HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

CHUN ĐỀ
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN
TÍCH PHÂN HÀM ẨN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN”
MỤC LỤC
PHẦN 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
1.2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1.3. BẢNG CƠNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP
1.4. ĐỊNH NGHĨA
1.5. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1.6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.6.1. Phương pháp đổi biến số
1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần
1.7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1.7.1. Tính diện tích hình phẳng
1.7.2. Thể tích vật thể
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Phương pháp giải
2. Bài tập áp dụng
3. Bài tập tự luyện
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Phương pháp giải
2. Bài tập áp dụng
3. Bài tập tự luyện
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Phương pháp giải
2. Bài tập áp dụng
3. Bài tập tự luyện
IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Phương pháp giải

2. Bài tập áp dụng
3. Bài tập tự luyện
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH
1. Phương pháp giải
2. Bài tập áp dụng
3. Bài tập tự luyện
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
1. Phương pháp giải
2. Bài tập áp dụng
3. Bài tập tự luyện
VII. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC
1

Trang
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
7
8
8
8

11
12
12
13
17
19
19
19
22
24
24
24
28
30
30
30
33
35
35
35
41
43

1


2

2

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số câu hỏi có nội dung liên quan tới tích phân
Năm
Mã đề
Số câu hỏi

101
3

2017
102
3

103
3

101
5

2018
102
5

103
5

101
5

2019
102
5

103
5

- Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần
- Các câu liên quan tới tích phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn
và ứng dụng của tích phân.
II. PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA CHUYÊN ĐỀ
Dành cho tất cả học sinh lớp 12 đã học về tích phân, tùy theo mức độ nhận thức của học
sinh, giáo viên có thể dạy từng nội dung sao cho phù hợp.
III. THỜI GIAN DẠY CHO HỌC SINH
STT
I
II
III
IV
V
VI
VII

NỘI DUNG
Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác

Bài kiểm tra đánh giá năng lực
Tổng số

THỜI LƯỢNG
1 tiết
1 tiết
1 tiết
1 tiết
1 tiết
1 tiết
1 tiết
7 tiết

PHẦN 1: HỆ THỐNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN
STT
3

HÀM THÔNG THƯỜNG

HÀM SỐ HỢP

3


C: const thì

(C ) ' = 0

(uα )' = α .uα −1.u '

( x ) = nx , ( n Ơ , n > 1)
n 1

n '

Nhúm 1

'

u'
1
ữ= 2
u
u

'

1
1
 ÷ = − 2 , ( x ≠ 0)
x
 x

( x)

'

=

1
2 x

( u)

, ( x > 0)

Nhóm 4

2 u

( sin u ) = u ' .cos u
'
( cos u ) = −u ' .sin u

1
π
( tan x ) = 2 ,  x ≠ + kπ ÷
cos x 
2

1
'
( cot x ) = − 2 , ( x ≠ kπ )
sin x
'
( ln x ) = 1x , ( x ≠ 0 )
1
'
, ( 0 < a ≠ 1, x > 0 )

( log a x ) =
x ln a

u'
( tan u ) = 2
cos u
u'
'
( cot u ) = − 2
sin u
'
'
( ln u ) = uu
'
u'
log
u
=
( a ) u ln a

( e x )' = e x

( eu )' = u ' .e u
(a u )' = u ' .a u .ln a

'

'

Nhóm 3

=

u'

( sin x ) = cos x
'
( cos x ) = − sin x
'

Nhóm 2

'

'

(a x )' = a x ln a, ( a > 0, a ≠ 1)

1.2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
'
u ± v ) = u ' ± v'
(
1.2.1. Đạo hàm của tổng:
'
uv ) = u 'v + uv '
(
1.2.2. Đạo hàm của tích:
'
'
'

 u  u v − uv
=
, ( v ≠ 0)
 ÷
v2
1.2.3. Đạo hàm của thương:  v 
1.3. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP

1
2

∫ dx = x + C
∫x

α

dx =

α +1

x
+ C , ( α ≠ −1)
α +1

1
dx = ln x + C
∫
x
3

∫ e dx = e
x

4
5)
4

x
∫ a dx =

x

+C

ax
+ C , ( a > 0, a ≠ 1)
ln a

∫ cos x.dx = sin x + C
sin x.dx = − cos x + C
7) ∫
6)

1

∫
8) cos

2

x

.dx = tan x + C

1
.dx = − cot x + C
2
∫
sin
x
9)

4


1.4. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số
của

f ( x)

f ( x)

F ( x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử
là một nguyên hàm

trên [a; b]. Hiệu số F (b ) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định
b

trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí hiệu là

∫ f ( x)dx.
a

1.5. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
a

1.

∫ f ( x)dx = 0

5.

2.

a

b

3.

b

∫
a

c

c

b

a

f ( x )dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
a

(a
b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

a

b

4.

.

6.

b

b

a

a

∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ¡ )

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx

.

1.6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.6.1. Phương pháp đổi biến số

f ( x)

Định lí: Cho hàm số
liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục
trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ].
b

∫

β

f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt.

α
Khi đó: a
1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lí : Nếu u = u ( x) và v = v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

∫ u ( x)v '( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx
b

a

a

, hay viết gọn là

b

b

a

a

b
∫ udv = uv |a −∫ vdu

.

1.7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1.7.1. Tính diện tích hình phẳng

[ ]

a; b
Bài tốn 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn
. Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b thì diện tích miền phẳng H được tính
b

theo cơng thức

5

S =ị f ( x) dx
a

5


b

S = ∫ f ( x ) dx
a

b
c3

6

6

y


Bài toán 2: Cho hàm số

y = f1 ( x) và y = f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi H là miền phẳng giới

hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng

x =a ,

x =b thì diện tích miền phẳng H được tính

b

theo cơng thức

7

S =ị f1 ( x) - f 2 ( x) dx
a

7


c2

1.7.2. Thể tích vật thể
1.7.2.1. Thể tích của vật thể
Bài toán: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm a
8

8


và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm

( a ≤ x ≤ b ) Giả sử

x

S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Khi đó, thể tích của vật thể B được
b

tính theo cơng thức

V =ịS ( x )dx
a

x

(V )
S(x)

a

b

1.7.2.2. Thể tích khối trịn xoay
9

9


Bài tốn: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường
thẳng

x =a ,

x =b

( a < b)

quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối trịn xoay. Khi đó thể
b

tích của nó được tính theo công thức

10

V = π ∫  f ( x )  dx
2

a

10


PHẦN 2: NỘI DUNG
Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân có trong đề thi THPT QG thì cần phải
hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài tốn tích phân dựa vào kiến thức cơ bản như sau:
Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản
Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp

Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết được dạng
tích thì sẽ dễ dàng biết cách tính. Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên tạo thành thói quen tự
đặt cho mình lần lượt những câu hỏi về hàm số dưới dấu tích phân theo thứ tự như sau:
ST
T

1.
2.
3.

4.
5.
6.
11

Câu hỏi
Có phải dạng cơ bản khơng
Có phân tích, biến đổi đại số, biến đổi
lượng giác,… đưa về dạng cơ bản
được khơng?
Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai khác
hằng số hoặc chỉ sai khác hệ số của
biến số khơng?
Có thừa số nào hoặc biểu thức nào là
đạo hàm đúng hoặc gần đúng (chỉ sai
khác hệ số) của biểu thức khác trong
hàm số dưới dấu tích phân khơng?

Phương pháp tính đúng như câu hỏi đặt ra
Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản
Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp dụng công thức
Dùng phương pháp đổi biến số

Dùng phương pháp đổi biến số

Dùng phương pháp tích phân các hàm hữu tỷ đã

học
Có thuộc loại tích phân hàm số lượng Dùng phương pháp tích phân các hàm lượng giác
Có thuộc loại tích phân hữu tỷ khơng?

11


giác khơng?
đã học
Có thuộc loại tích phân các hàm vơ tỷ
7.
Dùng phương pháp tích phân các hàm vơ tỷ đã học
khơng?
Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, nếu
8. Ngồi các loại trên?
khơng được, nên nghĩ đến việc dùng phương pháp
tích phân từng phần
I. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Phương pháp giải
Sử dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản
b

1.

∫
a

a

b

f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx

b

∫

2.

b

a

b

c

c

b

a

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx

b

∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ¡ )

(a

b

b

a

a

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

a
3. a
4. a
Chú ý:
1) Định lí dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2

.


 f ( x) , f ( x) ≥ 0
f ( x) = 

− f ( x ) , f ( x ) < 0
2) Biểu thức chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối
3) Định nghĩa vi phân

df ( x ) = f ' ( x ) dx

4) Hàm số

liên tục trên

y = f ( x)

¡ và tuần hoàn với chu kì T thì

a +T

T

a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

 f ( x ) .g ( x )  = f ' ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ' ( x )
5) Quy tắc đạo hàm của tích 
'

2. Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho
A. 4

0

2

−2

0

∫ f ( x)dx = 2, ∫ f ( x)dx = 1.

2

Tích phân

∫ f ( x)dx

−2

B. 3

bằng

C. 6

D. 1

Lời giải

Ta có

2

0

2

−2

−2

0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2 + 1 = 3.
3

3

Chọn B.

∫ f ( x ) dx = −5, ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 9.

Câu 2: Cho 1
A. I = 14.

1

B. I = −14.

3

I = ∫ g ( x ) dx.

1
Tính

C. I = 7.

D. I = −7.

Lời giải
12

12


Ta có

3

3

3

3

1

1

1

1

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 2.∫ g ( x ) dx = 9 ⇒ ∫ g ( x ) dx =

−5 − 9
= −7.
2

Chọn D.

5

Câu 3: Cho các hàm số

f ( x) , g ( x)

5

∫ 3 f ( x ) − 5g ( x )  dx = 21

−1

A. −5

liên tục trên

¡ có

∫ 2 f ( x ) + 3g ( x )  dx = −5

−1

;

5

∫  f ( x ) + g ( x )  dx

−1

. Tính

B. 1

C. 5

D.

−1

Lời giải
Ta có:
5
5
 5
5
 ∫  2 f ( x ) + 3g ( x )  dx = −5  2 ∫ f ( x ) dx + 3 ∫ g ( x ) dx = −5  ∫ f ( x ) dx = 2
 −1


−1
⇔  −51
⇔  −51
5

5
 3 f x − 5g x  dx = 21
3 f x dx − 5 g x dx = 21
 g x dx = −3
( )
( )
∫
∫  ( )
 ∫ ( )
∫ ( )
 −1
 −1
 −1
−1

5

5

5

−1

−1

−1

⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = −1 ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = −1
I=
Câu 4: Tính tích phân

2019π

∫

1 − cos2 xdx.

B.

I = 2 2.

. Chọn D.

0

A. I = 0.

C.

I = 2019 2.

D.

I = 4038 2.

Lời giải
π

2π

I = 2 ∫ sin x dx + 2 ∫ sin x dx + ... + 2
π

0

2019π

∫

sin x dx

2018π

π

= 2019 2 ∫ sin xdx = 4038 2.
0

Câu 5: Cho hàm số

f ( x)

Chọn D.

liên tục trên đoạn

[ −6;5]

có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường

5

tròn như hình vẽ. Tính giá trị

13

I = ∫  f ( x ) + 2  dx
−6

13


A. 3π − 12

B. 2π + 32

D. 3π + 12

C. 2π + 8

Lời giải
Nhận xét: Ở bài tốn này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn. Tuy
nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tơi hướng dẫn học sinh giải bài toán theo
hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài tốn.

Ta có:

x+4
 2



2
1+ 4 − x
 2x −1


 3

f ( x) =

khi − 6 ≤ x ≤ −2
khi − 2 ≤ x ≤ 2
khi 2 ≤ x ≤ 5

5

−2

2

5

5

−6

−6

−2

2

−6

I = ∫  f ( x) + 2 dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ 2dx

Câu 6: Cho các hàm số
2

2

0

0

y = f ( x)

y = g ( x)

và

∫ f ' ( x ) g ( x ) dx = −1, ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2020.
A. I = −1.
Lời giải

B. I = 2020.

2

Ta có

[ 0;2]

và thỏa mãn

I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx.
/

0
Tính tích phân
C. I = 2019.

D. I = 2018.

2

I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx = ∫  f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )  dx
/

0

0

2

2

0

0

Câu 7: Cho các hàm số

y = f ( x) > 0

x

2

( x)

0

A.
Lời giải

Chọn C.

xác định và có đạo hàm liên tục trên

[ 0;1]

thỏa mãn

1

g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f

1011
2

B.
x

14

có đạo hàm liên tục trên
2

= ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx + ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019.

Ta có

. Chọn B.

. Tính

∫ g ( x ) dx
0

1009
2

g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt ⇒ g ' ( x ) = 2018 f

C.
( x)

2019
2

D. 505

= 2018. g ( x )

0

14


⇒

g '( x)

g ( x)

t

= 2018 ⇒ ∫
0

g '( x)

t

dx = 2018∫ dx ⇒ 2

g ( x)

0

(

)

g ( t ) − 1 = 2018t

(do

g ( 0) = 1

)

1

 1009 2  1 1011
⇒ g ( t ) = 1009t + 1 ⇒ ∫ g ( t ) dt = 
t + t ÷|0 =
2
 2

0
. Chọn A.

Câu 8: Cho các hàm số

và

9f

''

f ( x)

( x ) +  f ' ( x ) − x 

2

có đạo hàm và liên tục trên

=9

A. T = 2 + 9 ln 2
Lời giải

. Tính

Lấy nguyên hàm hai vế
f ' ( 0) = 9 ⇒ C =

Vậy

C.

f '' ( x ) − 1

2

Do

T = f ( 1) − f ( 0 )

B. T = 9

9 f '' ( x ) +  f ' ( x ) − x  = 9 ⇒ −

[ 0;1]

 f ' ( x ) − x 
f '' ( x ) − 1

2

=

T=

đồng thời thỏa mãn

1
+ 9 ln 2
2

f ' ( 0) = 9

D. T = 2 − 9 ln 2

1
9

1
1
x
dx = ∫ dx ⇒ '
= +C
9
f ( x) − x 9
 f ' ( x ) − x 

−∫

2

1

1

1
9
 9

⇒ f ' ( x) =
+ x ⇒ ∫ f ' ( x ) dx = ∫ 
+ x ÷dx
9
x +1
x +1

0
0

T = f ( 1) − f ( 0 ) = 9 ln 2 +

1
2.

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện
3

3

Câu 1: Cho 0
A. − a − b

2

∫ f ( x ) dx = a,∫ f ( x ) dx = b
B. b − a

2

∫ f ( x ) dx

. Khi đó 0
C. a + b

5

Câu 2: Cho hàm số
A. I = 32.

2

1

Tính

I = ∫  2 − 4 f ( x )  dx.
5

D. I = 40.

2019

1

B. J = −1

2019

J=
. Tìm

D. a − b

2

C. I = 36.

∫ f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx = −5

A. J = 1

15

thỏa mãn

∫ f ( x ) dx = 10.

B. I = 34.

2019

Câu 3: Cho

f ( x)

bằng:

∫
1

 2 f ( x ) + g ( x )  dx

C. J = 0

D. J = 2

15


y = f ( x)

Câu 4: Cho hàm số

có đồ thị là đường gấp

9

∫ f ( x ) dx .

khúc như hình vẽ bên. Tính 0
A. 18
B. 2
C. 0
D. 16

[ −3;5]

y = f ( x)

Câu 5: Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của

( P ) : y = ax 2 + bx + c

3

). Tích phân

53
.
A. 2
95
.
C. 7

∫ f ( x ) dx bằng
−2

61
.
B. 3
97
.
D. 6
1

Câu 6: Cho hàm số

f ( x)

A. 27

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

Câu 7: Cho

. Tính

C. 15

B. 21

f ( x)

∫ f ( x ) dx = 9

−5

2

∫  f ( 1 − 3x ) + 9 dx
0

.

D. 75

là hàm số liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện

1

3

0

0

∫ f ( x ) dx = 4, ∫ f ( x ) dx = 6

.

1

I=

∫ f ( 2 x + 1 ) dx

−1
Tính
A. I = 6

Câu 8: Cho hàm số

y = f ( x)

D. I = 5

là hàm số xác định và có ngun hàm liên tục trên R, tuần hồn có

1

chu kì là T = 6. Biết
A. 336

C. I = 4

B. I = 3

2

∫ f ( 2 x ) dx = −1; ∫ f ( x + 4 ) dx = 3.
−2

0

2018

I=
Giá trị

C. 332
ĐÁP ÁN
Câu
1
2
3
4
5
Đáp án
D
B
B
B
D

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

∫ f ( x ) dx
0

B. 334

bằng

D. 338
6
B

7
A

8
B

Ở phần này tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài tốn tích phân mà hàm số dưới dấu tích
phân so với dạng cơ bản thấy chỉ sai khác ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số hoặc sai khác hằng số
hoặc đạo hàm một biểu thức sai khác với biểu thức cịn lại một hệ số thì dùng phương pháp đổi biến
số đặt ngay biểu thức đó bằng t để đưa tích phân đó về dạng cơ bản.
1. Phương pháp giải
16

16


Định lí :

b

β

a

α

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt

a) Đổi biến số loại 1
Bước 1: Đổi biến số đặt

x = ϕ ( t ) ⇒ dx = ϕ ' ( t ) dt

x = a ⇒t =α

Bước 2: Đổi cận

x=b⇒t =β

Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân
b) Đổi biến số loại 2
Bước 1: Đổi biến số đặt

b

β

a

α

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt

u = ϕ ( t ) ⇒ du = ϕ ' ( t ) dt

t =α ⇒ u =ϕ(α) = a

Bước 2: Đổi cận :
Bước
3:

t = β ⇒ u =ϕ( β) =b
Đổi

biểu

β

b

b

α

a

a

thức

dưới

dấu

tích

phân

I = ∫ f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx
Chú ý : Một số dạng đặc biệt của tích phân

∫

f '( x )
dx = ln f ( x ) + C
f ( x)

1)
2) Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau
b

b

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx
3) Nếu

f ( x)

− a; a ]
là hàm chẵn và liên tục trên [

thì

a

a

−a

0

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx

a

4) Nếu

f ( x)

− a; a ]
là hàm lẻ và liên tục trên [

a

f ( x)
∫ m x + 1 dx = ∫0 f ( x ) dx
−a

thì

∫ f ( x ) dx = 0

−a

a

5)

,(

f ( x)

là hàm số chẵn, liên tục trên

[ − a; a ] )

2. Bài tập áp dụng

17

17


5

Câu 1: Cho

∫ f ( x ) dx = 4

−1

A. I = 2
Lời giải

2

I=
. Tính

B.

I=

2x + 1= u ⇒ 2dx = du ⇒ I =

Đặt

∫ f ( 2 x + 1) dx

−1

5
2

C. I = 4

Câu 2: Cho

0

5

π
4

Tích phân

∫ f ( sin 2 x ) cos 2 xdx
0

B. −1009

A. 2019

3
2

1
1
f ( u) du = .4 = 2
∫
2 −1
2

1

∫ f ( x ) dx = 2020.

D.

I=

bằng:

C. −2018

D. 1010

Lời giải

x = 0 ⇒ t = 0

 π
x = 4 ⇒ t = 1
Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2 cos 2 xdx, đổi cận 
π
4

1

1
1
f ( sin 2 x ) .cos 2 xdx = ∫ f ( x ) dx = .2020 = 1010
20

2

⇒∫
0

. Chọn D.
2019

Câu 3: Cho hàm số
e

I=

2019

∫

−1

f ( x)

liên tục trên ¡

và

x
. f ln ( x 2 + 1)  dx.
x +1
A. I = 1.
B. I = 2.

∫ f ( x ) dx = 2
0

. Tính tích phân sau

2

0

C. I = 4.

D. I = 5.

Lời giải
Đặt

t = ln ( x 2 + 1) ,

Đổi cận:

2 xdx
xdx
dt
⇒ 2
= .
2
x +1
x +1 2

suy ra
x = 0 ⇒ t = 0

2019
 x = e − 1 ⇒ t = 2019

I=

Khi đó

dt =

1
2

2019

∫

f ( t ) dt =

0

1
2

2019

1
∫ f ( x ) dx = 2 .2 = 1.

0

9

Câu 4: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên ¡ và

∫
1

f

Chọn A.

( x ) dx = 4,
x

π
2

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2.
0

Tính tích phân

3

I = ∫ f ( x ) dx.
0

A. I = 2.
Lời giải
18

B. I = 6.

C. I = 4.

D. I = 10.

18


9

Xét

∫

f

( x ) dx = 4.
x

1

Đặt t = x ⇒ t = x, suy ra 2tdt = dx.

2

{

x =1⇒ t =1 .
Đổi cận x = 9 ⇒ t = 3 Suy ra

f

9

∫

( x ) dx = 2
x

1

3

3

1

1

∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = 2.

π
2

Xét

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2.

Đặt u = sin x, suy ra du = cos xdx.

0

π

x =0⇒u =0

1
2

 x = π ⇒ u = 1.
2 = ∫ f ( sin x ) cos xdx = ∫ f ( t ) dt .

2
0
0
Đổi cận 
Suy ra

Vậy

3

1

3

0

0

1

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 4.

f ( x ) , g ( x)

Câu 5: Cho các hàm số

m, n là số thực khác 0 và

Chọn C.

liên tục trên

1

1

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1.

A. m + n = 0.

B.

m+n =

[ 0;1]
Tính

thỏa mãn

m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) = g ( x )

với

m + n.

1
.
2

C. m + n = 1.

D. m + n = 2.

Lời giải

Áp dụng tính chất
Từ giả thiết

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx

m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) = g ( x )

1

, lấy tích phân hai vế ta được

1

∫ m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) dx = ∫ g ( x)dx
0

0

1

Suy ra

m + n ∫ f ( 1 − x ) dx = 1
0

1

(do

∫
0

1

f ( x ) dx = ∫ g ( x ) d x = 1
0

).

( 1)

{ x = 0 ⇒ t =1

1

Xét tích phân

∫ f ( 1 − x ) dx.

.
Đặt t = 1 − x , suy ra dt = −dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

∫ f ( 1 − x ) dx = −∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 1. ( 2 )
Khi đó
( 1) và ( 2 ) , suy ra m + n = 1 . Chọn C.
Từ
π
4

Câu 6: Cho hàm số
2

I =∫

Tính tích phân
A. I = 1.

Lời giải
19

1
4

f ( x)

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

f ( 2x)
x

e2

∫ tan x. f ( cos x ) dx = 1, ∫e
2

0

f ( ln 2 x )
x ln x

dx = 1.

dx.

B. I = 2.

C. I = 3.

D. I = 4.

19


π
4

A = ∫ tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1

Xét

0

Suy ra

2
. Đặt t = cos x.

dt = −2 sin x cos xdx = −2 cos 2 x tan xdx = −2t. tan xdx ⇒ tan xdx = −

dt
.
2t


x = 0 ⇒ t = 1
x = π ⇒ t = 1 .


4
2
Đổi cận: 
1
2

Khi đó

1
1
1
f ( x)
1 f ( t)
1 f ( t)
1 f ( x)
A=− ∫
dt = ∫
dt = ∫
dx ⇒ ∫
dx = 2.
21 t
21 t
21 x
x
1

e

Xét

f ( ln x )

B=∫

x ln x

e

Suy ra

2

2

2

2

2

du =

{
Đổi cận:

dx = 1.

2
Đặt u = ln x.

2ln x
2 ln 2 x
2u
dx
du
dx =
dx =
dx ⇒
= .
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u

x = e ⇒ u =1
.
x = e2 ⇒ u = 4

B=
Khi đó

4
4
4
f ( x)
1 f ( u)
1 f ( x)
d
u
=

d
x
⇒
dx = 2.
∫
∫
∫
21 u
21 x
x
1
2

I =∫
1
2

f ( 2x )
x

dx.

Xét tích phân cần tính
1

 dx = 2 d v
1
1

.

x = ⇒ v =

v

4
2.
x =
x
=
2
⇒
v
=
4

v
=
2
x
,
2
Đặt
suy ra 
Đổi cận: 
4
4
1
4
f ( v)
f ( x)

f ( x)
f ( x)
I =∫
dv = ∫
dx = ∫
dx + ∫
dx = 2 + 2 = 4.
v
x
x
x
1
1
1
1
2
2
2
Khi đó
Chọn D.
f ( x)
f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2 cos 2 x
Câu 7: Cho hàm số
liên tục trên ¡ và thỏa
với mọi x ∈ ¡ .

I=
Tính

3π

2

−

∫π f ( x ) d x
3
2

A. I = −6 .

.

B. I = 0 .

C. I = −2 .

D. I = 6 .

Lời giải
3π
3π

x = − 2 ⇒ t = 2
.

3π
3π
x =
⇒t =−
2

2
Đặt t = − x ⇒ dx = −dt. Đổi cận: 

20

20


−

I =−

3π
2

3π
2

∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx.

3π
2

Khi đó

2I =

3π
2

∫

3π
−
2

Suy ra

3π
2

−

3π
2

−

3π
2

 f ( x ) + f ( − x )  dx =

y = f ( x)

3π
2

3π
2

∫

2 + 2cos 2 xdx = 4 ∫ cosx dx = 12 ⇒ I = 6.

3π
−
2

0

f ( 2 x ) dx
= 8.
−1 1 + 2019 x
Tính

∫
liên tục trên R và

1

Câu 8: Cho hàm số chẵn
A. 2.
B. 4.
C. 8.
Phương pháp: Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn.
Lời giải
Đặt t = − x ⇒ dx = − dt. Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = −1

Chọn D.

2

∫ f ( x ) dx
0

D. 16.

f ( 2 x ) dx 1 f ( −2 ) ( −dt ) 1 2t f ( 2t ) dt
I=∫
=∫
=∫
x
−t
t
y = f ( x)
1
+
2019
1
+
2019
−1
−1
−1 1 + 2019
(Vì
là hàm số chẵn)
1

1
1

f ( 2 x ) dx 1 2 x f ( 2 x ) dx
⇒ 2I = ∫
+
=
f
2
x
dx
⇒
(
)
∫−1 1 + 2019x ∫−1
∫−1 f ( 2 x ) dx = 2.8 = 16
−1 1 + 2019 x
1

0

1

−1

0

⇒ ∫ f ( 2 x ) dx + ∫ f ( 2 x ) dx = 16

. Do

y = f ( x)

là hàm số chẵn

0

1

1

1

−1

0

0

0

⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( 2 x ) dx ⇒ 2 ∫ f ( 2 x ) dx = 16 ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = 8

1
2 x = m ⇒ dx = dm.
2
Đặt
Đổi cận x = 0 ⇒ m = 0, x = 1 ⇒ m = 2
2
1
2
1
⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( m ) dm = 8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 16

0
0
20
Câu 9: Cho hàm số

f ( x)

. Chọn D.

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 0;1] , f ( x )

và

f '( x)

1

dương trên đoạn
1

Tính

và thỏa mãn

 f ' ( x ) .  f ( x )  2 + 1dx = 2 f ' ( x ) . f ( x ) dx.


∫0


f ( 0 ) = 2, ∫0 

∫  f ( x )  dx.
3

0

15
.
A. 4
Phương pháp:
Lời giải
1

[ 0;1]

đều nhận giá trị

1

15
.
B. 2

∫

17
.
C. 2

f n +1 ( x )
f ( x ) . f ' ( x ) dx =
+ C , ( n ≠ −1)
n +1

19
.
D. 2

n

1

1

2
2
∫0  f ' ( x ) .  f ( x )  + 1 dx = 2 ∫0 f ' ( x ) . f ( x ) dx ⇔ ∫0  f ' ( x ) .  f ( x )  − 2 f ' ( x ) . f ( x ) + 1 dx = 0

21

21


1

2

f ' ( x ) . f ( x ) − 1 = 0 ⇒ f 2 ( x ) . f ' ( x ) = 1, ∀x ∈ [ 0;1]

⇔ ∫  f ' ( x ) . f ( x ) − 1 dx = 0 ⇒


0

f 3 ( x)
⇒ ∫ f ( x ) . f ' ( x ) dx = ∫ 1dx ⇒
3
0
0
x

x

f 3 ( x ) f 3 ( 0)
=x⇒
−
=x
3
3

x

2

0

1 ( 3x + 8)
f ( 0 ) = 2 ⇒ f ( x ) = 3x + 8 ⇒ ∫  f ( x )  dx = ∫ ( 3x + 8 ) dx = .

3
2
0
0
1

3

3

1

Mà
Câu 10: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x ) liên tục trên R và có

2 1

=
0

19
2

. Chọn D.

3

đồ thị của hàm số f '( x ) như hình vẽ, Biết
1

∫
0

∫ ( x + 1) f '( x)dx = a
0

3

f '( x ) dx = b, ∫ f '( x ) dx = c, f (1) = d .
1

bằng

và

3

∫ f ( x )dx

Tích phân

A. − a + b + 4c − 5d .
C. − a + b − 4c + 3d

0

B. − a + b − 3c + 2d

D. − a − b − 4c + 5d .

Lời giải
3

3

3
3 3
∫0 ( x + 1) f '( x)dx = ∫0 ( x + 1)d ( f ( x) ) = ( x + 1) f ( x) 0 − ∫0 f ( x)dx = 4 f (3) − f (0) − ∫0 f ( x)dx;
1

1

0
3

0

b = ∫ f '( x ) dx = ∫ f '( x )dx = f (1) − f (0) = d − f (0) ⇒ f (0) = d − b;
3

c = ∫ f '( x ) dx = − ∫ f '( x )dx = f (1) − f (3) = d − f (3) ⇒ f (3) = d − c;
1

1

3

⇒ ∫ f ( x )dx = 4(d − c ) − (d − b) − a = −a + b − 4c + 3d .
1

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện
2

Câu 1: Cho
A. 2.

∫f(x
1

Câu 2: Xét hàm số

2

+ 1) dx = 2

f ( x)

5

. Khi đó

I = ∫ f ( x ) dx

B. 1.
liên tục trên đoạn

2

[ 0;1]

bằng

C. -1.
và thỏa mãn

D. 4.
2f ( x ) + 3f ( 1 − x ) = 1 − x 2 .

Tính

1

I = ∫ f ( x ) dx.
0

π
.
A. 4

22

π
.
B. 6

π
.
C. 20

π
.
D. 16

22


4

∫ f ( x ) dx = 6

Câu 3 : Biết

1

3
A. 2 .

2

5

và

∫ f ( x ) dx = 10
4

, khi đó

13
B. 2 .

Câu 4: Cho hàm số

y = f ( x)

∫ f ( 4x − 3) dx −

ln 2

∫ f (e )e
2x

1

C. 4 .

xác định và liên tục trên ¡ , thỏa

2x

dx

bằng

0

D. 1.
f ( x + 4 x + 3) = 2 x + 1

5

với mọi

8

x ∈ ¡ . Tích phân

∫ f ( x ) dx

−2

bằng

A. 2.

32
.
C. 3

B. 10.
π
2

Câu 5: Biết

A.

f ( x)

là hàm số liên tục trên ¡ và

2
.
2

2+

B.

3−

∫ f ( x ) dx = 4
0

2
.
2

C.

1+
π
2

Câu 6: Cho hàm số
1

I =∫
1

8

tích phân

D. 72.
π
4

∫  f ( 2 x ) − sin x dx

. Khi đó

2
.
2

(

16

)

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

π
4

2
.
2

2−

D.

2
∫ cot x. f sin x dx = ∫

f ( x)

bằng

0

f

( x ) dx = 1
x

1

. Tính

f ( 4x)
dx.
x

A. I = 3.

B.

I=

3
.
2

C. I = 2.
ln 2

Câu 7: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

¡ . Biết

∫
0

D.

f ( e + 1) dx = 5

3

x

và

∫

I=

5
.
2

( 2 x − 3) f ( x ) dx = 3
x −1

2

.

3

Tính

I = ∫ f ( x ) dx
2

A. 3

B. 4

Câu 8 : Cho hàm số

y = f ( x)

C. 5

liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn

D. 6

f ( x) =

(

) + ln x .

f 2 x −1
x

x

4

Tính tích phân của
2
A. I = 2 ln 2.

23

I = ∫ f ( x ) dx
3

.

B. I = 2ln 2.

2
C. I = 3 + 2ln 2.

2
D. I = ln 2.

23


y = f ( x)

Câu 9: Cho hàm số

f ( x)

2

I =∫

Tính tích phân
A.

I =

1
2

x2 + 1

1
1 
1
f ( x ) + f  ÷ = x 2 + 2 + 2.
 2 ;2  ,
x
 thỏa
 x
xác định và liên tục trên 

dx.

3
.
2

B. I = 2.

C.

I =

5
.
2

D. I = 3.

f ( x)
[ 0; a ] thỏa mãn
Câu 10: Cho số thực a > 0 . Giả sử hàm số
liên tục và luôn dương trên đoạn
a

f ( x ) .f ( a − x ) = 1, ∀x ∈ [ 0;a ] .
A.

I=

a
2

Tính tích phân

1
dx.
1+ f ( x)
0

I=∫

B. I = a

C.

I=

2a

3

D.

I=

a
3

ĐÁP ÁN
Câu
Đáp án

1
D

2
C

3
D

4
B

5
A

6
D

7
B

8
A

9
A

10
A

III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Phương pháp giải

Định lí : Nếu

u = u ( x)

và

v = v( x)

là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn

b

[ a; b] thì

b

∫ u ( x ) .v ' ( x ) dx =u ( x ) .v ( x ) | −∫ u ' ( x ) .v ( x ) dx
b
a

a

a

Chú ý:
- Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số khác nhau
- Ý nghĩa: Đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn

 f ( u )  = f ' ( u ) .u '
- Tích phân hàm ẩn hay xuất hiện biểu thức dạng
'

Bước 1: Quan sát xem hàm số dưới dấu tích phân là tích của 2 hàm số nào
Bước 2: Đặt một hàm số bằng

u và còn lại bằng dv thông thường dựa vào sơ đồ sau

Lượng giác

Mũ
Đa thức

24

Lôgarit

Lôgarit nê-pe

24


(Để ý hàm số dưới dấu tích phân có thể chứa tích
hàm lượng giác, hàm mũ, loga nê pe thì đặt

f ' ( x ) .g ( x )

dv = f ' ( x )

và

g ( x)

với

u = g ( x)

có thể là hàm đa thức,

).

Bước 3: Áp dụng cơng thức tích phân từng phần đưa tích phân về dạng đơn giản.
2. Bài tập áp dụng
1

2

Câu 1: Cho
A. 4032
Lời giải

∫ ( 1 − 2 x ) f ' ( x ) dx = 3 f ( 2) + f ( 0) = 2020.
0

B. 1010

2

Tích phân

0

C. 0

bằng:

D. 2020

2

∫ ( 1 − 2 x ) f ' ( x ) dx = ∫ ( 1 − 2 x ) d ( f ( x ) ) = ( 1 − 2 x ) f ( x )
0

∫ f ( 2 x ) dx

0

2
0

2

+ 2 ∫ f ( x ) dx
0

2

2

1

0

0

0

⇔ 2020 = −3 f ( 2 ) − f ( 0 ) + 2 ∫ f ( x ) dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2020 ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = 1010
 π
0; 2  ,
f ( x)
Câu 2: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn

π
2

∫ f ' ( x ) cos

2

xdx = 10

và

0

π
2

f ( 0 ) = 3.

∫ f ( x ) sin 2 xdx

Tích phân 0
A. I = −13.

bằng
I
B. = −7.

C. I = 7.

D. I = 13.

Lời giải
π
2

Xét

∫

f ' ( x ) cos 2 xdx = 10

0

, đặt

{

u = cos 2 x
du = − sin 2 xdx
.
dv = f ' ( x ) cos 2 xdx ⇒ v = f ( x )


π
2

Khi đó

10 = ∫ f ' ( x ) cos 2 xdx = cos 2 xf ( x )
0

π
2

π
2

0

0

π
2
0

π
2

+ ∫ f ( x ) sin 2 xdx
0

⇔ 10 = − f ( 0 ) + ∫ f ( x ) sin 2 xdx ⇒ ∫ f ( x ) sin 2 xdx = 10 + f ( 0 ) = 13.
3

Câu 3: Cho hàm số
A. I = 1.
Lời giải
25

f ( x)

∫ x. f ′ ( x ) .e

thỏa mãn
B. I = 11.
0

f ( x)

Chọn D.
3

dx = 8

f ( 3) = ln 3

và
. Tính
I
=
8
−
ln
3.
C.

I = ∫e

f ( x)

dx.

0

D. I = 8 + ln 3.

25