Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính (2019)

10/11/2019

KHÁI NIỆM
Một ánh xạ

f : Rn  Rm

được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

f ( x  y )  f ( x)  f ( y ), x, y  R n
f ( x)   f ( x), x  R n ,   R

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 5

10/10/2019

1

VÍ DỤ

10/10/2019

2

VÍ DỤ 1
Kiểm tra điều kiện đầu tiên.

Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự
Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính

10/10/2019

3

VÍ DỤ 2

10/10/2019

4

MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

f : Rn  Rm

Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay
không?

a) f : R 2  R 2 , f ( x, y )  ( 2 x  3 y;6 x  5 y )
b) f : R 2  R 2 , f ( x, y )  ( 2 x  3 y;6 x  5 y  5)



A ,   f 1  

10/10/2019

5

10/10/2019

 f  2  

...  f  n  


6

1


10/11/2019

XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F

VÍ DỤ 3
f : R3  R 2 , f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  2 x2  3x3 ,2 x1  x3 )
E  (1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)
F  (1,1);(1,2)

 f  x     A ,  x 

10/10/2019

7

GIẢI

10/10/2019

8

VÍ DỤ 4
f : R3  R 3 , f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x3 , x1  x2 ,  x2  x3 )
( )  1  (1,1,1); 2  (1,1,2); 3  (1,2,3)
(  )  1  (0,1,1);  2  (1,0,1); 3  (1,1,0)

Ma trận cần tìm:
10/10/2019

9

VÍ DỤ 5

10

VÍ DỤ 6
f :R R ,
n

f ( x1 , x2 ,

10/10/2019

, xn )  (a11x1  a12 x2 
,

m

 a1n xn , a21x1  a22 x2 

, am1 x1  am 2 x2 

 a2 n xn ,

 amn xn )

Cho ánh xạ tuyến tính: f : R 3  R 2

Biết ma trận của f trong cặp cơ sở:

E  1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 
Là:

2
AE , F  
0

F  1,1 ,  2,1
1
3

 3
4 

A) Tìm f(3,1,5)
B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3)
10/10/2019

11

10/10/2019

12

2


10/11/2019

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 6
Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E)

10/10/2019

13

VÍ DỤ 6

10/10/2019

14

VÍ DỤ 7
Cho ánh xạ tuyến tính:

f : R3  R3

f  x   f  x1 , x2 , x3    x1  x2  x3 ,2 x1  x2  x3 ,3x1  4 x2  x3 

A) Tìm f(2,1,5)
B) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở:

E  1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2 
C) Tính f(2,1,5) theo công thức và so sánh với a)

10/10/2019

15

GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG
 a11 a12
a
a22
A   21


 an1 an 2

10/10/2019

16

VÍ DỤ 8

a1n 
a2 n 




ann 

A.x  .x

10/10/2019

17

10/10/2019

18

3


10/11/2019

VÍ DỤ 9

GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG

10/10/2019

19

ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG

PA ( ) 

10/10/2019

20

TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG

a11  
a21

a12
a22  

a1n
a2 n

an1

an 2

ann  

PA ( )  0
10/10/2019

21

KHÔNG GIAN CON RIÊNG

10/10/2019

10/10/2019

22

BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG

23

10/10/2019

24

4


10/11/2019

3 1 1
4 2


1 1 3

VÍ DỤ 10

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận A   2

10/10/2019

25

VÍ DỤ 10

10/10/2019

VÍ DỤ 11

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận

Định lý. Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác
nhau thì độc lập tuyến tính.

2 1 0 
A   0 1 1


 0 2 4 

10/10/2019

27

CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VUÔNG

10/10/2019

26

28

CHÉO HÓA MA TRẬN
- Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A.
- Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n  ma
trận A không chéo hóa được
- Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo
hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T
là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính.

T 1 AT  D

Định lý. Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ
khi bội hình học của mọi giá trị riêng luôn bằng bội đại số
của chúng.
10/10/2019

29

10/10/2019

30

5


10/11/2019

VÍ DỤ 12

VÍ DỤ 13

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.

Ma trận nào sau đây chéo hóa được?

1
A   3
3


 3 1 1
B   7 5 1


 6 6 2 

5 4 6
A 4 5 6 


 4 4 5

10/10/2019

31

VÍ DỤ 13

3
5
3

3 
3 
1 

10/10/2019

32

VÍ DỤ 13

10/10/2019

33

10/10/2019

34

VÍ DỤ 14

VÍ DỤ 15

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.

A) Hãy chéo hóa ma trận A nếu được:

2
A   4
3



4
6
3

3 
3 
1 

B) Tính A100

5 0 0 0
0 5 0 0

A
 1 4 3 0 


 1 2 0 3 

Giải.

10/10/2019

35

10/10/2019

36

6


10/11/2019

VÍ DỤ 15

VÍ DỤ 15
B) Ta có:

Sinh viên tự tính kết quả sau cùng.

10/10/2019

37

VÍ DỤ 16

10/10/2019

10/10/2019

38

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO

39

10/10/2019

40

ĐỊNH LÝ

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO

Chú ý.
- Ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được.
- Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực
giao P.
- Ma trận chéo hóa trực giao được thì đối xứng.
10/10/2019

41

10/10/2019

42

7


10/11/2019

CÁC BƯỚC CHÉO HÓA TRỰC GIAO

VÍ DỤ

Chú ý. Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên

không cần kiểm tra.
Để tìm cơ sở trực chuẩn ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng
quá trình Gram-Schmidt.
10/10/2019

43

10/10/2019

44

45

10/10/2019

46

VÍ DỤ

10/10/2019

DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Định nghĩa. Dạng toàn phương trong không gian Rn là
một hàm số thực:

f:

n

Được xác định bởi:

f x

xT Ax,

x1
x

x2

n

...
xn

Với A là ma trận đối xứng (thực) và được gọi là ma trận
của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)
10/10/2019

47

10/10/2019

48

8


10/11/2019

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R3

VÍ DỤ
Cho:

x1

x

2
3

A

x2

Thường được ghi dưới dạng sau:

3
4

f x

f x1, x2 , x3

Ax12

Bx22

Cx32

2Dx1x2

2Ex2 x3

2Fx3 x1

Ta có dạng toàn phương trong R2
Ma tận dạng toàn phương:
T

x1

T

2 x12

x Ax
x Ax

x2

1 2

3x1x2

2
3

3

4

x1
2 2

3x1x2

x2

4 x22

2 x1

3x2

3x1

4 x2

2 1

2 x12

6 x1x2

x1
x2

M

4 x22

Dễ thấy:

Nhận xét các phần tử của A và các hệ số của dạng toàn
phương.
10/10/2019

f x
49

VÍ DỤ

A
D
F

D
B
E

A
x1 x2 x3 D
F

F
E
C

D

B
E

10/10/2019

F x1
E x2
C x3

xT Mx
50

DẠNG CHÍNH TẮC

Cho dạng toàn phương trong R3

q( x)  2 x12  3x22  x32  x1 x2  4 x2 x3  6 x1 x3 .
Tìm ma trận A của q(x).

Đáp án


 2

1
A  
 2
 3





1
2

3
2


3

2 .

1



10/10/2019

51

DẠNG CHÍNH TẮC

10/10/2019

52

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bằng phép biến đổi trực giao.

Trong dạng chính tắc, các số hạng có dạng bình phương.
Ma trận A của dạng toàn phương ban đầu là ma trận xét trong cơ sở chính
tắc.
Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương nhưng xét trong cơ sở
khác (cơ sở trực giao)

10/10/2019

53

10/10/2019

54

9


10/11/2019

VÍ DỤ.

VÍ DỤ
Ma trận của dạng toàn phương:
Chéo hóa bằng ma trận trực giao:

10/10/2019

55

VÍ DỤ

56

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Dạng chính tắc cần tìm:

Phép biến đổi Lagrange

f  y1 , y2 , y3   7 y12  7 y22  2 y32

- Sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng
toàn phương về dạng chính tắc
- Dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp,
không cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.

Phép biến đổi cần tìm:

 x1 
 y1 
 
 
x  Py   x2   P  y2 
x 
y 
 3
 3
10/10/2019

- Cơ sở không phải là trực chuẩn nên sẽ khó khăn.
Chú ý. Phép biến đổi x=Py gọi là không suy biến nếu ma
trận P không suy biến.

57

PP LAGRANGE

xi  yi  y j
10/10/2019

10/10/2019

xk  xk ,

10/10/2019

58

VÍ DỤ

x j  yi  y j
k  i, j

59

10/10/2019

60

10


10/11/2019

VÍ DỤ

VÍ DỤ
Một cách tương tự:

Bước 3. Lập thành dạng tổng bình phương ở nhóm 1

+ Chọn số hạng:
+ Tạo 2 nhóm:

Ta có:

+ Lập dạng tổng bình phương:

Bước 4. Lặp lại cho dạng toàn phương sau:

10/10/2019

14 2
x2
3

61

VÍ DỤ

10/10/2019

62

VÍ DỤ

Ta có dạng:

Phép biến đổi cần tìm:

Dạng toàn phương này không có số hạng bình phương.

Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2):

Dạng chính tắc cần tìm:

10/10/2019

63

VÍ DỤ

10/10/2019

64

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Ta có:

f  x   0, x  0
f  x   0, x  0

10/10/2019

65

10/10/2019

f  x   0, x

x1 : f  x1   0

f  x   0, x

x1 : f  x1   0

x1 , x2 : f  x1   0, f  x1   0

66

11


10/11/2019

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

10/10/2019

LUẬT QUÁN TÍNH

67

ĐỊNH THỨC CON CHÍNH

10/10/2019

68

TIÊU CHUẨN SYLVESTER.

Ký hiệu các định thức con chính:
10/10/2019

69

VÍ DỤ

10/10/2019

10/10/2019

70

VÍ DỤ

71

10/10/2019

72

12


10/11/2019

ỨNG DỤNG TRONG ĐƯỜNG BẬC 2

10/10/2019

VÍ DỤ

73

VÍ DỤ

10/10/2019

74

KIỂM TRA 45PH
Hãy chéo hóa các ma trận sau đây (nếu được)

A

10/10/2019

75

10/10/2019

3
1
1

4 2
7 7
4 4

B

1
3
1

3
5
1

3
3
1

76

13