 x x 2 x x
   
−
= + −
 ÷  ÷
−
+ −
   
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = - 1.
7
Giải a)
4 x(2 x) 8x ( x 1) 2( x 2)
P :
(2 x)(2 x) x( x 2)
− + − − −
=
+ − −

8 x 4x 3 x
:
(2 x)(2 x) x( x 2)
+ −
=
+ − −

8 x 4x x( x 2)
.
(2 x)(2 x) 3 x
+ −
=
+ − −

4x
x 3
=
−
Điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4 và x ≠ 9
b) P = - 1 khi và chỉ khi
4x x 3 0+ − =

3 9
x x
4 16
⇔ = ⇔ =
Bài 115) Cho
1 1
A
2(1 x 2) 2(1 x 2)

= +
+ + − +
.
a) Tìm x để A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Giải a) A có nghĩa
x 2 0
x 2 x 2
x 2 1 x 1
x 2 1
+ ≥

≥ − ≥ −
 

⇔ ⇔ ⇔
  
+ ≠ ≠ −
+ ≠

 

b)
2
1 1 (1 x 2) (1 x 2) 1
A
x 1
2(1 x 2) 2(1 x 2)
2 1 ( x 2)
− + + + + −

= + = =
+ 
+ + − +
− +
 
Bài 116) Giải phương trình
2
2x 5 2x 4 2 0− + =
Giải Ta có a + b + c =
2 5 2 4 2 0.− + =
Vậy phương trình có hai nghiệm: x
1
= 1 ; x
2
=
c 4 2
4
a 2
= =
.
Bài 117) a) Cho biết: A = 9 + 3
7
và B = 9 - 3
7
. Hãy so sánh A + B và A.B.
b) Tính giá trị của biểu thức:
1 1 5 5
M :
3 5 3 5 5 1
−

 
= −
 ÷
− + −
 
Giải a) Ta có A + B = 18 và A.B =
2 2
9 (3 7) 81 63 18− = − =
nên A = B.
b)
1 1 5 5
M :
3 5 3 5 5 1
 
−
 
= −
 ÷
 ÷
− + −
 
 
(3 5) (3 5) 5 1 1
.
2
(3 5)(3 5) 5( 5 1)
 
+ − − −
= =
 ÷

+ − −
 
8