một số bài tập ôn vào 10 có lời giải

i-đặt vấn đề:
1-ỡ trờng THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó
giải toán là hình thức chủ yếu. Để rèn luyện kỷ năng giải toán cho học sinh
ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên hớng dẫn học
sinh khai thác,mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong chơng trình để
các em có suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán.
2-Nhng tiếc rằng trong các nhà trờng hiện nay phần lớn các giáo viên cha có
thói quen khai thác một bài toán thành chuỗi các bài toánliên quan cho học
sinh. Việc chỉ dừng lại ở các bài tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó
tìm đợc mối liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho nên khi gặp một bài toán
mới các em không biết xuất phát từ đâu? những kiến thức cần sử dụng là gì?
nó liên quan nh thế nào với các bài toán trứơc đó?
3-Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi chúng tôi thấy việc
tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc là phơng pháp học khoa học , có
hiệu quả.Từ dễ đến khó là con đờng phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kỹ
năng giải toán. Việc tìm tòi,mở rộng các bài toán làm tăng thêm hứng thú học
tập, óc sáng tạo của học sinh. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân
tích , phán đoán tìm lời giải cho các bài toán khác và ngày càng tự tin hơn
vào khả năng giải toán của mình.
4-Bài viết này tôi xin đa ra một số ví dụ về cách khai thác một số bài toán
trong chơng trình toán 8, xin đợc trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp.
-Để bài viết không quá dài nên một số lời giải chúng tôi không trình bày chi
tiết.
II-Nội Dung:
Ví dụ1(SGK-T8.Tr25)
Chứng minh rằng: n

3
n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Giải:

Ta có n

3
n =n.(n-1).(n+1). Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 luôn
cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó n

3
n
6
.
Qua bài toán trên ta thấy n
3
và n đồng d khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó
ta đề xuất một số bài toán tơng tự nh sau.
Bài1:
Chứng minh rằng :
),(66
33
Znmmnmn ++
.
Giải: Tacó
)(,6)()()()(
1
3333
theoVDmmnnmnmn +=++
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc bài toán sau.
Bài2: Chứng minh rằng:

),1,(,6 6
321

33
3
3
2
3
1
niZxxxxxxxxx
inn
=++++++++
Bài3: Cho A=
.9998 321
33333
+++++
Hỏi A có chia hết cho 6 không?
Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hết
cho 6,trong đó S=
625.33.6
2
)199(99
S=
+
. Do đó A
6
.
Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004).
Chứng minh rằng:
6)(
3333
zyxzyx ++
với mọi số nguyên x,y,z.

Giải:
[ ]
)()()()()()(
33333333
zzyyxxzyxzyxzyxzyx ++++=++
.
Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều
phải chứng minh.
Bài5:
Viết số
2004
2005
thành tổng của k số tự nhiên tuỳ ý
k
aaaa .,, ,,
321
.Tìm số d
của phép chia
33
3
3
2
3
1

k
aaaa
++++
cho3.

Giải: Đặt N=
33
3
3
2
3
1

k
aaaa
++++
và
k
aaaa ++++= 2005
321
2004
.
Ta có N-
=
2004
2005
3)( )()()(
3
3
3
32
3
21
3
1

kk
aaaaaaaa ++++
,(VD
1
)
Mặt khác
2004
2005
chia cho 3 d 1, do đó N chia cho 3 d 1.
Kết hợp với hằng đẳng thức đã học
1
VD
đợc phát triển thành các bài toán thú
vị sau.
Bài 6:
Cho
23232
)()13()1( baabbabaP ++++=
. Chứng minh rằng P chia hết
cho 6 với mọi số nguyên a,b.
Giải:
Đặt
222
)(13;1 bayxabbyabax +=++=+=
. Khi đó ta có
P=
6)()()(
3333
yyxxyxyx +=++

.
Bài7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì:
33)3()3(
23323
yxyxyxyx ++++
.
Gợi ý: Đặt
:,)(3;3
32323
yxbayxybxyxa
+=++=+=
Ta có
33)()(33
3
1
33
yxyxBTbaba ++++
(vì 3 là số nguyên
tố).
Bài8: Cho các số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z=
2007
2006.3
Chứng minh rằng: M=
323232
)()()( xzyzzxzxyyyzxyx ++++++++
chia hết
cho 6.
Giải:
Đặt
333222

;; cbaMxzyzzcxzxyybyzxyxa ++=++=++=++=
Ta có:
)(6)()(2
2222
gtTheozyxz xyzxyzyxcba ++=+++++=++
.
Do đó M
6
(theo-BT
2
)
Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau.
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a)
333
20052)()( +++=+++ zyxzyyx
(1)
b)
189)12()1(
3322
=+++ xyyx
(2)
Giải:
a)
[ ] [ ]
333
2005)()()()()1( =+++++ zyzyyxyx
(3)
Dễ thấy VT của (3) chia hết cho 6 (theo-VD1).Nhng
3

2005
không chia hết
cho 6,do đó phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b) Đặt
222
)(12;1 yxqpxyqyxp +=++=+=
. Khi đó phơng trình (2) trở
thành :
189
33
=+ qp
. Vì 189
3
nên
)(33
1
33
BTtheoqpqp ++
.Từ
đó suy ra p+q là số chính phơng chia hết cho 3.
Mặt khác
7.3.9))((189
2233
=++=+ qpqpqpqp
.Do đó p+q chỉ có thể
bằng 9
),(39)(
2 +
=+=+ Zyxyxyx
, từ đó suy ra phơng trình có

hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1). Thử lại thấy thoã mãn.