Chuyên đề: Cảm ứng điện từ Bồi dưỡng HSG

CHUYÊN ĐỀ:
CHUYỂN ĐỘNG CỦA THANH DẪN VÀ CỦA KHUNG DẪN TRONG TỪ TRƯỜNG
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Những năm gần đây bài tập ứng dụng hiện tượng cảm ứng từ là một trong những bài
toán xuất hiện nhiều trong các đề thi chọn học sinh giỏi khu vực và Quốc gia, do đó tôi chọn
chuyên đề “ Chuyển động của thanh dẫn và của thanh dẫn và của khung dây dẫn trong
từ trường ”
2. Mục đích của đề tài
Với những dạng bài tập khó cần sử dụng một số phương pháp toán như tích phân,
phương trình vi phân, kết hợp với các định luật điện từ và các kiến thức nền tảng của cơ học,
sẽ giúp các em học sinh, nắm bắt được các dạng bài tập khó trong phần cảm ứng điện từ và hy
vọng sẽ có ích đối với các đồng nghiệp trong quá trình ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi.
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cảm ứng từ
Để đặc trưng cho từ trường một cách định lượng, người ta dùng một đại lượng là cảm
ứng từ. Để xác định độ lớn của cảm ứng từ, người ta dựa vào tính chất cơ bản của từ trường
là sự tác dụng của từ trường lên dòng điện
Cảm ứng từ tại một điểm trong từ trường kí hiệu là B, đơn vị là Tesla (kí hiệu là T)

ur

Tại mỗi điểm trong không gian có từ trường xác định một vectơ cảm ứng từ B có
hướng trùng với hướng của từ trường và tiếp tuyến với đường sức từ đi qua điểm đó.
1.1. Định lý Bi-ô-Xava-Lapla
Vào năm 1820, giáo sư vật lý người Đan mạch Hans Christian Oersted, trong một buổi

u
r
dB

giảng bài cho sinh viên, đã tình cờ phát hiện ra rằng,
kim la bàn bị lệch khi có một dòng điện chạy qua gần
nó. Điều đó có nghĩa là, dòng điện chạy trong dây dẫn
đã sinh ra một từ trường xung quanh nó. Phát hiện đó
là một bằng chứng hùng hồn đầu tiên cho mối liên hệ

ur
Idl

r
r

M

giữa các hiện tượng điện và từ. Chỉ vài tháng sau đó, các nhà khoa học người Pháp Baptiste
Biot và Felix Savart, bằng thực nghiệm, đã xác định được dạng của từ trường do một dòng
điện dừng. Kết hợp các kết quả thực nghiệm của Biot và Savart với tính toán của Laplace đã

-1-


ur

ur

đưa ra được công thức xác định vectơ cảm ứng từ dB gây bởi phần tử dòng điện Idl trong
chân không, có cường độ dòng điện I, tại một điểm (điểm M)

ur r

ur µµ 0 I dl × r 
dB =
4πr 3

(1.1)

với

µ 0 = 4π10−7

H
là hằng số từ
m

dl là chiều dài của phần dây dẫn có dòng điện cường độ
I chạy qua

ur

Vectơ dB
- có điểm đặt tại M
- có phương vuông góc với mặt phẳng chứa phần tử dòng

ur

điện Idl và điểm M.
- có chiều được xác định bằng quy tắc đinh ốc (quy tắc
vặn nút chai): đặt đinh ốc tại M theo phương vuông góc với mặt phẳng chứa phần tử dòng

ur

ur

r

điện Idl và điểm M, quay cái đinh ốc theo chiều từ Idl đến r , thì chiều tiến của đinh ốc là

ur r

ur

ur

chiều của dB (Ba vectơ Idl, r , dB theo thứ tự hợp thành một tam diện thuận)
- có độ lớn

ur r
µµ 0 Idlsin(dl,r)
dB =
4πr 2

(1.2)

1.2. Nguyên lý chồng chất từ trường
Nếu ta có một dây dẫn có dòng điện chạy qua (gọi tắt là dòng điện), mỗi phần tử dòng

ur

điện trong dây dẫn gây ra tại một điểm (điểm M) một vectơ cảm ứng từ dB , thì vectơ cảm
ứng từ gây bởi cả dòng điện tại điểm đó bằng tổng các vectơ cảm ứng từ gây bởi từng phần

tử tại điểm đó. Tổng này dẫn đến tích phân

r
ur
ur µµ Idl × rr
B = ∫ dB = 0 ∫
4π (L) r 3

(1.3)

(tích phân trên toàn bộ dây dẫn có dòng điện đang xét)
Nếu tại một điểm (điểm M) đặt trong từ trường của nhiều dòng điện thì vectơ cảm ứng
từ tổng hợp tại điểm đó bằng tổng vectơ các cảm ứng từ do từng dòng diện gây ra

-2-


ur n uur
B = ∑ Bk

(1.4)

k =1

1.3. Từ trường của dòng điện chạy trong dây dẫn thẳng dài hửu hạn
Tìm cảm ứng từ của dòng điện thẳng dài hửu hạn AB

A

gây ra tại điểm M (hình vẽ)

θ2

Từ trường do một phần tử dòng điện Idl gây ra tại M
dB =

O

µµ0 Idl sin θ
4π r 2

dl

Từ trường do cả dòng điện AB gây ra tại M
B=

µµ0 I sin θ dl
4π ∫ r 2

Trong đó: l = − R tan θ ( l <0 vì nó nằm dưới gốc tọa độ)
Lấy vi phân l ta được dl = R

ϕ

θ ϕ

r
B

+ M

θ1

B

dθ
R2
2
,
r
=
sin 2 θ
sin 2 θ

θ

B=

µµ0 I 2
µµ I
sin θ dθ = 0 (cosθ1 − cosθ 2 ) . Với sin ϕ1 = cosθ1 , sin ϕ 2 = −cosθ 2
∫
4π R θ1
4π R
B=

µµ0 I
(sin ϕ1 + sin ϕ 2 )
4π R

(1.5)

1.4. Từ trường của dòng điện chạy trong dây dẫn thẳng dài vô hạn
Xét một dây dẫn thẳng dài vô hạn có dòng điện cường độ I chạy qua đặt trong chân không,
uuu
r
một điểm M đặt cách trục dây dẫn một đoạn r, thì vectơ cảm ứng từ tại điểm M kí hiệu là BM
- có điểm đặt tại M
- có phương tiếp tuyến với đường sức từ tại M
- có chiều : được xác định theo quy tắc nắm bàn tay phải họăc quy tắc đinh ốc 1:
Quy tắc nắm bàn tay phải: Để bàn tay phải sao cho ngón cái nằm dọc theo dây dẫn và chỉ theo
chiều dòng điện , khi đó các ngón kia khum lại cho ta chiều của cảm ứng từ
π
- có độ lớn :
Với ϕ1 = ϕ 2 = nên
µµ I
B= 0
2π R

( µ 0 = 4π10−7

2

(1.6)

H
: Hằng số từ); µ : Độ từ thẩm của môi trường)
m

Trong đó : B (T), I (A), r (m)

2. Tác dụng của lực từ lên dòng điện
2.1. Lực tác dụng của hai phần tử dòng điện
Trước khi đi đến định rluật ta cần định nghĩa phần tử dòng điện:
Phần tử dòng điện Idl của dòng điện I là tích số giữa cườngr độ dòng điện I với một
đoạn chiều dài vô cùng nhỏ dl của dây dẫn. Phương và chiều của Idl là phương và chiều của
tiếp tuyến dương của dây dẫn tại điểm đang xét.

-3-


Trước khi tìm biếu thức tương tác từ của hai dòng điện bất kỳ I và I 0 ta hãy tìm lực từ
của hai phần tử dòng điện Idl và 10 dl0 của rhai dòng điện này.
r
r
Dựng mặt phẳng P chứa phần tử Idl và r , sau đó vẽ phápr tuyến n của mặt phẳng P tại
điếm M0 (Hình
vẽ). Theo Ampere lực mà phần tử dòng điện Idl của dòng điện I tác dụng lên
r
r
phần tử I 0 dl0 của dòng I0 đặt cách nó r là dF có:
r
- Có phương vuông góc với I 0 dl0 và pháp

tuyến của mặt
r
phẳng chứa r và Idl
r
r
r
- Có chiều sao cho ba vector n , I 0 dl0 , dF

lập thành một
tam diện thuận. r
r
r
sin
θ ,sin θ 0 và tỷ
I
dl
- Độ lớn tỷ lệ với Idl , 0 0 ,
lệ nghịch với bình phương khoảng cách
giữa hai phần tử dòng điện.
r
r
Trong đó: θ là góc giữa dB và rr
r
θ 0 là góc giữa n và dl0
2.2. Lực tác dụng của
r từ trường lên phần tử dòng điện
Một phần tử dòng điện Idl đặt trong từ trường thì bị từ trường tác dụng một lực theo định luật
Ampere :
r r
r
(2.1)
dF = Idl × B
Trong đó dF có:
r r
- Phương vuông góc với mặt rphẳng chứa Idl , B
r
r
- Chiều sao cho ba vector Idl , B , dF trên lập thành một tam

diện thuận
r r
dF = IdlB sin(dl , B )
Có độ lớn:
(2.2)
2.3. Lực từ do hai rdòng điện thẳng song song tương tác lên nhau
Độ lớn :

r
r
F = I 2l × B
µµ I I l
F= 0 1 2
2π d

(2.3)

3. Hiện tượng cảm ứng điện từ
3.1. Từ thông
“Đường cảm ứng từ là một đường cong vạch ra trong từ trường sao cho tiếp tuyến tại
mọi điểm của nó trùng với phương của vectơ cảm ứng từ tại những điểm ấy, chiều của đường
cảm ứng từ là chiều của vectơ cảm ứng từ”
Xét một diện tích dS đủ nhỏ trong từ trường sao cho vectơ cảm ứng từ qua diện tích ấy có thể
coi như bằng nhau tại mọi điểm. Ta đưa ra khái niệm từ thông gứi qua diện tích dS là đại lượng có

r r

r

r

giá trị dφ = BdS , trong đó B là vectơ cảm ứng từ tại một điểm bất kì trên diện tích ấy, dS là một

-4-


r
vectơ nằm theo phương của pháp tuyến n với diện tích đang xét, có chiều là chiều dương của pháp

tuyến đó, và có độ lớn bằng chính độ lớn của diện tích đó.
r
r
r r
r
r
Gọi α là góc hợp bởi dS và B (tức là góc hợp bởi n và B ), Bn là hình chiếu của B lên
r
r
phương pháp tuyến đó, dS n là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với đường sức từ,
ta có:

dφ = BdS cos α = BndS = BdS n
(3.1)
dφ có thể dương hoặc âm phụ thuộc vào góc α nhọn hoặc tù

Số đường cảm ứng từ vẽ qua diện tích dS n vuông góc với từ trường tỉ lệ với tích BdS n . Như
vậy, số đường cảm ứng từ qua dS cũng tỉ lệ với BdS n , tức là tỉ lệ với từ thông.
Nếu muốn tính từ thông qua một diện tích S có kích thước lớn nằm trong một từ trường
bất kì, chia S thành các diện tích khá nhỏ dS sao cho trên mỗi phần tử ấy vectơ cảm ứng từ là
không đổi. Như vậy, từ thông gửi qua diện tích lớn là

r r
φ = ∫ BdS
S

(3.2)

Nếu diện tích S là phẳng nằm trong từ trường đều và vuông góc với các đường cảm ứng từ thì:

r r
φ = ∫ BdS = ∫ BdS = B ∫ dS = BS
S

S

(3.3)

S

Khi nói đến từ thông tức là muốn nói đến số đường cảm ứng từ đi qua một diện tích nào
đó, nhưng số đường cảm ứng từ thì luôn luôn dương, còn từ thông dφ là một đại lượng đại số,
r r
có thể âm hoặc dương phụ thuộc vào góc α . Dựa vào công thức trên, nếu thay đổi α , B , dS
thì từ thông qua dS cũng sẽ thay đổi. Trong hệ SI, đơn vị của cảm ứng từ B là Tesla, đơn vị
của S là m 2 , lúc đó đơn vị của từ thông là Wb.
3.2. Hiện tượng cảm ứng điện từ.
+ Thí nghiệm về hiện tượng cảm ứng điện từ (Thí nghiệm của Faraday)
Khi có chuyển động tương đối giữa nam châm và ống dây thì kim điện kế sẽ chỉ lệch khỏi
vị trí số 0, trong ống dây xuất hiện dòng điện . Dòng điện xuất hiện trong ống dây gọi là dòng

-5-


điện cảm ứng, và công làm chuyển động điện tích để tạo ra dòng điện chạy trên ống dây tính
cho một đơn vị diện tích được gọi là suất điện động cảm ứng.
Suất điện động cảm ứng này có vai trò quan trọng trong đời sống hàng ngày, của chúng ta.
Qua thí nghiệm đó, Faraday đã rút ra những kết luận tổng quát sau:
-

Sự biến đổi từ thông qua mạch kín là nguyên nhân sinh ra dòng điện cảm ứng trong
mạch đó.

-

Dòng điện cảm ứng ấy chỉ tồn tại trong thời gian từ thông gửi qua mach thay đổi.

-

Cường độ dòng điện cảm ứng tỉ lệ thuận với tốc độ biến đổi từ thông.

-

Chiều của dòng điện cảm ứng phụ thuộc vào từ thông gửi qua mạch tăng hay giảm.
Hiện tượng cảm ứng điện từ là hiện tượng khi từ thông qua một khung dây dẫn kín

biến thiên thì trong khung dây xuất hiện một dòng điện. Và dòng điện được sản sinh ra gọi là
dòng điện cảm ứng.
Dòng điện cảm ứng là dòng điện xuất hiện khi có sự biến đổi từ thông qua mạch kín.
3.3. Các định luật về hiện tượng cảm ứng điện từ:
a) Định luật cơ bản về cảm ứng điện từ: Khi có sự biến đổi từ thông qua mặt giới hạn

bởi một mạch điện kín thì trong mạch xuất hiện suất điện động cảm ứng.
Dòng điện cảm ứng chỉ tồn tại trong thời gian từ thông Φ biến thiên; nếu Φ ngừng biến
đổi thì dòng điện cảm ứng tắt.
b) Định luật Lenz: Dòng điện cảm ứng có chiều sao cho từ trường có tác dụng chống
lại nguyên nhân đã sinh ra nó.
Khi từ thông Φ qua C biến thiên do một chuyển động
nào đó thì dòng điện cảm ứng xuất hiện trong C có chiều sao
cho từ trường do dòng điện ấy sinh ra có tác dụng chống lại sự
chuyển dời nói trên.
c) Định luật Faraday: Suất điện động cảm ứng là suất
điện động sinh ra dòng điện cảm ứng trong mạch kín, nó tỉ lệ
với độ biến thiên từ thông qua mạch và tỉ lệ nghịch với
khoảng thời gian của sự biến thiên ấy (tức là tỉ lệ với tốc độ biến thiên của từ thông):

ec = −

dφ
= −φ('t ) (dấu trừ biểu diễn định luật Lenz)
dt

(3.4)

* Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong một đoạn dây dẫn chiều dài l chuyển động
với vận tốc trong từ trường đều có cảm ứng từ bằng:
e = Blv sin α ec=Blνsinα
(3.5)
r r c
r r
trong đó, v và B cùng vuông góc với đoạn dây và α là góc giữa v và B .
Sự xuất hiện của suất điện động cảm ứng trong đoạn dây đó tương đương với sự tồn tại

của một nguồn điện trên đoạn dây đó; nguồn điện này có suất
điện động bằng ec và có hai cực dương và âm được xác định
bằng quy tắc bàn tay phải (đặt bàn tay phải duỗi thẳng để cho

-6-


r

các đường cảm ứng từ B hướng vào lòng bàn tay, ngón tay cái choãi ra chỉ chiều chuyển
động của dây dẫn, khi đó chiều từ cổ tay đến ngón tay giữa là chiều đi qua nguồn tương
đương từ cực âm sang cực dương).
* Suất điện động cảm ứng trong một thanh quay đều với tốc độ góc ω xung quanh

r

trục ∆ đi qua một đầu thanh trong từ trường đều có véc tơ cảm ứng từ B / / ∆.
Trong thời gian dt thanh quét được một diện tích dS = 1 l 2ω dt

2

Từ thông biến đổi d Φ = 1 l 2ω Bdt

2

3.6)
(3.7)

Suất điện động cảm ứng e = −Φ′ = 1 l 2ω B

2

(3.8)

Hoặc cách khác
Xét một đoạn dr cách O một khoảng r, chuyển động với vận tốc v = rω .
Suất điện động do đọa dr tạo ra là: de = Bvdr = Brω dr
e

Suất điện động do cả thanh gây ra là:

l

1
e = ∫ de = ∫ Brω dr = Bωl 2
2
0
0
(3.9)

(Chiều xác định bằng quy tắc bàn tay phải)

II. CƠ SỞ TOÁN HỌC
1. Công thức tích phân
Công thức cơ bản

∫ dx = x + C

xα + 1
∫ x dx = α + 1 + C

dx
∫ x = ln x + C
n +1
1 ( ax + b )
n
∫ (ax + b) dx = a n + 1 + C
α

∫e

x

dx = e x + C

ax
+C
ln a
∫ cos x.dx = sin x + C
x
∫ a dx =

1
∫ cos(nx).dx = n sin nx + C
∫ sin x.dx = − cos x + C

Công thức mở rộng

∫ du = u + C

u α +1

∫ u du = α + 1 + C
1
1
∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C
1
1
−n
∫ u n dx = ∫ u dx = − (n − 1).u n − 1 + C
α

∫e

ax + b

1
dx = e ax + b + C
a

u
∫ a du =

au
+C
ln u
1

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C
1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

-7-


1

u'

∫ sin nx.dx = − n cos nx + C
1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

∫ u dx = ∫

dx = ∫ (1 + tg 2 x) = tgx + C

∫

du
= ln u + C
u

u'

dx = 2 u + C
u
u'
1
∫ u 2 dx = − u + C

dx = ∫ (1 + cot 2 gx) = − cot gx + C

2. Công thức Newtown - Lepnic
b

∫ f ( x) = F ( x)

b
a

= F (b ) − F ( a )

a

III. BÀI TẬP
1. Thanh dẫn chuyển động trong từ trường
Bài 1: Một dây dẫn cứng có điện trở không đáng kể, được uốn thành khung ABCD nằm trong
mặt phẳng nằm ngang, có AB và CD song song với nhau, cách nhau một khoảng l = 0,5m,

được đặt trong một từ trường đều có cảm ứng từ B=0,5T hướng

B M
vuông góc với mặt phẳng của khung như hình 1. Một thanh dẫn
A
B
MN có điện trở R=0,5Ω có thể trượt không ma sát dọc theo hai

cạnh AB và CD.
v D
C
a. Hãy tính công suất cơ học cần thiết để kéo thanh MN trượt
N
đều với vận tốc v=2m/s dọc theo các thanh AB và CD. So sánh
công suất này với công suất tỏa nhiệt trên thanh MN và nhận
xét.
b. Thanh đang trượt đều thì ngừng tác dụng lực. Sau đó thanh còn có thể trượt thêm được
đoạn đường bao nhiêu nếu khối lượng của thanh là m=5gam?
BÀI GIẢI:
Khi thanh MN chuyển động thì dòng điện cảm ứng trên thanh xuất hiện theo chiều
M→N.
Cường độ dòng điện cảm ứng này bằng:
I=

ec Bvl
=
.
R
R

Khi đó lực từ tác dụng lên thanh MN sẽ hướng ngược chiều với vận tốc v và có độ lớn:
Ft = BIl =

B 2l 2 v
.
R

Do thanh chuyển động đều nên lực kéo tác dụng lên thanh phải cân bằng với lực từ.
Vì vậy công suất cơ học (công của lực kéo) được xác định:
P = Fv = Ft v =

Thay các giá trị đã cho nhận được:

B 2l 2 v 2
.
R

P = 0,5W .

Công suất tỏa nhiệt trên thanh MN:

-8-


Pn = I 2 R =

B 2l 2 v 2
.
R

Công suất này đúng bằng công suất cơ học để kéo thanh. Như vậy toàn bộ công cơ học
sinh ra được chuyển hoàn toàn thành nhiệt (thanh chuyển động đều nên động năng không
tăng), điều đó phù hợp với định luật bảo toàn năng lượng.
b) Sau khi ngừng tác dụng lực, thanh chỉ còn chịu tác dụng của lực từ. Độ lớn trung bình
của lực này là:
F=

Ft B 2 l 2 v
=
.
2
2R

Giả sử sau đó thanh trượt được thêm đoạn đường S thì công của lực từ này là:
A = FS =

B 2l 2 v
S.
2R

Động năng của thanh ngay trước khi ngừng tác dụng lực là:
1
Wđ = mv 2 .
2

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì đến khi thanh dừng lại thì toàn bộ động năng này
được chuyển thành công của lực từ (lực cản) nên:
1 2 B 2l 2 v
mv =
S.

2
2R

Từ đó suy ra:
S=

mvR
= 0,08(m) = 8cm.
B 2l 2

Bài 2: Dọc trên hai thanh kim loại đặt song song nằm ngang, khoảng
cách giữa chúng là l, có một thanh trượt MN, khối lượng m có thể trượt
không ma sát. Các thanh được nối với một điện trở R và đặt trong một
từ trường đều có véc tơ cảm ứng từ B thẳng đứng vuông góc với mặt
phẳng khung. Biết đoạn dây MN trượt với vận tốc đầu vo như hình vẽ.
Tìm biểu thức cường độ dòng điện I chạy qua R.

N
R

vo

B
M

BÀI GIẢI:
MN chuyển động trong từ trường, cắt các đường cảm ứng từ, nên hai đầu của thanh xuất
hiện một suất điện động cảm ứng e c = Blv, do đó có dòng điện đi qua R đồng thời xuất hiện
lực từ F = IBl cản trở chuyển động nên vận tốc của MN giảm về tới 0.
ec Bvl

B 2l 2 v
=
=> F =
R
R
R

Có I =

N
B
R

Theo định luật II Newton

F

F
dv
B 2l 2 v
dv
B 2l 2
⇔
=−
=−
dt
=>
m
dt
mR

v
mR
v
t
dv
B 2l 2
B 2l 2t
v
=
−
dt
⇔
ln
v
=
−
Lấy tích phân hai vế : ∫
v0
v
mR ∫
mR
v0
0
a=−

B 2l 2t
)
mR
Blv0
Blv

B 2l 2t
= I 0 exp(−
) với I 0 =
=> I =
R
R
mR

=> v = v0 exp(−

-9-

vo
i
M


Bi 3: Mụt on dõy dn thng chiu dai 2L c un thanh mụt gúc xOy
= 2, t trong mt phng nm ngang. Mụt on dõy dn MN trt trờn
Ox, Oy va luụn tip xỳc vi Ox, Oy. Trong qua trỡnh trt, MN luụn luụn
vuụng gúc vi ng phõn giac ca gúc xOy, vn tc trt gi khụng i
va bng v. Toan bụ h thng c t trong mụt t trng u cú vộc t
cm ng t B vuụng gúc vi mt phng xOy. Gi s ban u on dõy
MN chuyn ụng t O. Cac dõy dn trong mch c lam t cựng mụt
cht, u cựng tit din va cú in tr trờn mi n v dai la r. Xac nh :
a. Cng ụ dũng in chy qua MN.
b. Nhit lng ta ra trong toan mch khi MN i ht Ox.
BI GII:

M

Sut in ụng cm ng xut hin trờn on dõy dn MN:
= B.MN.v = 2Bv2t.tan
in tr toan mch :
1 + sin
R = r (OM + ON + MN ) = 2rvt (
)
cos

Bv sin
a. Cng ụ dũng in trong mch la: I = =
R r (1 + sin )
b. Nhit lng ta ra trờn toan mch:
t
t
B 2 v 2 sin 2
1 + sin
Q = dQ = I 2 Rdt = 2
2rvt (
)dt
2
cos

r
(
1
+
sin

)

0
0
Q=

M

B H

N
y

x



OH
vt
=
cos cos

0



O

Gi H la trung im ca MN, ti thi im t
ta cú : OH = vt ; MN = 2OH.tan = 2vt tan
Cú OM = ON =

O

x

B H

N
y

0

B 2 v 3 sin 2
t 02 vi to = Lcos /v
r (1 + sin ) cos

=> Q =

B 2 vL2 sin 2 cos
r (1 + sin )

Bi 4: Một thanh dẫn điện có chiều dài l, khối lợng m, điện trở R, trợt
xuống không ma sát trên hai thanh ray điện trở không đáng kể nh trên
hình vẽ bên. Đầu dới của hai thanh đợc nối vào nhau. Mặt phẳng của hai
thanh ray hợp với mặt phẳng ngang một góc . Hệ thông đặt trong một
từ trờng đều có các đờng sức từ thẳng đứng, có chiều hớng lên, cảm ứng
từ có độ lớn là B.
a. Chứng minh rằng cuối cùng thanh vật dẫn sẽ đạt tới tốc độ không
mgR sin
đổi mà giá trị của nó bằng: v = 2 2
B l cos 2

b. Chứng minh rằng tốc độ sinh nhiệt trên thanh đúng bằng tốc độ
giảm thế năng hấp dẫn của nó.
BI GII:

- 10 -


a. Từ thông gửi qua bề mặt đợc tạo bởi khung MOOMM là:

= BS = BS cos = B.MM '.OM cos = Blx cos

Suất điện động cảm ứng xuất hiện trên thanh

N
MM là:
B

d
dx
=
= Bl cos = Bvl cos
FB
dt
dt
P
Dòng điện cảm ứng ic trong mạch kín là:

Bvl cos
ic = =
R

R

Dòng điện cảm ứng ic đợc đặt trong từ trờng B nên chịu tác dụng của
lực điện từ:


B 2 l 2 v cos
FB = ic l ì B có độ lớn FB = ic lB sin = ic lB =
R

Nh vậy thanh dây dẫn chịu tác dụng của 3 lực P, FB , N . Hợp lực tác dụng
lên phơng chuyển động của thanh dây dẫn là:
B 2 l 2 v cos 2
F = Pt FBt = mg sin
R
Ta thấy ban đầu thanh dây dẫn MM chuyển động nhanh dần, tức là v
tăng theo thời gian t và F giảm dần đến không.
Gọi vmax là giá trị lớn nhất của v đạt đợc ứng với lúc F = 0
Từ biểu thức của F ta có:
B 2 l 2 v max cos 2
mgR sin
0= 0 = mg sin
v max = 2 2
(ĐPCM)
R
B l cos 2
Khi v = vmax thì F = 0 khi đó thanh dây dẫn MM chuyển động thẳng
đều, nên
v = vmax = const
b. Xét trờng hợp khi thanh chuyển động thẳng đều v = vmax = const khi

đó F = 0
nên:
dx B 2 l 2 v cos 2 dx với dxsin = dh là vi phân độ cao
mg sin
=
dt
R
dt
dh
Vế trái của biểu thức trên là mg
là tốc độ giảm thế năng hấp dẫn của
dt
2
dx
B 2 l 2 v max
cos 2
=
v
thanh, vì
max nên vế phải của biểu thức là
dt
R
Mặt khác ta có tốc độ sinh nhiệt trên thanh là:
2

2
cos 2
dQ
2 B 2 l 2 v max

2
= Ric = R =
=
dt
R
R
R

Vậy tốc độ sinh nhiệt trên thanh MM đúng bằng tốc độ giảm thế năng
hấp dẫn của thanh đó.

- 11 -


Bài 5: Cho hệ thống như hình vẽ, thanh dẫn AB = l khối lượng m trượt thẳng
đứng trên hai ray trong một từ trường đều có các đường sức từ nằm ngang,
chiều từ trong ra ngoài. Ban đầu thanh AB được giữ nằm yên, sau đó buông
nhẹ tay cho thanh chuyển động xuống phía dưới.
a) Mô tả hiện tượng xảy ra. Xác định vận tốc cực đại của thanh AB?
b) Xác định lại vận tốc cực đại của thanh AB trong trường hợp các
thanh ray hợp với mặt phẳng ngang một góc α .
c) Vẫn hệ thống trên, thay điện trở R bằng tụ điện có điện dung C. Bỏ
qua điện trở các dây dẫn. Tính gia tốc chuyển động của thanh AB và cho biết sự biến đổi năng
lượng trong mạch.
BÀI GIẢI:
ur

a) Hiện tượng: Ban đầu, do tác dụng của trọng lực P , thanh AB sẽ trượt xuống. Lúc
đó, từ thông qua mạch kín giới hạn bởi điện trở R và thanh AB sẽ tăng, xuất hiện suất điện
động cảm ứng và dòng điện cảm ứng.

uu
r
- Thanh AB có dòng điện chạy qua đặt trong từ trường sẽ chịu tác dụng của lực từ Ft . Để
chống lại sự biến thiên của từ thông qua mạch thì lực từ sẽ có chiều hướng lên.
- Khi thanh AB rơi, vận tốc thanh tăng dần, do đó EC , I C , Ft có độ lớn tăng dần. Đến một lúc
nào đó, lực từ cân bằng với trọng lực, khi đó thanh AB sẽ rơi đều.
- Dùng quy tắc bàn tay phải, xác định được chiều dòng cảm ứng từ B đến A.
IC =

EC Bvl
=
R
R

mgR

vmax = 2 2


Bl
Blv
= mg ⇒ 
Khi AB chuyển động đều: Ft = P ⇒ I C Bl = mg ⇔
mg
R
I =
 C Bl
2 2

b) Trong trường hợp thanh hợp với mặt phẳng ngang góc α : hiện tượng xảy ra tương

tự, chỉ khác hướng vận tốc thanh có phương song song với hai thanh ray, hợp với phương véc
tơ cảm ứng từ góc α .
mgR

vmax = 2 2

E
Blv sin α

B l sin α
⇒
Khi đó dòng điện cảm ứng I C = C =
R
R
 I = mg
 C Bl

NX: như vậy, trong cả 2 trường hợp trên thì dòng điện cảm ứng có độ lớn
không đổi.
c) - Xét tại thời điểm t, thanh AB đang chuyển động xuống dưới dưới
tác dụng của trọng lực và lực từ với vận tốc v, gia tốc chuyển động là a.
- Suất điện động cảm ứng trên thanh AB: eC = Blv
- Hiệu điện thế hai đầu tụ điện: u = eC = Blv , khi đó tụ được tích điện: q = u.C
dq
du
dv
=C
= CBl
= CBla
dt

dt
dt
-Lực từ tác dụng lên thanh AB là: F = iBl = CB 2l 2 a .

Suy ra cường độ dòng điện chạy trong mạch: i =

Chiều của
cường độ dòng điện cảm ứng được xác định theo quy tắc bàn tay phải, chiều của
uu
r
lực từ Ft được xác định theo quy tắc bàn tay trái.
⇒ phương trình chuyển động của thanh AB:

- 12 -


P − F = ma ⇔ mg − CB 2l 2 a = ma ⇒ a =

mg
=const
m + CB 2l 2

Vậy, thanh rơi xuống nhanh dần đều. Khi thanh đi xuống, thế năng trọng lực của thanh
AB biến thành động năng của thanh AB và năng lượng điện trường tích lũy trong tụ điện.
Bài 6: Một khung dây dẫn mảnh hình vuông cạnh a đặt trên mặt bàn nằm ngang. Trên khung
có đặt một thanh khối lượng m song song với cạnh hình vuông và cách cạnh hình vuông đoạn
b = a/4. Khung và thanh được làm bằng cùng một dây dẫn có mật độ điện trở là ρ (theo chiều
r
dài). Tại thời điểm t người ta bật một từ trường có B vuông góc với mặt phẳng của khung.
Thanh chuyển động với vận tốc bao nhiêu biết rằng sau thời gian thiết lập thì từ trường có giá

trị ổn định là B0. Bỏ qua sự dịch chuyển của thanh trong giai đoạn từ trường tăng từ 0 đến B 0.
BÀI GIẢI:
Chia khung thành 2 mạch kín hình chữ nhật. Gọi suất điện động cảm ứng trong hình chữ nhật
là e1 , e2 và dòng điện trên 2 cạnh của hình đối diện của hình vuông là i1 , i2 như hình vẽ:
e1 = −

d Φ1
a 2 dB
=− .
;
dt
4 dt

e2 = −

d Φ2
3a 2 dB
=−
.
dt
4 dt

Theo định luật Ôm:
i1 =

e1 + u AB
1,5a ρ

i2 =

e2 − u AB
2,5a ρ

i2 = i1 + i3
u AB = i3a ρ
5
3

Giải hệ phương trình trên ta tìm được: e2 − e1 =

31
i3a ρ
6

a 2 dB 31
2a dB
= i3a ρ ⇒ i3 =
3 dt
6
31ρ dt

Lực từ tác dụng lên thanh:
F = i3 Ba =

2a 2 BdB
31ρ dt

Theo định lý biến thiên xung lượng:
2a 2 BdB
F .dt =

= m.dv
31ρ dt

Lấy tích phân 2 vế:

- 13 -


B0

∫
0

v

2a 2 BdB
= m.∫ dv
31ρ dt
0

⇒v=

a 2 B02
31ρ m

Bài 7: Xét từ trường gây ra bởi dòng điện I không đổi chạy trong dây dẫn thẳng dài vô hạn.
r

Một thanh dẫn MN có chiều dài l chuyển động tịnh tiến với vận tốc v. Biết v vuông góc với
dây dẫn và MN chuyển động trong mặt phẳng chứa dây dẫn thẳng dài vô hạn. Tìm biểu thức

độ lớn suất điện động trên MN khi nó cách dây dẫn thẳng dài một đoạn là x.
BÀI GIẢI:
Thời điểm thanh dẫn cách dây dẫn thẳng dài một đoạn x thì cảm ứng từ trên thanh dẫn là:
B = 2.10−7

I
x

Trong khoảng thời gian ∆t thanh MN quét được diện tích
∆S = l .(v.∆t )

M
(+)

I

Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh MN:
∆Φ B.∆S
I (l .v.∆t )
e=
=
= 2.10−7 .
∆t
∆t
x
∆t
Il v
⇒ e = 2.10−7
x

u
r
B

N
(-)

r
v

Bài 8: Xét từ trường gây ra bởi dòng điện I không đổi chạy trong dây dẫn thẳng dài vô hạn.
Một thanh dẫn MN chiều dài l có vị trí vuông góc với dây. Cho thanh MN chuyển động tịnh
r

tiến với vận tốc v. Biết v song song với dây dẫn và MN chuyển động trong mặt phẳng chứa
dây dẫn thẳng dài vô hạn. Tìm biểu thức độ lớn suất điện động trên MN biết đầu M cách dây
thẳng dài một đoạn r.
BÀI GIẢI:
Xét một phần tử trên thanh MN có khoảng cách đến dây dẫn thẳng dài là x và có chiều dài dx.
Cảm ứng từ trên đoạn dây này là: B = 2.10−7.

r
v

I
x
I
x

−7

v.dx
Suất điện động trên đoạn dây này là: de = B.v.dx = 2.10

Suất điện động trên cả thanh MN là:

- 14 -

I

M
r
x

N

dx

u
r
B


e = ∫ de = 2.10−7 Iv
e = 2.10−7 Iv.ln

r +l

∫
r

dx
x

r +l
r

Bài 9: Một thanh có chiều dài L chuyển động với tốc độ
i
không đổi v dọc theo hai thanh ray dẫn điện nằm ngang.
Hệ thống này được đặt trong từ trường của một dòng điện a
thẳng dài, song song với thanh ray cách thanh ray một
đoạn a, có cường độ dòng điện I chạy qua. Cho v =5 m/s, L
v
a = 10 mm, L = 10 cm và I = 100 A.
a. Tính suất điện động cảm ứng trên thanh.
b. Tính cường độ dòng điện cảm ứng trong mạch. Biết rằng điện trở của thanh là 0,4 Ω
và điện trở của hai thanh ray và thanh ngang nối hai đầu thanh ray bên phải là không đáng kể.
c. Tính tốc độ sinh nhiệt trong thanh.
d. Phải tác dụng lên thanh một lực bằng bao nhiêu để duy trì chuyển động của nó.
e. Tính tốc độ cung cấp công từ bên ngoài lên thanh.
BÀI GIẢI:
dΦ
dt
Ta đi tính dΦ = BdS = Bdrdx với r là khoảng cách từ phần tử dS tới dòng điện i và x là khoảng
µi
cách từ dS đến cạch nối hai đầu thanh ray, còn B = 0
2πr
a+L
a+L
a+L

µ 0 i dr
µi
µ i a+L
= dx 0 ln(r ) = 0 ln
dx
Vậy dΦ = dx ∫ Bdr = dx ∫
2π
2π
a
a
a 2π r
a
Do thanh L chuyển động với tốc độ không đổi v, nên:
µ i a+L
vdt
dx = vdt ⇒ dΦ = 0 ln
2π
a
µ iv a + L
dΦ
Vậy ξ = −
= − 0 ln
Thay số vào ta được độ lớn của ξ = 0,24 mV.
dt
2π
a
ξ
b. Dòng điện cảm ứng trong mạch có cường độ ic = = 0,6 mA.
R
dQ

= Ric2 = 0,1437.10 −6 W.
c. Tốc độ sinh nhiệt trên thanh là:
dt

 
d. Lực từ tác dụng lên dòng điện cảm ứng ic trên thanh là F = ic dr ∧ B


Vì dr vuông góc với B nên suy ra
a+ L
µ ii dr µ 0 iic a + L
µ idr
⇒ F = ∫ dF = ∫ 0 c
=
ln
dF = ic drB = ic 0
2π r
2π
a
2πr
a
-9
Thay số vào ta được F=28,75.10 N.
Vậy để duy trì chuyển động cho thanh ta phải tác dụng lên thanh một ngoại lực bằng lực từ tác
dụng lên thanh F’ = 28,75.10-9 N.

a. Suất điện động cảm ứng ξ = −

- 15 -

e. Tốc độ cung cấp công từ bên ngoài chính là công suất của ngoại lực F’
dW Fdx
=
= F .v = 0,1437.10 −6 W .
dt
dt
Bài 10: Trong cùng một mặt phẳng nằm ngang với dòng điện thẳng dài vô hạn có cường độ I
= 20A người ta đặt hai thanh trượt kim loại song song với dòng điện và thanh gần hơn cách
dòng điện một khoảng x0 = 1cm. Hai thanh trượt
I
cách nhau l = 2cm. Trên hai thanh trượt người ta lồng
x0
vào một đoạn dây dẫn MN dài l .Cho dây dẫn trượt
M
P
tịnh tiến trên các thanh với vận tốc không đổi v =
3m/s theo hướng song song với các thanh trượt.

a. Tìm hiệu điện thế xuất hiện giữa hai đầu
v
dây dẫn UMN.
b. Nối hai đầu P, Q của hai thanh trượt với
N
nhau bằng điện trở R = 0,2Ω để tạo thành mạch kín. Q
Xác định độ lớn và điểm đặt lực kéo tác dụng lên
MN để nó chuyển động tịnh tiến đều như trên. Bỏ
qua ma sát.
BÀI GIẢI:
ur

Dòng I sinh ra từ trường có cảm ứng từ B như hình vẽ
Vì đoạn dây MN chuyển động trong từ trường nên trên
nó xuất hiện suất điện động cảm ứng.Sau thời gian t kể
từ lúc bắt đầu chuyển động,từ thông quét bởi đoạn dài
dx của dây (cách dòng I khoảng x) bàng:
µ I
dΦ = Bds = 0 vtdx
2πx
Từ thông quét bởi cả đoạn dây MN bằng:
x +l
µ 0 Ivt  x 0 + l 

ln
Φ = ∫ dφ =
2
π
x
 0 
x

I
P

X

d
x

l

0

Q

N vt

0

Suất điện động cảm ứng có độ lớn: εc = /Φ’/ =

µ 0 Iv  x 0 + l 

ln
2π
x
0



Và cực của nguồn có dấu: N âm, M dương.
Mạch hở
 x +l
µ 0 Iv  x0 + l 
 =2.10-7Iv ln 0

ln
UMN = εc =
2π  x0 
 x0 

Thay số được UMN = 1,32.10-5 (V)
Mạch kín .
Dòng điện qua đoạn dây MN có cường độ :
Ic = εc / R = 6,6.10-5 (A)
*Lực từ tác dụng lên đoạn dài dx của
dây dẫn MN :
µ I
dF = BIcdx = 0 Icdx
2πx
X +l
µ0 I
X +l
I c ln 0
Các dF cùng hướng => F = ∫ dF =
2π
X0
X
0

0

- 16 -

X0

M

+ B

 x0 + l 
 = 2,9.10-10 (N)
 x0 

Hay F = 2.10-7I.Ic ln




Xác định điểm đặt của F .Giả sử G là điểm đặt của F . GM = XG
X 0 +l

µ I
XGF = ∫ XdF = 0 Icl
2π
X0

l
=> XG = ln X 0 + l = 1,82 (cm)
X0

Suy ra G cách đầu M khoảng 0,82 cm.




Vậy lực kéo F ' cân bằng với lực từ F F’= 2,9.10-10N và đặt tại G
2. Thanh dẫn chuyển động quay quanh trục cố định trong từ trường
Bài 1: Xét thanh MN quay với tốc độ góc ω quanh trục cố định vuông góc với thanh đi qua
r

điểm M. Chiều dài thanh là l . Vùng từ trường đều có B vuông góc với thanh.Viết biểu thức
độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh MN.
BÀI GIẢI:
Xét trong khoảng thời gian ∆t thanh quét được diện tích ∆S =

πl 2
l 2ω.∆t
(ω.∆t ) =
2π
2

Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh:
∆Φ B.∆S B l 2ω.∆t
e=
=
=
∆t
∆t
∆t 2

N

Bω l 2
⇒e=
2

M

Bài 2: Xét thanh MN quay với tốc độ góc ω quanh trục cố định vuông góc với thanh đi qua
r

điểm P trên thanh. Cho PM = l 1 , PN = l 2 . Vùng từ trường đều có B vuông góc với thanh. Tìm
độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh.
BÀI GIẢI:
Theo bài toán 1 thì trên thanh PM có suất điện động e1 =
Trên thanh PN có suất điện động e2 =

Bωl 12
2

Bωl 22
2

Dễ thấy e1 , e2 mắc xung đối nên trên thanh MN có suất điện động e = e1 − e2
e=

Bω 2 2
l1 −l 2
2

Xét trong khoảng thời gian ∆t thanh quét được diện tích ∆S =

- 17 -

πl 2
l 2ω.∆t
(ω.∆t ) =
2π
2

Biểu thức độ lớn suất điện động cảm ứng trên thanh:
e=

∆Φ B.∆S B l 2ω.∆t
=
=
∆t
∆t
∆t 2

⇒e=

Bω l 2
2

Bàiur3: Một vòng dây dẫn tròn đường kính d được đặt trong từ trường đều có véc tơ cảm ứng
tứ B có phương song song với trục của vòng dây. Hai thanh kim loại mảnh có một đầu gắn
với trục đi qua tâm O của vòng dây và vuông góc với mặt phẳng vòng dây, tiếp xúc điện với
vòng dây và tiếp xúc nhau tại O.
a) Ban đầu 2 thanh đặt sát vào nhau, sau đó một thanh
được giữ đứng yên, cho thanh còn lại quay đều xung quanh trục
với vận tốc góc ω . Tính cường độ dòng điện qua hai thanh và
qua vòng dây sau khoảng thời gian t. Cho biết điện trở của mỗi
đơn vị dài của thanh kim loại và của vòng dây dẫn là ro .
b) Bây giờ cho cả hai thanh cùng quay đều xung quanh
trục quay qua O với vận tốc góc lần lượt là ω1 > ω2 . Tính cường
độ dòng điện qua mạch chính. Xét hai trường hợp:
+ Hai thanh quay cùng chiều.
+ Hai thanh quay ngược chiều.
BÀI GIẢI:

a) Khi thanh OB quay cắt các đường cảm ứng từ, trong thanh OB xuất hiện một suất
điện động cảm ứng:
BdS Bω d 2
ec = −

dt

=

8

Khi đó thanh OB tương đương với một nguồn điện có điện trở trong r = ro d
- Mạch ngoài gồm hai nhánh mắc song song có:
R R
R= 1 2 =
R1 + R2

ro2ωt

d
d
(π d − ω t ) r ωtd
ωt
2
2 = o
(π − )
roπ d
2π
2

Bω d 2
e
- Khi đó dòng điện chạy trong mạch chính: I = c = r ωtd 8 ωt
R+r
o
(π − ) + ro d
2π
2
I .R2
ωt
= I (1 −
)
Và dòng điện chạy qua mỗi nhánh của vòng dây: I1 =
R1 + R2
2π
ωt
I 2 = I − I1 =
I
2π

b) Khi cả hai thanh đều quay, trên cả hai thanh đều xuất hiện suất điện động cảm ứng,
mỗi thanh tương đương với một nguồn điện.
* Khi hai thanh quay cùng chiều: hai nguồn mắc xung đối. Cường độ dòng điện trong
e −e
BR 2 (ω1 − ω2 )
mạch chính: I = c1 c 2 =
R+r

2( R + r )

*Khi hai thanh quay ngược chiều, hai nguồn mắc nối tiếp:

- 18 -


I=

ec1 + ec 2 BR 2 (1 + 2 )
=
R+r
2( R + r )

Bi 4: Một sợi dây tiết diện ngang 1,2 mm2 và điện trở suất là 1,7.10-8 m
đợc uốn thành một cung tròn có tâm tại O, bán kính r = 24 cm nh hình vẽ
bên. Một đoạn dây thẳng khác OP cũng cùng loại nh trên
, có thể quay quanh điểm O và trợt có tiếp xúc với cung
P
tròn tại P. Sau cùng, một đoạn dây thẳng khác OQ cũng

cùng loại trên, hợp với hai đoạn dây trên thành một mạch

điện kín. Toàn bộ hệ nói trên đặt trong một từ trờng B
Q
O
= 0,15 T, hớng từ trong ra ngoài vuông góc với cung tròn.
Đoạn dây thẳng OP thoạt đầu nằm yên tại vị trí = 0
và nhận một gia tốc góc bằng 12 rad/s2.
a. Tính điện trở của mạch kín OPQO theo .
b. Tính từ thông qua mạch theo .
c. Với giá trị nào của thì dòng điện cảm ứng trong mạch đạt cực

đại.
d. Tính giá trị dòng điện cảm ứng cực đại trong mạch.
BI GII:
a. Độ dài của cung PQ là: PQ = r. Trong đó tính bằng rad
Độ dài của mạch kín OPQO là:
l = OP + OQ + PQ = r + r + r = (2 + )r.
Vậy điện trở của mạch kính OPQO là:
l
(2 + )r
R= =
S
S
Thay số ta đợc R = 3,4.10-3(2 + ) () = 3,4. (2 + ) m.
b. Từ thông qua mạch kín OPQO là:
r 2
(0,24) 2
= BS = B
= 0,15
= 4,32.10 3. (Wb) = 4,32. mW
2
2
c. Suất điện động cảm ứng trên mạch kính
d
d
= 4,32.10 3
= 4,32.10 3 = 4,32.10 3 t
dt
dt
Trong đó , tơng ứng là vận tốc góc và gia tốc góc của thanh OP.
Dòng điện cảm ứng ic trong khung là:

4,32.10 3 t
1,271t
ic = =
=
3
R 3,4.10 (2 + )
2 +

=

1
2
= t 2 t =
2

Thay vào biểu thức của ic ta đợc

ic = 1,271. 2
2 +
Với

- 19 -


Để tìm giá trị cực đại icmax của ic ta phả tính
dic
+ 2
=
d 2( + 2) 2

Khảo sát ic theo ta có bảng biến thiên

dic
d

Ta có



0
2

2

dic
d

+

0

-

I

Vậy khi = 2 rad thì ic đạt giá trị cực đại.
d. Cờng độ dòng điện cảm ứng cực đại trong mạch
Thay = 2 rad vào biểu thức của dòng điện cảm ứng ta đợc
icMax = 1,271. 2

1,271 2.12.2

=
= 2,2 A
(2 + 2)
2 +

Bi 5: Mụt thanh kim loi cú chiu dai l nm ngang, cú th quay quanh
trc thng ng i qua mụt u. u kia ca thanh c ta trờn mụt
vũng dõy dn nm ngang cú ban kớnh l. Vũng dõy c ni vi trc quay
(dn in) qua mụt in tr thun R. H c t trong mụt t trng u
hng thng ng xung di. Hi lc cn thit phi tac dng vao thanh
nú quay vi vn tc gúc khụng i . B qua in tr ca vũng, trc
quay, cac dõy ni va ma sat. p dng s: B = 0,8T, l = 0,5m, = 10rad/s.



B
o

l

R

BI GII:
Xột khi thanh quay c mụt gúc nh d, din tớch nú quột c la: dS =

l2
d
2

Sut in ụng cm ng xut hin trờn thanh:
d
dS
Bl 2 d
Bl 2
e=

dt

= B

dt

=

2 dt

=

2

Cụng sut ta nhit trờn R (chớnh la cụng sut ca mụmen cn chuyn ụng quay ca
e 2 B 2 l 4 2
thanh): P = =
R

4R

thanh quay u thỡ mụmen lc tac dng lờn thanh phi bng mụmen cn:

M = Mc
d
= M c
Mt khac: P = M c
dt
P B l
Suy ra M = =

4R
2 4

- 20 -


Lực cần thiết tác dụng lên thanh là nhỏ nhất khi lực đó được đặt vào đầu A của thanh
(OA = l ):
M B 2 l 3ω 0,2
Fmin =

l

=

4R

=

R

Bài 6: Một thanh kim loại OA khối lượng m, chiều dài a có thể quay tự do quanh trục thẳng

đứng Oz. Đầu A của thanh tựa trên một vòng kim loại hình tròn, tâm O, bán kính a, đặt cố
định nằm ngang. Đầu O của thanh và một điểm của vòng kim loại được nối với điện trở thuần
R, tụ điện C, khoá K và nguồn điện E tạo thành mạch điện
z
u
r
như hình vẽ. Hệ thống được đặt trong
một
từ
trường
đều,
ur
không đổi có véc tơ cảm ứng từ B hướng thẳng đứng lên B
A
trên. Bỏ qua điện trở của OA, điểm tiếp xúc, vòng dây và của
nguồn điện. Bỏ qua hiện tượng tự cảm, mọi ma sát và lực cản
O
không khí. Ban đầu K mở, tụ điện C chưa tích điện.Tại thời
R
điểm t = 0 đóng khoá K.
a. Thiết lập hệ thức giữa tốc độ góc ω của thanh OA
C
và điện tích q của tụ điện sau khi đóng khoá K.
b. Tìm biểu thức ω và q theo thời gian t. Cho biết
mômen quán tính của thanh OA đối với trục quay Oz bằng

K
E

1

dy
m.a 2 . Cho nghiệm của phương trình vi phân
+ ay = d
3
dx
d
với y = y(x) (d và a là hằng số) có dạng y = A.e − ax + .
a

BÀI GIẢI:
a. Sau khi đóng K có dòng điện trong mạch tích điện cho tụ. Khi đó thanh OA chị tác dụng
của lực điện từ, làm thanh quay quanh trục Oz. Khi thanh quay, trên thanh suất hiện suất điện
động cảm ứng. Gọi i là dòng điện chạy qua thanh OA. Lực điện từ dF tác dụng lên đoạn dr
của thanh là Bidr.
Mômen lực từ tác dụng lên thanh là:
a

M = ∫ Bir.dr=iB
0

a2
2

Phương trình chuyển động quay của thanh:
I

dω
a2
1
dω

a2
= iB ⇒ ma 2
= iB
dt
2
3
dt
2

Suy ra: d ω =

3B
dq
2m

(1)

- 21 -


Tích phân hai vế phương trình (1) và chú ý tại t = 0 thì ω = 0 và q = 0 được: ω =
b. Suất điện động cảm ứng xuất hiện trên thanh OA:
EC = −

dφ
Ba 2ω
Suy ra EC =
dt
2

Áp dụng định luật Ôm: E – EC = uC + Ri
Suy ra: E −

Ba 2ω q
dq
= +R
2
C
dt

Từ (2) và (3) :

Đặt

t0 =

(3)

dq
q
3 B 2 a 2C
E
+
(1 +
)=
dt RC
4m
R

RC

E
3B 2 a 2C và I 0 =
1+
R
4m

Từ (4) ta tìm được: q = Q e
0

−

t
t0

(4)

(5)

+ I 0t0

Biết t = 0, q = 0 suy ra Q0 = - I0t0
t
− 

t0
Vậy ta có: q = I 0t0 1 − e ÷
÷


t

−
3BI 0t0 
t0
ω
=
1
−
e

Theo (2)
2m 


÷
÷


3. Khung dây chuyển động trong từ trường

Bài 1: Một khung dây thép hình chữ nhật
có kích thước là l và w được thả ra từ
trạng thái nghỉ từ thời điểm t = 0 ở ngay
phía trên có từ trường B 0 được cho như
hình vẽ 3.
Vòng dây có điện trở R, hệ số tự cảm
L và khối lượng m. Xét khung dây trong
suốt khoảng thời gian mà cạnh trên của
khung ở trong vùng không có từ trường.

- 22 -

3B
2mq

(2)


Hình 3
a) Giả sử rằng độ tự cảm của vòng có thể bỏ qua nhưng điện trở của vòng thì không. Tìm
biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian
b) Giả sử rằng điện trở của vòng có thể bỏ qua nhưng độ tự cảm thì không. Tìm biểu
thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian
BÀI GIẢI:
Nếu khung dây có điện trở R và độ tự cảm L thì trong khung có hai suất điện động. Suất
điện động sinh ra do cạnh dưới của khung chuyển động cắt các đường sức từ, và suất điện
động tự cảm trong khung do dòng điện biến thiên
Trong trường hợp này ta viết ĐL Ôm cho toàn mạch như sau:

Blv − L
Phương trình động lực học: mg − BIl = m

dI
= IR (1)
dt
dv
(2)
dt

a) Xét trường hợp bỏ qua độ từ cảm của vòng dây còn điện trở của vòng thì không
thể bỏ qua

Blv
B 2l 2
dv
Ta viết lại pt (1): Blv = IR ⇒ I=
thế vào (2) ta được: mg −
v=m
R
R
dt
− Rm d 
B 2l 2 
B 2l 2
v ÷= g −
v
Biến đổi PT trên về dạng: 2 2
g −
B l dt 
Rm 
Rm
Giải PT vi phân trên bằng phương pháp phân li biến số ta được:


B 2l 2 
dg −
v÷
2 2
Rm

 = − B l dt

B 2l 2
Rm
g−
v
Rm
 − B 2 l 2t  
mgR 
Lấy tích phân hai vế ta được kết quả: v = 2 2 1 − exp 
÷
Bl 
 Rm  
 − B 2l 2t  
Blv mg 
=
Cường độ dòng điện trong khung cho bởi: I=
1 − exp 
÷
R
Bl 
 Rm  
b) Xét trường hợp bỏ qua điện trở của vòng dây còn độ tự cảm của vòng thì không
thể bỏ qua

- 23 -


Nếu khung không có điện trở thì vế phải của pt (1) bằng không. Do vậy ta thu được:

Blv = L

dI
dt

dI
d 2v
Đạo hàm hai vế pt (2) ta được: − Bl
=m 2
dt
dt
Kết hợp hai phương trình trên ta có:

d 2 v B 2l 2
+
v=0
dt 2 mL

PT này cho thấy vận tốc khung biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc

ω=

B 2l 2
mL
Biểu thức của vận tốc có dạng v = A cos ( ωt + ϕ )
Ta giải điều kiện ban đầu. Tại t = 0 thì I = 0 và v = 0. Vì I = 0 nên từ (2) suy ra

 A=

dv
=g
dt

g
π
;ϕ = −
ω
2

Vậy biểu thức của vận tốc và dòng điện trong khung dây là:

v=
I=

g
π

cos  ωt − ÷
ω
2


Bl g  
π   mg  
π 
sin  ωt − ÷+ 1 =
sin  ωt − ÷+ 1
2 

L ω  
2   Bl  
2 

Bài 2: Một khung dây dẫn phẳng, hình vuông cạnh a, khối lượng m, không biến dạng, điện trở
R. Khung được ném ngang từ độ cao h 0 với vận tốc v0 (Hình 4) trong vùng có từ trường với
ur
cảm ứng từ B có hướng không đổi, độ lớn phụ thuộc vào độ cao h theo quy luật B = B0 + k .h ,
với k là hằng số, k > 0 .
ur

Lúc ném, mặt phẳng khung thẳng đứng vuông góc với B và
khung không quay trong suốt quá trình chuyển động.

a

a. Tính tốc độ cực đại mà khung đạt được.
b. Khi khung đang chuyển động với tốc độ cực đại và
cạnh dưới của khung cách mặt đất một đoạn h 1 thì mối hàn tại
một đỉnh của khung bị bung ra (khung hở). Bỏ qua mọi lực
cản. Xác định hướng của vận tốc của khung ngay trước khi chạm đất.
BÀI GIẢI:

- 24 -

u
r
B

+

u
u

r
v0


a. Tc ụ cc i:
- Chiu dũng in cm ng (hỡnh v).

Ic

- Biu din ỳng lc t tac dng lờn 4 cnh.
- Lc t tng hp F cú: phng thng ng, hng lờn.
F tng theo vz n lỳc F = P khung s chuyn ụng u vi
vn tc vzmax trờn phng thng ng.
Khi khung C u, th nng gim, ụng nng khụng i,
xột trong khong thi gian t , ụ gim th nng ỳng bng
nhit lng ta ra trờn khung.

uu
r
F3

u
u
r
F1

u
r
B
+

uu
r
F4

uu
r
F2

mgvz max t = RI 2 t
I=

Ec
R

=

a 2 B a 2 k z a 2 kvz
=
=
Rt
Rt
R
2

ka 2 vz
mgR
mgvzmax t =
ữ Rt vzmax = k 2 a 4
R

Trờn phng ngang khung C u vx = v0
2
2
Tc ụ cc i ca khung khi ú: v = vzm
ax + v0
2

mgR
v = 2 4 ữ + v02
k a

b. Hng vn tc ngay trc khi chm t:
- Khi chm t, vn tc theo phng thng ng
2
v '2z = vzm
ax + 2 gh1

Gúc hp bi vn tc va phng ngang la:
2

mgR
2 4 ữ + 2 gh1
'
vz
k a
tan = =
v0
v0

Bi 3: Mụt khung dõy dn OABC nm trong mt phng Oxy cú cnh b=2cm. T trng B
vuụng gúc vi mt phng Oxy cú chiu hng t trong ra ngoai va cú ụ ln cho bi cụng
thc B = 4t2y. Trong ú B tớnh bng T, tớnh tớnh bng s va y tớnh bng m.
a. Xac nh sut in ụng cm ng trờn khung dõy ti thi im t = 2,5 s.
b. Xac nh chiu ca dũng cm ng chy trong khung dõy ti y
thi im t=2,5s.
BI GII:
a. Từ thông gửi qua bề mặt bao bởi khung dây
hình chữ nhật có cạnh là b = 2 cm có chiều cao
là dy là: d = BdS = Bbdy = 4t 2 bydy.
Vì B = 4t2y là hàm của hai biến t và y. Ta lấy
tích phân theo biến y
b

y2
= 4t bydy = 4t b ydy = 4t b( )
2
0
2

2

b

= 2b 3t 2

2

0

Suất điện động cảm ứng trên khung dây là:

- 25 -

B

A


O

C

x