Chuyên đề bất đẳng thức hình học phẳng

Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng

Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các
phương pháp sau :
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng
thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
• Bài 1 (lớp 8)
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng : MB + MC < AB + AC
Từ đó suy ra MA + MB +MC < AB + AC + BC.
LỜI GIẢI:
BM cắt cạnh AC tại D
BD < AB + AD
⇒
MB + MD < AB + AD (1)
Xét
MDC∆
có :
MC < MD + DC (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
⇒
MB + MC < AB + AC
Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC
và : MA + MB < AC + BC
Do đó : 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC)

⇒
MA + MB + MC < AB + AC + BC

Chú ý: Từ lời giải bài toán ta cũng có điều sau:
M là điểm nằm trong tam giác ABC thì MB + MC
≤
AB + AC.
1
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
• Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có
B C∠ > ∠
; AM là trung tuyến. D là điểm trên đoạn
thẳng AM.
Chứng minh rằng DB < DC.
LỜI GIẢI
Xét
ABC∆
có
B C∠ > ∠

⇒
AC > AB
Xét
ABM
∆
và
ACM∆
có :
BM = MC (gt) ;
AM ( cạnh chung) ;
AB < AC
Suy ra

AMB AMC∠ > ∠
.
Xét DBM∆ và
DCM∆
có :
BM = MC (gt) ;
DM (cạnh chung) ;

DMB DMC∠ > ∠
Suy ra DB < DC
• Bài 3 (lớp 8)
a) Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc AC.
Chứng minh rằng S
ABC

1
AB.AC
2
≤
; S
ABC

1
BM.AC
2
≤

b) Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng S
ABCD

AC.BD
2
≤
LỜI GIẢI
a) Gọi BH là đường cao của
ABC∆
.
Ta có BH AB≤ .
S
ABC

1 1
BH.AC AB.AC
2 2
= ≤
.
M là điểm thuộc
BH BM⇒ ≤
. Do đó :
2
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
S
ABC

1 1
BH.AC BM.AC
2 2
= ≤
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BH và DK là hai

đường cao của
ABC∆
và
DAC∆
.
BH AC BH BO⊥ ⇒ ≤
và
DK AC DK OD⊥ ⇒ ≤
Suy ra BH + DK
≤
BO + OD = BD
Do đó : S
ABCD
= S
ABC
+ S
DAC
=
BH.AC DK.AC
2 2
+
=
AC AC.BD
(BH DK)
2 2
+ ≤
• Bài 4 (lớp 9)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao.
Chứng minh rằng DE < BC.
LỜI GIẢI

o
BEC BDC 90 (gt)∠ = ∠ =
⇒
bốn điểm B, E , D , C cùng thuộc
đường tròn đường kính BC.
DE là dây cung khác đường kính của
đường tròn đường kính BC
(đường kính là đây cung lớn nhất của đường tròn)
⇒
DE < BC
• Bài 5 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD). Hai đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu
vuông góc của O trên hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
MH > MK.
LỜI GIẢI
Cách 1 :
AB > CD
⇒
OH < OK
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
3
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
HOM∆
có
o
H 90∠ =
theo định lí Pitago ta có
OH
2

+ MH
2
= OM
2
KOM∆
có
o
K 90∠ =
theo định lí Pitago ta có
OK
2
+ MK
2
= OK
2
Do đó

OH
2
+ MH
2
= OK
2
+ MK
2

OH < OK nên OH
2
< OK
2

Suy ra MH
2
> MK
2
Suy ra MH > MK
Cách 2 :
Vẽ đường tròn (O;OM). Các tia MA; MC
lần lượt cắt (O;OM) tại E; F. (
E,F M≠
)
Xét (O;OA) có AB > CD
⇒
OH < OK
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OH < OK
⇒
ME > MF.
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có
OH ME⊥
và
OK MF⊥
Suy ra
ME MF
MH ;MK
2 2
= =
(định lí đường kính và dây cung)
Từ đó suy ra MH > MK.
Cách 3 :

Vẽ đường tròn đường kính OM. Tâm I là trung điểm OM.
Vẽ
IE MA
⊥
,
IF MD
⊥
(
E MA,F MD∈ ∈
)

IE MA
⊥
,
OH MA⊥
(gt)
⇒
IE // OH
Mà I là trung điểm OM.
Do đó IE là đường trung bình của
HOM∆
⇒

1
IE OH
2
=
4
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Tương tự

1
IF OK
2
=
Xét (O;OA) có AB > CD
⇒
OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách
đến tâm) do đó IE < IF.
Xét (I;IM) có IE < IF
⇒
MH > MK (định lí dây cung và khoảng cách
đến tâm).
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, từ đó lập luận để dẫn đến
điều vô lí ( vô lí có thể là trái với giả thiết hoặc dẫn đến điều mâu thuẫn
hoặc trái với kiến thức đã học). Vậy điều giả sử sai.
Kết luận bất đẳng thức chứng minh là đúng.
1. BÀI TẬP ÁP DỤNG
• Bài 1 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao. Chứng minh DE <
BC.
LỜI GIẢI
Giả sử
DE BC≥
. Gọi M là trung điểm BC;
BDC∆
vuông tại D có DM là
trung tuyến.
⇒
1

DM BC
2
=
.
Chứng minh tương tự ta có:
1
ME BC
2
=
Ta có DM + ME = BC
Như vậy DE DM ME≥ + . Vô lí !
Do đó
DE BC≥
là sai
⇒
DE < BC.
• Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh rằng:
5