Các phương pháp tính và lập trình cho phương trình bậc 1,2,3,4,...n và hệ phương trình bậc n

Các phương pháp tính và lập trình cho bài
toán: giải phương trình bậc n, giải hệ phương
trình


1.Phương trình bậc n.
*Phương trình bậc 1.
Phương trình có dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho được gọi là phương
trình bậc nhất một ẩn.
Tổng quát phương trình ax+b=0 được giải như sau:
+Nếu a và b đồng thời bằng 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
+Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm.
+Nếu a khác 0 thì phương trình luôn có một nghiệm x = -b/a.


Phương pháp lập trình:


*Phương trình bậc 2:
Phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
Cách giải phương trình bậc 2 như sau:
+Nếu a khác 0 thì tính Delta = b² – 4ac:
-Nếu Delta < 0 thì phương trình vô nghiệm.
-Nếu Delta = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b/2a.
-Nếu Delta > 0 thì sẽ có 2 nghiệm phân biệt: x1 = (-b + delta)/2a và x2 = (-b
-Delta)/2a;
+Nếu a = 0 thì phương trình trở thành phương trình bậc 1.


Phương pháp lập trình:

*Phương trình bậc 3:
Phương trình bậc 3 có dạng
Cách giải phương trình bậc 3:
+Phương pháp phân tích nhân tử:Nếu phương trình bậc ba ax^3 + bx^2 + cx + d
= 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó có thể phân tích ax^3 + bx^2 +
cx + d = (x − r)[ax^2 + (b + ar)x + c + br + ar^2 ]. Từ đó ta đưa về giải một
phương trình bậc hai, có nghiệm là {−b − ra ± √( b^2 − 4ac − 2abr −
3a^2r^2 )}/2a.
+Phương pháp Cardano: Xem thêm trong tài liệu tham khảo.
+Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic: Xem thêm trong tài liệu tham
khảo


+Cách giải tổng quát:


Phương pháp lập trình:


*Phương trình bậc 4:
Phương trình dạng ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
Cách giải:
+Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể (bậc 4 trùng
phương)
+Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
+Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
+Phương pháp đồ thị.

Phương pháp lập trình(đoán giá trị ban đầu – cho giá trị nghiệm gần

đúng):


*Phương trình bậc 4 trùng phương:
Phương trình có dạng sau: a^4 + b^2 + c = 0 (a≠0)
Cách giải phương trình bậc 4 trùng phương:
+ Biến đổi thành phương trình bậc 2 tương đương như sau:
-Quy nó về phương trình bậc 2 với t = x2
-Ta tiến hành chọn các nghiệm t thỏa mãn tính chất t ≥0.
-Với nghiệm t = 0 thì ta suy ra phương trình có nghiệm x = 0
-Với nghiệm t > 0 thì ta suy ra phương trình có hai nghiệm x = ± sqrt(t)


Phương pháp lập trình:



*Phương trình bậc n:
Dạng phương trình: ax^n+bx^(n-1)+…=0
Với các dạng mũ >4 không có công thức tổng quát (không giải được bằng căn
thức).


Giải thuật tham khảo:

+Thuật toán: phương pháp Newton, hay còn gọi là phương pháp lặp nghiệm.
Công thức lặp nghiệm như sau: x = x - f(x)/f '(x)
Đầu tiên, khởi tạo 1 giá trị cho biến x, rồi lặp đi lặp lại. Nếu PT có nghiệm thì x sẽ hội tụ

đến Xo(nghiệm), còn nếu không có nghiệm (thực) thì sẽ phân kỳ.
Chứng minh công thức:
f '(xo)=lim((f(x)-f(xo))/(x-xo))
=> f '(xo)---> (f(x)-f(xo)/(x-xo))
Nếu xo là nghiệm thì f(xo)=0
=> f '(xo)---> f(x)/(x-xo)
=> f(x)/f '(xo) ---> x-xo
=> x - f(x)/f '(xo) ---> xo


2.Hệ phương trình
*Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng:
Phương pháp giải:
+Cách 1: Phương pháp thế
+Cách 2: Phương pháp cộng đại số
+Cách 3: Phương pháp dùng định thức (Phương pháp Cramer)



Với phương pháp Cramer xảy ra 2 trường hợp:
+ Nếu định thức D = 0 thì phương trình hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Nếu
Dx = Dy = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. Ngược lại thì phương trình trên
vô nghiệm.
+ Nếu định thức D ≠ 0 thì hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất với x =
Dx/D và y = Dy/D.


Phương pháp lập trình:

*Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn
Dạng phương trình:

Cách giải tương tự với HPT 2 ẩn dùng phương pháp Cramer.


Phương pháp lập trình:


Kết luận: Cách giải hệ phương trình n ẩn cũng dùng phương pháp
Cramer tăng số lượng biến, hệ thức tương ứng theo công thức.