Giải gần đúng phương trình toán tử và ứng dụng

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI
T R Ư Ờ N G ĐẠI H Ọ C K H O A HOC T ự N H IÊ N
5f:

sf: 5f:

Tén để íài:

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG
m
M ã số: QT 00.03
Chủ trì để t à i : TS. Đăng Đình Châu

Tên các cán bộ phối họp:

KS. Củ Xuân Đỏỉiq
PGS.TS. Chu Đức
TS. Nguyễn Thi Hổng Minh
CN. Phạm Thị Tô Nga

G i T T ià n o Ĩ ị

Ị IT j * j .Aĩỉ r u ũ i ù ĩ t v 'ĩiiự ' Ị r r '1

1 • 07/mỉ \
Hà Nói - 2003


BẢO C Á O T Ó M TẮ T

a. Tén để tài: Giải gần đúng p h ươn g trình toán tủ và ứng dụng

M ã số:

Q T . 00. 03

b. Chủ để tài: TS. Đặng Đình Cháu
c. Cán bộ phối họp:
KS. Cù Xuân Đ ó n c
PGS.TS. Chu Đức
TS. N su v ễn Thị Hổng Minh
CN. Pham Thị T ố Nga
d. Mục tiéu và nội dung Iighiẻn cứu.
Trong những năm 2ần đâv. nhờ sự phát triển nhảy vọt cua công nshệ tin học,
việc nshiên cún các phươna trình toán tử và nhữns ứng d ụ n s cua nó vào các bài toán
thực tế ngày c à n s phát triển và đạt được nhiều kết q u ả sâu sắc. Đặc biệt Lý thuyết
xấp xỉ các phương trình toán tử là một lĩnh vực đans được nhiều ncười quan tâm và
nshiên cứu theo nhiều phương hướng khác nhau.Tuy nhiên, để đáp ứng được nhiều
hon các yêu cầu được đặt ra trons quá trình giải qu vết các bài toán thực tế. bén cạnh
các bài toán định lượng. việc nghiên cứu các bài toán định tính mang tính chất bổ trợ
c ũ n 2 đóng m ột vai trò hết sức quan trọng. Vì vậy. trong báo cáo này chúng tồi sẽ
trình bày m ộ t số nội dung nghiên cứu theo ba phẩn chính sau đây:
Phần thứ nhất: Giới thiệu tổng quát về các lược đổ xấp xỉ phương trình toán tủ'
trone không gian Banach và ứns dung của nó trong p h ư ơ n s trình VI phân.
Phần thứ hai: Nghiên cứu tính ổn định của p h ư ơ n s trình sai phán và tính
tươns đương tiệm cận của phương trình vi phán. N h ữ n s vấn đề được n sh iê n cứu ở
đâv chủ yếu m ang tính chất định tính song c ũ n s có ý nghĩa trons lĩnh vực ứns dụng.
Mội số kết quá trons phán này sẽ được ứno d ụ n s tron2 việc khao sát một số mô hình
thực tij irona phán nếp theo

]

Phần thứ ba: Khảo sát một sỏ m ổ hình thưc tế như: bài toán khai thác tiếm
năng của m ạng thần kinh và m ạ n s điện tử. bài toán về hoạt đ ỏ n s của hệ thòns các cơ
quan cảm giáC/inô hình ngoai thươns giữa các quốc 2Ía. hiện tưọng "m ạ n s nhện"
ĩrong sán xuất n ỏ n s nshiệp. bài toán dẫn nhiẻt qua kết cấu bao che đa lớp.
Các kết quả nshiên cứu trong phần này nhầm m ục đích chỉ ra nhữns ứns
dụns cụ thể của nhữns vấn đề được xét trons các phần một và hai. Tuy nhiên, các
m ổ hình thưc tế ỏ' đáy đang được xét ó' mức đơn ciản m ang tính chất minh hoa.
e. Những kết quả đạt đưọc:
Những kết quả chính đạt được bao 2ổm: N hững ứns dung của các kết quả
nchién cứu của đề tài trong các mồ hình thực tế như: bài toán khai thác tiềm năng
của m ạ n s thần kinh và mạng điện tư. bài íoán về hoạt độ n ° của hệ th ỏ n s các cơ quan
cảm giác, m ô hình nsoạị thươne siữa các quốc sia. hiện tượng "mạng nhện" trong
sản xuất nông nghiệp, bài toán dẫn nhiệt qua kết cấu bao che đa lớp. Bên cạnh những
kết quá này, c h ú n s tối đã nhận được một số kết quả mới trons việc nghiên cứu tính
tươna đương tiệm cận của các phương trình vi phân.
Trong quá trình thực hiện để tài. chúng tỏi đã hướne dẫn thành c ôns 4 luận
vãn tốt n sh iệ p của cử nhân ngành toán, viết và đã xuất bản một quvển sách cùng các
tác siả khác, đã đọc một báo cáo tại Hội nghị Toán học toàn quốc. Huế. tháng
9/2002 và đăng một bài báo ở tạp chí K hoa học. Đại học Quốc gia Hà Nói. T.XVIII.
Số 2. 2002.
f. Tình hình kinh phí của đề tài: Đ a nhânđủ mười lăm triệu trổne và chi phí
theo đúng hiệp đổng.
Xác nhân của B C N K h oa

Xác nhận của Co q uan quan lý

Chủ trì đề tài

B R IE F R E P O R T
a. Subjecí:
Approximate solution o f Operator Equalions and Application.
b. In charge o f the subject:

■

Doctor Dang Dinh Chau
c. Participants
1. Enginer Cu Xuan Dong
2. A ss.Proí.D octor Chu Duc
3. Doctor N guyen Thi Hone Minh
4. Bachelor Pham Thi To N s a
d. Objeclives and content:
In recent vears, thanks to the development o f information technology, the
study o f operator and the application in practice is improved and gets much
achievement. A m ong those studies, the theory of operator equations has bcen
researched by many scientists. Besides Ihe qualitative studies, some quanỉitative
studies as the supplementary aỉso pỉays an important role in meetinơ the dem and of
solving the practical mathematic issues.
Therefore, in this aríicle, some main contents is beino reĩerred through
following three main parts:
Part 1: Introducing generally approximate operator cquation d ia sra m s in
Banach space and Ihe application o f Ihosc diaerams in differential equation
Part 2: Studying

Ihc stabỉlỉly o f dilTcrcncc cqualion and Ihc asvmpiotical

equivalence o f dilTerential equation. Allhoueh those issues studicd in this suhject is

mainly qualitative, this also has many meanings in pracíice. Some results in ihis part
wil] be applied in considerine some praclical models in the ĩollovving parts.
Part 3: Researchins some practical models, such as: exploitins of the
potential o f the neutral net-work and electronic network, the operation of fceling
organs, írade models among nations, Cyber netvvork in aericultural prođuclion, the
transfer o f heat through multi-layer structure. The objective of íhis p a n is to find out
how the results in part 1 and part 2 is applied in practice. However, the practical
models in this part is only considered simply as illustraíion.
e.

Some main results:

Some main results oblained from the subjects are:
The applicaíion o f the theory o f operator equations lo some parlicular
mathcmatical studies such as the study of exploitiim the potential o f neuiral net-work
and electronic network, the study o f operation o f íeeling oraan, the study o f trade
amono, couníies, Cyber network in asricultural production

and

the study of

transíeưing heat through multi-Iayer structure. Besides, we cet some new rcsults
when doing some research on the asymptotical equivalence of diffcrential equations.
In the period o f researching this subject, we instructed successful!y 4
gradualion thesis m ade by students, wrote and published a book w ũh other 4 authors,
wrote an article pu blished in

T.xvm , No2 - 2002.

JoumaI o f Science, Mathematics - Physics


M Ụ C LỤ C
M ở đầu.

6

Chưong I: Các lược đò xáp xỉ phương trình toán tử trong khỏng gian

7

Banach và ứng dụng của nó đôi với phưong trình vi phán
I. M ột số khái niệm cơ bản về lv thuyết xấp xỉ các phương trình toán tử.

7

1.1. Xấp xỉ một k h ô n s gian Banach bằng mộí dãy các k h ô n s gian Banach.

7

1.2. Lược đồ xấp xỉ toán tử tuyến tính

9

1.3. Lược đổ xấp xỉ của phương trình toán tử.

10

II. Sự hội tụ của các lươc đồ xấp xỉ.

13

2.1. Điều kiện xấp xỉ và điều kiện ổn định.

13

2.2. Định lv về sự hội tụ các lược đồ xấp xỉ.

18

III. Ví dụ về các lược đổ xấp xỉ và sự hội tụ của chúng.

-0

3.1. Sự hội tụ của lược đổ sai phân trong bài toán biên của phương trình vi phân

20

3.2. Sự hội tụ của lược đổ sai phân đối với phương trình truvển nhiệt.

23

Chương II: Một số tính chất nghiệm của phưong trình sai phân

và

31

phương trình vi phân.
I. N ghiệm của phương trình sai phân phi tuyến

31

II. Sư ổn định của phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu.

35

IU. Dùng hàm Liapunov đế nghiên cún tính ổn định của phương trình sai phân.

48

IV. Sự tương đương tiệp cận của các phương trình vi phán

54

Chương III. Các bài toán ứng dụng.

59

I. ứng dụng lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân trong một số bài

59

toán thực tế.

1.1. Bài toán liên quan đến m ạng thần kinh.

60

1.2. Bài toán vể hệ các cơ quan cảm giác

62

1.3. M ô hình nsoại thương giữa hai quốc gia.

63

1.4. Hiện tượna "mạng nhện" (cob\veb) trong kinh t ế n ô n e nghiêp.

66

II. M inh họa kết quả bằns các chương trinh máy tính

71

III. Bài toán dẫn nhiệt qua kết cấu bao che đ"a lốp.

8]


MỞ ĐẤU

Rất nhiều bài toán thường 2ặp trong cuộc sống h àn s neày và trong khoa hoc
kỹ thuật thường dẫn đến việc giải gần đ ú n s các phương trình toán tử hoặc nshién
cứu các tính chất định tính của các nghiệm của chúng. Thông qua việc kháo sát một
số bài toán ứns dụng, được trình bày chi tiết ỏ' chương 3. chúns tòi nhận thấy việc
kết hợp song song nghiên cứu cả hai phươnơ pháp định tính và đinh Iượns đối với
các nghiệm của phương trình toán tử có một số ý nghĩa hết sức quan trọng. Tuy

nhiên để thực hiện điểu đó một cách có hiệu quả thưc sự cần đòi hỏi có sư kết hợp
của nhiều ngành khoa học và nhiều chuvên mồn khác nhau. Đổng thời trong quá
trình thực hiện nshiên cứu nhất thiết cần phải trải qua một số bước then chốt như
sau:
Khái quát hoá bài toán thực tế thành một mô hình trừu tượns tổng quát dưới
dạng phương trình toán tử. Vận dụn° các c ô n s cụ của khoa hoc hiện đại cụ thế là các
phương pháp mới nhất của toán học như lý thuyết xấp xỉ. lý thuyết giải tích hàm phù
hợp với đặc thù của từng bài toán để giải quyết các bài toán đã đưọc đặt ra. ú n g dụng
công cu tin học để tiến hành tính toán cụ thể các kết quả nhận được hoăc đánh giá
mức đô> tin câv
» J của chúns.
cDựa trên cơ sở nhữns nhận thức trên đây chúng tổi đã tiến hành nshiên cứu
một sô bài toán ứns dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân và phươns trình sai
phân. Nội dung chính của đề tài nghiên cứu được trình bàv trong ba chương:
Chương 1: Các lược đồ xấp xỉ phươna trình toán tử trong không sian Banach
và ứng dung của nó đối với phương trình vi phán.
Chương 2 : Một số tính chất nghiệm của phươnơ trình vi phân và phương trình
sai phân.
Chương 3 : Cácbài toán ứng dụng.


Chương 1

C Á C L Ư Ợ C ĐỔ X Ấ P XỈ PH Ư Ơ N G T R ÌN H T O Á N T Ử T R O N G K H Ô N G
BAN B A N A C H VÀ ỨNG D Ụ N G Đ ố i VỚI P H Ư Ơ N G T R Ì N H VI P H Â N

1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM C ơ BẢN VỂ LÝ THUYẾT XẤP x ỉ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

1.1. Xấp xỉ một không gian Banach bang một dãy các không gian Banach.
Giả sử X là một khôníi gian Banach đã cho. Để xấp xỉ một phần tử của nó

chúng
. o ta sẽ sử dung
. o cấu trúc sau đây:
»■
Xét dãy các không gian Banach { x n Ịị • rnà nhờ dỏ chúng ta sẽ xấp xỉ không
íỉian X. Liên quan eiữa các khônc gian XII và không gian X cluìna ta sẽ sử (lụng dãy
các toán từ tuyến tính {Tn }” , T n e ă ' ( X , X n ) (n = ], 2 . ...), đổng thời ch úng la sẽ
giả thiết rằng T nX = X n .

Thí dụ: Lấy X = C|,)J| là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0.1]. Giả sử
n e N* là một số tự nhiên bất kỳ, ta chia đoạn [0,1] thành n phần bằng nhau với các
nút chia.
0

= tjj < tj < t2 < ... < t„ = 1

Chọn X n = R n , chúng ta có thể xác định toán lử tuyến tính Tn: X —» X n như sau:
Với x(t) 6 X bất kỳ ta lấy: T„x(t) = (x(t|), x(t2),..., x(tn))
Dễ dàng thấy rằns T n là một toán tử tuyến tính và TnX = X n .
Trong

chương

này

chúng

ta sẽ

luôn

luôn

chọn

Xi)Và

T„

sao

cho

dim X < + 00, Im (Tn) * 0 đồng Ihời số chiều của Xn sẽ là một dãy sổ lự nhiên lỉìns
và dần tới vó cùng. Khi dó clnína la sẽ eọi T n là toán tử “ thu hẹp".
N h ư chúnc ta dã biết trong mỏi khôn SI íiian n chiều R

ta có thc xác định

nhicu chuẩn khác nhau, nên dc thuận tiện với mỏi X € R la sc ký hiệu:


1
II X IL = m a x I x k I :
D isksn
k

Các lỉ

II và ỉí

ll0

II X II = —I £ i x k 2 Ị 2
0
II
k J

ta sẽ sọi làchuẩn

chung ta s ẽ ký hiêu là II X ||ụ
An

.

hộp và chuẩn

cáu. trong trường hợp

.

•

Giả sử trong mỗi một khôns eian X n la chọn một phần tử x n và chúng la sắp
xếp chúng thành một dãy có chỉ số tăng dần {xn

Định nghĩa: Chúng ta nói rằng dãy

{xn

là T - hội tu đến Xe X. nếu:

l i m J | x „ - T nx Ị Ị - J = 0
n —>30

Khi dó ta ký hiệu: x n — -—>x,(n -> oc) hoặc T - lim Nn = X
11—>30
Báng cách kiểm nahiệm trực tiếp ta có thê chí ra láng khái niệm T - hội tụ có
một số lính chất giống như khái niệm hội tụ của dãy số thông thườnn, tuV nhicn T siới han của m ột dãy bất kỳ có thổ là không duy nhất. Đổ khác phuc cliổu dó chúng
ta có thể bổ sung thcm cho chúng đicu kiện khỏng suy biên.

Đ ịn h nghĩa: Chúng ta nói rằng các chuán Irong Xn là không suy biến nếu lừ
lim |Tnx i - = 0 suv ra X = 0
J
11—>00I 11 iXn

Đ ịn h lý: Điều kiện cần và đủ đổ T - giới hạn luôn luôn duy nhất là các chuẩn
trong x „ không suy biến.

Chứnq minh: Điều kiện cẩn của định lý có thể dẻ dàng suy ra lừ định nghĩa
4.1.1.2. Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử rằng {xn }r là một dãy các phần lử
mà T - lim x n = x' và T - lim x n = x "
n—>co

n—

Khi đó ||Tnx ' - x n ỊỊ —» 0;(n —> co) và j!Tnx " - x n ỊỊ-> 0;(n —>oo). Mặt khác:
Ị | T „ ( x ' - x " | Xn < | t „ n ' - n”
Do dó ị|Tn ( \ ' - x " ) Ị | -

x„ - T „ x "

—> 0.(I1 —> oc), nên x' - x' ’ = o => x ’ = x ”

8


1.2. Lược đồ xáp xỉ toán tử tuyến tính.
Giả sử X và Y là các không gian Banach và A : X —> Y ỉà mộl toán tư tuy ủ II
lính có miền xác định D(A) và miền ciá trị R(A), trong đó D(A) c X và R (A ) c Y.
Để xấp xỉ các khốnc 2Ìan Đanach X và Y ta sẽ sử dụng các dãy không gian
Banach Ị x n }ị° và ỊYn Ỵi . tương ứim \'ới chúng là dãy các loán tử thu hẹp (T r } và

| T ’nỊ thoá mãn các điều kiện trong 1. 1.
Đế xấp xỉ toán tử A : X —> Y, la sẽ sử cỉụne dãy toán lử tuyên tính
{A„}” . A n : X „ —> Y n . Chúne ta sẽ luôn luôn giả thiết rằng D ( A n ) c X n .
R ( A n ) c Yn và Vn £ N* thì T n (D(A)) c D (A n).

Đinh nghĩa: Chiìnc ta nói ràng tại X e D(A) điều kiện xấp xi dược llioả mãn'
nếu:
| | A „ T „ x - T ' „ Ax||Ọii ->().

khi 11->=0

Khi đicu kiện (2) dược thoa mãn thì ta có: A nT „ x — ]~ > A \ . ( n -> co) và la
c ũ n ụ c ó t h ể nói r ằ n g {à ,,}* x ấ p xỉ A tại X e X.

Sau đáy là một thí dụ về lược đồ xấp xỉ loán lử:

TÌ 1Í du: Trone không sian X = C|,| II ta xct toán tử đao hàm A : = —

dt
Dễ dàng thấv rằng đây là một toán tử tuyến tính từ X và chính 11Ó:
A : X -> X
Chứng ta xấp xỉ không gian X bởi dãy { x n } . Xn = R n.Vn e N

như la dã

xét trong thí dụ của muc 1. 1.
Làv phán tử x(t) e C |0 I| bất k\' ihoá mãn đicu kiện x(0) = 0. khi dó g iốne như
trong thí dụ của mục 1.1 ta có the chọn Tn : X —> X n như sau:


Bây ciờ nếu chúng ta chọn A n: Xn -> Xn là toán từ tuyên lính lương ứng với
ma trận:
n
-n

0

0

...

0

0"

n

0

...

0

OỊ

...

0

0

0

-n

n

0

0

0

iII \ lì

( (\)
thì ảnh của véctơ X o ’x - L -.X (1 )
)

V

ík'] . / k + l N
+ X
, (k = 0 . 1, 2 .
y k+1 = n - X
\n j

n - 1)

Dễ d à n 2 thấy rằng vk+|. (k = 0, 1 , 2 ....... n-1) ]à các biếu ihức gần đúng
, dx(t)
cùa
dt 1=

N hư vâv Ihay cho toán tử dao hàm A: = — chúng ta cỏ ihc clu n {A n }^ là
"
'
dt
"
!
dãy các toán tử tuyến tính tương ứng với các ma trận cấp n có dạnc vừa xéi ở trên.
Trong trường hợp dặc biệt nếu như X và Y là các khổng gian hữu i 'in chiều
và Ui chọn Xn - X

và YII = Y Ihì T n và T n’ sẽ là các toán lử dỏng nluìì. Kni dỏ la

nói rằng điều kiện xấp xi được thực hiện trên tập M c D(A) nếu như với mỗi > <= M
thì:

II A nx - AJI

Y

-> 0

( n -> oo)

1.3. Lưọc dổ x á p xỉ c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h to á n tử
Xét phương trình toán lử:
AX= y

( 1)

y e R(A)
Gia sử A là toán lú tuyên tính. \ ’ới micn xác định D(A) c X và miền aiá trị
R(A) c Y. Tươns lự như tionc mục 1.1. d ú m 11ta ciã thiết rang các không uian

X


và Y được xấp xỉ bởi các dãy k h ô n g gian Ị x n } và Ịy,i j còn {Tn} và Ị T ' nỉ ỉà các dãy
toán tử ihu hẹp tươnc ứng.

N ghiệm của phương trình (1) tương ứng với V G R(A) được cọi là nghiệm
đúng.
Cùng với phương trình ( 1) chúng ta xét dãy các phương Irình xấp xì
A nxn = yn.

.

yn e R ( A J ,

(2)

Ở đây A n là dãy các toán lử tuyến tính có miền xác định D(An) c X n và miền
giá trị R ( A n) c Y „ . Nghiệm xn của các phương trình (2), tương ứng với các v n e
R ( A n), được gọi là nghiêm gần đúng của phương trình (1).
T í n h c h ấ t hội tụ c ủ a n g h i ệ m g ầ n đ ú n g vc n g h i ệ m (lúng c ủ a p l u n t i m t r ì nh ( I )

chúng ta sc xét ở phần sau. Bây ÍZÌỜ chúng la sc nghiên cứu một ví dụ vổ lược đổ xấp
xỉ của phương trình toán tử tuyến tính.

Thí dụ 2: Xét bài toán biên
- x ”(t) + c ( t ) x ( t ) = y(t),

0 < t< /

x(0) = x(/) = 0

(3)

(4)

Giả sử rằng, c(t) và y(t) là liên lục licn [07]. ctổng thời c(t) > 0 trôn [0, /]. Các
điều kiện này bảo đảm cho bài toán biên (3) - (4) có nghiệm duy nhất trên đoạn [0. /]
Xét X = C|(, ,| và A: X —> X là loán lử luyến tính được xác định bởi biểu thức:
Ax

= -x" (t) + c(t) X (t)

Miền xác định D(A) của toán lử A là tập hợp tất cả các hàm hai lẩn khả vi
liên lục trên (0, /) thoả mãn các điều kiện biên (4).

Việc tìm nghiệm bài loán hiên (3) - (4) Ihirờng được đưa vổ bài toán lìm
nghiệm gán đúng cua nó. Sau đây chúng la sc xây dựng lược đổ xấp xi của bài toán
này bằng dãy phươnc trình toán tử mà ihực chất cua nó là hệ phương Irình sai p hân.


Chúng ta chia đoạn [0. /] ihành 11 đoạn bằng nhau với các nút chia tk = k.T. k 0 . I.

n ở đáv I = —. Chúng ta lấy ánh xạ thu hẹp: Tnx(t) = ( x ( t k ))1Ỉ“Ị (là véc tơ
n

cột có n - 1 thành phần). Như vậy các không gian lưới Xn là các k h ô n s gian n -1
chiều. Trong các không gian này chúng ta sẽ xác định chuẩn như sau:
Nếu x n = ( x k )":Ị thì ta đặt:

1t ì
12 ì
^
x
k
1
XJ o = . n k=i
j
<“

Trong phương trình (3) chúng ta thay đao hàm cấp 2 b ằn s biểu thức gần
đúng:

x " ( l ) * X ( t~ T )~ 2X(t) + X ( t+ T )

I
Trong không gian Xn chúng la có thế vi úi mội dãy các bài toán xấp xí tương
ứng với bài toán (3) - (4) như sau:
1

2 X t * Xt - | + c kx l. = y l, .

k = J . 2 ....... 11-1

T
Xo =

= 0,

ở đây y k là các thành phần của véc tư ( y k ) ^ Ị = Tny và ck là các thành phần
của v é c t ơ ( c k )ll\ = Tnc

Hệ phươne trình sai phún nhận dược có ihể viết dưới dạng phương trình loán
tử như sau:

Irong đó A n là toán lứ ánh xạ từ không gian hữu hãn chiếu Xn vào chính nó.
Trong cơ sớ chính lắc cua Xn toán tử A n có ma trận:

12


ỉ
An =

I
0

0

0

T + c>
2
74- + c 2
I
0'

0

+ c n-1

0

Tóm lại đế xấp xi phương trình toán lử
Ax = y. A: X —> X; D ( A ) c X
chúng ta có thể tiến hành như sau:

(a) Xác định dãy khỏng gian {XnỊ và các toán tử thu hẹp Tn tương ứng để xấp
xỉ X.
(b) Xác định dãy toán tử xấp xi A„ : Xn —> Xn
(c) Giai các phương Irình A ltx„ = y„ đổ tìm nghiệm gàn đúng (xom sơ đổ ở
hình dưới đây).
D(A)

—

X

ị T*n

x„

ị T 11

A" > x„

Việc nghiên cứu sự hội tụ của nghiệm gần đúng về nghiệm đúng của phương
trình sẽ được trình bày trong phần sau.

II. Sự• HỘI
Đ ổ XẤP xỉ
• TỤ
• CỦA CÁC LƯỢC
•
2.1. Điều kiện xáp xỉ và điểu kiện ổn định
Giá sử X và Y là các không gian Banach dược xấp xỉ bởi các kh ô n c gian
và

ÍV n}, còn

{T n} và ( T ’J

là các toán tử thu hẹp sao cho

Ịx,, Ị

T nX = Xn

và

T n Y = Ỹn. 11 = 1.2....
Chúng ta sẽ tiếp lục nghiên cứu mội sơ tính chất về T - hội tụ dược sử dụng
trong phần tiếp theo.


1. Cáp của T - hội tụ
Giả sử {\|/n} là dãy số dương bâì kỷ, còn ị(pn) !à một dãy số không âm

(cpn>0) và (cpn-^ 0) n -» 00. Xn e Xn còn XGX.
Đ ịnh nghĩa a: Ta nói rằng dãy {xn } là T - hội đốn phần tử X với tốc dỏ ọ„
nếu:

||xn - Tnx lixn s
Định nghĩa b: Ta nói rằng dãy |\ n I là T - hội lụ với lốc độ 0 (V||„) lới phíiii lừ
X nếu:

Ịim v|)''ỊỊx„ - T n x | x

11—

=0

Chún g ta dễ dàng nhận thấy rằn2 nếu dãy Ịxn Ị T - hội tụ lới phần tử X thì có

nghĩa là nó hội tụ với tốc độ 0 ( 1).

2. Cấp xấp x ỉ của toán tủ
Xét toán tử tuyến tính A : X —> Y, với miền xác dinh D(A) c X và miền eiá
trị R(A) d Y. Giả sử ráng A dược xấp X! bởi các toán tử Ị A J cỏ micn xác định
D(A„) c X n, miền giá trị R (A n) c Y n, đổnc thời ta luỏn luôn có T n (D(A)) c= D(A„). n
= 1, 2 ,...
Sau đây chúng ta sẽ phát biểu định nghĩa vé cấp xấp xỉ của toán tử A bởi các
loán lử A„ tại phần tử X G X.

Định nghĩa: Giả sử lổn tại hàna số a = a (x) (chi phụ thuộc vào x) sao cho
với m ọi n = 1 , 2 , . . . ta có:

llA-T-X
ii II n - T'„II Axlỉii Tn < a . n ~ k .

k>0

Khi đó ta nói ràng cấp xấp xỉ của toán tử A bởi dãy toán lử Ị A nỊ tại phần lử X
bằng k.
Trong trường hợp chung ta có thể thay j - ! - Ị bằng dãy số {cpn} khóng ám và
In' J

hội tụ tiến kliỏns khi II —> oc. Lúc dó ta nói tại X loán tư A dược xấp xí bới ị A J với
tốc độ (pn.

14

Đ ể xác lập điéu kiện đủ cho T - hội tụ của các nghiệm gán đúng về neliiệm
đúng chúng ta đòi hỏi dãv {A n) phải thoả mãn thém điều kiện sau đây:

3. Điêu kiện ón định của dãy toán tủ {A„j
Định nghĩa: Nếu tồn tại hằng số y > 0 và số tự nhiên 11(1 sao ch o dối với mọi
x„ G D (A n) ta có:

lí>
"Ỹn

Vn > n„

X 11 1iXn

thì ta nói rằng dav (A nỊ thoả mãn điều kiện ổn định.
Trong Ihực tế nhiều khi để kiểm tra diều kiện ổn định của dãy toán lử I A n} la
có thể sử dụng kết quà sau:

Định lý: Các toán tử A n là khả nghịch và .4”' giới nội đều trên R (A n) khi và
chỉ khi lồn tại số dươne y sao cho với mọi xn € D (A n) la có:
II n Yn > Y
' r 11 X11

(3)

Chứng minh: Điêu kiệìì cần: Giả sử tổn lại toán lử ngược A " 1 khi đỏ ta cỏ
R ( A n) = d ( a ~ ' ) và theo ciả thiết thì A ~ l là giới nội đều trên R ( A n) tức là tồn tại số
dương c sao cho Yyn G R (A n) ta có

A " 'y n 1
1X n

xn G D (A n) ta có:

c ;Anx n I -

>y

< c|ỉyn||- . Đặt vn = A nx n.
11

Xn

Khi đó ta dễ dàng suy ra N (A n) = {0} lức là nếu A nxn= 0 thì x n = 0. Theo định
lý về sự khả nghịch của toán tử tuyến tính thì tổn tại toán tử ncược A “ ' dơn trị hai
chiểu từ R ( A n) vào D(An). Đối với mỗi yn e R (A n) ta đặt xn = A “ ;y n . khi đó ta có:


tức là A n: giới nội đều trên R (An)
Định ]ý được chứng minh.

Hệ quả: Nếu từ một chỉ số nào đó trở đi các toán tử An khả nghịch và ciới nội
đcu tức là k ' : < c.n = 1,2,... thì điều kiện ổn định sẽ dược thực hiện với y = c
Đế có ví dụ minh hoạ vé các điểu kiện xấp xí và diều kiện ổn định một dãy
loán tử chúng ta lại nghiên cứu tiếp lục toán tử dạo hàm d/dt từ không gian
X = C|;, J| vào chính nó.

Thí clìt ỉ : Giả s ử x = Y = C|(JJỊ, còn X n =

n với mỗi \( t ) e C|(| II đặt:

Tnx(t)

Xét A : X —> X là toán tử đạo hàm với miền xác định D(A) là tập hợp hàm số
khá vi liên tục trên đoạn [0,1] và thon mãn điều kiện x(0) = 0. Ta đặt:
n

0 0... 0

- n
An =

n ơ . . .

0

-n

0

0

11 ...

0

...

0

0

0

0

0

- n

n

Chuẩn của các phần tử x n e Xn la sẽ xác dịnh như sau:
llxnlln= m a x |ẹ kỊ.xn( £ k ) ”
lDề dàng thấy rằng:
1

f

1

A „ T nx =

n

X

ík ì

f

^

A ’1

dx(i)
dt

it=

}

X

Vn

V

T'„ A \

-

11

)


= max n J

1< k < 11 k-I

rk

X

- \

í - -n ịx
U ;

A„ = ||A „ T nx - T ' n A x |j ị = m a x
n !
V

(k\

x ’(s) ds < n max I X
l
n

- x ’(s) đs

Do tính licn tuc của x ’( 0 Ircn doạn kín [0.1]. chúng la có thổ chọn N„ đủ lớn
1
sa o c h o Vn > N() thì Ịx'
x'

—

1 In )

' k -1

- x ' ( s ) < 8 nếu s e

k“

n

n

Ncn ta nhận được:
k

.......... n J
,, ỉ
_ ]^
A n < n m a x j X — - X (s).ds < n . —E = E
I
ụ v

ị

n

n

Như vậy ta đã chỉ ra rằng với lược đổ xấp xí như Ircn thì diều kiện xấp xi dược
ihực hiện tại x(t) e D(A).
Tương lự như vậy nếu chúng ta gia thiết llicm rằng x (0 là hai lần khả vi liên
tục trên khoáng (0.1) và supỊx"(t)| < a ( a phu thuộc vào x) thì ta có :
( 0 . 1)

n

í L-

\

A„ < n a m a x

\

ds =

a
2n

t
n

Do đó toán tử A được xấp xỉ tại X € D(A) bởi dãy íoán tử {A n ị v ớ i cấp k = ]
Bằng cách kiểm nghiệm trực tiếp ta có thể chi ra ràng.
0

0

0

0

0

0

0

n

n

11

A„ =

n

n

0

0

0

! CA ~

c

' j

A H -l I

'ỒN ~>ĩih THI

17


.
I _|i; 2
,
,
Đ ong thời ỊAn = — < 2 . Như vậy theo hệ quả thì điêu kiện ồn định được
I

!ỉ

n

■

thực hiện đối với dãy {An}.
2.2. Định lý vổ sự hội tụ của các lược đó xấp xỉ
’ Trong phán này chúng la sẽ nghiên cứu lính T - hội tụ của một (lãy nghiệm
xấp xỉ vé nghiệm đúns.
Xél phương trình toán tử Ax = y, y e R(A)

( 1)

ở đây A là toán lử tuyến lính từ không gian Banach X vào không gian Banach
Y với miền xác định D(A) và miền giá trị R(A). Giả sử khône gian X được xấp xỉ
bởi dãy k h ổn g gian Ị x n Ị và k h ỏn 2 gian Y được xấp xỉ bởi dãy các k h ô n g eian

{Ỹn ).{Tn } là dãy toán từ thu hẹp sao cho T ' n X = Xn và ( T ’nỊ là dãy toán lử Ihu hẹp
sao cho T ' n Y = Y „. Cùng với phương trình (1) chúng ta xét dãy các phương trình
xấp xỉ :

A n Xn = ỹ n,

ỹ„ 6 R ( A n ) , n 6 N.

(2 )

ở đây A n là các toán lử tuyến tính ánh xạ từ D (A n) c X n vào R ( A n) c Y n

Đinh lý: Giả sử các di cu kiện sau được thoả mãn:
1. Chuẩn Ironc X n là khônc suy biên.
2. {A n } x ấ p xỉ t o á n lử A tại m õ i n g h i ệ m đúníi.

3. Điều kiện ổn định được Ihực hiện đối với dãy toán tử I A nỊ bởi một hằng số
y nào đó.
4. Dãy {yn} l à T - hội tu về phân tử y.
Khi đó:
] . N g h i ệ m đ ú n s là duy nhất

2. Đối với mọi n đủ lớn các nchiệm xấp xí là duy nhất.

3. Lược đổ xấp xỉ là hội tụ và ta có đánh giá.

K - T „ x f e . s y ' è y . -T„yỊỹ,

a x - a bt „x| ỷJ

C h ứ n í i m i n h : G i à x ử X, \ ’à \ ; là c á c n g h i ệ m đ ú n g c ủ a p h ư ư n í i t r ì n h ( 1 ) t ức là

AxI = V. A x : = y.

18


do đó:
llA nT nx l - T ' „ A x . l l ỹ■ II + | A „ T nx 2 - T ' „ A x ; | ỹ* n > y Ịí;•T „ ( *

Sử d ụne

-,)|ỊI

II

điểu kiện (2) (diều kiện xấp xỉ) của định lý ta suy ra:

||AnTnx, - T ' n A x j | | - n - > 0 v à |!A nTnx 2 - T ' n A xtI

—» 0 . khi 11—> 00.

Điều

này kéo theo |T n (x| —x 2 )iix ^ 0 , n —>co . Theo giả thiết (1) ihì các chuẩn trong
Xn

không suy biến nên ta suy ra

Xj

- x2 =

0.

Như vậy

Xj =

x2 và khảng định thứ nhất

của định lý được chứng minh.
Khẳng định tiếp theo cùa định lý có thể suy ra lừ điểu kiện ổn định dối vói dãy
{A nỊ bằng cách áp dụng định lý vc điều kiện cần và đủ đê A n khả nghịch.
Bây giờ chúng ta chứng minh khảng định cuối cCine của định lý.
Giả s ử X là n g h i ệ m đ ú n s của phương Irình toán tử (1) và x n là một imhiệm uán

dúng nào đó r ủ a nó. Từ aiã thiết (3) của định lý, lức là điều kiện ổn định cùa dãy
Ị A J . chúno ta có:

Mên | x n - T nx||
T ừ điểu kiện (2) và (4) của định ]ý ta suy ra vế phải của bất đảng thức trcn là
dần đến khônc và do đó vế trái của nó cũng dần đến không, tức là Ị x nỊ là T - hội tụ
đến X và ta c ó điểu phải chứng minh.

N hận xét: Nếu các giả thiết (2) và (4) của định lý dược thay thố bằrm các dicu
kiện m ạnh hơn như sau:

/< 0

19


Thì chúng ta có thể thay (3) bởi đánh giá: j,x n —T nx! < - ^ 7- + —
yn

vn

III. VÍ DỤ VỀ CÁC LƯỢC ĐÓ XẤP xỉ VÀ sự HỘI TỤ CỦA CHÚNG
3.1.

Sự hỏi íụ của lược dó sai phán trong bài toán bicn của phưưng trìn

vi phán cáp 2.
Xét bài toán biên:
+ c (0 X (l) = y(t).

0< t< /

(!)
(2)

x(0 ) = x(/> = 0

Chúng ta giả thiết rằng c(t) và y(t) là các hàm liên tuc trcn [0,/], đ ổ n s thời c(t)
> 0 trên ro,/]. Bài toán (1) - (2) có thể viết được dưới dạne toán tử.
Ax = y,
ở đây A là toán lử tuyến lính, từ không gian Banaeh X = C|() /I vào chính I1Ó và
A đưực xác định bởi công thức:

A x = -x”(l) + c(l) X (t)

Miền xác dinh D(A) cùa toán lử A hì lập hợp lất cà các hàm hai lấn kha vi
liên lục trên (0./) và thoa mãn điều kiện X (0) - x(/) = 0
Để xấp xỉ khône gian X chúng ta xâv dựng dãy toán tử thu hẹp T n như sau:
Chia đoạn [0./] thành n phần bàng nhau bời các nút chia tk = kĩ, k = 0, ỉ .....n, ở
đây T = —, chúng ta xác định toán tử thu hẹp như sau: Tnx(t) = ( x ( t k ))!’”! .
11

’

N h ư vậy ở đây chúng ta có thể chọn các khône gian ỊX nỊ là các không gian
véc tơ R "'1 gổni các phần tử

Xn

= ( x k )"”! với chuẩn ià:

Khi dó Tnv = ( y ( t k ) ) ;; J .T nc = (c(tk ))"=Ị \’à phươiìíi trình toán l ử d a n u xél
dược xấp xi bời dãy các phương trình:

20

trong đó:

7

A

n

I2

-

0

+ c,

T2

0

4- c 2

1

0

0

0

0

T“

1

0

0

2
T + Cn-

Đây chính là hệ phương trình sai phân của bài toán biên (1) - (2). Bây ciờ
chúng ta kiểm tra điều kiện hội tụ cùa lược đổ xấp xỉ dang xct.

a. Kiểm tra điêu kiện xấp xì lại nghiêm x(t) của bài toán ( ỉ ) - (2)
Gia sử x(L) là nghiệm khả vi đến cấp 4 trong khoảng (0. /) d ổ n s thời
y4

= sup;x(IV)(t)
((>./)

3 x (iVl

ì

\ (l v, í nkì

Khi đó ihco công ihức Taylo ta có: x ( l k+| ) = X - ------ - - T 1 + -------i=0

i!
24
e (tk. tUÍ),

ỏ đây

.

T

11, G (tM , tk)

Xét:
A2„ = | A nTnx
x "2
1 - T IInAiy'lio
=- ĩ '
n k=i
/»-1
—

Z-

;,,( t k ) _ x ( h d h M k M y j + C k X ( t k ) + x ..(t k ) _ CkX(t k ) |
/

\

_ /

/

\ 7

x"(t ) x(1k^l)-2x(tk)+x(1^l)

n k=i

=- ĩ '
n k=i

\

X2
x (,v,f e k ) + .x"v>( n k ) t 4 < Í Ị ^
TJ/
24
24
U2 /

Do đỏ:
II A nT nx - TnAxllQ = _\n <

À4V /.I2
12

Vậy dãy toán tử {A n ỉ xấp XI toán tử A lại X (t) với cấp bàng 2.

21

b. Kiểm tra điéu kiện Ổn đinh của dãy toán lử Ị A J
Chúng ta nhận thấy rằnc trong không gian R "'1 nếu tích vổ hướns của các
phần tử Un = ( u k)"~Ị, v„ = ( v k )J”Ị được xác định bởi cônc thức:

(

„,v„

\

/ n-1

):

£ u kv k
n k=i

thì trong các không gian x„.| ta có đẳng thức:
(ũ n ,ũ „ )= |u n

;2

10

Bằng cách thay trực liếp \’ào ta có:
n^ n ’ ^ 11 ) - —

k+l —

k=l

k

^ k-1 )'v‘k

~X

k=l

Vì ck > 0 nên:
( A „ X M. X n ) > T _l Ễ ( x k. | - x k ):

k=l
Mật khác chúna ta có thể viết:
*5 “ —(x k “ x k-i )•
Xs

s> l.

k=l

x0 =0

Vì vậy áp dụns bất đảng thức Cồsi ta có:

| x s 1= Ế | x k - x k_,| < v ^ r Ị | x k - x k_,j2 ì
k=l
Vk=l
)

Cuối cùng ta có:
lv
i

n_l

\2

II2. ' T l y
n 11o —

j

k=I

ki

,*>

n-l

- T ^ s

s=l

11-1

n VỈ-

T

_v

^ i x k _ x k-li

k=l

/ ( n - 1) ",
|2
ỉ2
= —^ 5 — r í x k - X f c - I
S ^ - ( A nx „ x „ )

^

k=i

z

Do đó la có:
(a „ x „ . x „ ) > 2 / - 2||x nỊỊ(21 o | A nx r ; () > 2 / - : jịxnllo
N h ư vá y điều kiên ổn dinh dược Ihoá mãn.

22


c.

Kết luận: Áp dụng định lý về sự hội tụ các lược đồ xấp xí (xem 2.2) t

lược dó xấp xỉ là hội tụ đ ồns thời la có đánh giá sau:

x„ - T „ x

o

<

y 4l \ f ĩ
24112

Và do đó dãy nghiệm xấp xỉ {x n } sẽ T- hội tụ đốn nghiệm đún c X với lốc độ
o

í 1 ^1

3.2. Sự hội íụ của lược đổ sai phân đối với phương trình truyền nhiệt
Trong miền:

Q = {x,t: 0 < X < / , o < t < 0 }

Chúng ta xét bài toán của phương trình truyền nhiệt:
.

C'U

Lu = — - - a
ai
u lx=n=u L /

2 <5~ll

,

, 1X

y = I ( x , t)

1)

ôx2
= °

(2)

uỊl=0= cp(x)

(3)

Hàm u(x,t) được cọi là nghiệm cổ điển của bài toán (1) - (3), nếu có liên tục
trong miền

Q

và thoả mãn các diều

kiện (2 ) - (3),

ngoài

ra trôn

micn

^2

Q = {x,t: 0
ơl

dx2

( 1). Sau dây chúng ta sẽ giả thiết các hàm f(x,l) và cp(x) íhoả mãn các điểu kiện dê’
nghiệm cổ điển của bài toán đ an s xct là tổn tại và duy nhất.
Bài ioán (1) - (3) có thể viết được dưới dạng phương trình toán tử:
Au -

V

(4)

ò đây u là hàm phải tìm được xét như các phần tử của khồng gian Banach

u

=

c(o),

còn

V

= (f(x.t). (p(x)Ị với f liên lục Irên m icn Q. \'à (p 1lên lục trốn [0,/],

dược x e m như các phẩn tư của kh ône aian Banach.

23


V = c ( q ) ® C [ 0 ,/]. trong đó

|v|Ịv =Ịjrlciộ

+

Toán tử A được xác định bửi đẳng thức: Au = (Lu: u (x.O)).

ở đây L là biểu thức vi phân được xác định bởi Lu = ------ a “ — ỡt
dx
Miền xác định D(A) là một đa tạp tuyến tính trong Ư gổm các hàm u(x.l) hai
lẩn khả vi liên tục theo X và một lần khả vi liên lục theo t, đồng

Ihời nhận giá Irị

bằng kh ông khi X = 0 và X = /

Để xây dưng lược đồ xấp xỉ của phương trình loán từ Inrớc

licì chúng la Xiíc

định các toán tử thu hẹp T „ . T ’n và các không gian xấp xỉ ư n và V n như sau:

e

o

\J_
11

Hình ỉ

Chia đoạn

[0,/] thành n phần đểu nhau

bởi các điểm

chia

i = 0.1 ,...,11, và xấp xỉ Ọ bởi các “tập hợp lưới” s ồ m các đường tháng

X = —
n

x = —
11

1= 0 .1 .....n; 0 < t <0 (h 1)

24