Giáo trình Hướng dẫn giải bài tập Cơ kỹ thuật 2 (Phần Động học)

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

CƠ KỸ THUẬT 2
(PHẦN ĐỘNG HỌC)

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 1


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

Phầ n I

PHẦN ĐỘNG HỌC

ĐỘNG HỌC (KINEMATICS)
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Mục đích của bài
 Giới thiệu các khái niê ̣m vị trí, dịch chuyển, vận tốc, và gia tốc.
 Khảo sát chuyển động của chấ t điể m do ̣c theo mô ̣t đường thẳ ng.
 Khảo sát chuyển động của chất điểm dọc theo đường cong , sử du ̣ng các hê ̣ toa ̣
đô ̣ khác nhau.
Yêu cầu đố i với sinh viên
Nhớ công thức xác đinh
̣ vi ̣trí , vâ ̣n tố c, gia tố c dưới da ̣ng véc tơ.

Giải được bài toán động học (xác định các đặc trưng của chuyển động : vị trí ,
dịch chuyển, vâ ̣n tố c, gia tố c , quãng đường đi được , xác định tính nhanh chậm
của chuyển động,…) đố i với chấ t điể m chuyể n đô ̣ng theo đường thẳ ng.
Biế t lựa cho ̣n hê ̣ toa ̣ đô ̣ phù hơ ̣p (hê ̣ toa ̣ đô ̣ Descartes , hê ̣ toa ̣ đô ̣ quỹ đa ̣o , hê ̣ toa ̣
đô ̣ cực, hê ̣ toa ̣ đô ̣ tru )̣ cho từng bài toán và giải đươ ̣c bài toán đô ̣ng ho ̣c của chấ t
điể m chuyể n đô ̣ng theo đường cong.

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 2


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

I. CÁC ĐẶC TRƢNG ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM
1. Vị trí
r  r t 

Quỹ đạo

2. Vâ ̣n tố c
v

dr
 r
dt

3. Gia tố c

a

dv
 v  r
dt

II. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyể n đô ̣ng thẳ ng
Vị trí
s  s t 

Dịch chuyển:

s  s  s

Vâ ̣n tố c
v  s
Véc tơ vận tốc v hướng theo chiề u chuyể n đô ̣ng.
Gia tố c
a  v  
s hay ads  vdv

Véc tơ gia tốc a cùng chiều chuyển động nếu chất điểm chuyển động nhanh dần
,
ngươ ̣c chiề u chuyể n đô ̣ng nế u chấ t điể m chuyể n đô ̣ng châ ̣m dầ n .
III. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyể n đô ̣ng cong
Để khảo sát chuyể n đô ̣ng của chấ t điể m mà quỹ đa ̣o của nó là đường cong , ta có thể sử
dụng hệ toạ độ Descartes , hê ̣ toa ̣ đô ̣ tự nhiên (hê ̣ toa ̣ đô ̣ tiế p tu yế n – pháp tuyến) hoă ̣c
hê ̣ toa ̣ đô ̣ cực, hê ̣ toa ̣ đô ̣ tru .̣
ĐỘNG
HỌC

Vị trí
r  xi  yj  zk
CHẤT
ĐIỂM:
hê ̣ toa ̣ đô ̣
Descartes

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 3


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Vâ ̣n tố c
v  xi  yj  zk
vx  x
v y  y

Quỹ đạo

vz  z

v  x 2  y 2  z 2

v tiếp tuyến với quỹ đạo.

Gia tố c

a  
xi  
yj  
zk
ax  vx  
x

y
a y  v y  

z
az  vz  
a  
x 2  
y 2  
z2

CHUYỂN
ĐỘNG
PHẲNG:
hê ̣ toa ̣ đô ̣
quỹ đạo
(tiế p tuyế n –
pháp tuyến)
(thường đươ ̣c
sử du ̣ng khi
đã biế t quỹ
đa ̣o chuyể n
đô ̣ng của chấ t
điể m).

 Vị trí: s = s(t)
t

et
t

v

A

A

en

s

nt

E

C

C

 Vận tốc:
v tiếp tuyến với quỹ đạo, hướng theo chiều chuyển động
v  vet
v  s

 Gia tốc

at

a  at et  ane n
at  v  
s hay at ds  vdv
an 

s2





v2

A
Quỹ đạo

a



an

C

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 4


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Nếu phương trình của quỹ đạo đã biết thì:

  dy 2 
1    
  dx  

d2y
dx 2

3/ 2

  dx 2 
1    
  dy  

d 2x
dy 2

3/ 2

, ρ được gọi là bán kính cong

của quỹ đạo tại A.

 Gia tốc pháp an luôn hướng về tâm của quỹ đạo.
 TH riêng: điểm chuyển động theo quỹ đạo tròn tâm C, bán kính R
R

 TH riêng: điểm chuyển động theo đường thẳng
   suy ra: an  0, a  at  v  s.
 TH riêng: điểm chuyển động trên đường cong với tốc độ không
đổi
at  v  0, a  an  v

CHUYỂN
ĐỘNG
KHÔNG
GIAN:
Hê ̣ toa ̣ đô ̣
quỹ đạo

2



s = s(t)
v  vet
v  s
Quỹ đạo

a  at et  ane n
at  v  
s
hay at 

an 

s 2





vdv
ds
v2

Mă ̣t phẳ ng
mâ ̣t tiế p với
quỹ đạo tại A



ab  0

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 5


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2
CHUYỂN
ĐỘNG
PHẲNG:
hệ tọa độ

cực

PHẦN ĐỘNG HỌC

 Vị trí
Quỹ đạo

r  Re R

 Vận tốc

v  vR e R  v e
v  R
R

v  R
 Gia tốc

a  aR e R  a e
  R 2
a R
R

v  R  2 R

ĐỘNG
HỌC
CHẤT
ĐIỂM:
hệ tọa độ

trụ

r  Re R  ze z

ez  k

v  R e R  Re  ze z









  R2 e  R  2R e  
a R
ze z
R


GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 6


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
 Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm

(đường thẳ ng hay đường
cong, chuyể n đô ̣ng phẳ ng hay chuyể n đô ̣ng trong không gian ba chiề u , đã biế t
hay chưa biế t).

 Chọn hệ trục toạ độ để khảo sát chuyển động .
 Sử du ̣ng công thức liên hê ̣ giữa toa ̣ đô ̣ vi ̣trí với vâ ̣n tố c và gia tố c tương ứng

với hê ̣ tru ̣c toa ̣ đô ̣ đã cho ̣n để xác đinh
(thực hiê ̣n
̣ các đa ̣i lươ ̣ng đươ ̣c yêu cầ u
phép tính đạo hàm hoặc tích phân, khi tích phân cầ n chú ý đế n điề u kiê ̣n đầ u ).

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 7


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương
trình x  3t  12t  6( m ) , trong đó t tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0
2

tới t=3s, (1) Vẽ đồ thị vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi
được; và (3) xác định dịch chuyển của chất điểm.
Lời giải
Phần 1
Do chuyển động là thẳng, vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau:

Các hàm này được vẽ trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s.
Chú ý đồ thị của x là parabol, nên sau khi đạo hàm ta nhận được hàm bậc nhất đối với
vận tốc và hằng số đối với gia tốc. Thời gian để giá trị của x lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
có thể được xác định bằng cách cho dx/dt=0, hay sử dụng phương trình v =–6t+12=0.
Ta có kết quả t=2s. Thay t=2s vào phương trình (a), ta tìm được

xmax  6m
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 8


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Phần 2

Hình (d) cho ta biết chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới
t=3s. Khi t=0, chất điểm dời điểm A (x =–6m) chuyển động sang phải. Khi t =2s, nó
dừng ở B (x = 6m). Sau đó nó chuyển động sang trái, tới C (x =3m) khi t=3s. Do đó,
quãng đường đi được bằng khoảng cách mà điểm dịch chuyển sang phải ( AB ) cộng
với khoảng nó di chuyển sang trái ( BC ), ta có

d  AB  BC  12  3  15m
Phần 3
Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban
đầu tới vị trí cuối cùng của nó. Véc tơ này (được chỉ ra là ∆r trong hình (d)) là

r  9i
Quan sát thấy rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) lớn hơn so với độ lớn
của véctơ dịch chuyển (9m) vì hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã
cho.
Bài 2
Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong hình (a) trượt dọc theo rãnh cố định
dạng parabol y2 =40x, trong đó x và y được đo bằng mm. Tọa độ y của P thay đổi theo
thời gian t (được đo bằng giây) theo phương trình y =4t2 + 6t mm. Khi y=30mm, tính
toán (1) véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của P.

Lời giải

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 9


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Phần 1
Thay thế
vào phương trình quỹ đạo và giải tìm x, ta có:

Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là:

Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm t ta được t=2.090s. Thay giá trị
này vào trong các phương trình (c) và (d) ta nhận được
Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là
Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây và trong hình (b).

Bằng việc tính độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm, dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận
tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo.

Phần 2
Từ các phương trình (c) và (d), chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc
bằng phép tính vi phân:

Thay t=2.090s, ta có:
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 10


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là:
Hình ảnh véctơ a là:

Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b), chúng ta thấy phương của véctơ a không
tiếp tuyến với quỹ đạo.

Bài 3
Xe ô tô trong hình vẽ chuyển động theo đường thẳng sao cho trong một khoảng thời
gian ngắn vận tốc của nó được xác định bởi v   3t 2  12t  ft/s , trong đó t được tính
bằng giây. Hãy xác định (1) vị trí và (2) gia tốc của nó khi t = 3s. Khi t =0, s =0.

Lời giải
Hệ tọa độ: Tọa độ vị trí kéo dài từ gốc cố định O đến xe ô tô, hướng sang phải là
dương.
Phần 1 Xác định vị trí
Vì v  f  t  , vị trí của ô tô có thể được xác định từ v  ds / dt (vì phương trình này liên
quan đến v, s, và t). Chú ý rằng s =0 khi t =0, chúng ta có

ds
 3t 2  2t
dt

v



s

0

ds    3t 2  2t  dt
t

0

s

 t  t
3

s

2



0

t

0

s  t t
3

2

Khi t =3s,
s   3   3  36ft
3

2

Phần 2 Xác định gia tốc
Vì v  f  t  , gia tốc được xác định từ a  dv / dt  6t  2 .
Khi t =3s, a  6  3  2  20ft/s2 .

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 11


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Bài 4
Một chiếc xe đua cho trong hình (a) chạy với vận tốc 90km/h khi vào một đoạn đường
cong dạng nửa đường tròn tại A. Lái xe tăng tốc một cách đều đặn, đạt vận tốc
144km/h tại C. Xác định giá trị của gia tốc khi xe ở B.

(a)

(b)

Lời giải
Do xe đi theo một quỹ đạo tròn, nên thuận lợi để mô tả chuyển động của nó bằng cách
sử dụng hệ tọa độ quỹ đạo.
Như thể hiện trong hình (b), chúng ta đặt s là khoảng cách được đo dọc theo quỹ đạo
từ A tới C.
Giá trị của gia tốc tiếp tuyến là hằng số từ A tới C, do tốc độ tăng đều. Do đó, tích
phân at ds  vdv ta có

v2
 at s  C1
(a)
2

trong đó C1 là hằng số tích phân. Hai hằng số at và C1 có thể được xác định bằng việc
sử dụng hai điều kiện của chuyển động:

Thay điều kiện 1 vào trong công thức (a) chúng ta tìm được:

 25

2

2

 0  C1

Từ đó hằng số tích phân
C1 =312.5(m/s)2
Thay điều kiện 2 và giá trị của C1 vào trong công thức (a) ta có

at =1.55m/s2
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

(b)

(c)
Page 12


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Như trong hình (b) hướng của at là hướng xuống tại B, theo hướng của sự tăng tốc.
Khi thay giá trị của C1 và at vào trong phương trình (a) quan hệ giữa v và khoảng cách
s được tìm ra là

v2
 1.55s  312.5
(d)
2
Để tính tốc độ của ô tô khi tới B, chúng ta thay vào s   R / 2  50 m phương trình
(d), kết quả nhận được là

v2
 1.55  50   312.5
2
v  33.35m/s
Các thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là

hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (b).
Giá trị của gia tốc tại B là
với hướng được chỉ ra trong hình (b).
Bài 5
Một dây đai mềm chạy vòng quanh hai puli đường kính khác nhau. Tại thời điểm như
trong hình vẽ, điểm C trên đai có vận tốc 5m/s và gia tốc 50m/s2 hướng như hình vẽ.
Tính toán giá trị gia tốc của điểm A và B nằm trên đai tại thời điểm đó.

Lời giải
Giả thiết rằng dây đai không giãn, chúng ta kết luận như sau:
1. Mỗi một điểm trên dây đai có cùng vận tốc, đó là vA = vB = vC = 5m/s.
2. Tỉ lệ thay đổi của vận tốc (dv/dt) của mỗi điểm trên dây đai là như nhau.
Do đó (aA)t = (aB)t = aC = 50m/s2.

Đối với điểm A

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 13


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Đối với điểm B

Bài 6
Một xe goòng trong hình (a) di chuyển với tốc độ không đổi 90km/h dọc theo một
đường ray hình parabol được mô tả bằng phương trình y =x2/500 trong đó x và y được
tính bằng mét. Tính toán gia tốc của xe goòng khi nó tại (1) điểm O và (2) tại điểm A.

(a)

Lời giải
Thảo luận ban đầu:
Bởi vì tốc độ của xe goòng là không đổi, thành phần gia tốc tiếp tuyến của nó bằng 0
tại tất cả các điểm dọc theo đường ray. Do đó, gia tốc chỉ có một thành phần gia tốc
pháp tuyến, được xác định bởi phương trình

a  an 

v2

(a)



trong đó  là bán kính cong của đường ray tại điểm khảo sát. Nhắc lại rằng an hướng
vào tâm của quỹ đạo cong.
Bán kính cong ở điểm bất kỳ với tọa độ x và y có thể được tính từ công thức

  dy 2 
1    
  dx  

d2y
dx 2

3/ 2

(b)

Đạo hàm liên tục phương trình parabol theo x ta có:

dy
x

dx 250
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

d2y
1


dx 2 250

(c)

Page 14


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Thay các phương trình (c) vào trong phương trình (b), chúng ta tìm ra bán kính cong
của đường ray là
2
  250 1   x / 250  



(d)

90 1000
 25m/s
60  60

(e)



v

3/ 2

Phần 1
Sử dụng phương trình (d), bán kính cong tại điểm O (xO =0) là

Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến trong công thức (a) là

Chú ý răng tiếp tuyến của đường ray tại O nằm trên trục x. Do đó (an)O nằm dọc trên
trục y hướng vào tâm cong của đường ray, như trong hình (b).

(b)

Phần 2
Sử dụng công thức (d) bán kính cong tại A (xA =100m) là

Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến là:

Sử dụng công thức đầu tiên trong các công thức ở (c), độ dốc của đường ray tại A là

Do đó, (an)A có hướng như trong hình (b) vuông góc với đường ray và hướng vào tâm
cong.

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 15


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Bài 7
Một con trượt A trong hình (a) trượt dọc theo một tay quay OB. Góc định vị của tay
2
quay là    t 2 rad, và khoảng cách của con trượt tính từ O thay đổi theo công thức
3
R  18t 4  4m , trong đó thời gian được tính bằng giây. Xác định vận tốc và gia tốc

của con trượt tại thời điểm t =0.5s.

(a)

Lời giải
Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của các tọa độ cực của con trượt A và hai đạo
hàm đầu tiên của nó ở thời điểm t = 0.5s:

Các thành phần của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức

Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t =0.5s là

Kết quả này được thể hiện trong hình (b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa
véctơ v và tay quay được tính toán như sau:

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 16


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

(b)

Các thành phần của gia tốc có được từ công thức

Véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t =0.5s là
Véctơ này được thể hiện trong hình (c). Giá trị của véctơ a và góc  được tính toán từ
công thức:

(c)

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 17


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Bài 8
Sợi cáp nối tời A với điểm B nằm trên xe goòng trong hình (a) được cuốn đều với vận
tốc 2m/s. Khi   600 , xác định (1) vận tốc của B và  ; và (2) gia tốc của B và  . Bỏ
qua bán kính của tời.

(a)

Lời giải
Từ hình (a) chúng ta thấy rằng chiều dài R của sợi cáp và góc  là các tọa độ cực của

điểm B. Khi   600 , chúng ta có:

Theo đề bài thì R được giảm đều với tốc độ hằng 2m/s .
  0
R  2m / s
R
Do đó
Chú ý rằng điểm B dịch chuyển theo đường thẳng, quỹ đạo nằm ngang. Do đó véctơ
vận tốc và gia tốc của nó sẽ theo phương nằm ngang.
Phần 1

(b)

Hình (b) cho thấy sự phân tích của véctơ vận tốc v của điểm B thành các thành phần
hướng kính và trực kính tại góc   600 . Do véctơ vR hướng ngược với véctơ eR
(hướng về A) nên vR  R  2m / s . Việc biết véctơ vR và phương của véctơ v (nằm
ngang) giúp chúng ta hoàn thành sơ đồ vận tốc. Từ quan hệ hình học, vận tốc của B tại
thời điểm khi   600 là:
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 18


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2
v

PHẦN ĐỘNG HỌC

2
 4m/s (hướng sang trái)

cos 600

Từ sơ đồ vận tốc cũng có được v  2 tan 600 . So sánh kết quả này với vR  R chúng
ta tìm ra được:

v 2 tan 600

 
 0.75rad/s (ngược chiều kim đồng hồ)
R
4.619
Phần 2
Sơ đồ gia tốc của điểm B khi   600 được thể hiện trong hình (c).

(c)

Thành phần hướng kính theo công thức:

Dấu âm chỉ ra rằng véctơ aR hướng ngược chiều véctơ eR. Do véctơ gia tốc a được biết
là nằm ngang, sơ đồ gia tốc có thể hoàn thành. Từ sơ đồ gia tốc, giá trị của gia tốc tại

  600 là:

Tham khảo một lần nữa sơ đồ gia tốc, chúng ta tìm ra được

a  2.598 tan 600
so sánh với a  R  2R ta có:

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 19


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Bài 9
Một khoang hành khách của một công viên giải trí được nối với một cột thẳng đứng
OC bằng cánh tay AB. Trong suốt một khoảng thời gian, cột quay với tốc độ không
đổi   1.2rad / s trong khi cánh tay AB được nâng lên với tốc độ không đổi

  0.3rad / s . Hãy xác định các thành phần vận tốc và gia tốc của khoang hành khách
theo tọa độ trụ tại thời điểm   400 .
Lời giải
Từ hình vẽ, chúng ta thấy rằng tọa độ R và z của khoang
hành khách là R = 4sin (m) và z = 6 – 4sin (m).
Chú ý rằng   0 (  const) , ta có tại   400

và

Hình M3.8

Các thành phần vận tốc theo tọa độ trục là:

Nhắc lại rằng  là hằng số, các thành phần gia tốc là:

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 20

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

ĐỘNG HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM

Mục đích của bài
 Trình bày chuyển động tương đối của hai chất điểm.
 Phân tích chuyển động ràng buộc của hai hay nhiều chất điểm: đưa ra các khái
niê ̣m về ràng buô ̣c đô ̣ng ho ̣c , số bâ ̣c tự do của cơ hê ̣ ; trình bày cách xác định
các ràng buộc động học, số bâ ̣c tự do.
Yêu cầu đố i với sinh viên
Nhớ công thức liên hê ̣ tương đố i giữa hai chấ t điể m về vi ̣trí , vâ ̣n tố c và gia tố c.
Giải được bài toán chuyển động tương đối của hai chất điểm .
Viế t đươ ̣c phương triǹ h ràng buô ̣c giữa các chấ t điể m trong bài toán cu ̣ thể , từ
đó đưa ra đươ ̣c liên hê ̣ vâ ̣n tố c và gia tố c của chúng.
Xác định được số bậc tự do của hê ̣ chấ t điể m .

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 21


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Tóm tắt nội dung

ĐỘNG HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM
1. Động học của
chuyể n đô ̣ng
tương đố i

rB  rA  rB / A
v B  v A  v B/ A
aB  a A  aB/ A

Quỹ đạo
của A
Quỹ đạo
của B

rB / A  rA/ B
v B / A   v A/ B
a B / A  a A/ B

2. Động ho ̣c của
chuyể n đô ̣ng ràng
buô ̣c

 Ràng buộc động học : các hạn chế hình học đặt lên các chất
điể m.
 Phương trin
̀ h ràng buô ̣c: Phương trin
̀ h liên hê ̣ giữa các toa ̣ đô ̣ vi ̣
trí của các chất điểm mô tả các ràng buộc động học đặt lên các
chấ t điể m.
 Toạ độ độc lập về mặt động học : Toạ độ vị trí của các chất điểm

mà không phụ thuộc vào các ràng buộc động học .
 Số bâ ̣c tự do : Số toa ̣ đô ̣ đô ̣c lâ ̣p về mă ̣t đô ̣ng ho ̣c cầ n để mô tả
đầ y đủ cấ u hình của mô ̣t hê ̣ chấ t điể m.

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 22


HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Hai máy bay A và B đang bay với vận tốc không đổi ở cùng độ cao. Vị trí của hai máy
bay tại thời điểm t = 0 được biểu diễn trong hình (a) (hệ quy chiếu xy là cố định trong
không gian). Hãy xác định (1) vận tốc tương đối của máy bay A so với máy bay B; (2)
véc tơ định vị tương đối của A so với B như là hàm của thời gian; và (3) khoảng cách
gần nhất giữa hai máy bay và thời điểm điều đó xảy ra.

Lời giải
Phần 1
Từ hình (a), vận tốc của các máy bay là
 40i  30 j 
v A  580 
  464i  348 j km/h
 50 

Quỹ đạo

tương đối
của A

 40i  30 j 
v B  260 
  208i  156 j km/h
 50 

Vận tốc tương đối của A so với B là
v A/ B  v A  v B   464i  348 j   208i  156 j
 256i  504 j km/h

Độ lớn và hướng của véc tơ này là
vA/ B  2562  5042  565.3km/h

  tan 1

256
 26.930
504

Véc tơ vận tốc tương đối này được biểu diễn trong hình (b). Lưu ý rằng v A/ B là vận
tốc của máy bay A khi được nhìn bởi một người quan sát (không quay) trong máy bay
B – tức là, vận tốc của A trong hệ toạ độ không quay xy gắn với máy bay B. Vì v A/ B
là véc tơ hằng, quỹ đạo tương đối của A đối với hệ toạ độ tính tiến xy là một đường
thẳng như biểu diễn trong hình (b).
Phần 2
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 23

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Véc tơ định vị tương đối của A so với B có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc
tương đối:
rA/ B   v A/ B dt    256i  504 jdt   256i  504 j t  r0

trong đó t tính bằng giờ và r0 là hằng số tích phân. Từ điều kiện đầu, rA/ B  30 j km khi
t =0, chúng ta có r0  30 j km . Do đó, véc tơ định vị tương đối trở thành
rA/ B  256ti   504t  30 j km

Phần 3
Ký hiệu khoảng cách giữa hai máy bay là s, chúng ta có
s 2  rA/ B   256t    504t  30  km2
2

2

2

(a)

Giá trị nhỏ nhất của s xảy ra khi d (s 2 ) / dt  0 , hay
2  256 t  2  504t  30 504  0
2

Giải phương trình này chúng ta được

t  0.04732h =170.3s

Thay giá trị này của t vào phương trình (a), chúng ta được khoảng cách gần nhất giữa
hai máy bay
s   256  0.04732   504  0.04732   30  13.59 km
2

2

Chú ý
Các kết quả trong phần 3 cũng có thể nhận được từ hình (b). Khoảng cách gần nhất
giữa hai máy bay xảy ra khi máy bay đến vị trí C. Từ tam giác ABC, chúng ta có
smin  BC  30sin 26.930  13.59km

Thời gian cần thiết để tới vị trí đó là
AC 30cos 26.930
t

 0.0743h =170.3s
vA/ B
565.3

Bài 2
Hình (a) biểu diễn một hệ gồm hai khối hộp A và B được nối với nhau bởi một dây
không giãn vắt qua hai ròng rọc. Xác định liên hệ động học giữa vận tốc và gia tốc của
các khối hộp.

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

Page 24

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2

PHẦN ĐỘNG HỌC

Lời giải
Cơ hệ trong hình (a) có một bậc tự do vì một toạ độ (yA hoặc xB), xác định cấu hình của
hệ. Để thuận tiện, ta đánh số các ròng rọc và ký hiệu khoảng cách cố định, h, như đã
chỉ ra trên hình (b). Đặt L là chiều dài của dây, chúng ta có
L = yA + (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 1) + (yA – h)
+ (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 2) + xB
Vì L, h, và chiều dài của đoạn dây cáp quấn quanh mỗi ròng rọc là không đổi, đạo hàm
hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta có
vB  2vA

Đạo hàm phương trình này theo thời gian, ta nhận được
aB  2aA

Bài 3
Hai vòng khuyên A và B được nối với nhau bởi một sợi dây có chiều dài L. Vòng
khuyên A đang di chuyển sang phải với vận tốc không đổi vA. Xác định vận tốc và gia
tốc của vòng khuyên B như là hàm của vA và góc θ.

Lời giải
Hệ có một bậc tự do vì chỉ một toạ độ (xA, yB, hoặc θ) xác định cấu hình của hệ.
Phương trình ràng buộc thể hiện liên hệ giữa các toạ độ là
xA2  yB2  L2

GV. Nguyễn Thị Kim Thoa

(a)

Page 25