GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP PHẦN TĨNH ĐIỆN CÓ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

TRAO ĐỔI KINH NGHIỆM DẠY VẬT LÝ
GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP PHẦN TĨNH ĐIỆN
CÓ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
(Bài viết có sử dụng một số tư liệu của đồng nghiệp, Tài liệu bồi dưỡng HSG vật lý
THPT của tác giả Vũ Thanh Khiết – Nguyễn Thế Khôi.)
I. Đặt vấn đề:
Định luật bảo toàn năng lượng là một trong những định luật đúng đắn nhất của vật lý
học mà cho đến nay các nhà khoa học vẫn thấy nó đúng trong những điều kiện ngặt
nghèo nhất trong phòng thí nghiệm.
Việc áp dụng định luật bảo toàn năng lượng trong nhiều nhiều bài toán phức tạp và
nhiều hiện tượng tự nhiên làm cho vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Sau đây tôi xin giới thiệu cùng đồng nghiệp một số bài toán tĩnh điện có thể giải bằng
phương pháp dùng các định luật bảo toàn.
II. Một số bài toán áp dụng:
Bài 1: Điện tích Q được phân bố đều trên một mặt cầu kim loại rắn tuyệt đối với bán kính
R. Hãy xác định lực F tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt đó từ phía điện tích còn
lại.
Giải:
Theo điều kiện mặt cầu rắn tuyệt đối nên bán kính thực của nó không thể thay đổi.
Tuy nhiên chúng ta hãy tưởng tượng rằng do lực đẩy của các điện tích cùng dấu, bán kính
mặt cầu tăng lên chút ít, cụ thể là một lượng vô cùng nhỏ δR. Mặt cầu tích điện có tính
chất của một tụ điện – nó giữ nguyên điện tích mà người ta truyền cho nó. Điện thế của
mặt cầu liên hệ với điện tích của nó bởi hệ thức: . Mặt khác, theo định nghĩa điện dung ta
có V = Q/C, suy ra C = 4πεε 0R. Năng lượng của tụ điện này W = Q 2/2C = Q2/(8πεε0R).
Như vậy khi tăng bán kính mặt cầu, năng lượng này giảm một lượng:
∆W = W – W’ =
Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên năng lượng này bằng công toàn
phần A do lực đẩy tĩnh điện giữa các yếu tố riêng rẽ của mặt cầu thực hiện. Gọi F là lực
tác dụng lên một đơn vị diện tích, ta có: A = F.4πR2.δR. Do đó:
F.4πR2.δR = . Từ đây lưu ý rằng δR.<< R, ta tính được: F =
Bài 2: Hai vật có kích thước nhỏ, khối lượng m 1 và m2 , mang các điện tích cùng dấu q 1

và q2 nằm cách nhau một khoảng a trong chân không. Hãy tính công của lực điện trường
khi thả đồng thời cả hai điện tích cho chúng tự do chuyển động. Xét trường hợp các khối
lượng bằng nhau và trường hợp các khối lượng không bằng nhau.
Giải:
a) Trường hợp khối lượng các hạt bằng nhau:

1


Do lực tương tác như nhau, gia tốc các hạt như nhau. Chúng đồng thời được thả ra,
nên các điện tích luôn đối xứng qua khối tâm chung, năm chính giữa đoạn a ban đầu.
Gọi x là các khoảng cách tức thời từ mỗi điện tích đến khối tâm. Công dịch chuyển
mỗi điện tích đi ra đến vô cùng bằng:
�

�

�

qq
qq � 1�
qq
dx
A1  �
Fdx  1 2 � 2  1 2 � �  1 2
4 0 a / 2 (2 x) 16 0 � x �a /2 8 0 a
a /2

Suy ra công toàn phần của lực điện trường khi cho cả hai điện tích đồng thời chuyển
động ra xa vô cùng bằng:

A  A1  A2  2 A1 

q1q2
4 0 a

b) Trường hợp các khối lượng m1, m2 khác nhau:
Khi đó gia tốc của hai vật là khác nhau. Tuy nhiên theo định luật bảo toàn khối tâm:
m1x1  m 2 x2 � x2 

m1 x1
m2
m2
m1
� x1  ( x1  x2 )

l
x2 
l
m2
m1  m2 m1  m2 và
m1  m2 .

với l kà khoảng cách tức thời giữa hai điện tích.
Gọi khoảng cách ban đầu từ khối tâm đến các điện tích là a 1 và a2, ta có công dịch
chuyển điện tích q1 ra xa vô cùng bằng:
�

A1  �
F1dx1 
a1

�

q1q2 m2
dl q1q2 m2 1

�
4 0 m1  m2 a l 2 4 0 m1  m2 a

Tương tự công cho điện tích q2:
A2 

q1q2
m1 1
4 0 m1  m2 a

Thế năng tương tác ban đầu giữa hai điện tích được chuyển hoàn toàn thành công của
hai điện tích ra xa vô cùng:
Wt  A1  A2 

q1q2 1
4 0 a

Nhận xét: dù cho một hay cả hai điện tích của hệ dịch chuyển ra xa vô cùng thì
công của lực điện trường cũng chỉ bằng thế năng của một điện tích này trong điện trường
của một điện tích kia khi chúng cách nhau một khoảng r.
Bài 3: Một tấm có hằng số điện môi   3 nằm giữa hai bản của một tụ điện
phẳng, choán hết thể tích của tụ điện. Tụ điện được mắc vào một nguồn có
suất điện động U = 100V qua một điện trở. Sau đó tấm được đẩy ra khỏi tụ
điện thật nhanh, đến mức điện tích trên tụ điện chưa kịp biến thiên.

Hỏi phần năng lượng toả ra trong mạch sau đó dưới dạng nhiệt bằng bao nhiêu? Biết
điện dung của tụ điện khi chưa có điện môi la C0 = 100μF.
Giải:

2


Khi vừa đánh bật tấm điện môi ra khỏi tụ điện, điện dung của tụ điện còn bằng C 0,
nhưng điện tích trên tụ vẫ là q 1 = CE =  C0U. Do đó năng lượng của tụ điện ngay sau khi
điện môi bị đánh bật bằng:
W1 

( C0U ) 2  2C0U 2

2C0
2

Sau đó điện tích của tụ còn lại: q 2 = C0U để phù hợp với điện dung mới, nên có một
điện lượng ∆q = q1 – q2 chạy qua nguồn ngược chiều lực lạ, do đó nguồn tiêu thụ một
công:
A  q.U  (q1  q2 )U  (  1)C0U 2

đồng thời năng lượngcủa tụ điện chỉ còn bằng:
W2 

C0U 2
2

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta thu được nhiệt lượng toả ra trên mạch sau
khi đẩy tấm điện môi ra ngoài:

Q  W1  W2  A 

( 2  1)C0U 2
(  1)2 C0U 2
 (  1)C0U 2 
 2J
2
2

Bài 4: Ba quả cầu nhỏ tính điện như nhau, mỗi quả cầu có khối lượng m và điện tích q,
được nối với nhau bằng các đoạn dây không dãn chiều dài l. Ban đầu chúng nằm cân
bằng trên mặt bàn nhẳn nằm ngang và tạo thành một tam giác đều. Vì lý do nào đó, một
trong các đoạn dây bị tuộc. Hãy xác định các vận tốc của mỗi quả cầu tại thời điểm chúng
nằm trên một đường thẳng. Xem rằng bán kính của các quả cầu là nhỏ so với chiều dài
của đoạn dây nối chúng.
Giải:
Ban đầu ba quả cầu 1,2,3 nằm tại đỉnh của tam giác đều
3
+
cạnh l, có khối tâm G (giao điểm của ba đường trung trực)
( hình vẽ). Vì các quả cầu nằm yên nên năng lượng toàn phần
3
+
của hệ chỉ là thế năng tương tác tỉnh điện giữa các quả cầu:
+
+
1

q2
W0  3

4 0l

+
1

+
2

2

uu
r
P0  0

Mặt khác động lượng tổng cộng của hệ bằng 0:
vì trên mặt bàn nằm ngang hệ
chỉ chịu tác dụng của nội lực tương tác giữa các quả câu nên khối tâm của hệ luôn đứng
yên. Giả sử đoạn dây nối giữa quả cầu 1 và 2 bị đứt, do tương tác tỉnh điện ba quả cầu
chuyển động. Khi ba quả cầu nằm trên cùng một đường thẳng, quả cầu 3 đóng vai trò là
khối tâm của hệ, khi đó quả cầu 3 có vị trí tại G và có vận tốc
tính đối xứng vận tốc

ur
v1

và

uu
r
v2

ur
v3

như trên hình vẽ. Do

của các quả cầu 1 và 2 có độ lớn như nhau và cùng hướng.

3


Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:

ur
uu
r
ur ur uur r
mv1  mv2  mv3  p  p0  0

ur
ur uu
r
v3
v
ur
uu
r
v1  v2  
v1  v2   3
v

v
2 nghĩa là 1 và 2 có hướng như hình vẽ, ngoài ra
2 , nên
Ta có

năng lượng tòa phần của hệ bằng: W = Wđ + Wt
Với:

Wđ 

mv12 mv22 mv32


 3mv12
2
2
2

Wt 

q2
q2
q2
5q 2



4 0l 4 0l 8 0l 8 0l

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

q
kq
3q 2
5q 2
v1  v2 

 3mv12 
8 0 6 0lm 2 6 0lm
4 0l
8 0l �

III. Một số bài tập tham khảo:
Bài 5: Một tụ điện phẳng có hai bản tụ bằng kim loại diện tích S, điện môi không khí.
Tích điện cho tụ bởi hiệu điện thế U. Tính lực hút giữa hai bản tụ?
Gợi ý giải:
Bài toán này chúng ta áp dụng như bài toán 1.
- Tính năng lượng ban đầu của tụ (W).
- Giả sử kéo hai bản tụ ra xa nhau một khoảng rất nhỏ x
- Tính năng lượng của tụ khi đã dịnh chuyển một đoạn nhỏ x (W’). Độ chênh lệch
năng lượng ở hai vị trí ∆W = /W’ – W/ chính bằng công dịnh chuyển hai bản tụ ra
xa nhau một khoảng x và bằng công cản của lực hút giữa hai bản tụ.
- Từ các kết quả trên ta tính được: F.x = ∆W
Bài 6: Một tấm đồng dày b được đưa vào một tụ phẳng có diện tích bản là S.
Chiều dày tấm đúng bằng nửa khoảng cách giữa các bản.
a) Hỏi điện dung sau khi đưa tấm đồng vào?
b) Hỏi công thực hiện khi đưa tấm đồng vào? Tấm bị hút vào hay phải đẩy nó vào?
Gợi ý giải:
Khi đưa tấm đồng vào gữa hai bản tụ ta được bộ 2 tụ ghép nối tiếp. Học sinh đễ dàng
tính được điện dung của bộ tụ này. So sánh năng lượng của tụ ghép này với năng lượng
của tụ ban đầu (chưa đưa bản đồng vào) chúng ta sẽ tính được công thực hiện để đưa tấm

đồng vào, và sẽ biết được tấm đồng bị hút vào hay phải đẩy nó vào (chú ý: mọi vật đều
có xu hướng tồn tại với trạng thái có mức năng lượng thấp nhất - mức bền vững nhất).
Bài 7: Ở hai đầu thanh nhẹ cách điện (khố lượng không đáng kể) có gắn hai viên bi nhỏ
A và B, có khối lượng m1, m2 và mang điện tích q1, q2 tương ứng. Thanh có thể quay
không ma sát xung quanh một trục nằm ngang vuông goác với thanh, trục quay cách viên

4


uur
E0

bi A và bi B các khoảng l1, l2 tương ứng. Hệ thống được đặt trong điện trường đều
có
phương thẳng đứng, hướng từ dưới lên trên. Ban đầu người ta giữ than nằm ngang, rồi
sau đó buông không vận tốc đầu.
a) Muốn thanh vẫn nằm cân bằng ở vị trí nằm ngang thì cường độ điện trường
phải có độ lớn bằng bao nhiêu?

uur
E0

E0
b) Giả sử cường độ điện trường có độ lớn bằng 2 , tính vận tốc của viên bi B khi

quay qua vị trí thẳng đứng.
Giải:
Bài 8: Một hạt bụi nằm cố định tại điểm O và thừa 1000 electron. Từ rất xa O có một
electron chuyển động về phía hạt bụi với vận tốc ban đầu v 0 = 105m/s. Xác định khoảng
cách nhỏ nhất mà electron có thể tiến đến gần hạt bụi. Bỏ qua tác dụng của trọng trường.

Bài 9: Ba quả cầu kim loại nhỏ, cùng khối lượng m = 0,1g và có cùng điện tích q = 10 – 7
C, ban đầu được giữ nằm yên tại ba đỉnh của một tam giác đều cạnh a = 1,5cm. Cùng một
lúc buông ba quả cầu đó ra thì chúng dịch chuyển ra xa nhau theo phương các đường
trung trực của tam giác (một cách đối xứng) do tác dung của lực đẩy tỉnh điện giữa
chúng. Bỏ qua tác dụng của trọng lực và của từ trường. Hãy tính:
a) Vận tốc của mỗi quả cầu khi chúng cách nhau một khoảng r = 4,5cm
b) Công của lực điện trường để làm cho quả cầu dịch chuyển ra rất xa hai quả cầu
kia.
Bài 10: Ba quả cầu nhỏ tích điện được giữ yên trên một đường thẳng trong mặt phẳng
nhẳn nằm ngang, khoảng cách giữa hai quả cầu cạnh nhau là d, khối lượng các quả cầu là
m1; m2 = 2m1; m3 = 5m1. Điện tích của chúng lần lượt là q1; q2 = q1; q3 = 2q1. Người ta thả
các quả cầu cho tự do. Hãy tìm vận tốc của mỗi quả cầu sau khi chúng dịch chuyển ra rất
xa nhau. Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Bài 10: Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m 1 = m,
q1 = +q; m1 = 4m, q2 = + 2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẵn nằm
ngang. Ban đầu giữ quả cầu 1 đứng yên. Đẩy quả cầu 1 chuyển động hướng thẳng vào
quả cầu 2 với vận tốc v0, đồng thời buông quả cầu 2.
a) Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu.
b) Xét trường hợp a = ∞, tính rmin
c) Tính vận tốc u1, u2 của hai quả cầu ( theo v 0, rmin) khi chúng lại ra xa nhau vô
cùng. Xét trường hợp a = ∞.

5