the tich do dinh quan

CHUYấN TH TCH

Phần 1.
Thể tích khối đa diện
A. Lý thuyết
1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)
2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện
*Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính đợc
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và
phần bù vào cũng tính đợc thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V=
3

1
S
đáy
. h
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau:
a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60
o

b) AB = a, SA = l
c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
giải:
a) Gọi O là tâm ABC đều
SO (ABC)
S
ABC
=
2
1
a
2
3a
=
4
3
2
a
ABC có SA = SB; ABC = 60
o

SA = AB = SB = a

C
S
A
B
O
a
SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2
=
2
2
2
3
2
3

a
a
a
=
1
CHUYấN TH TCH

SO = a
3
2
Vậy VSABC = SABC . SO =
3
1
.
4
3
2
a
.
a
3
2
.

3
2
2
a
l

b) Tơng tự câu a đáp số:
VSABC =
3
1
.

4
3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2
- OA
2
= l
2

-
9
4
AA
2
Tam giác vuông SOA có:

sin'.sin
3
1
'
3
1
AASO
AA
SO
==
(2)
Từ (1) (2) ta có:

2
9
4
2
9
1
sin'.sin' lAAAA
=+

O

B
A'
A
C
a

AA
2
(sin
2
+ 4) = 9l
2


4sin
3
2
'
+
=

l
AA
SABC =
)4(sin2
33
4sin3
3
4sin
3

2
1
2
1
2
2
22
..'.
+
++
==


l
ll
BCAA
4sin
sin.
4sin
3
3
1
22
sin..
++
==

ll
SO
VSABC =
3
1
SABC . SO =
4sin).4(sin
sin
3
3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB = a, AC = a
3
. Hình chiếu
vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a?
Giải.
-Gọi H là trung điểm BC
AH (ABC) (gt)
-Ta có SABC =
3.
2
2
1
2

1
aACAB
=
-Vì AH (ABC) AH AH
Tam giác vuông AHA có:
AH
2
= AA
2
- AH
2
= (2a)
2
-
4
1
.(a
2
+ 3a
2
)
hay AH
2
= 4a
2
- a
2
= 3a
2
AH = a

3
B
C
H
2a
a
a 3
C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.
a
aa
=
Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có
AB = BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC
a) tính VSABC
2
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’). TÝnh VSAB’C’
Gi¶i
a)
S∆ABC =
2
2
1
2
1
. aBCBA
=
; SA =a
⇒ VSABC =
3
1
S∆ABC .SA =
6
1
a
3
a
C
A
a
a
B'
C'
B
b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB c©n t¹i A ⇒ AB’ ⊥ SB
B’S = B’B

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)
AC’ ⊥ SC
C¸ch 1
2
2
2
1
2
1
2'
a
aSBAB
===
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'
a
SC
SA
SC
==
B’C’
2

= SB’
2
- SC’
2
=
66
''
2
aa
CB
=⇒

⇒S∆AB’C’ =
3462
2
1
2
1
2
..'''.
aaa
CBAB
==
⇒V∆AB’C’ =
363243
1
32
..
aaa
=

C¸ch 2
3
' '
1 1
2 3
3
a
SB SC
SB SC
a
= = =
3
' '
3
3
' ' '
1 1 1
' ' '
6 6 6 36
3
SAB C
SABC
a
V
SA SB SC a
SA B C
V SA SB SC
a
V a
= = = ⇒ = =

Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB,
(SAD)) = β. TÝnh VSABC.
Gi¶i
3
CHUYấN TH TCH

Dễ thấy
(SB, (ABC)) = = SBA
(SB, (SAD)) = = BSD
ABC cân AD BC
DB = DC
SAB có cos =
SB
AB
(1)
BC AD
BC SA (vì SA (ABC)
BC (SAD) BC SD
a
B
A
C
D
S
Tam giác vuông SB có sin =
SB
BD
(2)
Từ (1) (2)

sinsincos
22
aAB
BDAB

==



sin
cos
22
2
2
aAB
AB

=
AB
2
(sin
2
cos
2
) = -a
2
cos
2
AB =

cos
2
sincos
1
22
a

SSAB =BD.AD =
2
2
2 2 2 2
sin sin
cos
cos cos
cos sin cos sin
. .
Sin a
a
AD AB





= =
SA = AB. tan =


22

sincos
sin

a
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

a


22
2
sincos
sin

a
=


22
3

sincos3
cossin

a
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó.
Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của
hình chóp BAMNC.
Giải
4
CHUYấN TH TCH

Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có BD AC
(vì ABCD là hình vuông)
(Ax, Cy) (ABCD)
BD (AMNC)
BI (AMNC)
BI =
2
2
2
a
BD
=
x
n
A
D
C
m

B
M
N
Diện tích hình thang AMNC là S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(...
62
2
2
2)(
3
1
3
1
2
nmBIS
a
a
anm
AMNC
+==

+
*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đ-
ờng tròn ngoại tiếp đáy.
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đờng cao của các mặt bên xuất phát từ
một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn nội tiếp đáy
-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của
mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao của khối chóp sẽ song song
hoc nm trờn với đờng thẳng đó.
-Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của
khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng
chứa đỉnh đã nói ở trên.
*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc . Tính
VSABC
Giải
A
S
C
B
H
a
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
5
CHUYấN TH TCH

- Ta có: ABC =

sin..
2
1
ACAB

mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos = 2AB
2
(1-cos ) = a
2
AB =
2
cos1


a
SABC =
24cos1
sin
22
1
2
2
1

cossin
22




aa
AB
==

HA = R =

sin2sin2
aBC
=
Tan giác vuông có tan =
AH
SH
SH =


cos2sin2
tan
aa
=
VSABC =



cos24

cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot..
a
aa
ABC
SHS
==

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =
3
và góc giữa 2 đờng chéo = 60
o
. các cạnh bên nghiêng
đều trên đáy 1 góc 45
o
. Tính VSABCD
Giải
A
B
C
O
D
-Hạ SO (ABCD)

- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là
hình chữ nhật và {O} = AC BD
- Đặt AC = BD =x.
Ta có S
hcnABCD
=
2
1
AC.BD.sin60
o
=
3.
2
4
3
2
3
2
2
1
==
xx
x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân tại S SO =
1
2
1
=

AC

VSABCD =
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o
, CSA = 120
o
.
a) Chứng minh rằng ABC vuông
b) Tính VSABC
Giải
a)
H
B
A
S
C
a
6
CHUYấN TH TCH

=
=
o
ASB
SBSA
60
AB = a
-Tam giác vuông SBC có BC
2
= SB
2
+ SC
2
= 2a
2
-SAC có AC
2
= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2

- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL

HA = HB = HC H là trung điểm AC
ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a SH
2
= SB
2
- BH
2
=
24
2
aa
SH

=
BH =
2
3
2
a
AC
=
(Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH =
22
aSA
=
)
VSABC =
12
2
6
1
2
1
3
1
3
1
23
.2.....
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
. SAC và SBD là các tam giác đều có
cạnh =
3
.
Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD =
4
6

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a,
BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
2a
3a
C
D
H
K
- Hạ SH (ABCD), H (ABCD)
- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là tâm đờng tròn nội tiếp đáy
- Gọi K là hình chiếu của H lên AD
- Ta có HK =
a
AD
=
2
- Tam giác vuông SHK có HK = a

SK =
32
2
3
aa =
(vì SAD đều)
SH =
23
22
aaa
=
Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
7
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

⇒SABCD =
2
2
2.5
2
).(
5a
aa
ADCDAB
==
+
⇒VSABCD =
3
5
2

3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a,
SB = a
3
, (SAB)
⊥
(ABCD). M, N lần lượt là trung ®iÓm AB, BC. TÝnh VSBMDN
Gi¶i
S
A
D
C
H
B
M
N
∆SAB h¹ SH b AB
(SAB) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)
S∆CDN = S∆MDA =
4

1
S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN =
2
1
S⋄ABCD =
2
1
2a.2a = 2a
2
∆SAB cã AB
2
= SA
2
+ SB
2
= 4a
2
⇒ SAB vu«ng t¹i S
⇒
222222
3
4
3
11111
aaaSBSASH
=+=+=
⇒ SH =
2
3a
⇒VSBMDN =

3
1
S⋄BMDN.SH =
2
3
2
3
2
3
1
3
.2
aa
a
=
Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD =
2
1
AD. ∆SBD vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng
vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a.
TÝnh VSABCD
Gi¶i
S
H
15a
8a
A
D
C
B

-Trong ∆SBD kÎ SH b BD
V× (SBD) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD)
-Tam gi¸c vu«ng SBD cã
222
111
SDSHSH
+=
8
CHUYấN TH TCH

hay
222
225
1
64
11
aaSH
+=
hay
aaSH
17
120
289
14400
.
==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1

AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o
-SBD có BD
2
= SB
2
+SD
2
=289a
2
BD = 17a
CBD có BD
2
=2BC
2
(1+
2
1
) = 3BC
2
= 289a
2
BC =

a
3
17
SBCD =
12
3289
2
3
2
3
289
2
1
2
2
1
2
..120sin
a
o
aBC
==
SABCD = 3SBCD =
12
3289
2
a

VSABCD =
3

1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2
a
a
= 170
3
a
3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng

(ABCD).
SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc . Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải
S
A
D
C
K
B
H
Trong SCD hạ SH

CD
Vì SCD cân tại S
H là trung điểm CD.
SH

CD
(SCD)

(ABCD
SH

(ABCD)
Gọi K là trung điểm AB
Ta có HK

AB
AB

SH (vì SH

(ABD))
AB

(SKH) AB

SK SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH =
SAB có SK = acos , AB = 2AK = 2asin
SHK vuông tại H có SH =SK.cos = acos
2

KH = SKsin = asincos. SABCD =AB.BC = 2asin.asincos
= 2a2sin
2
cos VSABCD =
23
3
2
.3
1
sinaS
ABCD
SH
=

Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60
o
,
BC = a, SA = a
3
, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
Giải
9
CHUYấN TH TCH

H
C
A
B
a

M
Cách 1.
SA b (ABC)
Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H MH b (ABC)
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
2
3
2
1
a
SA
=
SABC =
3.60tan..
2
2
1
2
1
2
1
aaaBCAB
o
==
VMABC =
42
3
2
2

1
3
1
3
1
3
.3..
a
a
ABC
aMHS
==

Cách 2.
2
1
==
SB
SM
V
V
ASABC
MABC
VMABC =
SABC
V
2
1
mà VSABC =
3

1
SA.SABC =
63.3
3
2
1
2
2
1
3
1
aaa
=
Vmabc =
3
4
1
a
Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA

(ABCD),
AB = a, SA = a
2
. H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC

(AHK) và
tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
A
C

O
H
K
a
a
N
F
E
B
D
a


2
S
y
x
AH

SB (gt) (1)
BC

AB (vì ABCD là hình vuông)
BC

SA (vì SA

(ABCD))
BC

(SAB) BC

AH (2)
10
CHUYấN TH TCH

Từ (1) (2) AH

(SBC AH

SC (3)
Chứng minh tơng tự ta có: SC

AK (4)
Từ (3) (4) SC

(AKH)
Gọi {F} = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE

(AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK

+=
AK =
3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS
==
+
Dễ thấy AH =
3
2
a
AKH cân tại A
Dễ thấy SBD có
BD
KH
SD
SK
=
mà SK =
2 2 2 2
2
2

3
3
2
a
SA AK a a = =
SD = a
3

SO
SF
a
a
BD
KH
===
3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF =
3
1

SO
2
1
=
SF
OF
SAC có : OA = OC

2
1
==
SF
OF
SN
OE
OE =
2
1
SN =
2
1
a
SAHK =
2
1
KH.
4
2
2
HK

AK

=
9
22
2
a
V =
=

AHK
.
3
1
SOE
27
22
3
a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(
2
a
,
2
a
, 0)

SKA
:
SAD
SD
SA
SA
SK
=
SK=
3
2a
K(0,
2
3
a
,
2
3
a
)
ABS có
SHSBAS .
2
=
SH=
3
2a
H(
2
3

a
,0,
2
3
a
)
Ta có
)
3
2
,0,
3
2
(
a
aAH
=

)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK
=

,0)

2
,
2
(
aa
AO
=
[
AKAH ,
] =(
9
4
,
9
22
,
9
22
222
aaa

)
VOAHK=
6
1
|[
AKAH ,
].
AO
|=

3
27
2
a
11
CHUYấN TH TCH

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
2
,
SA = a, SA

(ABCD). M, N lần lợt là trung điểm AD và SC. {I} = BM AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.
Giải
a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
SA

(ABCD)
Gọi {O} = AC BD
Trong SAC có ON // SA

ON

(ABCD) NO

(AIB)
Ta có NO =
22
1
a
SA
=
Tính SAIB = ?
ABD só I là trọng tâm
SABI =
3
2
SABO =
4
1
3
2
.
SABCD =
3
2
a.a
2
=
6
22

a
SANIB =
3
1
NO.SAIB =
36
2
6
2
23
1
32
..
aa
a
=

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD)

(ABCD), SAD đều. Gi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
A
C
N
a
D
P
B

M
F
E
S
y
x
z
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) (ABCD) SE

AD
(SAD)

(ABCD)
SE

(ABCD)
- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) MF // SE. Dễ thấy F EB và F là trung điểm EB
12
CHUYấN TH TCH

Ta có MF =
2
1
SE =
4
3
2
3
2
1

.
aa
=
SCNP =
2
8
1
8
1
4
1
aSS
ABCDCBD
==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3
4
3
2
8
1
3
1
3
.

aa
a
=
Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x EN, oy ED, oz ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đờng tròn
tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OOAB
Giải
B
A
A'
O'
O
H
D
Kẻ đờng sinh AA. Gọi D đối xứng với A qua O, H là hình chiếu của B trên
AD.
Ta có BH

AD
BH

AA
BH

(AOOA)
BH là đờng cao của tứ diện BAOO
SAOO =
2
2

a
, AB =
3'
22
aAAAB
=
ABD vuông ở B BD=a
OBD đều BH=
2
3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA

(ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3a

.
(BCM) SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Giải
13
CHUYấN TH TCH

S
A
D
C
B
N
M
H
Ta có SAB=60
0
SAB vuông tại A có AM =
3
3a
, AB = a ABM = 30
0
Kẻ SH BM thì SH là đơng cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 30
0
= a
BC//(SAD) MN//BC
AD
MN
SA
SM

=
MN =
3
4. a
SA
SMAD
=
SBCMN =
33
10
).(
2
1
2
a
BMBCMN
=+
VSBCMN =
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o
;

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lợt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là
hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
Giải
A
D
S
H
M
N
Ta có BC//AD ,BC=
AD
2
1
,MN//AD , MN=
AD
2
1
BC = MN , BC// MN (1)
BC AB
BC SA
14
CHUYấN TH TCH

BC (SAB) BC AM (2)
Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH BM thỡ SH (BCNM)
Vsbcnm=
3
1
SBCNM.SH=

3
1
BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có ABC vuông. AB = AC = a;
AA
1
= a
2
. M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a.
H
C
B
C
D
Cách 1:
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC mà
ABC cân H CC với C là trung điểm AB
SABC =
xxxABCC
x
.4.4'.
2
4
1
42
1
2
1
2
==
HC = RABC =
2
4

2
2
22
4
1
1.4
cossin4
sin2
x
xx
C
x
xx
CC


===
Tam giác vuông HCD có HD
2
= CD
2
- DC
2

=
2
2
2
4
3

4
1
1
x
x
x



=

HD =
2
2
4
3
x
x


VABCD =
2
2
2 2
3
1 1 1
3 3 4 12
4
. . 4 . . 3
x

x
ABC
x
S HD x x x



= =
Cách 2:
15