Gián án Chuyên đề LTDH: Mặt cầu-trụ-nón

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NÓN
A. MẶT NÓN
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam
giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình
nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b)Tính thể tích của khối nón
HD: a) * S
xq
=
π
Rl =
π
.OB.AB = 15
π

Tính: AB = 5 (
∨
∆
AOB tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 15
π
+ 9

π
= 24
π
b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OB .OAπ
=
2
1
3 4
3
. .π
= 12
π
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón.
HD: a) * S
xq
=
π
Rl =
π

.OB.SB = 2
π
a
2
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 2
π
a
2
+
π
a
2
= 23
π
a
2
b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1

3
.OB .SOπ
=
3
2
1 3
3
3 3
a
.a .a
π
π =

Tính: SO =
2 3
3
2
a
a=
(vì SO là đường cao của
∆
SAB đều cạnh 2a)
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.61 3 – 091.5657.952ầ ậ
1
2a
A
B
S
3
4

A
B
O
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
a
2
2
Tính: SA = a
2
; OA = a (

∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
π
a
2
2
+
π
a
2
= (1 +
2
)
π
a
2

b) V =
2
1
3
R hπ

=
2
1
3
.OA .SOπ
=
3
2
1
3 3
a
.a .a
π
π =
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S
nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
* S
xq
=
π

Rl =
π
.OA.SA =
π
.
2
l
.l =
2
2
lπ
Tính: OA =
2
l
(
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
lπ
+
2

2
lπ
=
2
1 1
2
2
l
 
+ π
 ÷
 

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2 3
1
3 2
2 6 2
l l l
. .

π
π =
Tính: SO =
2
l
(
∨
∆
SOA tại O)
Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120
0
.
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676. 613 – 091.5657.952ầ ậ
2
45
S
B
A
l
45
S
B
A
O
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên

A
∧
=
B
∧
= 30
0
hay
ASO
∧
=
BSO
∧
= 60
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
3a
.2a =
2
2 3aπ
Tính: OA =
3a

; SA = 2a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2 3aπ
+ 3
π
a
2
=
( )
2
2 3 3 a+ π

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1

3
.OA .SOπ
=
2 3
1
3
3
. a .a aπ = π

Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng
α
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là
A
∧
=
B
∧
=
α
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π

. lcos
α
.l =
2
l cosπ α
Tính: OA = lcos
α
(
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
l cosπ α
+
π
l
2
cos
2
α
=
( )
2

1 cos l cos+ α π α

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ

=
2
1
3
2
.l cos .lsinπ α α
=
3
3
2
l cos sinπ α α
Tính: SO = lsin
α
(
∨
∆
SOA tại O)

Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2
π
a
2
.
Tính thể tích của hình nón
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676. 613 – 091.5657.952ầ ậ
3
120
a
S
B
A
O
α
l
S
B
A
O
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
HD: * S
xq
=
π
Rl
⇔
π
Rl = 2

π
a
2

⇒
R =
2 2
2 2
2
a a
a
l a
π
= =
π
* Tính: SO =
3a
(
∨
∆
SOA tại O)
* V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3

.OA .SOπ
=
3
2
1 3
3
3 3
a
.a .a
π
π =
Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
0
và diện tích đáy bằng 9
π
.
Tính thể tích của hình nón
HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều
* S
đáy
=
π
R
2

⇔
9
π
=
π

R
2

⇔
R
2
= 9
⇔
R = 3
* SO =
3 2 3
3 3
2 2
AB R
= =
* V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2
1
3 3 3 9 3
3

. .π = π
Bài 9:
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
aπ
+
2
2
aπ
=
2
1 1
2
2
a
 
+ π

 ÷
 

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2 3
1
3 2
2 6 2
a a a
. .
π
π =
Tính: SO =
2
a
(
∨
∆
SOA tại O)
c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 60

0
:
SMO
∧
= 60
0
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676. 613 – 091.5657.952ầ ậ
4
2a
S
A
O
60
S
B
A
O
C
M
45
a
S
B
A
O
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
* S
SAC
=

1
2
SM.AC =
1
2
.
6
3
a
.
2 3
3
a
=
2
2
3
a
* Tính: SM =
6
3
a
(
∨
∆
SMO tại O).
* Tính: AC = 2AM =
2 3
3
a

Tính: OA =
2
a
(
∨
∆
SOA tại
O)
* Tính: AM =
2 2
OA OM−
=
3
3
a

* Tính: OM =
6
6
a
(
∨
∆
SMO tại O)
HD:
a) * Thiết diện qua trục là
∆
SAB vuông cân tại Snên
A
∧

=
B
∧
=45
0

* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
2
a
.a =
2
2
a
π

Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt
phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
HD:
a) * S

xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.25.SA = 25
π
1025
(cm
2
)
Tính: SA =
1025
(
∨
∆
SOA tại O)
S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 25
π
1025
+ 625
π

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2 2
1
25 20
3
. .π
(cm
3
)
c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH
⊥
SI
⇒
OH =
12cm
* S
SAB
=
1

2
.AB.SI =
1
2
.40.25 = 500(cm
2
)
* Tính: SI =
OS.OI
OH
=
20
12
.OI
= 25(cm) (
∨
∆
SOI tại O)
* Tính:
2
1
OI
=
2
1
OH
-
2
1
OS

⇒
OI = 15(cm) (
∨
∆
SOI tại
O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676. 613 – 091.5657.952ầ ậ
5
l
h
O
I
H
B
A
S
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
* Tính: AI =
2 2
20OA OI− =
(cm) (
∨
∆
AOI tại I)
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một
∆
vuông cân có cạnh huyền

bằng
2a
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích tam giác SBC
HD:
a) * Thiết diện qua trục là
∆
SAB vuông cân tại S nên
A
∧
=
B
∧

= 45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
2

2
a
.a =
2
2
2
aπ
Tính: OA =
2
AB
=
2
2
a
; Tính: SA = a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
2
aπ
+

2
2
aπ
=
2
2 1
2
( ) a+ π
b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2 3
1 2 2
3 2 2 12
a a a
. .
π
π =
Tính: SO =
2
2
a

(
∨
∆
SOA tại O)
c) * Kẻ OM
⊥
BC
⇒
SMO
∧
= 60
0
; * S
SBC
=
1
2
SM.BC
=
1 2 2
2
3 3
a a
. .
=
2
2
3
a
* Tính: SM =

2
3
a
(
∨
∆
SOM tại O) * Tính: BM =
3
a
(
∨
∆
SMB tại M)

B. MẶT TRỤ
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676. 613 – 091.5657.952ầ ậ
6
C
M
a 2
S
B
A
O