Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng

PHƯƠNG TRÌNH VI
CHƯƠNG
6
PHÂN & ỨNG DỤNG
1


KHÁI NIỆM CHUNG
Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa
các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực
tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối
tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối
tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo
hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy.
Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ được viết dưới
dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình
vi phân.

2


ĐỊNH NGHĨA
Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập,
hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi
chung là phương trình vi phân.
Ví dụ.

y (y '+ x )- x y ' = 0 ;
2

(

F x , y , y ', y ¢¢, ..., y

dy
= 2xy
dx
(n )

)= 0

3


CẤP CỦA PTVP
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo
hàm có mặt trong phương trình.
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

F (x , y , y ') = 0 hay y ' = f (x , y )

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:
Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:

(

)

(n )
¢
¢

¢
F x , y , y , y , ..., y
= 0

4


VÍ DỤ
Nêu cấp của các PTVP sau:

a ) y (y '+ x )- x 2y ' = 0

b ) (2x + 1)dx + x 2 (y - 1)dy = 0
c ) y '' = 4 xy 2 - 2xy '

5


VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP
Một bể chứa 20 kg muối hịa tan trong 5000 lít nước.
Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với
tốc độ 25 lít/phút. Dung dịch được trộn kỹ và thốt ra
khỏi bể với cùng tốc độ. Sau 30 phút thì trong bể còn lại
bao nhiêu muối?

6


VÍ DỤ
Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t.

Ta có y(0)=20
Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút
Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút
Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200
Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t)
Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200
Hay y’=0,75-0,005y

7


MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1
Giả định:
+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số.
Mơ hình tốn học của giả định trên?

8


MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2
Giả định:
+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số.
+ Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm
về K khi dân số tăng quá K)
Hãy đưa ra mơ hình tốn học?

9


PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có
dạng:

ỉ dy ư÷
F (x , y , y ') = 0 hay F ỗỗx , y , ữ
= 0
ữ
ỗố
dx ứữ
Trong ú:
- F xỏc nh trong miền G thuộc R3
- x là biến độc lập, y là hàm cần tìm

10


NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1
Nghiệm tổng quát
Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát)

Nghiệm riêng
Nghiệm kỳ dị

11


NGHIỆM TỔNG QUÁT
y = j (x , C

)

Dạng:
Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C
Với mọi điểm ( 0,

0)

∈

ta đều tìm được C0 sao cho

y 0 = j (x 0 , C 0 )

12


NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN
Tên khác: tích phân tổng quát
Hệ thức Φ , ,
= 0 hay Φ , ) =
gọi là nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân trong miền D nếu nó
xác định nghiệm tổng qt của phương trình trong D.

13


NGHIỆM RIÊNG
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0
xác định được gọi là nghiệm riêng.

Nghiệm riêng:
Tích phân riêng:

14


NGHIỆM KỲ DỊ
Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm
tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C.

15


PTVP CẤP 1 THƯỜNG GẶP
PT biến số phân ly
PT biến số phân ly được
PT đẳng cấp cấp 1
PT tuyến tính cấp 1
PT Bernoulli
PT vi phân toàn phần

16


PT BIẾN SỐ PHÂN LY
Dạng:

g(y)dy=f(x)dx

Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x.

Ta có:

ị g (y )dy

=

ị f (x )dx

Û G (y ) = F (x )+ C

Ví dụ.
2x
ydy =
dx
2
1+ x

17


PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
Dạng 1.

f1 (x )g 1 (y )dy = g 2 (y )f 2 (x )dx

Cách giải:
Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly
Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0

18

VÍ DỤ
Giải phương
trình:
2

(

)

x (y + 1)dx + x - 1 (y - 1)dy = 0

Đáp án:
Nghiệm tổng quát:

3

1
ln x3  1  y  2ln y  1  C
3

Nghiệm: y=-1
Nghiệm: x=1
19


PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
Dạng 2.

y ¢ = f (ax + by )

Cách giải:
Đặt z=ax+by
Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz

20


VÍ DỤ
Giải phương trình sau:

Đáp số:

y ¢= 3x - y

1
= Ce x
3x - y - 3

21


PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP CẤP 1
Dạng:

 y
y  f  
 x
Cách giải:

Đặt t=y/x
Đưa về dạng biến số phân ly

22


V D
Gii phng trỡnh sau:

2

x +y
y Â=
2xy

2

ỏp ỏn:

ổy 2
ử
2
2
ữ
x ỗỗỗ 2 - 1ữ
=
C

y
x

= C 1x
ữ
1
ữ
ỗốx
ứ

23


PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1
Dạng phương trình:¢

y + p (x )y = q (x )

trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b)
nào đó.
Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất.
Nếu q(x) ≠ 0 ta có phương trình khơng thuần nhất.

24


PHƯƠNG PHÁP GIẢI
B1. Giải phương trình thuần nhất

y ¢+ p (x )y = 0
B2. Giải phương trình khơng thuần nhất bằng phương pháp
biến thiên hằng số

(

)

y ¢+ p (x )y = q (x ) q (x ) ¹ 0
B3. Cơng thc nghim tng quỏt:

ử
p(x )dx ổ
p(x )dx
ũ
ũ
ữ
ỗỗ q (x )e
y= e
dx
+
C
ữ
ữ
ỗốũ
ứ
-

25