Hệ thống kiến thức Toán 6 Kiến thức cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (366.92 KB, 28 trang )
.
HỆ THỐNG KIẾN THỨC
TOÁN 6
Kiến thức cơ bản
JHSMATH.COM
Lời nói đầu
Các em học sinh lớp 6 thân mến!
Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện
vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 6 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó
Series Tự học Toán 6 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo
khoa Toán 6 hiện hành. Mỗi bài gồm 4 mục
• Kiến thức cơ bản hệ thống những kiến thức cần thiết nhất mà các em phải nắm
vững
• Sai lầm cần tránh lưu ý các em những lỗi phổ biến thường mắc phải khi học và
làm toán
• Câu hỏi trắc nghiệm giúp các em vận dụng lí thuyết và tự kiểm tra mức độ nắm
kiến thức của mình
• Ví dụ minh họa được chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức và kĩ năng. Tất cả
các em cần nắm vững những kiến thức nền móng và những kĩ năng thiết yếu trong
các ví dụ cơ bản này
Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơ
bản. Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 6
Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức và
rèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn
Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao cho
ngắn gọn và rõ ràng
Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướng
suy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bài
toán
Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ song song và kí hiệu ∼ để
chỉ đồng dạng. Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiện
hành
2
Mục lục
1 Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên
1.1 Tập hợp. Phần tử của tập hợp . . . . . . .
1.2 Tập hợp các số tự nhiên . . . . . . . . . .
1.3 Ghi số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con
1.5 Phép cộng và phép nhân . . . . . . . . . .
1.6 Phép trừ và phép chia . . . . . . . . . . .
1.7 Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy
1.8 Chia hai lũy thừa cùng cơ số . . . . . . . .
1.9 Thứ tự thực hiện các phép tính . . . . . .
1.10 Tính chất chia hết của một tổng . . . . . .
1.11 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 . . . . . . .
1.11.1 Dấu hiệu chia hết cho 2 . . . . . .
1.11.2 Dấu hiệu chia hết cho 5 . . . . . .
1.12 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 . . . . . . .
1.12.1 Dấu hiệu chia hết cho 9 . . . . . .
1.12.2 Dấu hiệu chia hết cho 3 . . . . . .
1.13 Ước và bội . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố .
1.15 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố . .
1.16 Ước chung và bội chung . . . . . . . . . .
1.17 Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . .
1.18 Bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
2 Số nguyên
2.1 Làm quen với số nguyên âm. Tập hợp các số nguyên âm . . .
2.2 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Cộng hai số nguyên cùng dấu. Cộng hai sống nguyên khác dấu
2.4 Tính chất của phép cộng các số nguyên . . . . . . . . . . . . .
2.5 Phép trừ hai số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Quy tắc dấu ngoặc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Quy tắc chuyển vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Nhân hai số nguyên khác dấu. Nhân hai số nguyên cùng dấu .
2.9 Tính chất của phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Bội và ước của một số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
13
13
13
13
14
14
14
15
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
thừa
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
cùng
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
cơ số .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 Phân số
16
3.1 Mở rộng khái niệm phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Phân số bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Tính chất cơ bản của phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
Rút gọn phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quy đồng mẫu nhiều phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số .
Phép trừ phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép nhân phân số
Phép chia phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm . . . . . . . . . . . . . . . .
Tìm giá trị phân số của một số cho trước . . . . . . . . . . . .
Tìm một số biết giá trị một phân số của nó . . . . . . . . . .
Tìm tỉ số của hai số. Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
18
18
18
18
19
19
19
4 Đoạn thẳng
4.1 Điểm. Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Đường thẳng đi qua hai điểm . . . . . . . . .
4.4 Tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Độ dài đoạn thẳng. Khi nào AM + M B = AB
4.7 Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài . . . . . . . . .
4.8 Trung điểm của đoạn thẳng . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
20
20
21
21
22
22
22
23
5 Góc
5.1 Nửa mặt phẳng . . . .
5.2 Góc . . . . . . . . . .
5.3 Số đo góc . . . . . . .
5.4 Khi nào thì xOy + yOz
5.5 Vẽ góc cho biết số đo .
5.6 Tia phân giác của góc
5.7 Đường tròn . . . . . .
5.8 Tam giác . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
25
25
26
27
27
28
28
. . . . .
. . . . .
. . . . .
= xOz
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Chương 1
Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên
1.1
1.1
Tập hợp. Phần tử của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Tập hợp các số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Ghi số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con . . . . . . . . . . .
6
1.5
Phép cộng và phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6
Phép trừ và phép chia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7
Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số .
7
1.8
Chia hai lũy thừa cùng cơ số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.9
Thứ tự thực hiện các phép tính . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.10 Tính chất chia hết của một tổng . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.11 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.12 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.13 Ước và bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.14 Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố . . . . . . . . . . . .
9
1.15 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố . . . . . . . . . . . . .
10
1.16 Ước chung và bội chung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.17 Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.18 Bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Tập hợp. Phần tử của tập hợp
Trong Toán học để viết một tập hợp thường có hai cách
• Cách 1 liệt kê các phần tử của tập hợp đó
• Cách 2 chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
5
1.2
Tập hợp các số tự nhiên
• Tập hợp các số tự nhiên là N = {0, 1, 2, 3, ...}. Tập hợp các số tự nhiên khác 0 là
N∗ = {1, 2, 3, ...}
• Hai số tự nhiên liên tiếp thì hơn kém nhau một đơn vị, chẳng hạn 5 và 6. Số 6 là số
liền sau số 5, số 5 là số liền trước số 6
1.3
Ghi số tự nhiên
• Trong hệ thập phân cứ mưới đơn vị ở một hàng thì làm thành một đơn vị ở hàng
liền trước nó. Kí hiệu abc với a = 0 biễu diễn với số a trăm, số b chục, số c đơn vị,
tức là abc = a.100 + b.10 + c
• Cần phân biệt số và chữ số. Chẳng hạn số 2010 có bốn chữ số là 2, 0, 1, 0. Khi viết
tập hợp các chữ số của số 2010, ta viết {2, 0, 1}
• Cần biết đọc và viết các số La Mã không quá 30, trong đó cần chú ý các số IV = 4,
XIV = 14, XXIV = 24, IX = 9, XIX = 19, XXIX = 29
1.4
Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con
• Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có
thể không có phần tử nào. Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng và được
kí hiệu là ∅
• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A được gọi là tập
con của tập hợp B. Ta kí hiệu A ⊂ B
1.5
Phép cộng và phép nhân
• Với phép cộng cần nhớ các tính chất
– Giao hoán a + b = b + a
– Kết hợp (a + b) + c = a + (b + c)
• Với phép nhân cần nhớ các tính chất
– Giao hoán a.b = b.a
– Kết hợp (a.b).c = a.(b.c)
– Nếu a.b = 0 thì có ít nhất một trong hai thừa a và b bằng 0
• Giữa phép nhân và phép cộng có tính chất phân phối a.(b + c) = a.b + a.c
1.6
Phép trừ và phép chia
• Điều kiện để thực hiện được phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ. Điều
kiện để có hiệu a − b là a ≥ b
6
• Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên q sao cho a = b.q.
Chẳng hạn 12 chia hết cho 4 vì 12 = 4.3
• Trong phép chia hết ta có Số bị chia = Số chia × Thương
• Trong phép chia có dư Số bị chia = Số chia × Thương + Số dư
a = b.q + r với 0 < r < b
Số chia bao giờ cũng khác không
1.7
Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa
cùng cơ số
• Lũy thừa bậc n (Lũy thừa với số mũ tự nhiên bậc n) của a là tích của n thừa số
bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
an = a.a.a...a (n = 0)
n
a gọi là cơ số, n gọi là số mũ
• Định nghĩa trên được áp dụng để
– Tính giá trị của một lũy thừa, chẳng hạn 23 = 2.2.2 = 8
– Viết gọn một tích bằng cách dùng lũy thừa, chẳng hạn a.a.a.a.b.b.b = a4 .b3
• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ
am .an = am+n
1.8
Chia hai lũy thừa cùng cơ số
• Chi chia hai lũy thừa cùng cơ số (cơ số khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số
mũ
am : an = am−n với a = 0 và m ≥ n
• Ta quy ước a0 = 1 với a = 0
• Số abcd = a.103 + b.102 + c.10 + d.100
1.9
Thứ tự thực hiện các phép tính
Khi thực hiện phép tính trong biểu thức cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính.
Cụ thể
• Trường hợp biểu thức không có dấu ngoặc
– Nếu chỉ có phép cộng, trừ hoặc phép nhân, chia ta thực hiện phép tính theo
thứ tự từ trái sang phải
– Chẳng hạn 37 − 21 + 9 = 16 + 9 = 25, 60 : 4.5 = 15.5 = 75
7
– Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng đến cộng và
trừ
– Chẳng hạn 2.32 − 4.3 = 2.9 − 4.3 = 18 − 12 = 6
• Trường hợp biểu thức có dấu ngoặc
– Ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn () trước, rồi thực hiện phép tính
trong dấu ngoặc vuông [], cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn
{}
– Chẳng hạn 400 : {2.[50 − (31 − 6)]} = 400 : {2.[50 − 25]} = 400 : {2.25} =
400 : 50 = 8
1.10
Tính chất chia hết của một tổng
Nhớ lại định nghĩa về chia hết học ở Phép trừ và phép chia. Số tự nhiên a chia hết cho
số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên k sao cho a = bk
.
a .. b ⇔ a = bk với k ∈ N
• Tính chất 1 (Tính chất chia hết của một tổng)
– Đối với một tổng
.
.
.
a .. m, b .. m ⇒ (a + b) .. m
.
.
.
.
a .. m, b .. m, c .. m ⇒ (a + b + c) .. m
– Đối với một hiệu
.
.
.
a .. m, b .. m ⇒ (a − b) .. m
• Tính chất 2 ( Tính chất không chia hết của một tổng )
– Đối với một tổng
.
.
.
a .. m, b .. m ⇒ (a + b) .. m
.
.
.
.
a .. m, b .. m, c .. m ⇒ (a + b + c) .. m
– Đối với một hiệu
.
.
.
a .. m, b .. m ⇒ (a − b) .. m
.
.
.
a .. m, b .. m ⇒ (a − b) .. m
1.11
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
1.11.1
Dấu hiệu chia hết cho 2
Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (tức là các chữ số 0, 2, 4, 6, 8) thì chia hết cho 2
và chỉ những số đó mới chia hết cho 2
8
1.11.2
Dấu hiệu chia hết cho 5
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết
cho 5
1.12
Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9
1.12.1
Dấu hiệu chia hết cho 9
• Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới
chia hết cho 9
.
.
.
.
• Chẳng hạn 378 .. 9 vì 3 + 7 + 8 = 18 .. 9 hoặc 253 .. 9 vì 2 + 5 + 3 = 10 .. 9
1.12.2
Dấu hiệu chia hết cho 3
• Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới
chia hết cho 3
• Số nào chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3
.
.
Nhưng một số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9, chẳng hạn 15 .. 3 nhưng 15 .. 9
1.13
Ước và bội
• Nếu có số nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b, còn b gọi là
ước của a. Ta nhắc lại
.
a .. b ⇔ a = bk với k ∈ N
• Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với
0, 1, 2, 3, . . . . Chẳng hạn B(4) = {0, 4, 8, 12...}
• Ta có thể tìm các ước của số a (a > 1) bằng cách chia a cho các số tự nhiên từ 1
đến a để xét xem a chia hết cho những số nào. Khi đó các số ấy là ước của a. Chẳng
hạn để tìm các ước của 12 xét các phép chia số 12 cho 1, 2, 3, 4, 5, 6...12. Ta thấy 12
chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12. Do đó U (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
1.14
Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố
• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó
• Cần nhớ 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Chẳng hạn 91 là hợp số vì số
lớn hơn 1, có ít nhất ba ước là 1, 91, 7
Để chứng tỏ 91 là hợp số, ta chỉ cần đưa ra một ước của 91 ngoài 1 và chính nó. Chẳng
hạn 7 (mặc dù 91 còn có ước là 13)
9
1.15
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
• Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng
một tích các thừa số nguyên tố
• Khi phân tích một số tự nhiên a (lớn hơn 1) ra thừa số nguyên tố. Trước hết ta
thường xét xem a có chia hết cho 2, 3, 5 hay không?
1.16
Ước chung và bội chung
• Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Chẳng hạn U C(4, 6) =
{1, 2}
• Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Chẳng hạn BC(4, 6) =
{0, 12, 24, 36...}
• Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm tất cả các phần tử chung của hai tập hợp
đó. Kí hiệu giao của hai tập hợp A và B là A ∩ B
1.17
Ước chung lớn nhất
• Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong các ước chung của
các số đó. Chẳng hạn U C(4, 6) = {1, 2} suy ra U CLN (4, 6) = 2
• Muốn tìm UCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau
– Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
– Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
– Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích
đó là UCLN phải tìm
Trong các số đã cho nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì UCLN của các
số đó chính là số nhỏ nhất ấy. Chẳng hạn U CLN (20, 8, 4) = 4
• Nhờ quy tắc tìm UCLN của nhiều số, để tìm ước chung của nhiều số ta có thể:
– Tìm UCLN của các số đó
– Tìm ước của UCLN đó
1.18
Bội chung nhỏ nhất
• Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội
chung của các số đó. Chẳng hạn BC(4, 6) = {0, 12, 24, 36...} suy ra BCN N (4, 6) =
12
• Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:
– Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
– Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng
10
– Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích
đó là BCNN phải tìm
Trong các số đã cho nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số
đã cho chính là số lớn nhất ấy. Chẳng hạn BCN N (6, 8, 24) = 24
• Nhờ quy tắc tìm BCNN của nhiều số, để tìm bội chung của nhiều số. Ta có thể
– Tìm BCNN của các số đó
– Nhân BCNN đó lần lượt với 0, 1, 2, 3. . .
11
Chương 2
Số nguyên
2.1
2.1
Làm quen với số nguyên âm. Tập hợp các số nguyên âm . . .
12
2.2
Thứ tự trong tập hợp các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Cộng hai số nguyên cùng dấu. Cộng hai sống nguyên khác
dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4
Tính chất của phép cộng các số nguyên . . . . . . . . . . . . .
13
2.5
Phép trừ hai số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.6
Quy tắc dấu ngoặc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.7
Quy tắc chuyển vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.8
Nhân hai số nguyên khác dấu. Nhân hai số nguyên cùng dấu
14
2.9
Tính chất của phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.10 Bội và ước của một số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Làm quen với số nguyên âm. Tập hợp các số
nguyên âm
• Bên cạnh các số tự nhiên người ta còn dùng các số nguyên âm. Chẳng hạn dùng
số nguyên âm để biểu thị nhiệt độ dưới 0o C, độ cao dưới mực nước biển, số tiền
nợ. . . Khi đó các số tự nhiên khác 0 được gọi là số nguyên dương
• Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương gọi là tập hợp các số
nguyên. Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là Z
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
2.2
Thứ tự trong tập hợp các số nguyên
• Thứ tự trong tập hợp các số nguyên được xác định như sau: khi biểu diễn trên trục
số (nằm ngang), nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên
b. Do đó ... − 4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4...
• Để diễn đạt quy tắc so sánh hai số nguyên, quy tắc các phép tính số nguyên, người
ta đưa ra khái niệm giá trị tuyệt đối của một số
12
• Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên
a. Kí hiệu là |a|
GTTĐ của số 0 là số 0
Nếu a = 0 thì |a| = 0
GTTĐ của một số nguyên dương là chính nó
Nếu a > 0 thì |a| = a
GTTĐ của một số nguyên âm là số đối của nó Nếu a < 0 thì |a| = −a
• Với khái niệm giá trị tuyệt đối, ta có quy tắc so sánh hai số nguyên âm. Trong hai
số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn. Chẳng hạn
| − 4| < | − 6| nên −4 > −6
2.3
Cộng hai số nguyên cùng dấu. Cộng hai sống
nguyên khác dấu
Quy tắc cộng hai số nguyên được xác định như sau
• Nếu một trong hai số bằng 0 thì tổng bằng số kia
• Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác 0
• Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai GTTĐ của chúng rồi đặt dấu − trước
kết quả
• Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0
• Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta lấy GTTĐ lớn trừ GTTĐ
nhỏ, rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có GTTĐ lớn hơn
Có thể diễn đạt gôp hai quy tắc thứ hai và thứ ba như sau: Muốn cộng hai số nguyên
cùng dấu, ta cộng hai GTTĐ với nhau còn dấu là dấu chung
2.4
Tính chất của phép cộng các số nguyên
Phép cộng các số nguyên có các tính chất sau:
Giao hoán
Kết hợp
Cộng với số 0
Cộng với số đối
2.5
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
a+0=0+a=a
a + (−a) = 0
Phép trừ hai số nguyên
Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b ta cộng a cho số đối của b
2.6
Quy tắc dấu ngoặc
• Quy tắc dấu ngoặc
– Khi bỏ dấu ngoặc có dấu + đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn
giữ nguyên
a + (b − c + d) = a + b − c + d
13
– Khi bỏ dấu ngoặc có dấu − đằng trước thì phải đổi dấu tất cả các số hạng
trong dấu ngoặc
a − (b − c + d) = a − b + c − d
• Một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên được gọi là một tổng đại
số
• Trong một tổng đại số ta có thể
– Thay đổi tùy ý vị trí các số hạng kém theo dấu của chúng
– Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý theo quy tắc dấu ngoặc
nêu ở trên
2.7
Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng trừ về này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số
hạng đó (dấu + đổi thành dấu −, dấu − đổi thành dấu +)
2.8
Nhân hai số nguyên khác dấu. Nhân hai số nguyên
cùng dấu
Quy tắc nhân hai số nguyên được xác định như sau
• Nếu một trong hai thừa số bằng 0 thì tích bằng 0
• Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0
• Muốn nhân hai số nguyên âm ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng
• Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng, rồi đặt
dấu − trước kết quả
Có thể diễn đạt gộp quy tắc thứ hai và thứ ba như sau: Muốn nhân hai số nguyên
cùng dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng, rồi đặt dấu + trước kết
quả
2.9
Tính chất của phép nhân
• Phép nhân các số nguyên có các tính chất
Giao hoán
Kết hợp
Nhân với số 1
Phân phối của phép nhân đối với phép cộng
a.b = b.a
(a.b).c = a.(b.c)
a.1 = 1.a = a
a.(b + c) = a.b + a.c
• Khi nhân nhiều thừa số khác 0, cần nhớ quy tắc về dấu
– Nếu số thừa số âm là 0, 2, 4, . . . (tức là số thừa số âm chẵn) thì tích là số dương
– Nếu số thừa số âm là 1, 3, 5, . . . (tức là số thừa số âm lẻ) thì tích là số âm
14
2.10
Bội và ước của một số nguyên
• Cho hai số nguyên a và b trong đó b = 0. Nếu có số nguyên k sao cho a = bk thì ta
nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a
• Trong bài bội và ước của một số nguyên các em cần nhớ các tính chất chia hết sau
.
.
.
* a .. b và b .. c ⇒ a .. c
.
.
* a .. b ⇒ am .. b (m ∈ Z)
.
* a .. c và b
.
* a .. b và b
..
.
. c ⇒ (a + b) .. c
..
.
. c ⇒ (a + b) .. c
15
Chương 3
Phân số
3.1
3.1
Mở rộng khái niệm phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Phân số bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Tính chất cơ bản của phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.4
Rút gọn phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.5
Quy đồng mẫu nhiều phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.6
So sánh phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.7
Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số 17
3.8
Phép trừ phân số
3.9
Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép nhân phân số 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.10 Phép chia phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.11 Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.12 Tìm giá trị phân số của một số cho trước . . . . . . . . . . . .
19
3.13 Tìm một số biết giá trị một phân số của nó . . . . . . . . . .
19
3.14 Tìm tỉ số của hai số. Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Mở rộng khái niệm phân số
a
với a, b là những số nguyên, b = 0 gọi là phân số
b
a
• Số nguyên a có thể viết dưới dạng
1
• Số có dạng
3.2
Phân số bằng nhau
Hai phân số
3.3
a
c
và gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c
b
d
Tính chất cơ bản của phân số
• Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta
được một phân số bằng phân số đã cho
a
a.m
=
với m ∈ Z và m = 0
b
b.m
16
• Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì
ta được một phân số bằng phân số đã cho
a:n
a
=
với n ∈ U C(a, b)
b
b:n
• Bất kì phân số nào cũng viết được dưới dạng phân số có mẫu dương
• Mỗi phân số có vô số phân số bằng nó. Các phân số bằng nhau là các cách viết khác
nhau của cùng một số mà người ta gọi là số hữu tỉ
3.4
Rút gọn phân số
• Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung
(khác 0 và −1) của chúng
a
• Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và −1. là phân
b
số tối giản nếu U CLN (|a|, |b|) = 1
3.5
Quy đồng mẫu nhiều phân số
Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau
• Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN để làm mẫu chung)
• Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
• Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng
3.6
So sánh phân số
• Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn
• Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số
có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì
lớn hơn
• Phân số lớn hơn 0 là phân số dương. Phân số nhỏ hơn 0 là phân số âm
3.7
Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản của phép
cộng phân số
• Muốn cộng hai phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu
• Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu ta viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung
• Phép cộng phân số có các tính chất cơ bản
– Tính chất giao hoán
– Tính chất kết hợp
– Cộng với số 0
17
3.8
Phép trừ phân số
• Hai phân số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0
• Muốn trừ một phân số cho một phân số ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ
3.9
Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép
nhân phân số
• Muốn nhân hai phân số ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau
a.c
a c
. =
b d
b.d
• Phép nhân phân số có các tính chất cơ bản
– Tính chất giao hoán
– Tính chất kết hợp
– Nhân với số 1
– Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
3.10
Phép chia phân số
• Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1
• Muốn chia một phân số cho một phân số ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của
số chia
a c
a d
: = .
b d
b c
3.11
Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm
7
3
−7
có thể viết dưới dạng hỗn số là 1 . Phân số
có thể viết dưới dạng
4
4
4
3
hỗn số là −1
4
• Phân số
−7
7
dưới dạng hỗn số trước hết ta viết dưới dạng hỗn số rồi đặt dấu −
4
4
trước kết quả nhận được
• Để viết
• Phân số thập phân là phân số mà mẫu là lũy thừa của 10. Chẳng hạn
3 −17 31
,
,
, ...
10 100 1000
• Các phân số thập phân có thể viết dưới dạng thập phân
3
−17
31
= 0, 3,
= −0, 17,
= 0, 031
10
10
1000
• Các phân số thập phân có mẫu là 100 còn được viết dưới dạng phần trăm với kí
3
19
hiệu %. Chẳng hạn
= 3%,
= 19%
100
100
18
3.12
Tìm giá trị phân số của một số cho trước
Muốn tìm
m
m
của số b cho trước ta tính b.
(m, n ∈ N, n = 0)
n
n
5
5
của 24 bằng 24. = 15
8
8
3.13
Tìm một số biết giá trị một phân số của nó
Muốn tìm một số biết
m
m
của nó bằng a ta tính a :
(m, n ∈ N∗ )
n
n
3
3
4
của số x bằng 24. Số x bằng 24 : = 24. = 32
4
4
3
3.14
Tìm tỉ số của hai số. Biểu đồ
• Thương trong phép chia số a cho số b (b = 0) gọi là tỉ số của a và b
• Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí
a.100
3.100
hiệu % vào kết quả
%. Chẳng hạn tỉ số phần trăm của 3 và 4 là
% = 75%
b
4
• Tỉ lệ xích =
Khoảng cách trên bản vẽ
Khoảng cách trên thức tế
• Để nêu bật và so sánh các giá trị phần trăm của cùng một đại lượng một cách trực
quan, người ta dùng biểu đồ phần trăm. Biểu đồ phần trăm thường dựng dưới dạng
cột, dạng ô vuông và dạng hình quạt
19
Chương 4
Đoạn thẳng
4.1
4.1
Điểm. Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
Ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.3
Đường thẳng đi qua hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.4
Tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.5
Đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.6
Độ dài đoạn thẳng. Khi nào AM + M B = AB . . . . . . . . . .
22
4.7
Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.8
Trung điểm của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Điểm. Đường thẳng
• Điểm, đường thẳng là các hình hình học không định nghĩa
– Một dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của điểm
– Một sợ chỉ căng thẳng là hình ảnh của đường thẳng
• Quan hệ vị trí giữa điểm và đường thẳng
– Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu A ∈ d
– Điểm B không thuộc đường thẳng d, kí hiệu B ∈ d
4.2
Ba điểm thẳng hàng
• Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng. Khi ba điểm
không cùng thuộc bất kí đường thẳng nào ta nói chúng không thẳng hàng
20
• Trong ba điểm thẳng hàng có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại
4.3
Đường thẳng đi qua hai điểm
• Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B
• Ba cách đặt tên đường thẳng: đường thẳng d, đường thẳng AB và đường thẳng xy
• Với ba điểm thẳng hàng A, B, C hai đường thẳng AB và AC trùng nhau. Tức là
điểm thuộc đường thẳng này cũng thuộc đường thẳng kia và ngược lại
• Hai đường thẳng phân biệt là hai đường thẳng không trùng nhau. Vị trí của hai
đường thẳng phân biệt
– Chỉ có một điểm chung. Trên hình bên trái hai đường thẳng a và b cắt nhau
tại giao điểm A
– Không có điểm chung nào. Trên hình bên phải hai đường thẳng a và b song
song với nhau
4.4
Tia
• Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi O gọi là một tia gốc O.
Trên hình ta có tia Ox
• Hai tia chung gốc tạo thành một đường thẳng gọi là hai tia đối. Mỗi điểm trên
đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau
21
• Nếu điểm O nằm giữa hai điểm A và B thì
– Hai tia OA và OB đối nhau
– Hai tia AO và AB trùng nhau. Hai tia BO và BA trùng nhau
4.5
Đoạn thẳng
Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B
4.6
Độ dài đoạn thẳng. Khi nào AM + M B = AB
• Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số lớn hơn 0
• Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + M B = AB. Ngược lại nếu
AM + M B = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B
4.7
Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài
• Để vẽ một đoạn thẳng cho biết độ dài ta có thể dùng thước chia khoảng hoặc dùng
compa
• Trên tia Ox bao cũng vẽ được một và chỉ một điểm M sao cho OM = a (đơn vị độ
dài)
• Nếu hai điểm M, N thuộc tia Ox và 40 < OM < ON thì điểm M nằm giữa O và
N
22
4.8
Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A và B và cách đều A, B
23
Chương 5
Góc
5.1
5.1
Nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.2
Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.3
Số đo góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.4
Khi nào thì xOy + yOz = xOz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.5
Vẽ góc cho biết số đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.6
Tia phân giác của góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.7
Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.8
Tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Nửa mặt phẳng
• Trang giấy phẳng, mặt bảng, . . . là các hình ảnh của mặt phẳng
• Hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a gọi là một nửa
mặt phẳng bờ a
• Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt
phẳng đối nhau
• Ở hình bên dưới hai điểm M và N nằm cùng phía đối với đường thẳng a (khi đó
đoạn thẳng M N không cắt đường thẳng a). Hai điểm M và P nằm khác phía đối
với đường thẳng a (khi đó đoạn thẳng M P cắt đường thẳng a)
• Tia Oy gọi là nằm giữa hai tia Ox và Oz nếu tia Oy cắt đoạn thẳng AB (A ∈
Ox, B ∈ Oz). Tại một điểm nằm giữa A và B
24
5.2
Góc
• Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau
• Khi hai tia Ox và Oy không đối nhau, điểm M là điểm nằm bên trong góc xOy nếu
tia OM nằm giữa hai tia Ox và Oy. Khi đó ta còn nói tia OM nằm trong góc xOy
5.3
Số đo góc
• Mỗi góc có một số đo. Số đo của góc bẹt 180o . Số đo của mỗi góc không vượt quá
180o
• Góc có số đo bằng 90o là góc vuông
• Góc nhỏ hơn góc vuông là góc nhọn và góc lớn hơn góc vuông là góc tù
25
