De thi Tuyen sinh lop 10 nam hoc 2009-2010 - Toan chuyen

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
QUẢNG NGÃI Năm học 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN (HỆ CHUYÊN)
Tóm tắt cách giải Biểu điểm
Bài 1 (3,5 điểm).
1) (1,0 điểm)
Rút gọn P
( )
( )
*
2
2 2 2
P = 15a -8a 15 +16 = (a 15) - 2a 15.4 + 4 = a 15 - 4
= a 15 - 4
Thế
3 5
+
5 3
a =
8
=
15
vào (*) ta được:
P = 4
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
2) (1,0 điểm)
Giải phương trình:
( )

2 2
25 10 3 1- - - =x x

Điều kiện:
( )
*
2 2
2
- 10 10
2 2
25- 0 25
10
10- 0 10
x
x x
x
x x
 
 
≤ ≤
 
 
 
≥ ≤
⇔ ⇒ ≤ ⇒
≥ ≤
(1)
2 2
25 3 10x x⇔ − = + −

2 2 2
25 9 6 10 10x x x⇔ − = + − + −

2
10 1x⇔ − =
(2)
Phương trình (2) có 2 nghiệm
1
3x =
;
2
3x = −
( thỏa mãn với điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
1
3x =
;
2
3x = −

3) (1,5 điểm)
Điều kiện
2
m -4n > 0∆ =
Gọi
1
x
,
2
x

là nghiệm của phương trình. Không mất tính tổng quát ta giả sử
2
x
>
1
x
.
Theo Vi-et ta có :
1 2
1 2
m
n
x x
x x





+ = −
=
Mặt khác :
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 1 1 2
2
3 3
2 1 2 1 1 2 1 2
4x x x x x x

x x x x x x x x

− = + −


 
 − = − + −
 
 


Nên ta có :
( )
2
2
25 4
35 5
m n
m n

−


= −


=

2
2

4 25
7
m n
m n

− =

⇔

=


−
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Giải hệ phương trình ta được
6
1
n
m
−


±

=

=
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy các giá trị cần tìm là :
1; 6
1; 6
m n
m n
= = −


= − = −

0,5 điểm
0,25 điểm
Bài 2: ( 2,0 điểm ).
1) (1,0 điểm)
Vì b là số nguyên tố khác 3 nên b
2
- 1
M
3.
Ta có A = 3n + 1 + 2009b
2
= 3( n + 1 + 669b
2
) + 2b
2
- 2
= 3( n + 1 + 669b
2

) + 2(b
2
- 1)
M
3
Do A > 3 nên A là hợp số với mọi n
∈
N.
2) (1,0 điểm)
Để
2
n +18n + 2020
là số chính phương thì
2 2
n +18n + 2020 = m
(1) với
m nguyên, dương,
(1)
2 2
m -18n -n = 2020⇔

(
)
( )
( ) ( )
2 2
2
2
m - n +18n = 2020
m - n +9 = 2020-81=1939

m-n -9 m + n +9 =1939
⇔
⇔
⇔
Mà 1939 = 1939 . 1 = 277 . 7
Nên
m + n +9 =1939
m-n -9 =1



hoặc
m + n +9 = 277
m-n -9 = 7



* Với
m + n +9 =1939 m + n =1930
2n =1920 n = 960
m-n -9 =1 m -n =10
 
 
 
⇔ ⇒ ⇒
* Với
m + n +9 = 277 m + n = 268
2n = 252 n =126
m-n -9 = 7 m - n =16
 

 
 
⇔ ⇒ ⇒
Thử lại các giá trị của n vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài.
Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm.
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 3 (1,0 điểm)
Do x > 0 nên N > 0
N⇒
lớn nhất
1
N
⇔
nhỏ nhất.
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2
2010 2010
1 2.2010 2010
4.2010 4.2010
x
N
x x

x
x x x
+ −
+ +
= = = + ≥

dấu “ = “ xảy ra khi
2010x =
.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của
1
N
là 4.2010 = 8040 đạt được khi x = 2010
Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất là
1
8040
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 4 (1,5 điểm)
Vẽ hình đúng
a) Chứng minh E, F nằm trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi.
0,25 điểm
Ta có
·
·
AEB = ACE

( cùng chắn cung EB )

⇒

ΔAEB ΔACE (g-g):
⇒
AE AB
=
AC AE

⇒

2
AE = AB.AC
Vì A, B, C cố định
⇒
AB. AC không đổi
Mà AE = AF
⇒
AE = AF không đổi khi (O) thay đổi.
Vậy hai điểm E, F nằm trên đường tròn cố định tâm A bán kính
AB.AC
khi
đường tròn (O) thay đổi.
b) Chứng minh EK // AB:
Vì IB = IC ( giả thiết )
⇒

OI BC
⊥
Ta có
·

·
·
0
AEO = AFO = AIO = 90
⇒
năm điểm A, E, I, O, F cùng thuộc đường
tròn đường kính AO.
⇒

·
·
AEF = AIF
( cùng chắn cung
»
AF
)

·
·
AEF = EKF
( cùng chắn cung
»
EF
)

·
·
AIF = KIC
( đối đỉnh )

⇒
·
·
EKF = KIC
( hai góc ở vị trí so le trong )

⇒
EK // AB
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 5 (2,0 điểm)
1) (1,0 điểm)
Gọi R là bán kính của đường tròn (O); R > 0.
Do AB = BC =
2 5
cm
»
»
AB = BC OB AC⇒ ⇒ ⊥
tại I
Và IA = IC,
∆
ACD vuông tại C (nội tiếp trong đường tròn (O))
⇒
OI // CD nên OI là đường trung bình
của tam giác
∆

ACD
⇒

CD
OI = = 3
2
cm
Áp dụng đinh lý Pitago cho
∆
OIC ta có :
OC
2
= OI
2
+ IC
2

⇔
IC
2
= R
2
- 9
Mặt khác
∆
BIC vuông, ta có :
BC
2
= BI
2

+ IC
2

⇔
IC
2
=
( )
( )
2
2
2 5 - R -3
Vậy
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
R -9 = 2 5 - R -3 R -3R -10 = 0 R + 2 R -5 = 0⇔ ⇔

Nghiệm dương của phương trình là R = 5 thỏa mãn với điều kiện ban
đầu. Do đó bán kính của đường tròn (O) là R = 5cm.
2) (1,0 điểm)
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
B
D
A

O
C
I
K
I
C
B
E
A
O
F
Gọi C là giao điểm của đoạn OA và đường tròn,
N là trung điểm của OC.
Ta có :
ON OM 1
= =
OM OA 2
( )
ONM OMA c.g.c
AM =2MN
⇒ ∆ ∆
⇒
:
Từ đó : MA + 2MB = 2MN + 2MB
≥
2BN (không đổi)
Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BN.
Lúc đó M chính là M
0
là

giao điểm của đoạn BN và đường tròn (O; R)
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Ghi chú:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một trong các cách giải, mọi cách giải khác nếu
đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định ở từng bài.
-Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho từng
bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi chấm.
-Điểm toàn bộ bài không làm tròn số.
C
M
B
O
N
M
A
0
TUYẾN SINH VÀO 10 NĂM HỌC 2009-2010
MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ TOÁN CHUYÊN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Phân
môn
Mức độ
Mạch kiến thức
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng CỘNG
Số học
Số nguyên tố, hợp số

Bài 2.1
1,0
1 bài
(2 câu)
2,0 điểm
Tìm số tự nhiên theo điều
kiện cho trước
Bài 2.2
1,0
Đại số
Căn bậc hai : rút gọn và tính
giá trị của biểu thức
Bài 1.1
1,0
2 bài
(4 câu)
4,5 điểm
Bất đẳng thức, giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trong
Đại số
Bài 3
1,0
Phương trình bậc hai : Giải
phương trình; điều kiện có
nghiệm, không có nghiệm
Bài 1.2
1,0
Định lý Vi-et
Bài 1.3
1.5

Hìnhhọc
Đường tròn; các yếu tố
trong đường tròn; quĩ tích
Bài 4.1a
0,75
Bài 4.1b
0,75
Bài 4.2
1,0
2 bài
(4 câu)
3,5 điểm
Bất đẳng thức, giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất trong
hình học
Bài 5
1,0
TỔNG CỘNG
3 câu
2,75 điểm
4 câu
4,25 điểm
3 câu
3,0 điểm
5 bài
(10 câu)
10 điểm