Phương pháp khai thác bài toán hình học phẳng bồi dưỡng HSG cấp tỉnh.

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT
(Tài liệu bồi dưỡng chuyên sâu và trao đổi về phương pháp học tập và nghiên cứu dành
cho học sinh THPT.)
GV Nguyễn Thị Thanh Tinh
Trường THPT Chu Văn An

Chuyên đề: Phương pháp khai thác bài toán hình học phẳng của các kỳ thi học sinh
giỏi để bồi dưỡng cho học sinh THPT tỉnh Đăk Nông
A. Lý do chọn đề tài
Nhằm mở đầu cho việc xây dựng hoạt động học tập và nghiên cứu những vấn đề
toán trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi một cách cụ thể, trong vô vàn kiến thức
chuyên sâu mà đòi hỏi mỗi người giáo viên chúng ta phải có những cách nhìn nhận về
việc tìm kiếm những vấn đề gần gũi nhất với thời sự, những nội dung nhạy cảm nhất đối
với đề thi để hỗ trợ cho học sinh trong quá trình học tập hướng vào chất lượng và hiệu
quả, hướng vào việc đạt giải trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia của học sinh tỉnh Đăk
Nông mà trong nhiều năm kể từ khi thành lập tỉnh, kết quả học sinh giỏi quốc gia vẫn
chưa được khẳng định đối với bộ môn Toán, chưa nói đến mục tiêu học sinh giỏi tham
gia đội tuyển dự thi quốc tế của Đăk Nông chúng ta còn quá xa vời…
Xuất phát từ nhu cầu cháy bỏng đó, bản thân tôi cũng là một giáo viên bộ môn
Toán, tuy có kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm, song môi trường giáo dục học sinh giỏi
cũng như môi trường bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cũng mới chỉ ở mức độ tiếp cận về
nội dung chương trình chuyên sâu, mục tiêu cũng mới chỉ đặt ra là có giải học sinh giỏi
quốc gia, dù là giải khuyến khích…
Lý do nữa đối với việc học tập kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu khoa học
của bản thân, tôi thấy cần thiết phải xây dựng cho mình một quy trình về kiến thức
chuyên sâu mà việc bắt đầu từ những vấn đề đã có trong thực tiễn, trong chuyên đề này,
tôi lựa chọn sự bắt đầu từ những bài toán hình học phẳng, bài toán hiện nay đang là một
sự thách thức đối với học sinh trung học phổ thông tỉnh Đăk Nông. Việc nghiên cứu thực
hiện theo quy trình như sau:
Bước 1. Tìm kiềm bài toán hình học gốc và lời giải, đây là vấn đề quan trọng, việc
tìm kiếm phải hướng vào khai thác thông tin thời sự về thi cử đối với học sinh giỏi, ngoài

ra còn giúp cho học sinh định hướng tốt nhất đế những vấn đề có thể xuất hiện trong kỳ
thi hàng năm.
Bước 2. Phân tích bài toán gốc theo nhiều cách giải khác nhau theo một số quan
điểm cơ bản, đối với bài toán hình học, bao giờ cũng có thể phân tích vấn đề theo một số
quan điểm ban đầu, đó là cách giải sơ cấp đối với bài toán, có thể xử lý bài toán theo
phương pháp tọa độ Đề - các vuông góc trong mặt phẳng, cũng có thể phân tích vấn đề
hình học theo hướng đại số véc tơ…
Bước 3. Việc mở rộng bài toán là cần thiết để giúp cho học sinh khái quát vấn đề
nghiên cứu, hãy thay đổi giả thiết lần lượt từng vấn đề, thay đổi giả thiết một cách toàn
diện trong sự giữ nguyên bố cục bài toán để tìm kiếm những sự mở rộng về kết quả với
yêu cầu không có sự thay đổi đối với cách thức giải quyết vấn đề…
Bước 4. Mong muốn đưa kiến thức chuyên sâu vào để giải quyết bài toán, qua đó
cũng là cách để dạy kiến thức mới đối với học sinh giỏi. Cũng tùy vào từng vấn đề cụ thể
đặt ra trong bài toán để lựa chọn áp dụng những kiến thức chuyên sâu phù hợp, chẳng
hạn như nếu bài có nội dung về tỷ lệ song song thì có thể khai thác các định lý Menelaus,
định lý Ce - va, nếu có tiếp tuyến đường tròn thì cũng nên nghĩ đến định hướng đối với
hàng điểm điều hòa, nếu có những vấn đề về trung điểm thi cũng nên đưa việc ứng dụng
định lý Gauss để giải bài toán.
ĐT 0903565189

1


Bước 5. Phần bài tập là quan trọng đối với học sinh, tuy thế những vấn đề chúng
ta đưa ra để học sinh học tập và nghiên cứu theo quan điểm này cũng cần được kiến thiết
từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ dễ đến khó… để tạo hứng thú cho các
em. Trong chuyên đề này, tôi đã chọn bài toán hình học trong kỳ thi Olympic lớp 10, lớp
11 của tỉnh Đăk Nông năm học 2013-2014 được tổ chức tại trường trung học phổ thông
chuyên Nguyễn Chí Thanh để làm một ví dụ cụ thể cho học sinh tự học tập và nghiên
cứu.

Bước 6. Giáo dục học sinh nhìn nhận các vấn đề hình học nói riêng và những vấn
đề chuyên sâu khác nói chung theo các quan điểm phân tích đối với bài toán hình học
phẳng.
B. Tầm quan trọng của chuyên đề
Hàng năm, bài toán hình học phẳng trong các đề thi học sinh giỏi chiếm một tỷ lệ
điểm quan trọng, thông thường là từ 5 điểm đến 7 điểm theo thang điểm 20 cho mỗi vòng
thi. Bài toán hình học phẳng luôn luôn xuất hiện trong các đề thi với yêu cầu thí sinh về
tu duy sáng tạo trong cách nhìn nhận giả thiết của như vận dụng vào cách giải phù hợp
với thời gian quy đinh.
Nhận thức hình học chuyên sâu của học sinh nói chung và học sinh giỏi nói riêng
vần còn dàn trãi, chưa có một sự tổng hợp toàn diện kiến thức, đó là nguyên nhân để học
sinh ngại va chạm đối với những vấn đề hình học phẳng theo những cách nhìn nhận khác
nhau để trau dồi lý luận toán học và thực tiễn. Chuyên đề này đặt ra định hướng giảng
dạy kiến thức chuyên sâu về hình học phẳng cho học sinh một cách tự nhiên nhất thống
qua nhu cầu giải quyết bài toán đặt ra.
Cùng với toàn bộ hệ thống các bài toán trong đề thi học sinh giỏi hàng năm, bài
toán hình học phẳng được đặt ra trong mục tiêu chiếm lĩnh kết quả nhanh chóng và phù
hợp với thời gian của đề thi đối với học sinh trung học phổ thông Đăk Nông.
Hơn nữa, các chuyên đề giảng dạy vùng kiến thức hình học hiện nay có quá nhiều
và việc định hướng hiệu quả giảng dạy vẫn còn nhiều ý kiến khác nhau cần phải bàn,
chuyên đề này của bản thân tôi cũng là một hướng đề xuất để chúng ta cùng bàn bạc và
trao đổi về phương pháp dạy học đối tượng học sinh giỏi trung học phổ thông theo
chương trình chuyên sâu.
Mặt nữa, dù là những vấn đề được khái quát đến cấp độ nào thì việc xử lý sơ cấp
bài toán cũng luôn được đặt ra một cách cấp thiết, nhằm mục tiêu trước mắt tác động và
tư duy sáng tạo của học sinh, hơn nữa còn giúp giáo viên chúng ta hệ thống tại toàn bộ
phương pháp dạy học bộ môn Toán trong chương trình trung học nói chung cũng như
trong chương trình trung học phổ thông nói riêng.
C. Thực trạng của chuyên đề
Hiện nay chất lượng bài làm đối với đề thi học sinh giỏi quốc gia về môn Toán

của học sinh tỉnh ta còn nhiều yếu kém, các em lúng túng đối với sự bắt đầu vào việc giải
quyết một vấn đề hình học phẳng.
Giáo viên chúng ta còn chưa có định hướng cụ thể về phương pháp dạy học loại
chủ đề này, đa phần giảng dạy theo kiểu đưa ra bài toán mình đã biết, bài toán đã có sẵn
lời giải cho mình để yêu cầu học sinh phát hiện lại những lối mòn đó mà chưa có phương
pháp giảng dạy cho các em về phát triển tư duy sáng tạo.
Công tác học tập trao đổi kinh nghiệm hiện nay còn nhiều hạn chế, thông thường
bị cô lập lại trong mỗi giáo viên chúng ta, thông thường bị cục bộ hóa trong mỗi tổ
chuyên môn nhà trường, chưa có sự cọ xát giao lưu học tập kinh nghiệm giữa các đơn vị
trường học với nhau và hơn nữa là không có một sự giao lưu kiến thức chuyên sâu về
ĐT 0903565189

2


hình học phẳng giữa các tỉnh với nhau, giữa tỉnh ta với các tỉnh có thành tích bề dày về
giáo dục học sinh giỏi để trao đổi học tập kinh nghiệm.
Việc khai thác nguồn học sinh hiện nay còn chưa được chú trọng đúng mức theo
sở trường từng vấn đề đối với mỗi học sinh, thông thường học sinh chúng ta được bồi
dưỡng tất cả các chuyên đề có thể có được từ giáo viên chứ chưa có sự định hướng để
giúp các em tiếp cận tốt nhất những vấn đề sở trường của bản thân để làm tăng tính hiệu
quả của việc giải đề thi.
D. Nội dung
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT
Tài liệu bồi dưỡng chuyên sâu và trao đổi về phương pháp học tập và nghiên cứu dành
cho học sinh THPT.
Chuyên đề: Phương pháp khai thác bài toán hình học phẳng của các kỳ thi học sinh giỏi
để bồi dưỡng cho học sinh THPT tỉnh Đăk Nông
Bố cục tài liệu
I. Olympic tỉnh Đăk Nông năm 2014

II. DMO2014 (Đã có mở rộng)
III. VMO2014
IV. IMO2014 (tham khảo báo THTT tháng 8 năm 2014)
Nội dung bài viết
Phần một
Các vấn đề về đề thi học sinh giỏi Olympic tỉnh Đăk Nông năm học 2013-2014 tổ chức
tại trường chuyên Nguyễn Chí Thanh
Bài toán:
Cho tam giác ABC có đường cao CH, H  AB . Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của
các đoạn AB và CH. Một đường thẳng (d) di động luôn song song với cạnh AB, cắt AC tại
M và cạnh BC tại N. Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là
tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
I. Lời giải
1. Lời giải truyền thống
Gọi R, T lần lượt là
trung điểm của các
đoạn thẳng MN và
PQ.

C

K
M

T

m

(d)

N

J
A

Q

H

R

I

P

B

Trong tam giác ICH, ta có RT và CH song song với nhau (vì cùng vuông góc với AB), do
JT
IJ
JR
đó các điểm I, J và H thẳng hàng. (tính chất trung tuyến:


)
KC IK KH
2. Nhìn theo phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
ĐT 0903565189

3

3. Sử dụng vêc tơ
4. Khai thác yếu tố về diện tích
5. Sử dụng định lý Menelaus
II. Tìm kiếm những liên hệ về kiến thức chuyên sâu
1. Định lý Gauss: Tứ giác ABCD có AB cắt CD tại N, AD cắt BC tại M. Gọi I, J, K lần
lượt là trung điểm các đoạn thẳng BD, AC và MN. Khi đó ba điểm I. J. K thảng hàng.
2. Chứng minh định lý Gauss: Dành cho học sinh
3. Áp dụng định lý Gauss để giải bài toán này: Dành cho học sinh
III. Mở rộng bài toán
Giả thiết bài toán tập trung vào trung điểm I của đoạn AB và quan hệ vuông góc giữa CH
và AB. Ta mở rộng bào toán theo các hướng này như sau
1. Góc giữa CH và AB
2. Điểm I chia đoạn AB theo tỷ số k (k khác + 1).
Phần hai
DMO2014 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đăk Nông năm 2014
Bài hình học phẳng với cấu trúc song song 2 dòng lập luận tương tự nhau để tổng hợp và
dẫn tới kết luận.
Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh BC, vẽ góc vuông PMQ
với P thuộc cạnh AB và Q thuộc cạnh AC. Chứng minh rằng PQ2 ≥ AP.CQ + AQ.BP
I. Lời giải
1. Lời giải truyền thống
Các giải phù hợp với học sinh cấp THCS, cũng là thế mạnh của học sinh lớp 10 THPT.
A

Ta sử dụng mối liên hệ giữa đường trung
bình và diện tích để xây dựng cách giải cho
bài toán này.
Do M là trung điểm đoạn AC nên ta có

S(∆BPQ) + S(∆CPQ) = 2S(∆MPQ).

P
Q

B
M

C

Ở đây:
2S(∆BPQ) = PB.AQ
2S(∆CPQ) = QC.PA
Và 2S(∆MPQ) = MP.MQ.
Như vậy PA.QC + PB.QA = 2MP.MQ
Công việc còn lại, ta so sánh 2MP.MQ với MP2 + MQ2 và sử dụng định lí Pi-ta-go để có
kết quả cần chứng minh.
Lưu ý:
- Có thể phân tích thêm kết quả đối với các trường hợp khác của điểm P trên đường thẳng
AB (khi P trùng với A hoặc B, khi điểm P nằm trong hay nằm ngoài đoạn AB…);
- Việc so sánh cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cô - si hay là các bất đẳng thức khác;
- Chú ý trường hợp đẳng thức xảy ra, lúc này vai trò các điểm P, Q như thế nào…
2. Sử dụng tọa độ điểm và tọa độ véc tơ
Lưu ý: Thế mạnh của việc sử dụng phương pháp tọa độ sẽ không phải hạn chế các
trường hợp đặc biệt, các trường hợp khác đối với vị trí điểm P trên đường thẳng AB.
2. Biến đổi đại số về véc tơ

ĐT 0903565189

4

Đối với học sinh lớp 11 THPT, các em đã được bồi dưỡng về cơ sở lý luận véc tơ trong
không gian, cho nên khai thác bài toán theo hướng véc tơ cũng cần nên thực hiện. Sau
đây là cách nhìn nhận đó (góc độ Afin)…
II. Phân tích các hướng khai thác và mở rộng bài toán
1. Thay đổi vị trí điểm M trên đoạn BC
Lưu ý:
a) Ta có thể xét riêng trường hợp điểm I trùng với điểm B hoặc C, các đường thẳng PQ
và BC song song với nhau, điểm J nằm bên ngoài (phải hoặc trái) hoặc nằm bên trong
đoạn thẳng BC…
b) Trường hợp tổng quát đối với điểm M chia đoạn BC theo tỷ số k (k khác – 1) ta cũng
có thể khái quát lời giải bằng véc tơ.
c) Phát biểu lại bài toán theo kết quả (*).
d) Khai thác bài toán theo góc  giữa hai đường thẳng MP và MQ, ta cũng có kết quả
hay.
2. Nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, chúng ta cũng có thể mở rộng bài
toán đối với tam giác bất kỳ ABC (thay cho tam giác vuông).
3. Mở rộng bài toán ra không gian
Cơ sở của những bài toán hình học không gian được phân tích trên nền hình học phẳng.
Có nhiều cách để xây dựng những vấn đề hình học không gian, sau đây là một ví dụ về
cách nhìn sự mở rộng theo hướng tổng quát hóa bài toán này ra không gian như thế
nào…
Lưu ý:
a) Hãy nghiên cứu biến đổi tích MP.MQ.MR theo diện tích tam giác PQR.
a) Mở rộng ra không gian với góc tam diện bất kỳ…
   
b) Thay đổi vai trò M trọng tâm tam giác BCD ( MA  MB  MC  0 ), bởi điểm M xác

  

định bởi điều kiện véc tơ xMA  y MB  zMC  0 … để ta có một lớp bài toán rất hay.
Phần ba
VMO2014 Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2014
Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi I là trung
điểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK = IC. Đường thẳng
BK cắt đường tròn (O) tại D (D khác B) và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt
đường thẳng AC tại F.
a) Chứng minh rằng 2.EF = BC.
b) Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng
BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) tại P (P khác B). Chứng minh rằng
đường thẳng PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD.
I. Phân tích câu a)
1. Lời giải
Bài hình học phẳng với cấu trúc song song 2 dòng lập luận tương tự nhau để tổng hợp và
dẫn tới kết luận. Phù hợp với năng lực của học sinh THCS.

ĐT 0903565189

5


Yêu cầu của bài toán gợi cho ta về đường
trung bình.
Ta chứng minh E, F lần lượt là trung điểm
của KB và KC là xong.

A

K
O

E

F

C

B

I

Giả thiết IK = IC cho ta  IKC =  ICK
Suy ra  IKA =  IBA (vì cùng bù với  IKC).
Do I là trung điểm của cung BC không chứa A
Nên  IAC =  CBI =  BCI =  IAB, nên AI là phân giác  BAC.
Như vậy AI vuông góc với BK tại trung điểm E của đoạn thẳng BK
(*1)
Từ đây  ABK =  AKB, suy ra  KCD =  DKC, suy ra  IKD =  ICD.
Mặt nữa,  IDK =  ICB =  IBC =  IDC, nên DI là phân giác của  CDK.
Từ đó DI cắt KC tại trung điểm F của đoạn thẳng KC
(*2)
Từ (*1) và (*2) ta có điều phải chứng minh.
Lưu ý:
a) Từ kết quả AI là phân giác của  BAC và DI là phân giác của  CDB, ta có thể khai
thác theo hướng phép đối xứng trục như sau
Gọi B1 đối xứng với B qua AI và CI đối xứng với C qua DI, ta có IB = IB1 = IK, IC =
IC1=IK.
Do K khác C, nên B1, C1 và K trùng nhau.
Vậy nên E là trung điểm BK, F là trung điểm CK.
b) Sử dụng các biến đổi về góc như sau
Do I là trung điểm của cung BC không chứa A, nên nên AI là phân giác  BAC và DI là

phân giác  BDC. Suy ra  AED =  AFD (các góc vuông), nên tứ giác ADFE nội tiếp
đường tròn. Từ đây  DEF =  DAF,  DAF =  DAC =  DBC, suy ra  DEF =
 DBC. Từ đó EF và BC song song với nhau.
Kết hợp với E là trung điểm đoạn thẳng BC để ta có điều phải chứng minh.
2. Một số cách nhìn khác nhau theo kiến thức chuyên sâu về hình học phẳng (những
định lý được sử dụng phổ biến trong chương trình chuyên sâu)
2.1. Sử dụng định lý Pascal
a) Định lý Menelaus (các điểm thẳng hàng)
b) Định lý Ceva (các đường thẳng đồng quy)
c) Định lý Pascal
Lưu ý:
d) Áp dụng định lý Pascal
II. Phân tích câu b)
1. Lời giải
ĐT 0903565189

6


Chứng minh PK đi qua trung điểm đoạn thẳng AD
Gọi G là trung điểm đoạn AD.
T là giao điểm của KM và IC,
J là điểm chung thứ hai của PK với đường
tròn (O).
J

A

G

D
K

E

O

F
M

B

C

N
T

P

I

Ta có K là trực tâm tam giác IAD nên IK vuông góc với AD (đã có 2 đường cao DE và
AF). Mặt nữa MC và AD song song với nhau nên ta có MC vuông góc với IK.
Từ đây suy ra M là trực tâm tam giác KIC (đã có 2 đường cao IF và CM), suy ra KT
vuông góc với IC.
Bây giờ ta có
 TIP =  CIP =  CBP =  NBP =  NKP =  TKP, suy ra  TIP =  TKP.
Từ đó ta có tứ giác IKTP nội tiếp, nên  KPI là góc vuông. Suy ra IJ là đường kính của
(O).
Như vậy AJ và KD song song với nhau (vì cùng vuông góc với AI).

Kết hợp với DJ song song với AK (vì cùng vuông góc với DI) để ta có tứ giác AJDK là
hình bình hành.
Vậy PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD.
2. Áp dụng định lý Brocard và điểm Miquel
3. Cách nhìn theo hàng điểm điều hòa
4. Tự nghiên cứu: VMO2014, bài hình thứ 2
Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), trong đó B, C cố định, còn A
thay đổi trên (O). Trên các tia AB và AC lần lượt lấy điểm M và N sao cho MA = MC và
NA = NB. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và ABC cắt nhau tại P (P khác A).
Đường thẳng MN cắt BC tại Q.
a) Chứng minh răng ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
b) Gọi D là trung điểm của BC, các đường tròn có tâm là M, N và cùng đi qua A cắt nhau
tại K (K khác A). Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt BC tại E. Đường trong ngoại
tiếp tam giác ADE cắt (O) tại F (F khác A). Chứng minh rằng đường thẳng AF đi qua một
điểm cố định.
Phần bốn
Đề thi học sinh giỏi quốc tế năm 2014 (IMO 2014)
I. Bài toán gốc
Cho tam giác ABC có  BAC là góc lớn nhất. Các điểm P, Q thuộc cạnh BC sao cho
QAB =  BCA và  CAP =  ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của A
qua P, Q. Chứng minh rằng BN và CM cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐT 0903565189

7


Lời giải
Gọi R là giao điểm của BN và CM.

A

P
B

C

Q

R

M

N

Ta có
 AB QB


 QAB =  BCA, nên ∆ABC đồng dạng ∆QBA, suy ra  AC QA
(*1)
BAC  BQA

Và có
 AB PA


 CAP =  ABC, nên ∆ABC đồng dạng ∆PAC, suy ra  AC PC
(*2)
BAC  APC
 QB PA

 QB PM




Từ (*1) và (*2) ta có  QA PC , hay là  QN PC
AQB  CPA
BQN  MPC


Và ta có ∆MPC đồng dạng ∆BQN, suy ra  MCP =  BNQ
Để có tứ giác QCNR nội tiếp được, suy ra  CRN =  CQN =  AQB =  BAC.
Do  CRN bù với  BRC cho nên  BAC bù với  BRC.
Vậy tứ giác ABRC nội tiếp, hay là R thuộc đường tròn (ABC).
Nhận xét: Ta có các kết quả
a) Tam giác APQ là tam giác cân, CA là tiếp tuyến của đường tròn (APB) và BA là tiếp
tuyến của đường tròn (AQC).
QB PM

b) Tỷ lệ cơ bản nhất để có kết quả bài toán là
, từ đó ta chứng minh tứ giác
QN PC
CQRN nội tiếp hoặc tứ giác BPRM nội tiếp.
II. Mở rộng bài toán (Tham khảo theo báo THTT tháng 9/2014)
QB PM

1. Căn cứ vào tỷ lệ cơ bản trong bài toán
, ta có thể thay đổi giả thiết:
QN PC
2. Căn cứ vào việc vận dụng kết quả liền sau của giả thiết QAB =  BCA và  CAP =

 ABC, đó là CA là tiếp tuyến của đường tròn (APB) và BA là tiếp tuyến của đường tròn
(AQC) để cho ta một hướng khai thác giả thiết như sau:

ĐT 0903565189

8


3. Tiếp tục khai thác giả thiết tam giác APQ cân có góc ở đáy bằng  BAC. Ta mở rông
thành bài toán tập hợp điểm khi M, N thay đổi (lần lượt trên tia đối của các tia PA và QA)
nhưng vẫn thỏa mãn PM.QN = QP.AQ. Bài toán phát biểu như sau
4. Còn rất nhiều hướng để phân tích thay đổi giả thiết để có những bài toán khác nhau
trên cơ sở lời giải bài toán ban đâu. Sau đây là vài hướng về tập hợp để hỗ trợ việc học
tập và nghiên cứu…
E. Giải pháp thực hiện
Không riêng gì kiến thức chuyên sâu đối với bài toán hình học phẳng trong các đề
thi học sinh giỏi mà các bài toán khác cũng vậy, các vấn đề đều được triển khai thực hiện
theo những biện pháp chung nhất, trong đó bài toán hình học có những đặc thù riêng…
Để thực hiện chuyên đề này, tôi đề xuất một số giải pháp như sau
1. Tìm kiếm một nhóm các giáo viên cùng quan điểm phương pháp học tập và
nghiên cứu để thực hiện trao đổi học tập kinh nghiệm lẫn nhau.
2. Thông tin báo toán học tuổi trẻ là kênh quan trọng để chúng ta tiếp cận với
những vấn đề thời sự đối với sự vận động kiến thức chuyên sâu về bộ môn.
3. Nguồn thông tin phong phú cần được chú trọng khai thác và chắt lọc, đó là
mạng Internet, trang Vnmath.com, đối với điều kiện học tập nghiên cứu hiện nay trong sự
khó khăn về thư viện như tỉnh ta thì những địa chỉ này là nơi bổ ích nhất đối với giáo viên
toán để tìm hiểu những ý tưởng của các bậc thầy về toán học chuyên sâu, cũng như
những vấn đề hình học đang thực tế diễn ra.
4. Giáo viên luôn luôn cập nhật, điều chỉnh và hoàn thiện bài viết theo từng chủ
đề đã được chọn. Đồng thời xây dựng nhóm giáo viên cùng nghiên cứu về một chủ đề với

sự tương tác lẫn nhau giữa các nhóm.
5. Tranh thủ thử nghiệm ý tưởng đối với học sinh, cần phải mạnh dạn và thận
trọng đối với những đề xuất để định hướng học sinh vào đúng những điều các em cần và
không lãng phí thời gian vô ích.
6. Đề xuất tổ chức diễn đàn trao đổi những bài viết cùng chủ đề trong đồng
nghiệp để tìm kiếm thêm kinh nghiệm và thông tin mà ta còn thiếu.
7. Công khai bài viết ra giáo viên bộ môn Toán trong ngành để tìm kiếm những sự
góp ý kiến xây dựng đồng thời rà soát những vấn đề đã được người khác nghiên cứu và
khai thác nhằm tránh việc nghiên cứu những cái đã có làm tốn thêm thời gian.
8. Tập cho học sinh định hướng kiến thức của mình bằng bài viết theo chuyên đề
mà các em tự chọn để các em tự học tự bồi dưỡng thêm kiến thức chuyên sâu cho minh.
9. Trực tiếp cọ xát những vấn đề đã nghiên cứu bằng chính những đề thi đề xuất
cho đồng nghiệp, đề thi đề xuất cho học sinh giỏi.
Đối với mỗi giải pháp này đều có những mặt tích cực riêng của nó, giáo viên tùy
thuộc vào điều kiện của bản thân và học sinh của mình để lập kế hoạch về mục tiêu, nội
dung, biện pháp và kỹ thuật thực hiện sao cho tối ưu nhất.
F. Tài liệu tham khảo
1. Tư liệu đề thi chon học sinh giỏi tỉnh Đăk Nông năm học 2013-2014.
2. Trang Vnmath.com
3. Tư liệu đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2014 (VMO2014)
4. Báo Toán học và tuổi trẻ tháng 8 năm 2014.
……………………………………Hết……………………………………

ĐT 0903565189

9