Phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán

NGÀNH TOÁN HỌC

PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TRUNG TÍNH
KIỂU SÓNG KHUẾCH TÁN
NEUTRAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS
OF DIFFUSION-WAVE TYPE
Nguyễn Thị Diệp Huyền, Dương Thị Hương, Phạm Thị Hường
Email:
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 7/3/2018
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/3/2018
Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2018
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm phân rã cho phương trình vi - tích phân
trung tính kiểu sóng khuếch tán bằng cách sử dụng phương pháp điểm bất động.
Từ khóa: Phương trình vi - tích phân; nghiệm tích phân; điểm bất động.
Abstract
In this paper, we study the existence optical-beam-deflection neutral integro-differential equations of
diffusion-wave type by using a fixed point approach.
Keywords: Integro-differential equations; integral solution; fixed point.
1. GIỚI THIỆU

2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ta xét bài toán sau trong một không gian Banach X:

Cho L ( X ) là không gian các toán tử tuyến tính bị
chặn trên X . Ta nhắc lại một vài chú ý và kết quả
đối với toán tử giải thức bậc phân số sẽ sử dụng
cho phần tiếp theo.

d
H (u )(t ) =
dt

t

∫
0

(t - s )α -2
AH (u )( s )ds
Γ (α -1) )

+ f (t , u (t ), ut ), t > 0,
u ( s ) + g (u )( s ) =ϕ ( s ), s ∈ [-t , 0],

(1)
(1)
(2)

(2)

, A là một toán tử

trong đó:

đóng, tuyến tính và không bị chặn, f , g và h là
các hàm vectơ. Với α ∈ (1, 2) và ut là kí hiệu hàm
trễ theo thời gian t , tức là,

Chúng tôi muốn chỉ ra sự tồn tại của nghiệm phân
rã (hay nghiệm ổn định) với (1) - (2) với một tỉ lệ
phân rã xác định của bài toán này.
Để tìm các nghiệm phân rã của (1) - (2), chúng tôi
sử dụng phương pháp điểm bất động được khởi
xướng bởi Burton và Furumochi cho các phương
trình vi phân hàm thường gặp (xem [1, 2]). Chúng
tôi sẽ xây dựng một không gian phù hợp gồm các
hàm triệt tiêu tại vô cùng với tỉ lệ phân rã xác định,
trong đó toán tử nghiệm của bài toán có một điểm
bất động.

Định nghĩa 1. Cho A là toán tử tuyến tính đóng
với miền xác định D ( A ) trong không gian Banach
X . Ta nói A sinh ra giải thức α nếu tồn tại ω ∈ 
và hàm liên tục mạnh Sα :  + → L ( X ) thỏa mãn
λ α : Re λ > ω ⊂ ρ ( A) (tập giải của A ), và

{

}

(

λ α −1 λ α I − A

)

−1

∫

∞

x=
e−λt Sα ( t ) xdt , Re λ > ω , x ∈ X .
0

Ta biết rằng, trong trường hợp α = 1 , Sα (.) = S1 (.)
là C0 − nửa nhóm, nếu α = 2 ta có họ cosin S2 (.) .
Nếu A sinh ra giải thức β với β > α thì nó cũng
sinh ra giải thức α. Trường hợp riêng, nếu A sinh
ra họ cosin, khi đó tồn tại giải thức α sinh bởi A
với α ∈ (1, 2 ) .
Đặc biệt, cho A là toán tử đóng và trù mật. Giả sử
A là toán tử quạt kiểu (ω , θ ), tức là, tồn tại ω ∈ ,
 π
ρ ( A) ⊂  \ ∑
θ ∈  0,  , M > 0 sao
cho
ω ,θ


2

và ( λ I − A )

−1
L( X )

≤

M

λ −ω

,

λ∉

∑ω θ
,

,

trong đó:
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 51


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

∑ω θ = {ω + λ : λ ∈ , arg ( −λ ) < 0}.
,

Trong trường hợp 0 ≤ θ ≤ π (1 − α / 2 ) , Sα (.) tồn tại
và được cho bởi công thức:
−1
1
=
Sα ( t )

etλ λ α −1 λ α I − A d λ , t ≥ 0,
2π i γ
ở đây γ là đường phù hợp nằm ngoài ∑ ω ,θ . Hơn
nữa ta có khẳng định sau đây về Sα (.):

(

∫

)

Định lý 1 [3]. Cho A : X → X là toán tử quạt kiểu
(ω ,θ ) với 0 ≤ θ ≤ π (1 − α / 2 ) . Khi đó tồn tại C > 0
độc lập với t thỏa mãn
C 1 + ωt α eω1/α t , ω ≥ 0,

Sα ( t )
≤ C
L( X )
,
ω < 0,

α
1 + ω t

(

)

với t ≥ 0.

Ta sẽ tìm khái niệm phù hợp về nghiệm tích phân
của bài toán (1) - (2). Ký hiệu L là phép biến đổi
Laplace của hàm nhận giá trị trong X xác định
trên  + . Đặt y ( t ) = H ( u )( t ) và áp dụng biến đổi
Laplace đối với bài toán (1) - (2), ta có:
1
λ L [ y ] ( λ=
) − y ( 0 ) α −1 AL [ y ] ( λ ) + L [ f ] ( λ ) .
λ
Do đó

(λ

α

)

I − A L ( y )( λ ) =
λ

α −1

Như vậy

(
(λ

)
I − A)

L [ y ] ( λ ) = λ α −1 λ α I − A
+ λ α −1

α

y (0) + λ
−1
−1

α −1

L [ f ](λ ).

y (0) +
L [ f ](λ ) ,

=
L [ y ] ( λ ) L Sα ( λ ) y ( 0 ) + L Sα ( λ ) L [ f ] ( λ ) .

(3)

Sử dụng định lý phép tịnh tiến thứ hai và định lý
tích chập của biến đổi Laplace đối với nghịch đảo
của (3), ta được
y ( t ) = Sα ( t ) y ( 0 )
t

∫ Sα (t − s ) f ( s, u ( s ) , u ) ds, t ≥ 0.
(

+

∫

t

0

Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t ≥ 0.

)
(4)

Cho T > 0, ta ký hiệu C= C ([ −t , T ] ; X ) là không
gian các hàm liên tục u : [ −t , T ] → X . Khi đó, C T là
không gian Banach với chuẩn
T

u

C

T

:= sup u ( t ) .
t∈[ −t ,T ]

− Sα ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) )
+

t

∫ Sα (t − s ) f ( s, u ( s ) , u ) ds,
s

0

với mọi t ∈ [ 0, T ] .
Cho F : C T → C T , trong đó
ϕ ( t ) − g ( u )( t ) ,
t ∈ [ −t , 0] ,

h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 ) 

F ( u )( t ) = 
− S ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) )
 α
 t
+ Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t ∈ [ 0, T ] .
 0

∫

Khi đó u là một nghiệm tích phân của bài toán
(1) - (2) nếu nó là điểm bất động của toán tử
nghiệm F .
3. KẾT QUẢ ỔN ĐỊNH NGHIỆM

(A) Toán tử A là toán tử quạt kiểu (ω , θ ) sao cho
ω < 0 và 0 ≤ θ < π (1 − α / 2 ), tức là giải thức α ,

Sα (.) sinh bởi A là liên tục theo chuẩn với t > 0.
(F) Hàm phi tuyến f :  + × X × Ct → X thỏa mãn:
f (., v, w ) là đo được với mỗi v ∈ X , w ∈ Ct , f ( t ,.,.)
là hàm liên tục với t ∈  + , f ( t , 0, 0 ) =
0 và tồn tại
k ∈ L1  + , sao cho

( )

f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 )

(

≤ k ( t ) v1 − v2

X

X

+ w1 − w2

),t ∈  ,
+

Ct

(G) Hàm không cục bộ g : C T → Ct liên tục, thỏa
mãn g ( 0 ) = 0 và có số η không âm sao cho

Điều này suy ra rằng

u (t ) =
h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 )  − Sα ( t ) h 0,ϕ − g ( u )

u (t ) =
h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 ) 

với mọi v1 , v2 ∈ X , w1 , w2 ∈ Ct .

s

0

Định nghĩa 2. Hàm u ∈ C T gọi là nghiệm tích phân
của bài toán (1) - (2) trong khoảng [ −t ,T ] nếu và
chỉ nếu u=
( t ) ϕ ( t ) − g ( u )( t ) với t ∈ [ −t , 0] và

Đặt C
=
C ([ −t , 0] ; X ). Để nghiên cứu bài toán (1)
t
– (2) ta xét các giả thiết sau đây:

với λ thỏa mãn Re λ > 0, λ α ∈ ρ ( A ) . Cho Sα (.) là
giải thức α sinh bởi A, khi đó

+

Từ (4) ta định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán
(1) - (2) như sau:

g ( w1 ) − g ( w2 )

Ct

≤ η w1 − w2

CT

,

với mọi w1 , w2 ∈ C T , với mọi T > 0.
(H) Hàm h :  + × Ct → X thỏa mãn:
(1) h liên tục; h ( t , 0 ) = 0
(2) h ( t ,.) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là

52 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018


NGÀNH TOÁN HỌC

h ( t , v1 ) − h ( t , v2 )

X

≤ l ( t ) v1 − v2

Ct

+

,

với mọi v1 , v2 ∈ Ct , trong đó l là hàm giá trị thực,
bị chặn trên  + .
Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm ổn định của bài toán (1) - (2),
ta xét không gian hàm sau

BCα =

{

u ∈ C ([ −t , ∞ ] ; X ) : t α u ( t )

= O (1) , 0 < t < ∞}



= sup u ( t )

∞

X

t ≥−t

t

0

Sα ( t − s )

≤ l∞ ut
+

∫

t

+ Sα ( t )

Ct

Sα ( t − s )

0

f ( s, u ( s ) , us )

L( X )

L( X )

(ϕ

Ct

(

k (s) u (s)

L( X )

ds

X

)

+ η R (1 + l∞ )

X

+ us

Ct

) ds

= E1 ( t ) + E2 ( t ) + E3 ( t ) ,

(6)

ở đây

X

E1 ( t ) = l∞ ut

với chuẩn

u

∫

=
E2 ( t )

.

Sα ( t )

∫

,

Ct

L( X )

(ϕ

0

Khi đó, BCα là không gian Banach.

(

t

E3 ( t ) =

Sα ( t − s )

)

+ η R (1 + l∞ )

Ct

k (s) u (s)

L( X )

+ us

X

Ct

) ds.

Sử dụng (5) ta được

Ta có kết quả sau đây:

=
t α E1 ( t ) l∞=
t α ut C O (1) khi t → ∞.
Định lý 2. Giả sử các giả thiết (A), (F), (G) và (H)
t
thoả mãn. Khi đó bài toán (1) - (2) có duy nhất Liên quan đến E2 ( t ) , sử dụng Định lý 1 ta có

nghiệm tích phân u thỏa mãn u ( t ) = O t −α
X
=
t α E2 ( t ) t α Sα ( t )
ϕ C + η R ) (1 + l∞ )
L( X ) (
t
khi t → ∞ , với điều kiện
α
Ct
O (1) khi t → ∞.
≤
ϕ C + η R (1 + l∞ ) =
l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞
t
1 + ω tα

( )

)

(

+ 2sup
t ≥0

∫

t

0

Sα ( t − s )

L( X )

trong đó Sα∞ = sup Sα ( t )
t ≥0

k ( s ) ds < 1,

Với E3 ( t ) , ta có

t α E3 ( t ) =
tα 


và l∞ = sup l ( t ) .
t ≥0

t /2

∫

+

0

(

∫


 Sα ( t − s ) L( X )


t

t /2

Chứng minh. Ta sẽ chứng tỏ rằng toán tử nghiệm
k ( s ) u ( s ) + us
X
F ánh xạ BCα vào chính nó và là ánh xạ co. Ta
nhắc lại rằng
= t α E3a ( t ) + t α E3b ( t ) ;
h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( 0 ) − g ( u )( 0 )  −



− Sα ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) ) +

F ( u )( t ) =  t
+ Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t > 0,
 0
ϕ ( t ) − g ( u )( t ) ,
t ∈ [ −t , 0] .


t α E3a ( t )

∫

≤

≤

Cho u ∈ BCα sao cho=
R u ∞ > 0. Ta chứng minh
rằng F ( u ) ∈ BCα , tức là, tα F ( u )( t ) = O (1) khi
X
t → ∞. Do u ∈ BCα , tồn tại hằng số K > 0 sao cho
X

α

=
t ut C t
t

X

sup u ( t + µ )
µ∈[ −t ,0]

+l∞ Sα ( t )

1 + ω (t / 2)

(5)

X

≤ K , ∀t ∈ t .

L( X )

(ϕ

X

L( X )

Ct

+

(ϕ

Ct

+ g (u )

+ g (u )
Ct

)

Ct

)

t/2

0

2 RCt α

k

α

1 + ω (t / 2)

∫
+ tα ∫

(

X

+ us

( )

khi t → ∞.
O (1) ,
=

t

t/2

Sα ( t − s )

L( X )
L( X )

k (s) u (s)
k ( s ) us

t/2

ds +

ds

α

∫

∫

X

Ct

t
t
Sα ( t − s )
k ( s ) sα u ( s )

=
L( X )  s 
t/2
 
t

) ds

Ct

k ( s ) ds

L1  +

t

) ds

k (s) u (s)

t α E3b ( t ) =
tα
Sα ( t − s )

+

≤ h ( t , ut )
+ Sα ( t )

∫

α

t/2

Khi đó với t > 0,
F ( u )( t )

2 RCt α

≤ K,
α

L( X )

0

∫

tα u ( t )

t/2

=
tα
Sα ( t − s )

Ct

Sα ( t − s )


≤ 2 KC

X

ds +

α

t
k ( s ) sα us
L( X )  s 
 

Ct

ds

( t / s )α
∫t / 2 1 + ω ( t − s )α k ( s ) ds
t

≤ 2α +1 KC

∫

t

t /2

k ( s ) ds ≤ 2α +1 KC k

( ).

L1  +

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 53


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Do đó t α E3 ( t ) = O(1) khi t → ∞. Thay vào (6) ta được
t α F ( u )( t ) ≤ t α  E1 ( t ) + E2 ( t ) + E3 ( t ) 

tử quạt kiểu ( λ1 , 0 ) với λ1 < 0 là giá trị riêng đầu
tiên của A , tức là

{

2
L2 ( Ω )

−λ=
sup ∇v
1

= O (1) , khi t → ∞.

: v

}

= 1.

L2 ( Ω )

Hệ phương trình (7) - (8) là dạng tổng quát của
(1) - (2) với

Điều này chỉ ra rằng F ( BCα ) ⊂ BCα .

Ta chứng minh F là ánh xạ co. Giả sử u , v ∈ BCα ,
=
f ( t , v, w )( x ) k ( t ) f ( x, v ( x ) , w ( −t , x ) ) ,
sử dụng (F), (G) và (H) ta có
m
g
u
s
x
=
−
βi u ( ti + s, x ),
(
)(
)(
)
F u t −F v t ≤ l t u −v

( )( )

( )( )

()

t

+ Sα ( t )

L( X )

+l ( t ) Sα ( t )

+

∫

t

Sα ( t − s )

0

≤ l∞ u − v


+2


∫

t

0

Sα ( t − s )

g ( u )( 0 ) − g ( v )( 0 )
L( X )

g (u ) − g (v )

L( X )

∞

+ l∞ Sα∞η u − v


k ( s ) ds  u − v


∞

i =1

X

∞

≤  u −v

X

ds

t ≥0

∫

0

Sα ( t − s )

.

f ( x, y , z ) − f ( x, y , z )
1 1
2 2

,
∞

≤ µ ( x ) ( y1 − y2 + z1 − z2 ) , µ ∈ L∞ ( ∞ ) ,
với mọi x ∈ Ω, y1 , y2 , z1 , z2 ∈ .

L( X )

Cho v1 , v2 ∈ X , w1 , w2 ∈ Ct , khi đó ta có

k ( s ) ds ≤ 1.

Cho Ω là miền bị chặn trong  n với biên trơn ∂Ω.
Xét bài toán sau đây:
α −2

(t − s )
∫0 Γ (α − 1) ∆ x H (u )( s, x ) ds
+ k ( t ) f ( x, u ( t , x ) , u ( t − t , x ) ) , t > 0, x ∈ Ω,
t

u ( t ,=
x ) 0, t > 0, x ∈ ∂Ω,
m

s, x )
∑ β u (t +=
i

i

trong đó
H ( u )( t , x ) =
u (t, x ) −

ϕ ( s ) , s ∈ [ −t , 0] ,

X

( v ( x ) − v ( x ) ) dx
+ ∫ ( w ( −t , x ) − w ( −t , x ) ) dx

≤ 2 k (t )

2

2
∞

µ

2

∫

1

Ω

2

2

1

Ω

≤ 2 k (t )

2

≤ 2 k (t )

2

2

µ

2
∞

( v −v

µ

2
∞

( v −v

2
2 X

1

+ w1 ( −t ,.) − w2 ( −t ,.)

2
2 X

1

+ w1 − w2

2
Ct

).

+ w1 − w2

Ct

).

Vì vậy
(7)

(8)

0

∫ t a ( s ) u (t + s, x ) ds,
−

∆ x là toán
tử Laplace (đối với biến x ), tức

n
∂2
.
∆x =
∑
Cho =
X L2 ( Ω ) ,
A = ∆ x với
2
i =1 ∂xi
2
1
D( A
=
) H ( Ω ) ∩ H 0 ( Ω ) . Ta biết rằng A là toán

là

2

f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 )

Ví dụ:

i =1

và f : Ω ×  ×  → 

f ( x, 0, 0 ) = 0,

Sau đây chúng ta xét một ví dụ về mô hình bài
toán đặt ra:

u ( s, x ) −

2

Giả sử rằng k ∈ L1  +
sao cho

Hoàn thành chứng minh.

∂
=
H ( u )( t , x )
∂t

2

( )

∞

 =l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ +
t

2

−

ở đây ti > 0, βi ∈ , i ∈ {1,..., m} .

trong đó

+ 2sup

∫ t a ( s ) w ( s, x ) ds, a ∈ L ( −t , 0;  )
với u ∈ C ([ −t , ∞ ] ; L ( Ω ) ) , v ∈ L ( Ω ) ,
và w ∈ Ct := C ([ −t , 0] ; L ( Ω ) ) ,
2

Suy ra

F (u ) − F (v )

0

=
h ( t , w )( x )

Ct

f ( s, u ( s ) , us ) − f ( s, v ( s ) , vs )

L( X )

+ Sα∞η u − v

∞

∑

t C
t

f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 )
≤ 2 k (t ) µ

∞

( v −v
1

X

2 X

Với hàm không cục bộ g , rõ ràng rằng
g ( u1 ) − g ( u2 )

2
Ct

m

∑ ∫

≤ m sup
βi2
s∈[ −t ,0] i =1

≤m

m

∑β
i =1

2
i

u1 − u2

2

Ω

u1 ( ti + s, x ) − u2 ( ti + s, x ) dx

2
CT

,

54 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018

2
X

)

NGÀNH TOÁN HỌC

(

)

T
C [ t , T ] ; L2 ( Ω ) .
với mỗi T > 0, ở đây C =−

 =l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ +

Do đó,

+2 2 µ

g ( u1 ) − g ( u2 )

Ct


≤ m




βi  u1 − u2



m

∑
i =1

CT

,

sup
∞
t ≥0

∫

t

0

Sα ( t − s )

L( X )

k ( s ) ds ≤ 1,

trong đó l∞ = t a L2 ( −t ,0 ) và η = m

∀T > 0.



Ω

2
L2 ( −t ,0 )

≤ a

2
L2 ( −t ,0 )

≤t a

X

TÀI LIỆU THAM KHẢO

2

0

≤ a

∫ t (∫
0

0

∫t

2
L2 ( −t ,0 )

−

2

[1]. T.A. Burton (2006). Stability by Fixed Point Theory

)

for

 w1 ( s, x ) − w2 ( s, x )  dx ds

Ω

−

i

2


a ( s )  w1 ( s, x ) − w2 ( s, x )  ds  dx
−t


∫ ∫

∑β .
i =1

Với w1 , w2 ∈ Ct , ta có
h ( t , w1 ) − h ( t , w2 )

m

w1 ( s,.) − w2 ( s,.)

w1 − w2

Do đó
h ( t , w1 ) − h ( t , w2=
)
X

2
Ct

2
X

Differential

Equations.

Dover

Publications, New York.

ds

[2]. T.A. Burton, T. Furumochi (2001). Fixed points and
problems in stability theory for ordinary and functional

.

t a L2 ( −t ,0 ) w1 − w2

Functional

differential equations. Dyn. Sys. Appl. 10 89-116.
[3]. E. Cuesta (2007). Asymptotic behaviour of the
Ct

.

Áp dụng Định lý 2, bài toán (7) - (8) có duy nhất
nghiệm tích phân trong BCα , với điều kiện

solutions of fractional integro-differential equations
and some time discretizations. Discrete Contin.
Dyn. Syst. (Supplement) 277-285.

Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 55