Bài giảng toán cao cấp 1 Học phần giải tích dành cho khối kinh tế

Tập đoàn bu chính viễn thông việt nam
Học viện công nghệ bu chính viễn thông









Bài giảng
Toán cao cấp 1
(Học phần giải tích)

(Dnh cho khi ngnh kinh t)



Biên soạn: Nguyễn Thị Dung

Hà Nội - 2013
PTIT
4
MỤC LỤC

Trang
Lời nói đầu 3

Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 6
1.1. Dãy số thực 6
1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn 6
1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì 6
1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ 7
1.2. Các khái niệm cơ bản về hàm số 9
1.2.1. Các khái niệm cơ bản 9
1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản 11
1.3. Giới hạn của hàm số 12
1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số 12
1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn 14
1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ 17
1.3.4. Đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn 18
1.4. Hàm số liên tục 21
1.4.1. Khái niệm hàm số liên tục 21
1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục 21
1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng 23
Bài tập 24

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 28
2.1. Đạo hàm của hàm số 28
2.1.1. Khái niệm đạo hàm 28

2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 29
2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 30
2.2. Vi phân của hàm số 33
2.2.1. Định nghĩa vi phân 33
2.2.2. Các quy tắc tính vi phân 33
2.2.3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng 33
2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao 34
2.3.1. Đạo hàm cấp cao 34
2.3.2. Vi phân cấp cao 36
2.4. Các định lí giá trị trung bình 37
2.4.1. Định lí Fermat 37
2.4.2. Định lí Rolle 37
2.4.3. Định lí Lagrange 38
2.4.4. Định lí Cauchy 39
2.4.5. Công thức Taylor, công thức Maclaurin 39
2.5. Một số ứng dụng của đạo hàm 40
2.5.1. Sử dụng qui tắc Lôpitan để tính các giới hạn dạng vô định 40
2.5.2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số 43
2.5.3. Cực trị của hàm số 44
2.5.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đóng 45
Bài tập 46

Chương 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 51
PTIT
5
3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định 51
3.1.1. Nguyên hàm của hàm số 51
3.1.2. Tích phân bất định 51
3.1.3. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 52
3.1.4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định 53

3.1.5. Tích phân của các hàm hữu tỉ 56
3.2. Tích phân xác định 61
3.2.1. Khái niệm tích phân xác định 61
3.2.2. Điều kiện khả tích 63
3.2.3. Tính chất của tích phân xác định 64
3.2.4. Liên hệ với tích phân bất định 65
3.2.5. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định 67
3.3. Tích phân suy rộng 70
3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn 70
3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn 73
Bài tập 75
Chương 4: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 79
4.1. Các khái niệm cơ bản 79
4.1.1. Tập hợp
n
 , khoảng cách, lân cận, tập mở, tập đóng, tập bị chặn 79
4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của hàm nhiều biến 79
4.1.3. Giới hạn của hàm số nhiều biến 80
4.1.4. Sự liên tục của hàm số nhiều biến 82
4.2. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 83
4.2.1. Đạo hàm riêng 83
4.2.2. Đạo hàm riêng của hàm số hợp 84
4.2.3. Vi phân toàn phần 85
4.2.4. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 89
4.2.5. Đạo hàm của hàm số ẩn 92
4.3. Cực trị của hàm nhiều biến 95
4.3.1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc 95
4.3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn . 99
Bài tập 100

Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 103
5.1. Khái niệm chung về phương trình vi phân 103
5.2. Phương trình vi phân cấp một 103
5.2.1.Đại cương về phương trình vi phân cấp một 104
5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một 105
5.3. Phương trình vi phân cấp hai 112
5.3.1. Các khái niệm cơ bản 112
5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 113
Bài tập 126

ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý 129
Tài liệu tham khảo 141


PTIT
3

LỜI NÓI ĐẦU

Toán cao cấp 1 là một trong những môn học đầu tiên của sinh viên khối ngành kinh tế. Học
phần này bao gồm những nội dung sau:
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm và vi phân
Chương 3: Phép tính tích phân
Chương 4: Hàm số nhiều biến số
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 1 trình bày những khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số một biến, giới hạn hàm một
biến và hàm số một biến liên tục.
Chương 2 và chương 3 gồm các nội dung về đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm một biến.

Chương 4 dành cho hàm số nhiều biến số.
Chương 5 trình bày những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân và cách giải một số
phương trình vi phân cấp một, cấp hai.
Các nội dung trên được lựa chọn nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về
phép tính vi tích phân, phương trình vi phân. Nhờ đó, sinh viên có kiến thức nền tảng để học tiếp
các môn xác suất thống kê, toán kinh tế, kinh tế lượng và sau này biết vận dụng nghiên cứu các
vấn đề chuyên môn của mình.
Vì thời gian dành cho môn học không nhiều nên bài giảng Toán cao cấp 1 không quá đi sâu
vào lí thuyết, nhiều định lí không được chứng minh, sinh viên có thể tìm hiểu trong các tài liệu
tham khảo.
Để cho việc tự học của sinh viên được dễ dàng hơn, tác giả đã đưa thêm một số ví dụ minh
họa vào bài giảng, từ đó sinh viên có thể hiểu lí thuyết và tự giải các dạng bài tập tương tự.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Toán đã đọc và cho nhiều ý
kiến sâu sắc liên quan đến nội dung bài giảng.
Chắc rằng bài giảng vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được thêm những ý kiến
đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Tác giả xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2013

Tác giả

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

6
Chương 1

HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

1.1. DÃY SỐ THỰC

1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn
Định nghĩa:
Hàm số
: u

 

( )
n
n u n u
gọi là một dãy số thực.
Dãy số thường được viết dưới dạng
 
n
u
hoặc
1 2
, , , ,
n
u u u

n
u gọi là số hạng tổng quát của dãy số
 
.
n
u

Định nghĩa:
Dãy

 
n
u
được gọi là
tăng nếu
1
,
n n
u u n


   

tăng ngặt nếu
1n n
u u


,
n

 

giảm nếu
1
,
n n
u u n



   

giảm ngặt nếu
1n n
u u

 ,
.n

 

Dãy số tăng hoặc giảm gọi là dãy số đơn điệu.
Dãy số tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là dãy số đơn điệu ngặt.
Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy

 
n
u
bị chặn trên nếu
A 
sao cho
n
u A ,
n

 


 

n
u
bị chặn dưới nếu
B 
sao cho
n
u B ,
n

 


 
n
u
bị chặn nếu tồn tại M

 sao cho

n
u M
,
.n

 

Ví dụ 1.1:
Dãy số
 
n

u
với
1
n
u
n

gồm các số hạng là
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 3 4 n



 
n
u
là dãy giảm ngặt, bị chặn.
1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

7
 Dãy
 
n
u
được gọi là có giới hạn
l 
nếu với mỗi số dương


cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại
số
0
n


sao cho:
(
n

 
)
0
.
n
n n u l

   

Kí hiệu
lim
n
n
u l


hoặc
n
u l khi

.n  

 Dãy
 
n
u
được gọi là hội tụ nếu có số
l 
để
lim .
n
n
u l



Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.
 Dãy
 
n
u
được gọi là có giới hạn

nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại số
0
n


sao cho:

0
( ) .
n
n n n u A

    

Kí hiệu
lim .
n
n
u

 

 Dãy
 
n
u
được gọi là có giới hạn

nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số
0
n


sao cho:

0
( ) .

n
n n n u A

    

Kí hiệu
lim .
n
n
u

 

Ví dụ 1.2: Chứng minh
1
lim 0.
n
n



Giải:

1 1
0, 0 n
n
 

     

Chọn
0
n là số tự nhiên mà
0
1
n



Ta có:
0
1 1
0 .n n n
n


      

Vậy
1
lim 0.
n
n



Ví dụ 1.3: Xét dãy
 
n
u

gồm các số hạng
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800,
1 1 1 1 1
, , , , , ,
9 10 11 12 n

Ta thấy
lim 0.
n
n
u




Ví dụ 1.4: Xét dãy
 
n
u
trong đó với mọi
n
.
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

8
Dễ thấy
lim .
n
n

u a



1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ
A. Tính duy nhất của giới hạn
Định lí 1.1: Nếu dãy
 
n
u
có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
B. Tính bị chặn
* Dãy
 
n
u
hội tụ thì bị chặn trong tập
.

C. Tính chất đại số của dãy hội tụ
1.
lim lim .
n n
n n
u a u a
 
  

2.
lim 0 lim 0.

n n
n n
u u
 
  

3.
lim ,lim lim( ) .
n n n n
n n n
u a v b u v a b
  
     

4.
auau
n
n
n
n



limlim
,

là hằng số.
5.
,0lim 


n
n
u

 
n
v
bị chặn
lim( ) 0.
n n
n
u v

 

6.
lim ,lim lim( ) .
n n n n
n n n
u a v b u v ab
  
   

7.
lim ,lim 0 lim .
n
n n
n n n
n
u

a
u a v b
v b
  
    

D. Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp
1. Giả sử lim
n
n
u l

 và
a l b 
. Khi đó
0 0
sao cho n n n

  
.
n
a u b  
2. Giả sử
lu
n
n


lim
và

0 0
:n n n   .
n
a u b   Khi đó
.a l b 

3. Giả sử 3 dãy
     
, ,
n n n
u v w
thoả mãn:

0 0
:
n n n
n n n u v w      và
lim lim .
n n
n n
u w l
 
 

Khi đó
lim .
n
n
v l




4. Giả sử
0
,n n 
n n
u v và
lim .
n
n
u

 
Khi đó
lim .
n
n
v

 

E. Tính chất của dãy số đơn điệu

1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
3. Dãy
 
n
u
tăng và không bị chặn trên thì dần đến .

4. Dãy
 
n
u
giảm và không bị chặn dưới thì dần đến
.

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

9
Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng
 
1
1
n
n
e
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hội tụ.
Giải:

Trước hết ta sẽ chỉ ra
 
n
e
tăng. Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có:




























































n
n
nnn
k
nnkn
nn
nnnn
n
nnn
n
nn
n
n
n
e
n
n
n
1
1
1
1
!
11
1
2
1

1
1
!
11
1
!2
1
11
1
2.1
)1) (1(1
3.2.1
)2)(1(1
2.1
)1(1
1
1
1
32



Suy ra

1
1
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1
1 2! 1 3! 1 1
1 1 2 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1
! 1 1 1 ( 1)! 1 1 1
n
n
e
n n n n
n n
n n n n n n n n


      
        
      
   
      

         
        
         
      
         

Nhận xét:
1n
e

nhiều hơn
n
e một số hạng dương và từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của
n

e nhỏ
hơn số hạng tương ứng của
1n
e

(vì
1
1
1
1
1


nn
) . Suy ra
1n n
e e

 .
Ngoài ra
12
2
1
2
1
2
1
2
!
1

!3
1
!2
1
2


n
n
n
e 
,
Như vậy
1
2
2 3,
1
1
2
n
e n   

. Dãy
 
n
e
tăng và bị chặn trên nên hội tụ.
Gọi giới hạn của
 
n

e
là số
e
, có
1
lim 1
n
n
e
n

 
 
 
 
( 2,718e  )
Lôgarit cơ số
e
của
x
được kí hiệu là
ln x
(đọc là lôgarit tự nhiên của
x
, hay lôgarit Nêpe của
x
) .

1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
1.2.1. Các khái niệm cơ bản

A. Định nghĩa hàm số
Cho
, .X Y  

Một hàm số f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử
x X
một phần tử duy
nhất
.y Y


:
( )
f X Y
x y f x




PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

10
X được gọi là tập xác định của hàm số f.
Phần tử
x X
được gọi là biến số.
Số thực
( )y f x
gọi là giá trị của hàm số f tại x (hay gọi là ảnh của x bởi hàm số f ).

Tập
 
( ) ( ):f X f x x X 
gọi là miền giá trị của hàm số
.f

Người ta thường kí hiệu
hàm số dưới dạng công thức xác định ảnh là
( ).y f x
Khi
đó miền xác định X của hàm số là tập hợp các phần tử x làm cho biểu thức ( )f x
có nghĩa.

B. Các phép toán trên các hàm số
Cho hai hàm số
:f X  
,
:g X  

Các hàm số

:f g X  


:f g X  


:fg X  

xác định bởi

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x  


( )( ) ( ) ( )f g x f x g x  


( )( ) ( ) ( )fg x f x g x

theo thứ tự gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số
, .f g

Ngoài ra, nếu
( ) 0g x 
với
x X 
thì hàm số :
f
X
g
  xác định bởi

( )
( )
( )
f f x
x
g g x

gọi là thương của hai hàm số

, .f g

C. Các hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu
Định nghĩa:

Giả sử X là tập số thực sao cho
x X 
với
x X 
và f là hàm số xác định trên X.

f
được gọi là hàm số chẵn nếu
( ) ( )f x f x 
,
.x X 


f
được gọi là hàm số lẻ nếu
( ) ( )f x f x  
,
.x X 

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục hoành, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc O.

Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên X.
f được gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại số
0



sao cho với mọi
,x X
ta có:
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

11
x +

X
và
f
(x +

) =
f
(x).
Số T dương bé nhất trong các số

gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn
( ).f x



Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên X , f được gọi là
tăng trên X nếu:
1 2 1 2 1 2

( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x    
tăng ngặt trên X nếu:
1 2 1 2 1 2
( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x    
giảm trên X nếu:
1 2 1 2 1 2
( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x    
giảm ngặt trên X nếu:
1 2 1 2 1 2
( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x     .

f
được gọi là hàm số đơn điệu trên X nếu nó tăng hoặc giảm trên X.

f
được gọi là đơn điệu ngặt trên X nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt trên X.

Định nghĩa:
Hàm số
f
(x) được gọi là
bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho:
( )f x A
,
x X 

bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho:
( )f x B
,
x X 

bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho
( )B f x A 
,
.x X 


D. Hàm số hợp
Định nghĩa:
Cho các hàm số
f
:
X Y
và g:
Y  

Hàm số hợp của hai hàm số
f
, g kí hiệu là
g f
và xác định như sau:


:
( ) ( ( )).
g f X
x g f x g f x


 

 


* Người ta còn diễn tả định nghĩa hàm số hợp bằng lược đồ như sau:






Ví dụ 1.6: Hàm số
3
sin( 2)z x x   là hợp của hai hàm số
3
2u x x  
và
sinz u
.
g f

X
f
Y
g
x
f (x)

( ( )) ( )g f x g f x 



PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

12
Nói cách khác,
z g f 
trong đó


3
:
( ) 2
f
x u f x x x

   
 

và
:
( ) sin
g
u g u u


 


E. Hàm số ngược
Cho song ánh
:f X Y
(
,X Y  
).
Ánh xạ ngược
1
:f Y X



1
( )y x f y


gọi là hàm số ngược của hàm số f.

1
( ) ( ).x f y y f x

  
Người ta thường kí hiệu biến số là x, hàm số là y, nên nói hàm số
1
( )y f x

 là hàm số ngược
của hàm số
( )f x
(chẳng hạn hàm số log

a
y x là hàm số ngược của hàm số
x
y a ).
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân
giác thứ nhất.

1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
A. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1.
Hàm lũy thừa
:
( )f x x



(
0,x

 
).
2. Hàm số mũ: ( ) ( 0, 1).
x
f x a a a  
3. Hàm số lôgarit: ( ) log ( 0, 1).
a
f x x a a  
4. Các hàm số lượng giác:
( ) sin , ( ) cos , ( ) tan , ( ) cotf x x f x x f x x f x x   
.

5. Các hàm số lượng giác ngược:


( ) arcsin , ( ) arccos , ( ) arctg , ( ) arccotgf x x f x x f x x f x x   


 Hàm arcsin là hàm số ngược của hàm sin:
 
, 1,1 .
2 2
 
 
  
 
 

arcsin:
 
1,1 ,
2 2
 
 
  
 
 


arcsinx x

Như vậy,
arcsin sin .y x x y  

 Hàm arccos là hàm số ngược của hàm số
   
cos : 0, 1,1 .

 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

13

   
arccos : 1,1 0,

 

arccosx x
Như vậy,
arccos cos .y x x y  

 Hàm arctan là hàm số ngược của hàm số
tan : , .
2 2
 
 
 
 

 



arctan : ,
2 2
 
 
 
 
 



arctanx x

Như vậy, arctan tan .y x x y  

 Hàm
arccot
là hàm số ngược của hàm cot
: (0, ) .

 


 
arccot : 0,



arccotx x

Như vậy, arccot coty x x y   .

Ví dụ 1.7: Tính
1 1
arcsin ,arccos ,
2 2
arctan0, arccot1.

Giải:

1
arcsin
2 6


vì
1
sin
6 2


và
,
6 2 2
  
 

 
 
 

Tương tự
1
arccos ,
2 3



arctan0 0, arccot1= .
4



Nhận xét:
Có
sin(arcsin ) cos arcsin arcsin arccos
2 2
x x x x x
 
 
     
 
 

arcsin arccos .
2
x x


  

Tương tự,
arctan arccot .
2
x x

 

B. Hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng,
trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

14

1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số
A. Định nghĩa giới hạn hàm số
Cho hàm số f xác định trên tập
 
0
( , )X a b x \
,
0
( , ).x a b
f được gọi là có giới hạn
l 

khi x dần đến
0
x nếu với mỗi số dương

cho trước bé tùy ý,
tồn tại một số dương

sao cho:

0
( ) 0 ( ) .x X x x f x l
 
       

Kí hiệu :
0
lim ( )
x x
f x l


hoặc
0
( ) .
x x
f x l



Chú ý: Với điều kiện

0
0 x x 
, ta chỉ cần xét những điểm
x
dần đến
0
x nhưng khác
0
.x Hàm
số
f
có thể không xác định tại
0
.x

B. Định nghĩa giới hạn một phía
 Cho hàm số f xác định trên khoảng
0
( , ).X x b
Số thực l được gọi là giới hạn phải của hàm số
( )f x
tại
0
x nếu với mỗi số dương

cho trước
bé tùy ý, tồn tại một số dương

sao cho:

0 0
( ) ( ) .x X x x x f x l
 
       

Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x l


 hoặc
0
( ) .f x l



 Cho hàm số f xác định trên khoảng
0
( , ).X a x
Số thực l được gọi là giới hạn trái của hàm số
( )f x
tại
0
x nếu với mỗi số dương

cho trước bé
tùy ý, tồn tại một số dương


sao cho:

0 0
( ) ( )x X x x x f x l
 
       

Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x l


 hoặc
0
( ) .f x l



Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
x x
f x l


là
0 0
lim ( ) lim ( ) .

x x x x
f x f x l
 
 
 
C. Giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực


Các giới hạn khi
0
,x l    được định nghĩa như sau:
1. Cho hàm số f xác định trên tập
 
0
( , )X a b x \
,
0
( , ).x a b


0
lim ( )
x x
f x

 
nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại một số dương

sao cho:

0
( ) 0 ( ) .x X x x f x A

      

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

15


0
lim ( )
x x
f x

 
nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương

sao cho:

0
( ) 0 ( ) .x X x x f x A

      

2. Cho hàm số f xác định trên khoảng
( , ).X a 


lim ( )
x
f x l

 
nếu
0, :( ) ( ) .A x X x A f x l
 
         



 lim ( )
x
f x

  nếu
0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A        


 lim ( )
x
f x

  nếu
0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A        


3. Cho hàm số f xác định trên khoảng

( , )X a 
.

 lim ( )
x
f x l

 nếu
0, :( ) ( ) .A x X x A f x l
 
         


 lim ( )
x
f x

  nếu
0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A        


 lim ( )
x
f x

  nếu
0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A        

Tương tự, ta có các định nghĩa
0 0

lim ( ) , lim ( ) .
x x x x
f x f x
 
 
   
Ví dụ 1.8: Bằng định nghĩa, hãy chứng minh:
a)
0
limsin 0;
x
x


b)
1
lim 0.
x
x



Giải:
a) Có
sin x x

.x

0


(

bé), lấy

 


( ): 0 sin 0x x x
 
     

0
limsin 0.
x
x



b)
0

,
1 1
.x A
x


   
Từ đó:
*

1
0, A


   
:
( )x x A  
1
0 .
x

 
Vậy
1
lim 0.
x
x



*
1
0, A


    
:
( )x x A  
1
0 .

x

 
Vậy
1
lim 0.
x
x



PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

16
1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn
A. Sự liên hệ với dãy số

Định lí 1.2: Giả sử
( , )a b
chứa điểm
0
x và
f
là hàm số xác định trên tập
 
0
( , ) \X a b x
. Khi đó
0

lim ( )
x x
f x l


nếu và chỉ nếu
 
 
0
lim lim ( ) .
n n n
n n
x X x x f x l
 
    

Chứng minh:
* Giả sử
0
lim ( ) .
x x
f x l


Khi đó:
0
0, 0 ( ) : 0 ( ) .x X x x f x l
   
           

Với
 
n
x X 

Có
0
lim
n
n
x x


nên
0 0 0
:
n
n n n x x


      

Như vậy
0 0
0, : ( )
n
n n n f x l
 

        

 lim ( )
n
n
f x l

 .
* Ngược lại, giả sử với
 
0
, lim lim ( )
n n n
n n
x X x x f x l
 
    
, ta chứng minh

0
lim ( ) .
x x
f x l



Thật vậy, giả sử
( )f x
không có giới hạn
l
khi

0
.x x Khi đó 0, 0, x
 
     mà
0
0 x x

  
nhưng
( ) .f x l

 


*
n 
, lấy
1
,
n
x
n

 
để
0
1
0
n
x x

n
  
và
( ) .
n
f x l

 

Ta có
 
n
x X
,
0
lim
n
n
x x

 nhưng
lim ( )
n
n
f x l


(vô lý). Vậy
0
lim ( ) .

x x
f x l



Nhận xét: Có thể chứng minh định lí 1.2 đúng cả khi
0
, .x l   

Ví dụ 1.9: Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
lim sin .
x
x


Giải:

Đặt
( ) sin .f x x

Lấy dãy
 
n
x
với
2 ,
2
n
x n



 
ta có
lim
n
n
x

 
và
lim ( ) 1.
n
n
f x



Mặt khác, nếu lấy dãy
 
n
x
với 2
n
x n

 ta cũng có
lim
n
n
x


 
nhưng
lim ( ) 0 1.
n
n
f x

 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

17
Vậy không tồn tại
lim ( ).
x
f x



B. Tính duy nhất của giới hạn
Định lí 1.3: Nếu
0
lim ( )
x x
f x l


thì

l
là duy nhất.
C. Tính bị chặn
Định lí 1.4 : Nếu
0
lim ( )
x x
f x l


thì
)(xf
bị chặn trong một lân cận đủ bé của
0 0
( ).x x x
D. Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp
Định lí 1.5: Giả sử
0
lim ( ) ,
x x
f x l


khi đó:
Nếu
c l
thì
( )c f x
với mọi x đủ gần
0 0

( ).x x x
Nếu
l d
thì
( )f x d
với mọi x đủ gần
0 0
( ).x x x
Nếu
c l d 
thì
( )c f x d 
với mọi x đủ gần
0 0
( ).x x x
Định lí 1.6: Giả sử
0
lim ( ) .
x x
f x l


Khi đó:
Nếu
)(xfc 
với mọi x đủ gần
0 0
( )x x x thì
.c l

Nếu
dxf )(
với mọi x đủ gần
0 0
( )x x x thì
.l d

Nếu
dxfc  )(
với mọi x đủ gần
0 0
( )x x x thì
.c l d 

Định lí được chứng minh bằng phản chứng (Dựa vào định lí 1.5)

Định lí 1.7: (Nguyên lí kẹp)
Cho ba hàm số
, ,f g h
thoả mãn các điều kiện:

)()()( xhxgxf 
với mọi
x
trong lân cận nào đó của
0
.x

0 0
lim ( ) lim ( ) .

x x x x
f x h x l
 
 

Khi đó
0
lim ( ) .
x x
g x l



Định lí 1.8: Giả sử
( ) ( )f x g x
với mọi x trong lân cận nào đó của
0
x và
0
lim ( ) .
x x
f x

  Khi
đó
0
lim ( ) .
x x
g x


 

Chú ý: Các định lí trên được phát biểu tương tự trong các trường hợp
0 0
, .x x   
Định lí 1.8 cũng được phát biểu tương tự khi
0
( ) .
x x
g x

 
E. Các phép tính đại số của hàm có giới hạn



Định lí 1.9: (Trường hợp giới hạn là hữu hạn)
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

18
1.
0 0
lim ( ) lim ( ) .
x x x x
f x l f x l
 
  

2.

0 0
lim ( ) 0 lim ( ) 0.
x x x x
f x f x
 
  

3.
0
1
lim ( ) ,
x x
f x l

 và
 
0 0
2 1 2
lim ( ) lim ( ) ( ) .
x x x x
g x l f x g x l l
 
    

4.
0 0
lim ( ) lim ( ) , .
x x x x
f x l f x l
  

 
    
5.
0
lim ( ) 0
x x
f x

 và
( )g x
bị chặn trong lân cận của
0
0 0
( ) lim ( ) ( ) 0.
x x
x x x f x g x

  
6.
0
1
lim ( )
x x
f x l

 và
0 0
2 1 2
lim ( ) lim ( ) ( ) .
x x x x

g x l f x g x l l
 
  
7.
0
1
lim ( )
x x
f x l

 và
0 0
1
2
2
( )
lim ( ) 0 lim .
( )
x x x x
lf x
g x l
g x l
 
   

Mệnh đề: (Trường hợp giới hạn là vô hạn)
1. Nếu
0
lim ( )
x x

f x

  và
0
lim ( )
x x
g x l

  thì
 
0
lim ( ) ( ) .
x x
f x g x

  
Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( )
x x
g x l

  thì
 

0
lim ( ) ( ) .
x x
f x g x

  
2. Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( )
x x
g x

  thì
 
0
lim ( ) ( ) .
x x
f x g x

  
Nếu
0
lim ( )
x x

f x

  và
0
lim ( )
x x
g x

  thì
 
0
lim ( ) ( ) .
x x
f x g x

  
3. Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( ) 0
x x
g x l

  thì
 

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( ) 0
x x
g x l

  thì
 
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x

f x

  và
0
lim ( ) 0
x x
g x l

  thì
 
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( ) 0
x x
g x l

  thì
 

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
4. Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( )
x x
g x

  thì
 
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x

f x

  và
0
lim ( )
x x
g x

  thì
 
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( )
x x
g x

  thì
 

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
5. Nếu
0
lim ( ) 0
x x
f x

 và
( ) 0f x 
với mọi x đủ gần
0
x
0
( )x x thì
0
1
lim .
( )
x x
f x

 
Nếu
0
lim ( ) 0

x x
f x

 và
( ) 0f x 
với mọi x đủ gần
0
x
0
( )x x thì
0
1
lim .
( )
x x
f x

 
(Mệnh đề trên đúng cả khi
0 0
, , , )x x x x x x
 
     

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

19
F. Giới hạn của hàm số hợp
Mệnh đề: Cho các hàm số

: , : .f X Y g Y  

Giả sử
0
lim ( )
x x
f x a


và
lim ( ) .
y a
g y l




( )f x a
với mọi x đủ gần
0 0
( ).x x x

Khi đó
0
lim ( ) .
x x
g f x l



Chứng minh:

Với mọi
0


, vì
lim ( )
y a
g y l


nên
0

 
sao cho

( ) : 0 ( ) .y Y y a g y l
 
       

Do
0
lim ( )
x x
f x a


và

( )f x a
với mọi x đủ gần
0 0
( )x x x
nên
với
1 0 1
0, 0: ( ) 0 0 ( )x X x x f x a
   
           


( ( )) .g f x l

  


Chứng tỏ
0 1
( ) : 0< ( ( )) .x X x x g f x l
 
      

Vậy
0
lim ( ) .
x x
g f x l




G.
Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp
Định lí 1.10: Nếu hàm số sơ cấp
( )f x
xác định tại
0
x thì
0
0
lim ( ) ( ).
x x
f x f x



Ví dụ 1.10: Tìm các giới hạn:
a)
2
lim( 2);
x
x


b)
2
3
9
lim ;

3
x
x
x




c)
0
lim ;
x
x
x

d)
4
2 1 3
lim ;
2 2
x
x
x

 
 

e)
0
1

lim sin .cos .
x
x
x

 
 
 

Giải:
a)
2
lim( 2) = 2 + 2 = 4;
x
x



b)
2
3 3
9
lim lim( 3) 6;
3
x x
x
x
x
 


  


c)
0 0
lim lim 1
x x
x
x
x x
 
 
 
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

20

0 0
lim lim 1 1
x x
x
x
x x
 
 

   
Vậy không tồn tại
0

lim ;
x
x
x


d)
4 4 4
2 1 3 2( 4).( 2 2) 2.2 2 2
lim lim lim 2;
2.3 3
2 2 ( 4).( 2 1 3)
x x x
x x x
x x x
  
    
  
    

e)
0 0
1 1
limsin 0, cos 1 lim sin .cos 0.
x x
x x
x x
 
 
   

 
 

Ví dụ 1.11: Tìm các giới hạn:

a)
 
5 3
lim 5 2 3 4 ;
x
x x x

  
b)
6
4 3
lim .
6
x
x
x






Giải:
a)
5 3 5

2 4 5
2 3 4
5 2 3 4 5x x x x
x x x
 
      
 
 

Vì
5
lim
x
x

 
và
2 4 5
2 3 4
lim 5 5
x
x x x

 
   
 
 
nên
 
5 3

lim 5 2 3 4 .
x
x x x

    
b)
 
6
lim 4 3 21
x
x


 


 
6
lim 6 0.
x
x


 

Vì khi
6x


ta luôn có

6x 
nên
6 0x  


6
1
lim .
6
x
x


  

Vậy
6
4 3
lim .
6
x
x
x



 


1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ
a)
1
sin
lim
sin
lim
00


x
x
x
x
xx

b)
1 1
lim 1 lim 1 .
x x
x x
e
x x
 
   
   
   
   

Tổng quát: Nếu

0
lim ( ) 0
x x
u x

 và
( ) 0u x 

với mọi x trong lân cận nào đó của
0 0
( )x x x
thì
 
0
1
( )
lim 1 ( )
u x
x x
u x e

 
và
0
sin ( )
lim 1.
( )
x x
u x
u x



PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

21

Ví dụ 1.12: Tính
2
0
cos cos3
lim .
x
x x
x



Giải:

2 2
0 0 0
cos cos3 2sin 2 .sin( ) sin 2 .sin
lim lim lim .4 4.
2 .
x x x
x x x x x x
x x x x
  
  

  

Ví dụ 1.13: Tìm
2
1
2
2
2
1
lim .
1
x
x
x
x



 

 

 

Giải:

2
2
1
1

2
2
2
2 2
1 2
lim lim 1 = .
1 1
x
x
x x
x
e
x x




 
 

 
 
 
 
 
 
 

1.3.4. Đại lượng vô cùng bé (VCB), đại lượng vô cùng lớn (VCL)
A. Đại lượng VCB

Định nghĩa:
Hàm số
: X

 
được gọi là đại lượng VCB khi x dần đến
0
x (hoặc vô cùng bé tại
0
x )
nếu
0
lim ( ) 0
x x
x


 .
(
0
x có thể là

hoặc

).
Tương tự, ta có các định nghĩa VCB khi
0 0
, .x x x x
 
 

Ví dụ 1.14:
Hàm số
( ) sinx x


là đại lượng VCB khi
0.x 


3
1
x
là VCB khi
.x  


2
( 1)x x  là VCB khi
1 .x



So sánh các VCB:
Cho
)(),( xx

là các VCB tại
0
x .

* Nếu
0
( )
lim 0
( )
x x
x
x



 thì

gọi là VCB cấp cao hơn

tại
0
x , kí hiệu
)(

o
tại
0
x .
Khi đó,

gọi là VCB cấp thấp hơn

tại
0

x .
* Nếu
0
( )
lim 1
( )
x x
x
x



 thì

,
được gọi là các VCB tương đương tại
0
x .
Kí hiệu

~
tại
0
x .
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

22
Ví dụ 1.15:
3

( )x o x
khi
0.x 


sin x x
khi
0.x 


3
( 1) 1x x x 
khi
1 .x



Nhận xét:
* Nếu
1 1
~ , ~
   
tại
0
x thì
1 1
~
  
tại
0

x .
* Nếu
1 1
~ , ~
   
tại
0
x thì
0 0
1
1
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
x x
x x
 
 
 

.
* Nếu
)(

o
khi x dần đến
0
x thì


~
tại
0
x .
* (Qui tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao)
Nếu

là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB
, ( 1, )
i
i m




là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB , ( 1, )
j
j n

 khi x dần đến
0
x thì

0 0
1
1
( )
( )
lim lim
( )

( )
m
i
i
n
x x x x
j
j
x
x
x
x





 




.
Ví dụ 1.16: Tính các giới hạn:
a)
0
sin 2
lim
sin 7
x

x
x

; b)
4 3 2
5 4 3 2
0
2 3 3
lim .
3 2 3 2
x
x x x
x x x x

 
  

Giải:
a)
sin 2 ~ 2 , sin 7 ~ 7x x x x
tại 0 nên

0 0
sin 2 2 2
lim lim ;
sin 7 7 7
x x
x x
x x
 

 

b) Áp dụng quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao, ta có:

4 3 2 2
5 4 3 2 2
0 0
2 3 3 3 3
lim lim .
3 2 3 2 2 2
x x
x x x x
x x x x x
 
 
  
   


B. Đại lượng VCL
Định nghĩa:

Hàm số
:f X 
được gọi là đại lượng VCL khi x dần đến
0
x (hoặc VCL tại
0
x ) nếu
0

lim ( )
x x
f x

  hoặc
0
lim ( )
x x
f x

  .
(
0
x có thể là

hoặc

).
So sánh các VCL:
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

23
Cho
, gf
là các VCL khi x dần tới
0
x .
* Nếu
0

( )
lim
( )
x x
f x
g x

  thì
f
gọi là VCL cấp cao hơn
g
tại
0
x , hay
g
là VCL cấp thấp hơn
f
tại
0
x .
* Nếu
0
( )
lim 1
( )
x x
f x
g x

 thì ta nói rằng

, gf
là các VCL tương đương tại
0
x .
Kí hiệu
~f g
khi
0
x x .
Nhận xét:
* Nếu
1 1
~ , g ~f f g tại
0
x thì
1 1
~fg f g tại
0
x .
* Nếu
1 1
~ , g ~f f g tại
0
x thì
0 0
1
1
( ) ( )
lim lim
( ) ( )

x x x x
f x f x
g x g x
 

.
* Nếu
f
là VCL cấp cao hơn
g
tại
0
x thì
~f g f
tại
0
x .
* (Qui tắc ngắt bỏ các VCL cấp thấp)
Giả sử
f
là VCL cấp cao nhất trong các VCL , 1, 2, ,
i
f i m

g
là VCL cấp cao nhất trong các VCL
, 1,2, ,
j
g j n
, tại

0
.x
Khi đó:

0 0
1
1
( )
( )
lim lim .
( )
( )
m
i
i
n
x x x x
j
j
f x
f x
g x
g x

 





Ví dụ 1.17: Tìm các giới hạn:

2
2
1
lim .
2 2
x
x x
x

 


Giải:

2 2
2 2
1 1
lim lim .
2 2 2 2
x x
x x x
x x
 
 
 


Chú ý: Đối với các VCL và VCB nói chung,
f g
và
1 1
f g tại
0
x không suy ra
1
f f tương
đương với
1
g g tại
0
.x
Chẳng hạn:
* Với
2 3
( )f x x x  ,
2 3
( )g x x x  ,
2
1 1
( ) ( )f x g x x  

Ta có:
f g
và
1 1
f g khi
0x 

nhưng
3
1
( ) ( )f x f x x  
không tương đương với
3
1
( ) ( )g x g x x 
khi
0.x 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

24
* Với
3 2
( ) ,f x x x 
3 2
( ) ,g x x x 
3
1 1
( ) ( )f x g x x  

Ta có:
f g
và
1 1
f g khi x   nhưng
2

1
( ) ( )f x f x x  
không tương đương với
2
1
( ) ( )g x g x x 
khi .x  

1.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.4.1. Khái niệm hàm số liên tục
A. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số
: f X  
và
0
.x X

f
được gọi là liên tục tại
0
x nếu
0
0
lim ( ) ( ).
x x
f x f x



B. Hàm số liên tục một phía

Cho hàm số
0
: , .f X x X 

f
được gọi là liên tục trái tại
0
x nếu
0
0
lim ( ) ( ).
x x
f x f x




f
được gọi là liên tục phải tại
0
x nếu
0
0
lim ( ) ( ).
x x
f x f x



Nhận xét:

f
liên tục tại
0
x f liên tục trái và liên tục phải tại
0
.x
C. Điểm gián đoạn của hàm số
Nếu hàm số f không liên tục tại
0
x thì
0
x gọi là điểm gián đoạn của hàm số f.









D. Hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số f được gọi là liên tục trên
( , )a b
nếu f liên tục tại mọi
( , ).x a b

Nếu hàm số
f
liên tục trên khoảng mở (a,b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a thì ta nói f

liên tục trên đoạn [a,b].
Định nghĩa được phát biểu tương tự trong các trường hợp f liên tục trên


,a b
,


,a b
.
1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục
0
x
x
0
( )f x

O
y
Hàm số liên tục tại
0
x
( )y f x

H.1.1
0
x

x
0

( )f x

O
y
Hàm số không liên tục tại
0
x
( )y f x

H.1.2
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

25
Định lí 1.11: Cho các hàm số
0
, : , , .f g X x X

   
1. Nếu
)(xf
liên tục tại
0
x thì
)(xf
liên tục tại
0
.x
2. Nếu
( ), ( )f x g x

liên tục tại
0
x thì
)()( xgxf 
liên tục tại
0
.x
3. Nếu
)(xf
liên tục tại
0
x thì
)(xf

liên tục tại
0
.x
4. Nếu
( ), ( )f x g x
liên tục tại
0
x thì
( ) ( )f x g x
liên tục tại
0
.x
5. Nếu
( ), ( )f x g x
liên tục tại
0

x và
0
( ) 0g x  thì
( )
( )
f x
g x
liên tục tại
0
.x
Định lí trên cũng được phát biểu tương tự với các hàm liên tục trên khoảng X.
Định lí 1.12: Cho các hàm số
: , :f X Y g Y  

Giả sử
0
0
lim ( )
x x
f x y Y

 
và g liên tục tại
0
.y Khi đó

0 0
0
lim ( ) ( ) (lim ( )).
x x x x

g f x g y g f x
 
 

Hệ quả: Cho
: ; :f X Y g Y  
,
0
.x X
Nếu
( )f x
liên tục tại
0
x và
( )g y
liên tục tại
0 0
( )y f x thì hàm hợp
))(( xfg
liên tục tại
0
.x

* Nhận xét: Từ định lí trên, ta có thể chứng tỏ được rằng:
Nếu
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
f x a g x b
 

  
thì
0
( )
lim ( ) .
g x b
x x
f x a



Thật vậy:
0 0
( ) ( )ln ( )
lim ( ) lim .
g x g x f x
x x x x
f x e
 

Khi
0
x x
thì
( )f x a
và do hàm số
lnz u
liên tục tại a nên
0
lim ln ( ) ln

x x
f x a




0
lim ( )ln ( ) ln .
x x
g x f x b a

 

Vì hàm
x
e
liên tục tại mọi điểm nên
0
( )ln ( ) ln
lim .
g x f x b a b
x x
e e a

 
Ví dụ 1.18: Tính


2
2

2
3
lim .
2
x
x
x
x

 

 

 

Giải:

2 2
2
2
2 5
.
2
5
2
2 2
3 5
lim lim 1 =
2 2
x x

x
x
x x
x
x x
   

 
   
   

   
 
 

 
 
 
 
 
 
 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

26

2
2

2
5
2
2
5
5
2
5
= lim 1 .
2
x
x
x
x
e
x
 

 
 
 


 

 
 
 



 
 
 
 
 
 

 
 
 

(Vì lim
2
2
5
2
5
lim 1
2
x
x
e
x
 


 
 
 


 
 
 

 
và
2
2
0
5
lim 5)
2
x
x
x


 


Định lí 1.13: Giả sử hàm số
( )f x
liên tục và tăng ngặt (giảm ngặt) trên khoảng X. Khi đó f là
một song ánh từ X lên khoảng
( ) .f X Y
Hàm số ngược
1
:f Y X

 cũng là hàm liên tục và

tăng ngặt (giảm ngặt) trên Y.
Định lí 1.14: Nếu hàm số sơ cấp
( )f x
xác định tại
0
x thì liên tục tại
0
.x
Ví dụ 1.19: Xét sự liên tục của hàm số

1
sin 0
( )
0 0
x khi x
f x
x
khi x









Giải:
Dễ thấy f liên tục tại mọi
0.x 

0
lim ( ) 0 (0)
x
f x f

 
(vì
0
lim 0
x
x


và
1
sin
x
là hàm số bị chặn)

f
liên tục tại
0.

Vậy
f
liên tục trên
.

1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng
Định lí 1.15: Nếu hàm số
f
liên tục trên [a,b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa
( )f a
và
( )f b
(nghĩa là nếu

là một số thực nằm giữa
( )f a
và
( )f b
thì
 
,c a b  sao cho
( )f c


).








Hệ quả: Giả sử

f
liên tục trên
 
,a b . Nếu
( ). ( ) 0f a f b 
thì tồn tại ít nhất một điểm
( , )c a b

sao cho
( ) 0f c 
.
x
O
( )f a
( )f b
y
( )y f x


b
c a
H.1.3
PTIT