Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

18/10/2017

nh ngha nguyờn hm

CHNG 4

nh ngha: Cho hm f(x) liờn tc trờn (a,b). Ta núi F(x)
l mt nguyờn hm ca f(x) trờn (a,b) nu:

TCH PHN HM MT
BIN & NG DNG

Bi ging Toỏn Cao cp 1

Nguyn Vn Tin

F x f x , x a , b
Vớ d:



Bi ging Toỏn Cao cp 1

Tớch phõn bt nh
Tớch phõn bt nh ca hm f(x) ký hiu:

f x dx
c xỏc nh nh sau:

f x dx

tan x laứ moọt nguyeõn haứm cuỷa 1 tan 2 x




treõn R \
2n 1



2




a x laứ moọt nguyeõn haứm cuỷa a x ln a treõn R.
Nguyn Vn Tin

Tớnh cht

i ) f x dx f x


ii ) k . f x dx k f x dx
iii ) f x g x dx f x dx

g x dx

F x C

F(x) l mt nguyờn hm ca f(x).
C: hng s tựy ý.
Bi ging Toỏn Cao cp 1

Nguyn Vn Tin

Bi ging Toỏn Cao cp 1

Cụng thc nguyờn hm c bn
1. k dx
3.

dx

x

5. a x dx

Bi ging Toỏn Cao cp 1

2. x dx
4.

dx

x

6. e x dx

Nguyn Vn Tin

Nguyn Vn Tin

Vớ d
Tớnh cỏc tớch phõn sau
a .
c .

2x 1
dx
x x 1





b . e x e 2 x 1 3 dx

2

x 3x 1
dx
x

Bi ging Toỏn Cao cp 1

Nguyn Vn Tin

1


18/10/2017

Ví dụ

Ví dụ

• Tính các tích phân sau



• Tính các tích phân sau



a . x 3 cos x 4  2 dx
c .

2

b .

2x  1dx

5

1  x .x dx

2

0
1

c )
0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1

a) 

4  x 2 dx

x
dx
1 x2

d )

dx

0
2

dx
1 x2

2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Ví dụ

b) 

Nguyễn Văn Tiến

Tích phân hàm mũ
i   e dx  e  C
1
ii   e dx  a e
iii   e du  e  C
x

• Tính các tích phân sau

• Công thức:

c )  x cos xdx

d )  x arctan xdx

x

ax b

b )  2x  1 sin xdx

a )  x ln xdx

x x2 1

ax b

u

C

u

• Ví dụ. Tính các tích phân sau:
a)A 



3e 4 x dx

c )C 



xe  x dx

b) B 

e

x4

4 x 3dx

I0

2

d ) D  a . e Tx dx
0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ

• Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi
qua điểm (1;0) và:

1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua
điểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi
điểm.
2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị
sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phí
cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và
tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm.

dy

dx

e x 3

• Đáp án:
y 2

Bài giảng Toán Cao cấp 1



e x 3  e 2



Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

2


18/10/2017

Ví dụ

Ví dụ

• Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến
dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người
nghe hàng ngày.
• Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1
ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người
nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là:
S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày.
• Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu
chiến dịch.
• Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát
thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng
lên đến 41.000 người.
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân
• Tăng trưởng giới hạn
• Tăng trưởng không giới hạn

• Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu
thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế
p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi
tuần cho bởi:
p ' x    0, 015e  0,01x

• Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá
là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp.
• Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$
• Đáp số:
 0,01x

p x   1, 5e

Bài giảng Toán Cao cấp 1

 3, 44

Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân
• Khái niệm
dy
 6x 2  4 x
y '   400e  0,01x
dx
dy
dy
 ky
y " xy ' x 2  5

 2xy
dx
dx

• Nghiệm của PTVP là hàm số???

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân
Bài toán lãi kép liên tục
Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu
A là số tiền có được sau thời gian t
Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t
bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời
gian đó.
• Ta có mô hình:
•
•
•
•

dA
 r .A
A 0   P
dt
• R: hằng số phù hợp
Bài giảng Toán Cao cấp 1

A, P  0

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân
• Ta có mô hình:
dA
1 dA
1 dA
 r .A 
r  
dt   rdt
dt
A dt
A dt
1
 
dA  rt  ln A  rt  C  A t   e rt .e C
A
• Mặt khác:
A 0   e r 0 .e C  P  A t   P .e rt

• Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r
và t là thời gian đầu tư.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

3


18/10/2017

Luật tăng trưởng theo hàm mũ
• Định lý. Nếu
•
•
•
•
•
•

=

và (0) =

0

thì

=

0

Trong đó:

Q0: khối lượng tại t=0
r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối
t: thời gian
Q: khối lượng tại thời điểm t
Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài toán tăng trưởng
• Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010
(t=0). Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm sau
năm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ gia
tăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian.
• A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng trưởng
của dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% là
tốc độ tăng trưởng lien tục.
• B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030?
• Đáp số:
• a) P=1,2.e0,0015t b) 1,6 tỷ người.
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tăng trưởng giới hạn
• Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy …) ta
luôn giả sử có một mức kỹ năng tối đa có thể
đạt được M.
• Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu

của mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa
M.
• Ta có mô hình
dy
 k M  y 
dt
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Phân rã phóng xạ
• Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải
Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn
sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không
đổi trong mô của nó.
• Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ
giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với
lượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238
• Ví dụ. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa
điểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng xạ
cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương
(làm tròn đến 100 năm). Đ/S: 18.600 năm
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Bài toán tăng trưởng
• Nếu quy luật tăng trưởng mũ có thể áp dụng
được cho dân số Việt Nam. Hãy tìm tốc độ tăng
trưởng để sau 100 năm nữa dân số Việt Nam
tăng gấp đôi?
• Đáp số: 0,69%.
• Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi
suất r (%/năm). Sau bao nhiêu năm thì số tiền

gửi tăng lên gấp đôi?

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tăng trưởng giới hạn
• Một cách tương tự ta có:
dy
dy
 k M  y  
 kdt
dt
M y
dy
 
  kdt   ln M  y  kt  C
M y
 M  y  e kt C  M  y  e C .e kt
y 0   0  M  e C



y  M 1  e  kt

y 0   0
Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1



Nguyễn Văn Tiến

4


18/10/2017

Một số mô hình tăng trưởng mũ

Ví dụ
• Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà
người đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện
tập được xấp xỉ bởi:



y  50 1  e  0,04 t



• Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?
• Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Tăng trưởng mũ
Đặc điểm

Mô hình

Tăng trưởng không
giới hạn
Tốc độ tăng trưởng tỷ
lệ với lượng hiện tại
Phân rã theo hàm mũ
Tốc độ phân rã tỷ lệ
với ượng hiện tại

=

PT
= .

, > 0;
0 =
=−
, >0
0 =

Bài giảng Toán Cao cấp 1

= .

Tăng trưởng mũ

Ứng dụng

Đặc điểm

Tăng trưởng ngắn hạn
(người, vi khuẩn)
Tăng trưởng của tiền khi
tính lãi liên tục

Tăng trưởng giới hạn
Tốc độ tăng trưởng tỷ
lệ với hiệu của lượng
hiện tại và một giá trị
cố định

Cạn kiệt tài nguyên thiên
nhiên
Phân rã phóng xạ
Hấp thụ ánh sáng (trong
nước)
Áp suất khí quyển (t là chiều
cao)

Nguyễn Văn Tiến

•
•

•
•

Gọi t là thời gian tính theo phút.
A) Tìm công thức x(t)
B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn.
C) Tìm giới hạn: lim x t 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

t  

Nguyễn Văn Tiến

Mô hình

Tăng trưởng Logistic
Tốc độ phân rã tỷ lệ
với lượng hiện tại và
hiệu của lượng hiện
tại và một giá trị cố
định

= (

PT
− )

Ứng dụng

=

(1 −

, > 0;
0 =

=

(

− )

=

) Bán hàng thời trang
Khấu hao thiết bị
Tăng trưởng công ty
Học tập

1+

, >0
0 =

1+

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Sự lan truyền tin đồn

• Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan
truyền với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số
người chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng số người.
Một một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe
được tin đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và:
dx
 0, 001x 400  x 
x 0   1
dt

Nguyễn Văn Tiến

Tăng trưởng dân số
dài hạn
Bán hàng mới
Sự lan truyền của
tin đồn
Tăng trưởng công ty
Bệnh dịch

Nguyễn Văn Tiến

Sự lan truyền tin đồn
dx
 0, 001x 400  x 
dt
400
x t  
1  399e  0,4 t

x 0   1

400
 7, 272889
1  399e  0,4*5
400
x 20  
 352, 7805
1  399e  0,4*20
lim x t   400
x 5  

t

• Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX
nghe được tin đồn?
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

5


18/10/2017

Tích phân xác định

Diện tích dưới đường cong
• Tổng bên trái - Left Sum
• Tổng bên phải – Right Sum

• Diện tích dưới đường
cong
• Diện tích phần hình được
tô màu là bao nhiêu?
• Tính xấp xỉ bằng tổng
diện tích hình chữ nhật

• Ta có: 11,5=L4Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nhận xét
• Chia đoạn [1;5] thành
16 đoạn ta có:

Nguyễn Văn Tiến

Đánh giá sai số
• Sai số của xấp xỉ: chênh lệch giữa giá trị thực tế
và giá trị xấp xỉ
• Không thể tính được cụ thể nhưng có thể đánh
giá được nó.
• Ví dụ. Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính bằng L16
thì sai số tối đa bao nhiêu?

L16  13, 59  Area  15, 09  R16

• Chia thành 100 đoạn ta
có:
L100  14, 214  Area  14, 545  R100
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Định lý

Ví dụ

• Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b]
• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau.
• Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởi
hàm f, trục 0x và 2 đường thẳng x=a; x=b
• Chặn trên của sai số là:

• Cho hàm số
= 9 − 0,25 2
• Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đến
x=5.
• A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽ
các hcn trái, phải trong đoạn [2;5] với n=6
• B) Tính L6; R6 và sai số khi xấp xỉ
• C) Để sai số xấp xỉ không quá 0,05 thì n tối

thiểu là bao nhiêu?

f b   f a  .

b a
 f b   f a  . x
n
(Chênh lệch 2 đầu mút)
* (Độ dài 1 khoảng chia)

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

6


18/10/2017

Tổng tích phân

Tổng Riemann

• Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b]
• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các
điểm chia như sau:

• Ta có:
S n  f c1 . x  f c 2 . x  ...  f c n . x 

n

 f c . x
k 1

k

• ck là điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk]

a  x 0  x 1  x 2  ...  x n  b

• Khi này:
Ln  f x 0  . x  f x 1  . x  ...  f x n 1  . x 
Rn  f x 1  . x  f x 2  . x  ...  f x n  . x 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

n

 f x . x
k 1

k 1
n

 f x . x

k

k 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Một số tổng quan trọng
n

a)

C
i 1
n

c)

 a
i 1
n

e)



n

 n .C

b)

 bi  

n

a
n n  1
i 
i

i 1



 n n  1

g )  i  

2
i 1



i 1
n

n

b
i 1

i

d)

 a
i 1
n

f)

2

i 1
n

i

 Ca

i

2

i

 C  ai
i 1

 bi  

n

n

a b
n n  12n  1

i 1

i

i 1

6

i 1

2

Ví dụ

n

i

3

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tích phân xác định

i

• Tính tổng Riemann cho hàm số
= 3−6
trên đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bên
phải của mỗi đoạn.
• Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong
trường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổng
đó khi n∞

Bài giảng Toán Cao cấp 1

b


a

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tích phân xác định

• Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b]

khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giới
hạn hữu hạn I khi
∞
• Giới hạn này được gọi là tích phân xác định của
hàm số f(x) trên đoạn [a,b]
b
• Ký hiệu:
I 

Nguyễn Văn Tiến

n

 f c   x
i 1

x 

 f x dx

k

b a
n

a

f x dx  lim

n

n

 f c   x
k 1

k

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

7


18/10/2017

Ý nghĩa hình học

Tích phân xác định

• Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ
thị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b.

• Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:
b

 f x dx

 lim

n

a

n

 f c   x
k

i 1

(nếu giới hạn này tồn tại).
• Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].

Bài giảng Tốn Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Tốn Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Chú ý

Ví dụ
b



f x  : hàm lấy tích phân

• Tính tích phân:

dx : biến độc lập x .

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau  x 

là một số, không phụ thuộc vào x .

• Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải.
• Ta có:

: dấu tích phân

a, b : các cận lấy tích phân
b

Tích phân

 f x dx
a

b



f x dx 

a

Tổng Riemann:

n

b



f t dt 

a

b



a

n

f r dr

a

 f x  x
i 1

 e dx
x

*
i

 f c   x
i 1

k

S  h . ea h

n

 f a  i.h  h  h . e

 e a 2 h  ...  e a n .h 

n .h
1  e h  ...  e n 1.h   e a h .h 1  e




1  eh


Nguyễn Văn Tiến





Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2

• Cho n tiến đến vơ cùng ta có:

h
S e .
. 1  e b a
1  eh
n 
S 
 e a 1  e b a  e b  e a
h0







• Như vậy:

• Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạn
dưới đây (khơng tính giới hạn)
n

a ) lim

n 

b ) lim

n 

b



h
. 1  e b a
1  eh

Bài giảng Tốn Cao cấp 1

Ví dụ
a h

a h

i 1

S  e a h .

Bài giảng Tốn Cao cấp 1

b a
h
n

10

2

2i 



i

 n 5  n 
i 1
n

 4n tan 4n
i 1

e x dx  e b  e a

a

Bài giảng Tốn Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Tốn Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

8


18/10/2017

Ví dụ

Bài b
10

• Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổng
Riemann. Không tính giới hạn
6

a)

10

x

 1  x5 dx

b)

2

1

10



c)

  x  4ln x  dx

 sin 5 xdx

a)

0

x

6

  x  4ln x  dx
1
n
n
9  9 n 
9
9  9


Rn   f  xi  x   f 1  i.    1  i.   4ln 1  i.  
n  n i 1 
n

n  n

i 1
i 1 
n 1
n 1
9  9 n 1 
9
9  9


Ln   f  xi  x   f  1  i.    1  i.   4ln  1  i.  
n  n i  0 
n
n  n

i 0
i 0 

9
Rn  Ln  S n  S0  f  xn  x  f  x0  x   f 10   f 1 
n

dx

2

n

M n   f  ci  x

i 1
n

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

9
9  9 n 
9
9
9
9  9


M n   f 1 
 i.     1 
 i.   4ln 1 
 i.  
2
n
n
n
n  n
 n i 1  2n Nguyễn
 2n
i 1Caocấp 1
Bài giảng Toán
Văn Tiến

Ví dụ

Tính chất cơ bản

• Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xác
định trên khoảng cho trước.
n

a ) lim

n

x
i 1
n

i





cos x i
x
xi

b ) lim



c ) lim



d ) lim

  4  3 x 

n

n

n

i 1
n

i 1
n

, 2; 6 
 

ln 1  x i2  x



*

i

i 1

b

,  ; 2  

2

a

5
 6 xi*  x


 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

b
a

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tính chất
• Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b].
Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũng
khả tích trên các đoạn còn lại và:

c

b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a

a

Tính chất
Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta có:
b

i ) f  x   0 x   a; b    f  x  dx  0
a
b

ii ) f  x   0 x   a; b    f  x  dx  0
a
b

c

• Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay
đổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một số
hữu hạn điểm.
Nguyễn Văn Tiến

b

iii) f  x   g  x  x   a; b   f  x  dx   g  x  dx

Hệ quả:

a

b

a

b

 f  x  dx   f  x  dx
a

Bài giảng Toán Cao cấp 1

a

,  0; 2 

Nguyễn Văn Tiến

b

b

  f ( x)   g ( x) dx    f ( x)dx    g ( x)dx

, 1; 8 

2c i  c i2  x

Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó:
• Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b]
• Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b]

Bài giảng Toán Cao cấp 1

a
Nguyễn Văn Tiến

9


18/10/2017

• Nếu m 

Tính chất
f  x   M , x   a, b 

Định lý giá trị trung bình
• Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử:

m  min f

b

• thì: m  b  a    f  x  dx  M  b  a 

b

a

 f  x  dx  . b  a 

• Và:

• Ví dụ. Chứng minh rằng:

M  max f

• Khi này tồn tại µ sao cho m    M

a

1

• Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc
[a;b] sao cho: b

0

 f  x  dx  f  c  . b  a 

2
1
  e x dx  1
e

a
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Chứng minh

Công thức đạo hàm theo cận trên
• Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a x  

• Ta có:

 x  h    x  

x

 f t dt

x h

x

x h

a

a

x

 f t dt   f t dt   f t dt

• Mặt khác:

a

x h

• Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì:

 f t dt  f c h .h

c h   x ; x  h 

x

  x   f x 

• Vậy:

• Hàm ( ) liên tục trên [a;b]

 x  h    x 
h

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến







f c h  .h
h



Bài giảng Toán Cao cấp 1

Công thức Newton - Leibnitz
• Định lý. Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là một
nguyên hàm của f(x) thì:



h 0
 f c h  
 f x 

Nguyễn Văn Tiến

Công thức Newton - Leibnitz
• Ta có:

b

 f x dx

 lim

a

n 

n

 f c x
k 1

k

k

 x k 1 

• Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta có:
b

 f x dx

 F b   F a   F x 

a

b

f c k   F ' c k  

a

F x k   F x k 1 
x k  x k 1

• Vậy:
• Tại sao lại thế???

n

lim

n 

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

 f c x
k 1

k

k

Bài giảng Toán Cao cấp 1

 x k 1  

n

 F x   F x   F b   F a 
k 1

k

k 1

Nguyễn Văn Tiến

10


18/10/2017

Cụng thc Newton - Leibnitz
Do ( ) l mt nguyờn hm nờn ta cú:
x

x

f t dt F x C
a

Ta cú: a 0 F a C C F a
Vy:

b

b

f t dt F b C

F b F a

a

b

f x dx

F b F a

a

Bi ging Toỏn Cao cp 1

Nguyn Vn Tin

Vớ d
Tớnh chớnh xỏc din tớch di ng cong y=1x2, gia x=0,5 v x=1 v trc Ox.
Gii.
Ta cú:

1


x3
x

3

0,5
0,5
3
3


1
0,
5






1 0, 5
0, 208333
3
3

1

S

1 x dx
2

Bi ging Toỏn Cao cp 1

Vớ d

Tớch phõn hm i xng

Tớnh chớnh xỏc din tớch di ng cong
y=x2+1, gia x=0 v x=4 v trc Ox.
Gii.
Ta cú:

Cho f liờn tc trờn [-a; a].
i) Neỏu f laứ haứm chaỹn f x f x thỡ:
a



a





Bi ging Toỏn Cao cp 1

a

0

a

Nguyn Vn Tin

Tớnh chiu di ca mt cung
Din tớch hỡnh phng
Th tớch khi trũn xoay
Giỏ tr trung bỡnh ca hm s

Bi ging Toỏn Cao cp 1

Ta cn tớnh
chiu di cung
t a n b.
b



L
n

PP
i 1

i

i 1

L lim

n

Nguyn Vn Tin

Nguyn Vn Tin

Chiu di ca cung

a

Bi ging Toỏn Cao cp 1

0

f x dx

Mt s ng dng ca tớch phõn





a

f x dx 2 f x dx

ii) Neỏu f laứ haứm leỷ f x f x thỡ:

4

x 3

S x 2 1 dx
x

3

0
0
43
03

76


4 0
3

3
3
4

Nguyn Vn Tin

2

1 f ' x dx




n

x
i 1

n


i 1

x i 1 y i y i 1
2

i

2

1 f ' c i . x



Bi ging Toỏn Cao cp 1

2

b


a

n


i 1

x 2 f ' c i x



2

2

1 f ' x dx


Nguyn Vn Tin

11


18/10/2017

Chiều dài của cung

Chiều dài của cung

• Định lý. Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dài
của dây cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là:

• Định lý. Nếu đường cong có phương trình dạng
x=g(y) và g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài
của đường cong trên đoạn [c,d] là:

b

L 

2
1   f ' x  dx




a

d

L 

• Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1)
đến điểm (4;8)
L 



1
80 10  13 13
27

Bài giảng Toán Cao cấp 1



Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Diện tích mặt tròn xoay

• Ta có:
n



4

A   r1  r2  

Diện tích mặt tròn xoay
A  lim

5 2

Diện tích mặt nón cụt

A  r .

Bài giảng Toán Cao cấp 1



Diện tích mặt tròn xoay

Diện tích mặt nón

A  2 r .h

ln
5

2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Diện tích mặt tròn xoay
• Diện tích hình trụ

c

• Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0)

đến điểm (1;1)
L 

Nguyễn Văn Tiến

2

1   g' y  dy





• Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý
n

  y
i 1

i 1

 y i  Pi 1Pi

b

2

A  2   f x  1   f ' x  dx



a

b

2

A  2   f x  1   f ' x  dx



• Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý

a

n

  y
i 1

i 1

 y i  Pi 1Pi 


n

  y

i 1
n

 y i  1   f ' c k   x



 2 .f c 
i 1

Bài giảng Toán Cao cấp 1

2

i 1

k

d

c

2

1   f ' ck   x


Nguyễn Văn Tiến

2

A  2   g y  1  g ' y  dy




Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

12


18/10/2017

Ví dụ

Giá trị trung bình của hàm số

1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đường
parabol y=x2 từ điểm (1;1) đến (2;4)
• A) Quanh trục Oy.
• B) Quanh trục Ox
2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]
• Giá trị trung bình của hàm f là:
1
b a

Bài giảng Toán Cao cấp 1

b

 f x dx
a

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• 1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trên
đoạn [-1;2]
• 2) Cho hàm cầu như sau:

• Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàm
chi phí, hàm doanh thu.
• Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t)
• Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất

P  D  1 Q   100e  0,05Q

• Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu
trong đoạn [40, 60]
• Đáp số: 1) -5/2
2) 8,55$.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên
là:

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên
là:

MC Q   90  120Q  27Q 2

MC Q   50  18Q  45Q 2  4Q 3

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

13


18/10/2017

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận
biên là:

• Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

MR Q   3Q 2  8Q  30

• Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá
theo sản lượng.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

MR P   4 P 3  3P 2  24P  15

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4

(triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng
theo giá.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Xác định quỹ vốn

Tích phân trong phân tích kinh tế
• Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức
sản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định là
FC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả
biến
• Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi
mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định
hàm tổng doanh thu.

Nguyễn Văn Tiến

• Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹ
vốn K là hàm theo biến thời gian t.
• Ta có: I=I(t); K=K(t)
• Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại
thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm
đó)
I(t)=K’(t)
• Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ
vốn như sau:

K  t    K   t  dt   I  t  dt
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tích phân trong phân tích kinh tế
• Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la
một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là
K(1)=10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹ
vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4
đến tháng 9

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Thặng dư tiêu dùng
• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của
người mua.
• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người
bán.
• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp
nhận mua sản phẩm.
• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản
phẩm hay dịch vụ,
• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua
trừ đi mức giá mà họ thực sự trả.
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

14


18/10/2017

Đo lường CS bằng đường cầu

Mức sẵn lòng trả của 4 người mua

• Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng mà
người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại những mức
giá khác nhau.
John
Paul
George
Ringo

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

100
80
70
50

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Biểu cầu và đường cầu

Nguyễn Văn Tiến

Đo lường thặng dư tiêu dùng

Price of
Album
(a) Price = $80

John ’s willingness to pay

$100

Price of
Album
$100

Paul’s willingness to pay

80

John ’s consumer surplus ($20)

George’s willingness to pay

70

80

70

Ringo’s willingness to pay

50

50

Demand

Demand

0

0

1

2

3

4

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Quantity of
Albums
Nguyễn Văn Tiến

1

2

3

4

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Đo lường thặng dư tiêu dùng

Quantity of
Albums

Nguyễn Văn Tiến

Đo lường thặng dư tiêu dùng
(a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1

(b) Price = $70

Price
A

Price of
Album
$100
John ’s consumer surplus ($30)
80

50

Consumer
surplus

Paul ’s consumer
surplus ($10)

70

P1

Total
consumer
surplus ($40)

B

C

Demand
Demand
0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

1

2

3

4 Quantity of
Albums

Nguyễn Văn Tiến

0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Q1

• Diện tích
phía dưới
đường
cầu và
trên mức
giá chính
là thặng
dư tiêu
dùng.

Quantity

Nguyễn Văn Tiến

15

18/10/2017

Thặng dư tiêu dùng

Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng
(b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2

• Consumer’s Surplus

Price

• Nếu ( ; ) là điểm trên đường cầu
p=D(x) khi này thặng dư tiêu dùng CS
tại mức giá là:

A

Initial
consumer
surplus
P1

x

C
B

Consumer surplus
to new consumers

CS 


0

D x  p  dx
  

x

CS 

P2

F
D
E
Additional consumer
surplus to initial
consumers

0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Q1

Demand

Q2

Quantity

Nguyễn Văn Tiến

• CS thể hiện tổng tiết kiệm của người
tiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớn
hơn cho sản phẩm nhưng vẫn mua
CS 
được sản phẩm ở mức giá .
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Thặng dư sản xuất

 D x dx  x .p
0

Q

 D Q dQ  Q .P
1

0

Nguyễn Văn Tiến

Chi phí của 4 người bán

• Producer’s Surplus

• Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được
trả trừ đi chi phí cho sản phẩm.
• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị
trường.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Dùng đường cung đo lường PS

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Biểu cung và đường cung

• Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu.
• Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

16

18/10/2017

Đo lường PS bằng đường cung

Dùng đường cung đo lường PS
(a) Price = $600

(b) Price = $800

Price of
House
Painting

• Diện tích
phía dưới
mức giá và
trên đường
cung chính
là thặng dư
sản xuất.

Supply

$900
800
600
500
Grandma’ s producer
surplus ($100)

Price of
House
Painting

Supply
Total
producer
surplus ($500)

$900
800
600

Georgia’s producer
surplus ($200)

500

Grandma’s producer
surplus ($300)

0

1

2

3

4
Quantity of
Houses Painted

Bài giảng Toán Cao cấp 1

0

Nguyễn Văn Tiến

1

Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất

3

4
Quantity of
Houses Painted

Nguyễn Văn Tiến

Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất
(b) Thặng dư sản xuất ở giá P2

(a) Thặng dư sản xuất ở giá P1
Price

Price
Supply

B
Producer
surplus

P1

C

D

E
F

B
Initial
producer
surplus

C

Producer surplus
to new producers

A

A
0

Q1

Bài giảng Toán Cao cấp 1

0

Quantity

Nguyễn Văn Tiến

0

D

Supply

Consumer
surplus

 p  S x  dx
 


Equilibrium
price

E
Producer
surplus

x

PS  x .p   S x dx

• PS thể hiện tổng tăng thêm của nhà
0
sản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩm
Q
ở mức giá thấp hơn nhưng vẫn bán
PS  Q .P   S  1 Q dQ
được sản phẩm ở mức giá .
0
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Price A

• Nếu ( ; ) là điểm trên đường cung
p=D(x) khi này thặng dư sản xuất PS
tại mức giá là:



Quantity

Q2

Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường

• Producer’s Surplus

x

Q1

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Thặng dư sản xuất

PS 

Supply

Additional producer
surplus to initial
producers

P2

P1

2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

B

Demand

C
0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Equilibrium
quantity

Quantity

Nguyễn Văn Tiến

17


18/10/2017

Ví dụ

Ví dụ
• Cho các hàm cung và hàm cầu:

QS  P  2  1

• Sản lượng cân bằng là nghiệm của pt:
Q  3
D 1 ( Q )  S 1 ( Q )  
 P  18

; QD  43  P  2.

• Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng
dư của người tiêu dùng.

• Thặng dư của nhà sản xuất:
3





2

PS  18.3    Q  1  2 dQ  27
0

• Thặng dư người tiêu dùng:
3



2



CS   43   Q  2  dQ  18.3
0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Nguyễn Văn Tiến

Dòng thu nhập liên tục

1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu
đảo có phương trình:

P  D 1  Q   20  0, 05Q
2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cung
đảo có phương trình:

P  S 1  Q   2  0,0002Q 2
3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng,
thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết:

D 1  Q   20  0,05Q;

Bài giảng Toán Cao cấp 1

• Continuous Income Stream
• Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khi
đó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ a
đến b là:
b

Total Income   f  t  dt
a

S 1  Q   2  0,0002Q 2

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

FV của dòng thu nhập liên tục
• Theo công thức lãi kép liên tục:

A  Pe rt
• Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi
suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng
thu nhập liên tục này sau T năm là???
• Chú ý.
– Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định
– Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất
– Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục.

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Lập tổng tích phân
• Chia khoảng thời gian T
thành n phần, mỗi phần là
Δt.
• Thu nhập trong khoảng thứ

k (từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với:

f  ck  .t
• Giá trị tương lai của nó:
• Tổng thu nhập sau T năm:
n

FV  lim  f  ck  t.e
n

Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán Cao cấp 1

k 1

FVk  f  ck  t.e

r . T t 

T
r .T  ck 

  f t  e

r T t 

dt

0

Nguyễn Văn Tiến

18


18/10/2017

FV của dòng thu nhập liên tục
• Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục.
• Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mức
lãi suất r, ghép lãi liên tục.
• Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhập
sau T năm đầu tư là:
T

FV   f  t  e
0

Bài giảng Toán Cao cấp 1

T
r T t 

dt  e rT  f  t  e  rt dt
0

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
• Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng
tự động cho bởi:

f  t   5000e0,04 t
• Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy.
• A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ
khi lắp đặt.
• B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi
suất 12%. Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận của
máy sau 5 năm.
• C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5
năm đầu tư.
Bài giảng Toán Cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

19