mat tru,mat cau, mat non

CHƯƠNG II MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
BÀI 1 MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một
khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm O và bán kính bằng R
Mặt cầu như thế được kí hiệu S(O ; R).
Như vậy :
{
.R} OMM/ R) ; ( ==OS
hay

a) Nếu OA = R ⇒ A ∈ S(O ; R). Khi đó đoạn thẳng OA cũng
được gọi là bán kính của mặt cầu.
Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho O, A, B thẳng hàng thì
đoạn AB được gọi là đường kính.
b) Nếu OA < R thì ta nói rằng điểm A nằm trong đường tròn
d) Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) cùng các điểm nằm
trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O ; R) hoặc hình cầu
S(O ; R). Như vậy, khối cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm M sao
cho OM ≤ R.
c) Nếu OA > R thì ta nói rằng điểm A nằm ngoài đường tròn
Các thuật ngữ : Cho mặt cầu S(O ; R) và một điểm A

Một số ví dụ :
Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng tập hợp
các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính AB.
MA. MB = 0
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp
các điểm M sao cho MA
2

+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
= 2a
2

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của
O trên mp(P), gọi d là khoảng cách từ O tới mp(P) thì d = OH.
Nếu d < R thì mp(P) cắt mặt cầu S(O ; R) theo giao tuyến là
đường tròn nằm trên mp(P) có tâm H và có bán kính
22
d - R =r
Nếu d = R thì mp(P) cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất H
Nếu d > R thì mp(P) không cắt mặt cầu S(O ; R)
H
d

Bài toán 1
Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu
ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp mặt
cầu đó.
Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi
đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu

của O trên ∆ và d = OH là khoảng cách từ O tới ∆ .
Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt
phẳng, ta có các kết luận sau :
Nếu d < R thì ∆ cắt mặt cầu S(O ; R) tại hai điểm phân biệt.
Nếu d = R thì ∆ cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất H.
Nếu d > R thì ∆ không cắt mặt cầu S(O ; R)
.
∆

H
d
M
.
.

Bài toán 2. Hãy chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với
các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước.
Định lí
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O ; R) thì qua A có vô số tiếp
tuyến với mặt cầu. Khi đó
a) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.