khong xem hoi phi cuoc doi

Nguyễn công Nhàn Page 1 9/29/2013
Khảo sát hàm số:
1. hàm số đồng biến và nghịch biến:
1.1. hàm số y=f(x) đgl đồng biến trên (a; b) nếu x
1
< x
2
=> f(x
1
) < f(x
2
).
1.2. hàm số y= f(x) đgl nghịch biến trên (a; b) nếu : x
1
< x
2
=> f(x
1
) > f(x
2
).
1.3. để xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x) ta làm như sau:
- giả sử x
1
; x
2
∈ D ta lập f(x
1
) – f(x
2
)=…

- ta lập tỉ số: A=
1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
−
−
.
- Trên D ta xét xem A âm hay dương. Nếu A > 0 thì hàm số đồng biến. nếu A<0 thì nghịch
biến.
1.4. ta dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số như sau:
- nếu f’(x) > 0 ∀x ∈ D => f(x) đồng biến.
- nếu f’(x) < 0 ∀x ∈ D => f(x) nghịch biến.
- Ta xét dấu f’(x) để kết luận hàm số đồng biến hay nghịch biến.
1.5. tìm m để pt có nghiệm: ta chuyển sang pt dạng: f(x)=g(m) khi đó để pt có nghiệm thì:
minf(x) ≤ g(m) ≤ maxf(x).
2. cực trị của hàm số:
2.1. hàm số đạt cực tiểu tại x
0
nếu ∀ x ∈ (x
0
-h; x
0
+h) ta luôn có f(x) ≥ f(x
0
).
2.2. hàm số đạt cực đại tại x
0
nếu ∀ x ∈ (x
0

-h; x
0
+h) ta luôn có f(x) ≤ f(x
0
).
2.3. điểm x
0
gọi chung là điểm cực trị của hàm số f(x).
2.4. điều kiện để hàm số có cực trị tại x
0
là f’(x
0
) =0.
2.5. nếu f’( x
0
) đổi từ dương sang âm qua x
0
=> f(x) đạt cực đại tại x
0
.
2.6. nếu f’(x
0
) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x
0
=> f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
2.7. cực tiểu và cực dại chỉ mang tính chất trong một khoảng rất nhỏ chứ không phải trên cả TX Đ.
3. Giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x).
3.1. hàm số f(x) đạt GTLN tại x

0
nếu ∀ x ∈ D ta có: f(x) ≤ f(x
0
). Khi đó f(x
0
) = M là GTLN của
hàm số và kí hiệu là:
( )
ax
D
f x
m
.
3.2. hàm số f(x) đạt GTNN tại x
0
nếu ∀ x ∈ D ta có: f(x) ≥ f(x
0
). Khi đó f(x
0
) = m là GTLN của
hàm số và kí hiệu là:
( )
in
D
f x
m
.
3.3. muốn tìm GTLN—GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:;
- ta tính f’(x).
- cho f’(x) =0 để tìm các điểm cực trị.

- Ta so sánh giá trị của hàm tại các điểm cực trị và hai đầu f(a); f(b) để kết luận GTLN
và GTNN của hàm số.
3.4. chú ý: cực trị là ta xét trong một khoảng nhỏ còn GTLN; GTNN là ta xét trên cả TXD của
hàm số f(x) .
4. cung lồi; cung lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:
4.1. cung lồi là cung mà tại mọi điểm thuộc nó thì tiếp tuyến tại đó luôn nằm phía trên cung đó.
4.2. cung lõm là cung mà tại mọi điểm thuộc nó thì tiếp tuyến tại đó luôn nằm phía dưới cung đó.
4.3. để xét tính lồi lõm của cung ta dùng đạo hàm cấp hai f’’(x). “âm lồi dương lõm”.
4.4. nếu f’’(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) => đồ thị hàm số f(x) lõm trên (a; b).
4.5. nếu f’’(x) < 0 ∀ x ∈ (a; b) => đồ thị hàm số y=f(x) lồi trên (a; b).
4.6. nếu tại x
0
có f’’(x
0
) = 0 và f’’(x) đổi dấu qua x
0
thì x
0
là điểm uốn của đồ thị hàm số y=f(x).
4.7. điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi tính lồi lõm khi qua nó.
4.8. điểm uốn sẽ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó.
5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
5.1. đường tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị hàm số không cắt được mà chỉ tiến sát vào nó khi
x x
0
hay x -∞ hay x+∞.
5.2. tiệm cận ngang là đường thẳng dạng y=b. tiệm cận ngang gặp khi bài toán cho hàm số dạng
y=
;
a x b

cx d
+
+
Nguyễn công Nhàn Page 2 9/29/2013
5.3. muốn tìm tiệm cận ngang ta chia tử cho mẫu và lấy phần nguyên y=b đó là tiệm cận đứng và
c/m theo công thức:
lim( ( ) ) 0. à lim ( ( ) ) 0
x x
f x b v f x b
→∞ →−∞
− = − =
.
5.4. tiệm cận đứng là đường thẳng x=x
0
. tiệm cận đứng gặi khi bài tập cho dạng phân thức và có
mẫu số chứa biến. ta cho MS=0 và có ngay nghiệm x= x
0
là TCD
5.5. muốn tìm tiệm cận đứng ta cho mẫu số bằng 0 và tìm x= x
0
là được. tức là tìm theo công thức:
0 0
0 0
lim ( ) à lim ( )
lim ( ) à lim ( )
x x x x
x x x x
f x v f x
f x v f x
→ − → +

→ − → +
=+∞ =−∞
=−∞ =+∞



lúc đó đồ thị không chạm vào đường thẳng x=x
0
được mà
chạy lên cao đến +∞ hoặc xuống thấp đến –∞. Khi x  2
5.6. tiệm cận xiên là đường thẳng y=ax+b với a # 0. ta gặp tiệm cận xiên khi đồ thị hàm số của hàm
số có dạng phân thức mà bậc tử cao hơn bậc mẫu. bậc 2 trên bậc 1.(nâng cao).
5.7. khi đó ta chia Tử cho mẫu và tạo ra dạng y=ax+b+…ta được tiệm cận xiên y=ax +b. (Phép
chia đa thức có dư).
5.8. muốn tìm tiệm cận xiên ta tìm a và b như sau: a=
( )
( )
lim à b= lim f x ax
x x
f x
v
x
→∞ →∞
− 
 
.
5.9. giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
6. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
6.1. các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
- tìm TXĐ. D=?

- xét sự biến thiên:
• ta tính f’(x)=?
• Tìm các điểm cực trị và xét dấu f’(x): giải pt: f’(x)=0. tìm điểm cực trị.
• Tìm giới hạn khi x +∞ và x -∞ để lập bảng biến thiên.
• Lập bảng biến thiên: xét dấu f’(x) và chiếu biến thiên của f(x).
- Tìm các tiệm cận hoặc tính y’’để tìmm điểm uốn nếu có.
- Tìm các điểm đặc biệt và vẽ đồ thị.
- Vẽ. Dựa vào tính chất đối xứng của hàm số để vẽ cho nhanh hơn cũng được.
6.2. Hàm bậc 3: hàm số này không có tiệm cận, chỉ có cực trị. Có một; hai hoặc không cực trị. Có
một điểm uốn là tâm đối xứng với y’’=0.
6.3. hàm số bậc bốn: dạng trùng phương, hàm số này có một hoặc ba cực trị. Có hai hoặc không có
điểm uốn nào.
6.4. dạng phân thức: y=
ax+b
cx+d
hàm số này có hai tiệm cận: tiệm cận đứng: x=-d/c. và y= a/c. y’=
( )
2
ad-bc
cx+d
6.5. **dạng phân thức: y=
2
ax +bx+c
mx+n
. Đồ thị có tiệm cận xiên và TC đứng x= -n/m.
7. Dùng đồ thị để giải và biện luận pt. biện luận theo m số nghiệm của pt:
7.1. ta đã vẽ được đồ thị hàm số y= f(x).
7.2. yêu cầu ta biện luận số nghiệm của pt: g(x) =0 có tham số m:
7.3. ta chuyển pt trên về dạng: f(x) = G(m).
7.4. khi đó ta biện luận dựa theo đồ thị theo G(m)=> m.

8. Dùng tính chất đơn điệu để c/m pt có nghiệm:
tìm m để pt f(x;m) =0 có nghiệm thuộc [a; b].
- ta đưa pt về dạng: F(x) = G(m).
- ta dùng pp đạo hàm tìm Fmin=A và Fmax=B trên [a; b].
- khi đó để pt có nghiệm trên [a; b] thì G(m) ∈ [A; B]
9. Tiếp tuyến:
pt tiếp tuyến qua tiếp điểm M(x
0
; y
0
) có dạng: y= f’(x
0
).(x-x
0
)+y
0
.
f’(x
0
): là hệ số góc của đt.
Nguyễn cơng Nhàn Page 3 9/29/2013
Muốn viết được pttt ta cần xác định được tọa độ hồnh độ tiếp điểm là viết được còn các giả thiết
khác ta biến đổi vê tìm x
0
và giải.
Hai đt song song khi có hệ số góc bàng nhau.
Hai đt vng góc khi có hệ số góc nhân nhau bằng -1.
Đk để hai đt tiếp xúc nhau.
cho đồ thị hàm số: y= f(x) khi đó pttt của (C) tại tiếp điểm M(x
0

; y
0
) là: y= f’(x
0
).(x-x
0
)+y
0
.
Nếu ta chưa có tiếp điểm thì ta gọi tiếp điểm là (x
0
; y
0
) khi đó pttt có dạng:
y= f’(x
0
).(x-x
0
)+y
0
.
Sau đó ta thay điểm đi qua hoặc giả thiết đề cho để tìm x
0
.
Cho hai hàm số: f(x) và g(x) khi đó f(x) và g(x) tiếp xúc tại tiếp điểm có x
0
là nghiệm hệ pt:
f(x)= g(x)

f'(x) = g'(x)




10.
BÀI TẬP  sách ôn tập tổng hợp AN3
1. xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. y=2x
2
-3x+5.
b. Y=4+3x-x
2
.
c. Y= 1/3. x
3
-3x
2
+8x-2.
d. Y=x
4
-2x
2
+3.
e. Y=
1 1
1x x
−
−
f. Y=
2
3

1
x
x +
g. Y=
2
2 3x x+ +
.
2. tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a. y=
3 1
1
x
X
+
−
.
b. Y=
2
2
1
x x
x
−
−
.
c. Y=4x-1+
1
1x −
.
d. Y=

2
4
x
x +
.
e. Y=x+sinx.
3. CMR: hàm số y=
2
2x x−
nghịch biến trên đoạn [1; 2].
4. CMR: hàm số y=
2
9x −
đồng biến trên [3; +∞)
5. CMR: hàm số y= x+ 4/x nghịch biến trên [-2; 0) và (0; 2].
6. CMR: hàm số y=
3
2 1
x
x
−
+
nghịch biến trên tập xác định của nó.
7. CMR: hàm số y=
2
2 3
2 1
x x
x
+

+
đồng biến trên tập xác định của nó.
8. CMR: hàm số y= -x+
2
8x +
nghịch biến trên R.
9. CMR: hàm số f(x)=x+cos
2
x đồng biến trên R.
10. CMR: hàm số y=
2
1
x
x +
đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1;
+∞).
11. tìm m để hàm số: y=x+2+
1
m
x −
đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
12. tìm a để hàm số: f(x)=-1/3.x
3
+2x
2
+(2a+1)x-3a+2 nghịch biến trên R.
Nguyễn công Nhàn Page 4 9/29/2013
13. cho hàm số: f(x)=
2
2 2x x −

.
a. CMR: f(x) đồng biến tren tập xác định của nó.
b. CM: pt
2
2 2x x −
=11 có một nghiệm duy nhất.
14. tìm cưc trị của hàm số:
a. f(x)= 2x
3
-9x
2
+12x+3.
b. F(x)= -5x
3
+3x
2
-4x+5.
c. F(x)= 3x
4
-4x
3
-24x
2
+48x-3.
d. F(x)=x-3+
9
2x −
.
e. F(x)=
2

2
8 24
4
x x
x
+ −
−
.
f. F(x)=
2
4
x
x +
g. F(x)=x.
3 x−
.
h. F(x)=x
2
-2/x/ +2.
15. tìm các hệ số a; b và c để cho hàm số: y= x
3
+ax
2
+bx+c đạt cực tiểu tại x=1; f(1)=-3 và đồ thị hàm
số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.
16. tìm các số thực p và q sao cho hàm số: y= x+p+
1
q
x +
đạt giá trị cực đại là -2 tại x =-2.

17. tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a. f(x)=x
3
+3x
2
-9x+1 trên [-4; 4].
b. F(x)=x
3
+5x-4 trên [-3; 1].
c. F(x)=x
4
-8x
2
+16 trên [-1; 3].
d. F(x)=
2
x
x +
trên (-2; 4].
e. F(x)= x+2+
1
1x −
khi x >1.
f. F(x)=
2
1x x−
18. **Tập giá trị của hàm số (tìm GTLN và GTNN): tìm TXD--sau đó đánh giá m ≤ f(x) ≤ M.kết luận.
a. f(x)= 3sinx-4cosx +5.
b.
2

2
1
1
x
y
x
−
=
+
.
c.
2
1x
y
x
+
=
d. y = 5sinx -12cosx +13
e. y=5sin
2
x-12cos
2
x+13sinx.cosx+3.
f.
2sin 3cos 1
sinx-cosx+3
x x
y
+ +
=

.
g.
2 2
2 2
sin 4sin .cos 5cos
sin x-3sinx.cosx+4cos
x x x x
y
x
− +
=
.
h.
2 3
4 5
x
y
x
+
=
+
.
i.
2
2 11
1
x x
y
x
− +

=
−
.
j.
2
2
5 4
1
x x
y
x x
− +
=
+ +
k. Y=sin
6
x+cos
6
x.
19. xét tính đơn điệu của hàm số:
a. y=x
3
-3x
2
+2.
Nguyễn công Nhàn Page 5 9/29/2013
b. Y= tanx.
c. Y=3x-x
3
.

d. Y=x
2
+x.
e. Y= x- 1/x.
f. Y=1/3 x
3
-3x
2
+8x-2.
g. Y=tanx-2x.
h.
.
y=sinx.sin2x
20. .tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a. .
1
1
x
y
x
+
=
−
..
b.
2
2 3
4 1
x x
y

x
−
=
−
c.
1
4 1
1
y x
x
= − +
−
d.
2
2
7 8
1
x
y
x x
−
=
+ +
e.
2 x
y x e
−
= −
f. y=x+sinx.
21. với giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó:

a. .
3 2
1
2008.
3
y x mx x= − + +
b.
3 2
1
2008.
3
y x mx mx= − + +
c.
2
2 3 1
.
1
x mx m
y
x
− + −
=
−
d.
2
2
2 3 1
.
1
x mx m

y
x x
− + −
=
+ +
22. Cmr:
a. hàm số
2
3 2 .y x x= −
Đồng biến trên khoảng(0; 3/2) và nghịch biến trên khoảng (3/2; 2).
b. Hàm số y= x+sinx.cosx+10 đồng biến trên R
23. C/m các BDT sau:
a. 4/3. sin
3
x+sin
2
x+1/2 > 0. ∀x.
b. Cos
3
x -3cos
2
x+4 ≥ o ∀x.
c. 3
x
+x ≥ 11 khi x ≥ 2.
d. X
4
-4x
3
+27 ≥ 0 ∀x.

e. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1 ≥ 0 ∀x.
24. cực trị của hàm số:
a. tìm các cực trị của hàm số: y=f(x) =x
3
-2x
2
+x+1.
b. Tìm các điểm cực trị của hàm số: y=f(x)=x+1/x.
c. Y=3x-x
3
.
d. Y=x
4
-6x
2
+5.
e. Y=x
3
(1-x)
2
.
f. Y= sin2x+cos2x.
g. Y= x
2
lnx.
25. xác định các hệ số p; q và r của hàm số f(x)=x
3
+px
2
+qx+r sao cho hàm số triệt tiêu tại x=-1 và đạt

cực trị tại điểm x= -2 và có giá trị cực trị là 1.
26. tìm m để hàm số f(x)= mx+1+1/2x có cực đại và cưc tiểu.
27. CMR hàm số
2
2
2
.
2
x x m
y
x
+ +
=
+
luôn luôn có một cực đại và cực tiểu.
28. giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: