Xây dựng hệ thống bài tập mô hình toán kinh tế cho sinh viên khối ngành quản lý kinh doanh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.74 MB, 116 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
-------------------------------------------------------------------
BÀI TẬP
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH QUẢN LÝ KINH DOANH
HÀ NỘI, NĂM 2018
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Quang Dong – Ngô Văn Thứ - Hoàng Đình Tuấn, Mô hình toán kinh tế,
Đại học Kinh tế quốc dân, Nhà xuất bản Thống kê, 2006.
[2] Nguyễn Quang Dong, Kinh tế lượng, Đại học Kinh tế quốc dân, Nhà xuất bản Giao
thông Vận tải, 2008.
[3] Lê Quốc Phương, Đặng Huyền Linh, Tình hình xây dựng và ứng dụng mô hình
kinh tế tại một số cơ quan, tổ chức ở Việt nam, Ban Phân tích và Dự báo Vĩ mô (Trung
tâm Thông tin Dự báo Kinh tế - Xã hội quốc gia)
[4] Nguyễn Quảng, Nguyễn Thượng Thái, Toán kinh tế, Học viện Công nghệ bưu
chính viễn thông, 2007.
[5] Nguyễn Hải Thanh, Các phương phápToán kinh tế, Đại học Nông nghiệp Hà Nội,
2008.
[6] Lê Đình Thúy(Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nhà xuất bản Đại học
Kinh tế quốc dân, 2012.
[7] Bùi Trinh, Bảng vào ra, Nhà xuất bản Thống kê, 2006.
[8] Tổng cục Thống kê, Bảng cân đối liên ngành của Việt Nam năm 1989, 2007, 2012
Nhà xuất bản thống kê, 2010.
[9] Alpha C.Chiang – Kevin Wainwright, Fundamental methods of mathematical
economics, Springer, 2006.
2
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
MỤC LỤC
Trang
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..........................................................................................2
LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………………………..5
Chương 1: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH………….……………………………....7
§1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất ...................................................... .. ……….....7
A. Ví dụ về bài toán lập kế hoạch sản xuất………………………………………..7
B. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………….9
§2. Bài toán quy hoạch tuyến tính ............................................................................11
A. Tóm tắt lý thuyết………………………………………………………………11
B. Ví dụ …………………………………………………………………………..15
C. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………...18
§3. Phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến tính.. …………….....19
A. Tóm tắt lý thuyết………………………………………………………………19
B. Ví dụ ………………………………….……………………………………….22
C. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………...27
§4. Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát.................................................31
A. Tóm tắt lý thuyết………………………………………………………………31
B. Ví dụ …………………………………………………………………………..33
C. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………...34
Chương 2: BẢNG VÀO RA ( input - output table )…….….....................43
§1. Bảng vào ra. .................................................................................. .. ………....43
A. Tóm tắt lý thuyết………………………………………………………………43
B. Ví dụ …………………………………………………………………………..43
C. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………...44
§2. Cấu trúc cơ bản và một số ứng dụng của bảng vào ra…….…………………....45
A. Tóm tắt lý thuyết………………………………………………………………45
B. Ví dụ ………………………………….……………………………………….47
C. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………...51
§3. Một số ứng dụng của bảng vào ra.…………………………...............................55
A. Tóm tắt lý thuyết……………………………………………………………...55
B. Ví dụ …………………………………..………….…………………………..57
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
3
C. Hướng dẫn giải bài tập……………………………………………………….61
Chương 3: MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ…….…..………………………………..69
§1. Các khái niệm cơ bản về mô hình toán kinh tế ................................. .. ………...69
A. Tóm tắt lý thuyết……………………………………………………………...69
B. Ví dụ ………………………………………………………………………….72
C. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………..73
§2. Phân tích mô hình toán kinh tế ......................................................... ..................75
A. Tóm tắt lý thuyết……………………………………………………………...75
B. Ví dụ …………………………………..……………………………………...77
C. Hướng dẫn giải bài tập………………………………………………………..88
§3. Một số mô hình tối ưu............................................................................................92
A. Tóm tắt lý thuyết……………………………………………………………. 92
B. Ví dụ ………………………………….……………………………………..94
C. Hướng dẫn giải bài tập……………………………………………………...103
§4. Xây dựng và sử dụng mô hình toán kinh tế ở Việt Nam ................... ………....109
4
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
Lêi nãi ®Çu
Kinh tế học là môn khoa học xã hội nghiên cứu sự tồn tại và vận động của các đối
tượng kinh tế trong hoạt động kinh tế, các đối tượng đó rất đa dạng và phức tạp. Toán
học là một môn khoa học cơ bản, giải quyết các bài toán kinh tế có kích cỡ không hạn
chế với độ phức tạp cao cho kết quả chính xác. Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế
dưới dạng mô hình toán học, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng,
phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn
là một yêu cầu cấp thiết đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh kinh tế. Nhà kinh tế
học người Na Uy Trygve Haavelmo, được nhận giải thưởng Nobel kinh tế năm 1989,
đã từng phát biểu: “Nếu không có toán học kinh tế làm trung tâm cho các nghiên cứu
kinh tế học, môn khoa học kinh tế có thể vẫn chưa vượt quá giới hạn những bài nói
chuyện chung chung chẳng có kết quả thực sự hữu ích nào”.
Đề tài ” Xây dựng hệ thống bài tập mô hình toán kinh tế cho sinh viên khối ngành quản lý
kinh doanh ” được giải quyết theo chương trình các môn học của sinh viên khối ngành quản
lý và kinh doanh của trường Đại học Công nghiệp Hà Nội. Trong đề tài này, ngoài những vấn
đề cơ bản của Toán học, chúng tôi đưa vào các Mô hình toán kinh tế với mong muốn làm nổi
bật một số ứng dụng của Toán học trong thực tiễn. Để nghiên cứu môn Mô hình toán kinh tế,
người học cần các có kiến thức cơ bản về :
1. Toán cao cấp : Đại số tuyến tính ( Ma trận, định thức, giải hệ phương trình tuyến tính,
không gian véc tơ), giải tích ( Đạo hàm, vi phân của hàm số một biến và nhiều biến,
phương trình vi phân, phương trình sai phân).
2. Kinh tế : Kinh tế vi mô, kinh tế vĩ mô.
3. Tin học : Có kỹ năng sử dụng tốt các phần mềm mathtype, excel, matlab trên máy tính
để tính toán, giải các mô hình toán kinh tế với biến không hạn chế, tốc độ nhanh .
Mục tiêu của đề tài : Hệ thống bài tập mô hình toán kinh tế là cầu nối giữa kinh tế-toán
học-công nghệ thông tin. Đề tài trình bày tóm tắt lý thuyết, đưa ra các ví dụ điển hình, các bài
tập cơ bản và cách giải quyết các mô hình toán kinh tế. Đề tài gồm có ba chương :
Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung cơ bản về mô hình tối ưu tuyến tính. Cụ thể
là các khái niệm, tích chất cơ bản và phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến
tính.Thông qua mô hình tối ưu tuyến tính sinh viên có thể lập các bài toán sản xuất với số
biến hữu hạn và tìm nghiệm của chúng.
Chương 2 trình bày cấu trúc, các khái niệm về bảng vào ra hay gọi là mô hình cân đối
liên ngành. Thông qua mô hình đó người đọc có thể hiểu về mối liên hệ tuyến tính giữa các
ngành kinh tế, tăng đầu tư có ảnh hưởng trực tiếp đến thu nhập, việc làm như thế nào. Thông
qua bảng vào ra sinh viên có thể nhìn toàn cảnh bức tranh kinh tế của một quốc gia và xây
dựng được các bảng vào ra cho một số ngành kinh tế, ngành sản phẩm đơn giản.
Chương 3 trình bày về mô hình toán kinh tế. Cấu trúc, các khái niệm, cách phân tích một
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
5
mô hình toán kinh tế. Trong đó có đưa ra một số mô hình toán kinh tế : mô hình tối ưu, mô
hình cân đối liên ngành, mô hình kinh tế cân bằng, mô hình kinh tế tĩnh,…
Trong lần nghiên cứu này, chúng tôi hy vọng đề tài sẽ có ý nghĩa thiết thực đối với sinh
viên khối ngành quản lý và kinh doanh. Chúng tôi đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý
báu của các bạn đồng nghiệp ở các khoa : Kiểm toán – kế toán, Quản lý và kinh doanh, Khoa
học cơ bản của Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội. Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới các bạn bởi sự đóng góp đó.
Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề trong đề tài này cần phải tiếp tục thảo luận. Chúng tôi
rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến đóng góp từ phía các bạn đồng nghiệp và đông đảo
bạn đọc để đề tài được sáng tỏ hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 12 năm 2018
CÁC TÁC GIẢ
6
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
Chương 1: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
MỤC TIÊU CHƯƠNG 1
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp đơn hình :
Tìm vectơ x ( x1, x2 ,..., xn )
n
sao cho hàm số:
n
z f ( x) c1 x1 c2 x2 ... c j x j ...cn xn c j x j min(max) (1.1)
j 1
aij x j ( , , ) bi ; i 1, m
Thỏa mãn các điều kiện: j 1
x (, , ) 0
; j 1, n
j
n
(1.2)
(1.3)
§1. MÔ HÌNH LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT
A. CÁC VÍ DỤ VỀ MÔ HÌNH LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT
Ví dụ 1.1: Một doanh nghiệp hiện có 3 nguyên liệu b1 8, b2 8, b3 4 người ta
muốn sản xuất 2 sản phẩm, c1 4, c2 3 ( triệu đồng) là giá bán một đơn vị sản phẩm
loại j, j 1,2 , mỗi sản phẩm phải dùng số lượng nguyên liệu được cho như trong bảng
sau:
Sản phẩm
x1
x2
Ng.liệu hiện có bi
1
2
1
8
2
0
1
8
3
1
0
4
4
3
Nguyên liệu
Tiền bán được từ SP xi
Với các điều kiện khác ( thuế, nhà xưởng, công nghệ, nhân công) ổn định. Hãy lập
mô hình sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu sao cho tổng danh thu từ việc bán
các sản phẩm lớn nhất trong điều kiện nguyên liệu hiện có.
Mô hình: Gọi số lượng loại sản phẩm thứ nhất thứ hai theo thứ tự là x1 , x2
Doanh thu từ việc bán các sản phẩm là: z 4 x1 3x2
Tìm x1 , x2 để z 4 x1 3x2 đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện:
Lượng nguyên liệu thứ nhất dùng để sản xuất sản phẩm thứ nhất x1 là 2x1
Lượng nguyên liệu thứ hai dùng để sản xuất sản phẩm thứ hai x2 là 1 x2
…Tìm x1 , x2
để f ( x1, x2 ) 4 x1 3x2 max
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
7
2 x1 x2 8
0 x x 8
1 2
x1 0 x2 4
x1 , x2 0
Ví dụ 1.2: Một nông dân có b1 sào đất để trồng hoa và lúa. Ông ta dự định mua hai loại
giống trên là b2 VNĐ, số tiền phân bón là b3 VNĐ. Hãy lập bài toán kế hoạch sản xuất
sao cho tổng tiền thu được lớn nhất ( chi phí là nhỏ nhất) từ việc bán các sản phẩm.
Mô hình: Gọi x1 là số sào trồng hoa thu hoạch quy ra tiền là c1 , x2 là số sào trồng
lúa thu hoạch quy ra tiền là c2 .
Tìm x1 , x2 để z c1 x1 c2 x2 đạt max với điều kiện:
x1 x2 b1
ex fx b
1
2
2
gx1 hx2 b3
x1 , x2 0
Ví dụ 1.3: Một doanh nghiệp hiện có m nguyên liệu ( bi ; i 1, m là số lượng hiện có )
người ta muốn sản xuất n sản phẩm, c j ; j 1, n là số tiền thu được từ việc bán một đơn
vị sản phẩm loại j được cho như trong bảng sau:
Sản phẩm
xn
a12 … a1 j
…
a1n
b1
… a2 j
…
a2n
b2
x2
1
a11
2
a21
a22
… xj
Ng.liệu dự trữ i
…
x1
Nguyên liệu
…
m
Tiền lãi
…
…..
am1
am 2 … amj
c1
c2
…
…
amn
cj
bm
cn
Hãy lập mô hình sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu sao cho tổng số tiền thu
được từ việc bán các sản phẩm lớn nhất trong điều kiện nguyên liệu hiện có .
Mô hình: Gọi x j 0 , ( j 1, n ) là số lượng sản phẩm thứ j sẽ sản xuất, c j ; j 1, n là
số tiền thu được từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j .Tổng số tiền thu được từ việc
bán các sản phẩm là:
n
z f ( x) c1 x1 c2 x2 ... c j x j ...cn xn c j x j
j 1
Vì yêu cầu tiền thu được từ việc bán các sản phẩm lớn nhất nên ta có:
8
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
n
z f ( x) c j x j max
j 1
Lượng nguyên liệu thứ i; i 1, m dùng để sản xuất sản phẩm thứ nhất x1 là ai1 x1
Lượng nguyên liệu thứ i; i 1, m dùng để sản xuất sản phẩm thứ hai x2 là ai 2 x2
…………..
Lượng nguyên liệu thứ i; i 1, m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n xn là ain xn
Vậy lượng nguyên liệu thứ i; i 1, m dùng để sản xuất các sản phẩm là:
ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn
Vì lượng nguyên liệu thứ i; i 1, m dùng để sản xuất các sản phẩm x j 0 không vượt
quá lượng nguyên liệu hiện có bi ; i 1, m nên:
ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn bi .
Mô hình tóm tắt như sau: bài toán yêu cầu tìm x ( x1, x2 ,..., xn )
n
n
Để z f ( x) c1 x1 c2 x2 ... c j x j ...cn xn c j x j max thỏa mãn:
j 1
a11 x1 a12 x2 ...a1n xn b1
a x a x ...a x b
2n n
2
21 1 22 2
....
a x a x ...a x b
mn n
m
m1 1 m 2 2
x j 0, j 1...n
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1.1. Một xí nghiệp dệt có kế hoạch sản suất 3 loại vải A, B, C. Nguyên liệu để sản
xuất là các loại sợi cotton, kater, polyester. Xí nghiệp đã chuẩn bị 3 loại nguyên liệu
trên với khối lượng tương ứng là 3 tấn; 2,5 tấn; 4,2 tấn. Mức tiêu hao mỗi loại sợi để
sản xuất 1m vải và giá bán (ngàn đồng/m) vải thành phẩm mỗi loại được cho trong
bảng sau:
Sản phẩm
Nguyên liệu(g)
A
B
C
Nguyên
liệu(kg)
Cotton
Katé
Polyester
200
300
100
150
50
300
100
200
350
3000
2500
4200
Giá bán
35
48
25
Hãy lập mô hình toán học của bài toán để lập kế hoạch sản xuất tối ưu, nghĩa là
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
9
sản xuất mỗi loại vải bao nhiêu mét để tổng doanh thu của xí nghiệp đạt được cao
nhất, biết rằng với giá bán đã định thì xí nghiệp có thể tiêu thụ được hết số sản phẩm
sẽ sản xuất.
Lời giải:
Mô hình: Gọi số lượng loại sản phẩm 3 loại vải A, B, C theo thứ tự là x1 , x2 , x3 (m)
Vì lượng nguyên liệu thứ i; i 1,3 dùng để sản xuất các sản phẩm x j 0 không vượt
quá lượng nguyên liệu hiện có bi ; i 1,3 nên:
ai1 x1 ai 2 x2 ai 3 x3 bi .
Mô hình tóm tắt như sau: bài toán yêu cầu tìm x1 , x2 , x3 để
z f ( x) 35000 x1 48000 x2 25000x3 max
thỏa mãn các điều kiện:
0, 2 x1 0,15 x2 0,1x3 3000
0,3x 0, 05 x 0, 2 x 2500
1
2
3
0,1x1 0,3 x2 0,35 x3 4200
x1 , x2 , x3 0
1.2. Một công ty lương thực cần vận chuyển gạo từ các kho I, II với khối lượng lần
lượt là 150 tấn, 120 tấn đến các đại lí A, B, C với nhu cầu cần nhập hàng lần lượt là 70
tấn, 110 tấn, 80 tấn. Cho biết chi phí vận chuyển gạo (ngàn đồng/tấn) từ các kho đến
các đại lí được cho trong bảng sau:
Đại lý
A
B
C
I
100
70
30
II
50
90
60
Kho hàng
Hãy lập mô hình toán học của bài toán lập kế hoạch vận chuyển gạo từ các kho đến
các đại lí sao cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất.
Lời giải:
Mô hình:
Gọi số lượng cần vận chuyển gạo từ các kho I, II đến các đại lí A, B, C theo thứ tự
là x1A , x1B , x1C , x2 A , x2 B , x2C (tấn). Tổng chi phí vận chuyển là:
100 x1A +70 x1B 30 x1C 50 x2 A + 90 x2 B 60 x2C ( ngàn đồng)
Để đảm bảo đủ nhu cầu của các đại lí, ta phải có:
10
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
x1 A x2 A 70
x1B x2 B 110 .
x x 80
2C
1C
Do gạo từ các kho I, II với khối lượng lần lượt là 120 tấn, 150 tấn, nên:
x1 A x1B x1C 150
x2 A x2 B x2C 120
Mô hình tóm tắt như sau: bài toán yêu cầu tìm x1A , x1B , x1C , x2 A , x2 B , x2C 0 ( tấn) để
100 x1A +70 x1B 30 x1C 50 x2 A + 90 x2 B 60 x2C ( ngàn đồng) min
thỏa mãn các điều kiện:
x1 A x2 A 70
x1B x2 B 110
.
x1C x2C 80
x x x 150
1 A 1B 1C
x2 A x2 B x2C 120
§2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát
Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng:
Tìm vectơ
x ( x1, x2 ,..., xn ) n
n
Sao cho hàm số z f ( x) c1 x1 c2 x2 ... c j x j ...cn xn c j x j min(max) (1.1)
j 1
n
aij x j ( , , ) bi ; i 1, m
Thỏa mãn các điều kiện: j 1
x (, , ) 0
; j 1, n
j
(1.2)
(1.3)
Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có dạng như sau:
Tìm vectơ x ( x1, x2 ,..., xn ) n
Để hàm số
f ( x) c1 x1 c2 x2 L cn xn min(max)
Thỏa mãn
a11 x1 a12 x2 ...a1n xn b1
a x a x ...a x b
2n n
2
21 1 22 2
....
a x a x ...a x b
m2 2
mn n
m
m1 1
(1.3)
x j 0, j 1...n
(1.1)
(1.2)
Hoặc dạng ma trận như sau:
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
11
n
f ( x) c j x j min(max)
j 1
n
aij x j bi , i 1,..., m
j 1
x 0 , j 1,..., n
j
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán mà mọi ràng buộc hàm đều
là phương trình, còn mọi ràng buộc dấu đều không âm.
Quy tắc chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc
Nếu ràng buộc dấu x j 0 . Đặt x j xj
x x x
j
j
Nếu ràng buộc dấu x j mang dấu tuỳ ý, ta đặt: j
xj 0 , xj 0
Nếu ràng buộc hàm có dấu " " hoặc " " , ta thêm các biến xni phụ ( hệ số cn i của
các biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0) theo quy tắc:
n
aij x j xn i bi
a
x
b
j 1
ij j
i
j 1
x 0
n i
n
n
aij x j xn i bi
a
x
b
j 1
ij j
i
j 1
x 0
n i
n
z, x1; x2 ;...x j ;...xn gọi là các biến số hay các biến nội sinh. c c1 , c2 , ..., cn gọi là hệ số
của các biến , aij , bi là các hằng số (có thể là tham số) là các biến ngoại sinh.
Hàm mục tiêu: hàm f ( x ) trong (1.1) gọi là hàm mục tiêu. Ta gọi bài toán
f ( x) min là bài toán min, bài toán f ( x) m ax gọi là bài toán max.
Ràng buộc: Các ràng buộc xác định ở (1.3) là ràng buộc dấu (nếu không nói gì về
điều kiện dấu của biến x j thì quy ước x j nhận dấu tuỳ ý).Các ràng buộc xác định ở
(1.2) gọi là ràng buộc hàm ( hàm mục tiêu là hàm tuyến tính và các ràng buộc là các
phương trình, bất phương trình tuyến tính). Ứng với ràng buộc thứ i ta có
Ai (ai1 , ai 2 ,...ain ) là véctơ dòng thứ i , hệ véctơ Ai này tạo thành một ma trận:
a11 a12
a
a22
A 21
... ...
am1 am 2
...
...
aij
...
a1n
a1 j
x1
c1
b1
a
b
a2 n
x2 t c2
2j
j
; x
;c
;b 2
aij ; A
mxn
...
...
...
...
...
amn
amj
bm
xn
cn
theo thứ tự là các ma trận là ma trận ràng buộc hay ma trận hệ số; là véctơ cột thứ j
của ma trận A ;biến số, hệ số của biến số, bi hệ số của ràng buộc.
Phương án: Mỗi véctơ x ( x1, x2 ,..., xn ) thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là
một phương án.
12
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
Phương án tối ưu: Phương án x ( x1, x2 ,..., xn ) mà tại đó hàm mục tiêu đạt cực tiểu
(hoặc cực đại) gọi là phương án tối ưu.
Phương án x1 được gọi là “tốt hơn” phương án x 2 nếu f ( x1 ) f ( x 2 ) đối với bài toán
min; hoặc f ( x1 ) f ( x 2 ) đối với bài toán max.
Ràng buộc chặt: Phương án x nếu thoả mãn ràng buộc thứ i với dấu “bằng”, nghĩa
n
là: aij x j bi ( ràng buộc dấu xi 0 ) thì ta nói phương án x thoả mãn chặt ràng buộc i .
j 1
Ràng buộc lỏng: Phương án x nếu thoả mãn với dấu “không bằng”, nghĩa là: ràng
n
buộc dấu xi (, )0 , aij x j (, )bi thì ta nói phương án x thoả mãn lỏng ràng buộc i .
j 1
Bài toán giải được: Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán giải
được. Bài toán không có phương án tối ưu gọi là bài toán không giải được.
Có hai khả năng của bài toán không giải được:
(i) Bài toán không có phương án.
(ii) Bài toán có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới đối với bài
toán min tức là f ( x) , hoặc không bị chặn trên đối với bài toán max tức là
f ( x) trên tập phương án.
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính là đi tìm phương án tối ưu của bài toán hoặc kết
luận bài toán không giải được, hoặc chứng tỏ tập phương án là rỗng.
Phương án cực biên: Một phương án thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là
phương án cực biên ( n là số biến của bài toán). Phương án cực biên thoả mãn chặt đúng n
ràng buộc gọi là phương án cực biên không suy biến, thoả mãn chặt nhiều hơn n ràng
buộc gọi là phương án cực biên suy biến.
Bài toán quy hoạch tuyến tính được gọi là không suy biến nếu mọi phương án cực
biên của nó đều không suy biến, trái lại gọi là bài toán suy biến.
Ta có thể chuyển bài toán max về bài toán min ( giữ nguyên các điều kiện ràng buộc
(1.2) và (1.3) theo quy tắc sau:
n
n
j 1
j 1
f ( x) c j x j max g ( x) f ( x) (c j ) x j min
Phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc
Định lí 1. Điều kiện cần và đủ để phương án x0 ( x1 , x2 ,..., x j ,..., xn ) của bài toán quy
hoạch tuyến tính dạng chính tắc là phương án cực biên là hệ các véctơ cột ứng với các
thành phần dương của x 0 độc lập tuyến tính.
Từ định lí trên, để xem xét phương án x0 ( x1 , x2 ,..., x j ,..., xn ) có là phương án cực
biên của BTQHTT hay không, được thay thế bằng xem xét hệ véctơ cột
H ( x 0 ) A j | x j 0 độc lập tuyến tính.
Cơ sở của phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
13
Giả sử x ( x1 , x2 ,..., xn ) là phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc. Ta gọi hệ
m véctơ J
A
j
| x j 0 độc lập tuyến tính là cơ sở của phương án cực biên x .
Nếu x là phương án cực biên không suy biến thì nó có đúng m thành phần x j
dương, J
A
j
| x j 0 là cơ sở duy nhất .
Nếu x là phương án cực biên suy biến thì hệ véctơ A j | x j 0 giả sử có k thành
phần dương (k m) , ta bổ xung thêm (m k ) véctơ cột khác của A để được một hệ
véctơ độc lập tuyến tính cực đại gồm đủ m véctơ và gọi hệ m véctơ này là cơ sở của
phương án cực biên x . Kí hiệu cơ sở là J
J A j : A j nằm trong cơ sở
hoặc đôi khi ta cũng nói j J nhằm chỉ véctơ A j nằm trong cơ sở.
Với phương án cực biên x , ta gọi các thành phần x j , j J là thành phần cơ sở;
còn xk 0 với k J là thành phần phi cơ sở.
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn có dạng:
Tìm vectơ
x ( x1, x2 ,..., xn ) n
f ( x) c1 x1 c2 x2
cn xn min(max)
x1 +
+a1 m +1x m+1 + +a1n x n = b1
+a 2 m +1x m+1 + +a 2n x n = b 2
x2 +
x m +a m m1x m+1 + +a mn x n = b m
x 0 , j 1, n
j
Và bi 0 , i 1,..., m .
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán thoả mãn ba điều kiện: Là bài
toán dạng chính tắc; vế phải hệ ràng buộc hàm không âm; ma trận hệ số:
1
0
A
0
0
0
a1m1
1
0
a2 m1
0
1
am m1
a1n
a2 n
amn
chứa một ma trận đơn vị cấp m .
Bài toán dạng chuẩn luôn có một phương án cực biên :
x0 (b1 , b2 ,..., bm , 0,..., 0) với cơ sở J A1 , A2 ,..., Am .
Tính chất 1: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và hạng của ma trận hệ
ràng buộc bằng n biến số thì bài toán có phương án cực biên.
14
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
Tính chất 2: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có tập phương án khác rỗng và hàm
mục tiêu bị chặn (bị chặn dưới đối với bài toán min, bị chặn trên đối với bài toán max)
trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu.
Tính chất 3: Số phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính là hữu hạn.
B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1.4: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
f ( x) 3x1 x2 3x3 x4 min
3x1 4 x2 3x3 x4 12
x x
x3
5
2
1
5 x x 5 x
6
3
1 2
x j 0 , j 1, 4
Ta có A1 (3, 4, 3, 4); A2 (1, 1, 1,0); A3 (5,1, 5,0)
3 4 3 1
3
4
3
1
3
2
1
A 1 ; A 1 ; A 1 ; A 0 ; A 1 1 1 0
1
5 1 5 0
5
5
0
1
Ví dụ 1.5: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
f ( x) 2 x1 6 x2 8 x3 5 x4
min
x1 2 x2 3x3 x4 8
2 x x x 5 x 2
1
2
3
4
4 x 7 x 8 x 2 x 20
2
3
4
1
x 0 , j 1, 4
j
và véctơ x0 (8,0,0,0) .
(1)
(2)
(3)
(4)
Ta thấy véc tơ x 0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán nên nó là phương án của bài
toán. Hơn nữa nó thỏa mãn chặt ràng buộc (1) và 3 ràng buộc dấu x 2 x 3 x 4 0 ,
thỏa mãn lỏng ràng buộc (2), (3) và ràng buộc dấu x1 .
Ví dụ1.6: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
f ( x) 2 x1 3x2 x3 x4 min
1
x1 x2 x3 2 x4 10
x2 4 x3 8 x4 8
( P1 )
2 x2 2 x3 3x4 28
x j 0 ; j 1, 4
và vecto x1 (10, 0, 0, 0); x (0, 0,10, 0) . Các vecto x1 , x2 có phải là các phương án của
bài toán không? Phương án nào tốt hơn? Kiểm tra các ràng buộc của bài toán.
Ví dụ 1.7: Trong ví dụ1. 5, phương án x0 4 thoả mãn chặt 4 ràng buộc.
Ta kiểm tra xem 4 ràng buộc này có độc lập tuyến tính không?
Thật vậy, xét hệ véctơ A (1, 2, 3,1), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1) , ta có:
2
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
15
1
0
det A
0
0
2 3
1 0
0 1
0 0
1
0
1 0
0
1
Do đó hệ 4 véctơ trên độc lập tuyến tính nên 4 chặt ràng buộc này độc lập tuyến tính.
Vậy x 0 là phương án cực biên và là phương án cực biên không suy biến.
Ví dụ 1.8: Chứng tỏ x0 (0, 2,3,1,0,0) không là phương án cực biên của bài toán sau
f ( x) x1 x2 6 x3 5 x4 3x5 2 x6 min
x4 3x5
3
(1)
x1 x2
x2 2 x3 x4 2 x5 2 x6 5
(2)
x 2 x x 3x x 3x 10
(3)
2
3
4
5
6
1
x j 0 , j 2, 6
(4)
Lời giải: Ta thấy véctơ x 0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán nên nó là phương án.
Mặt khác x0 6 lại chỉ thỏa mãn chặt 5 ràng buộc (gồm 3 chặt ràng buộc hàm và 2
chặt ràng buộc dấu x5 0, x6 0 ) nên x 0 không là phương án cực biên.
Ví dụ 1.9: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc
f ( x) 2 x1 3x2 x3 x4
min
1
10
x1 x2 x3 2 x4
x2 4 x3 8 x4 x5
8
( P1 )
2 x2 2 x3 3x4
x6 28
x j 0 ; j 1, 6
Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể đưa về bài toán dạng chính tắc tương
đương theo nghĩa giá trị tối ưu của hàm mục tiêu của hai bài toán là bằng nhau, và từ
phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối ưu của bài toán kia. Ta có quy
tắc chuyển đổi giữa các bài toán được phát biểu dưới đây.
Ví dụ 1.10: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc
f ( x) 2 x1 3x2 x3 x4 min
1
x1 x2 x3 2 x4 10
x2 4 x3 8 x4 8
( P1 )
2 x2 2 x3 3x4 28
x j 0 ; j 1, 4
f ( x) 2 x1 3x2 x3 x4
min
1
10
x1 x2 x3 2 x4
x2 4 x3 8 x4 x5
8
( P1 )
2 x2 2 x3 3x4
x6 28
x j 0 ; j 1, 6
Lời giải: Mọi ràng buộc dấu đều không âm, có 2 ràng buộc hàm chưa phải là phương trình.
Do đó, thêm hai biến phụ x5 , x6 ta được bài toán dạng chính tắc
Ví dụ 1.11: Đưa bài toán sau về bài toán min, dạng chính tắc
16
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
f ( x) x1 x2 x3 x4 max
x1 2 x2 5 x3 3 x4 7
( P) x1 x2 2 x3
1
x 0 , j 1, 2,3.
j
Lời giải: Do x4 chưa có ràng buộc về dấu nên ta đặt x4 t4 t5 , lại do 2 ràng buộc hàm
chưa là phương trình nên thêm hai biến phụ t6 , t7 ; đồng thời đặt x1 t1 , x2 t2 , x3 t3 và
đổi dấu hàm mục tiêu. Ta có bài toán min, dạng chính tắc như sau
F (t ) t1 t2 t3 t4 t5 min
t1 2t2 5t3 3t4 3t5 t6 7
( P1 ) t1 t2 2t3
t7 1
t 0 , j 1 7.
j
Ví dụ 1.12: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính có hệ ràng buộc
5
3x1 x2 2 x3
2 x x 3x
5
1 2
3
x3 2 x4 9
2 x1
x j 0, j 1, 2,3, 4.
Phương án x0 (1,0,1,3) có là phương án cực biên của bài toán?
Lời giải: Phương án x 0 có các thành phần x1 , x3 , x4 dương. Ứng với các thành phần
dương của x 0 , xét hệ véctơ A1 , A3 , A4 (3, 2, 2)t , (2,3,1)t , (0, 0, 2) t , hệ véctơ này độc
lập tuyến tính. Vậy x 0 là phương án cực biên.
Ví dụ1.13: Tìm phương án cực biên ứng với cơ sở A2 , A3 , A4 của bài toán có hệ ràng
buộc
33
3x1 x2 x3
x x
x4 5
1 2
5 x 8 x
x5 9
2
1
x j 0, j 1,5.
Lời giải: Gọi x0 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) là phương án cực biên ứng với cơ sở A2 , A3 , A4 ,
thế thì x1 , x5 sẽ là thành phần phi cơ sở nên x1 x5 0 . Thay vào hệ ràng buộc trên ta
tính được x2 9 / 8, x3 255 / 8, x4 31/ 8 . Vậy phương án cực biên ứng với cơ sở
A , A , A là x
2
3
4
0
(0, 9 / 8, 255 / 8, 31/ 8, 0) .
Nhận xét. Nếu phương án cực biên x không suy biến thì có một cơ sở duy nhất, đó
chính là hệ m véctơ độc lập tuyến tính A j | x j 0 . Nếu phương án cực biên x là suy
biến thì có thể tìm được nhiều cơ sở khác nhau, tuỳ thuộc vào cách bổ xung (m k )
véctơ cột của A để được một hệ gồm m véctơ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.14: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
17
f ( x) 3 x1 x2 3x3 x4
min
12
3 x1 4 x2 3 x3 x4 x5
x x
x3
x6
5
2
1
5 x x 5 x
x7 6
3
1 2
x j 0 , j 1, 7
Có phương án cực biên x0 (0,0,0,12,0,5,6) với cơ sở J= A4 , A6 , A7 .
C. HƯỚNG DẤN GIẢI BÀI TẬP
1.3. Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau về dạng chính tắc.
f ( x) 3x1 2 x2 3x3 15 x4 min
x3 3x4 7
x1
x2 2 x3 2 x4 1
a.
x3 x4 16
x j 0 , j 1, 4
f ( x) x1 x2 x3 x4 min
x4 1
x1 x2
b. x1 x2
x4 1
x2 x3
1
x1 0, x2 0
f ( x) x1 x2 x3 min
2 x1 x2 x3 2
c. 4 x1 x2 2 x3 1
x 2x 4x 4
2
3
1
x j 0 , j 1,3
f ( x) 7 x1 x2 4 x3 min
6 x1 4 x2 5 x3 20
d. x1 2 x2 x3 8
3x 2 x x 8
1
2
3
x j 0 , j 1,3
x1 x3 3x4 7
x 2x 2x 1
3
4
2
Lời giải:
x5 x3 x4 16
x j 0; j 1, 4
x1 x3 x4 x5 1
x x x x 1
3
4
6
2
Lời giải:
x3 x2 1
x j 0; j 1, 4
2 x1 x3 x2 2
4x x 2x 1
1
2
3
Lời giải:
x 2 x2 4 x3 x4 4
1
x j 0; j 1, 4
6 x1 5 x3 4 x2 x4 20
x1 2 x2 x3 8
Lời giải:
3x1 2 x2 x3 x5 8
x j 0; j 1,5
1.4. Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau về dạng chuẩn. Chỉ ra cơ sở đơn vị,
phương án cực biên ứng với cơ sở đơn vị đó .
f ( x) x1 2 x2 min
x1 x2 2
x1 2 x2 3
x , x 0
1 2
a.
18
x1 x2 x3 2
Lời giải: x1 2 x3 x4 3
x ;x ;x 0
1 3 3
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
f ( x) 6 x1 10 x2 12 x3 max
x1 2 x2 4 x3 32
b. 2 x1 x2 2 x3 42
3 x 2 x 2 x 30
2
3
1
x j 0 , j 1,3
Lời giải:
x1 4 x3 2 x2 x4 32
2 x x 2 x x 42
2
3
5
1
3 x 2 x 2 x x 30
2
3
6
1
x j 0; j 1, 6
1.5. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
f ( x) 2 x1 3x2 x3 x4 min
1
x1 x2 x3 2 x4 10
x2 4 x3 8 x4 8
( P1 )
2 x2 2 x3 3x4 28
x j 0 ; j 1, 4
và các vecto x1 (10, 0, 0, 0); x (0, 0,10, 0) .
a. Các vecto x1 , x2 có phải là các phương án của bài toán không?
b. Phương án nào tốt hơn? Kiểm tra các ràng buộc của bài toán.
2
§3. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Phương pháp đơn hình: Xuất phát từ phương án cực biên x 0 với cơ sở J 0 của bài
toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc tìm cách đánh giá, nếu phương án cực biên
x 0 chưa tối ưu thì tìm cách chuyển sang phương án cực biên x1 tốt hơn. Vì số phương
án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước, ta sẽ tìm được phương án tối ưu
hoặc kết luận bài toán không giải được.
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:
Tìm vectơ x ( x1, x2 ,..., xn ) n để hàm số:
n
f ( x) c j x j min
i 1
(I)
Ax b
x 0
trong đó A là ma trận cỡ m n , m n , r ( A) m và x0 ( x10 , x20 ,..., xn0 ) phương án cực
biên với cơ sở J 0 A j x0j 0 , tức là x0j 0 víi j J ; x0j 0 víi j J .
Ước lượng các biến
Gọi k là ước lượng của biến xk theo cơ sở J 0 được xác định bởi:
k
x
jJ 0
jk
c j ck , k J 0
Chú ý: ước lượng các biến các biến cơ sở j 0, j J 0
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
19
Dấu hiệu tối ưu
Định lí 1 (Dấu hiệu tối ưu):Nếu phương án cực biên x 0 ứng với cơ sở J 0 của bài toán
dạng chính tắc mà k 0, k J 0 thì x 0 là phương án tối ưu duy nhất.
Nếu phương án cực biên x 0 ứng với cơ sở J 0 của bài toán dạng chính tắc thỏa mãn
dấu hiệu tối ưu, nghĩa là j 0 , j 1, n mà tồn tại k 0, k J 0 thì bài toán có
phương án tối ưu khác ngoài x 0 .
Định lí 2 (Định lí cơ bản): Giả sử x 0 phương án cực biên ứng với cơ sở J 0 của bài toán
dạng chính tắc mà tồn tại k 0, k J 0 . Khi đó :
a) Nếu có một k 0, k J 0 và x jk 0 thì bài toán không giải được.
b) Nếu mỗi k 0, k J 0 , tồn tại ít nhất một x jk 0 thì xây dựng được phương án
cực biên mới x1 tốt hơn phương án cực biên x 0 .
Thuật toán của phương pháp đơn hình
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:
Tìm vectơ x ( x1, x2 ,..., xn ) n để hàm số
f ( x) c1 x1 c2 x2
cn xn min
x1 +
+a1 m +1x m+1 + +a1n x n = b1
+a 2 m +1x m+1 + +a 2n x n = b 2
x2 +
x m +a m m 1x m+1 + +a mn x n = b m
x 0 , j 1, n
j
với bi 0 , i 1,..., m .
Bài toán có phương án cực biên x0 (b1 , b2 ,..., bm , 0,..., 0) , x 0j bi (i j 1, m) ứng với
cơ sở đơn vị J A1 , A2 ,..., Am , và các hệ số x jk a jk ( j J , k J ) .
Thuật toán đơn hình gốc cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn gồm bốn
bước:
Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát với phương án cực biên x 0 ứng với cơ sở J
(6)
Hệ số
(5)
Cơ sở
(4)
Phương án
cJ
J
x0
c1
A1
c2
cm
20
c1
c2
cm
cm1
cn
(2)
x1
x2
xm
xm1
xn
(1)
b1 x10
1
0
0
a1 m1
a1 n
A2
b2 x20
0
1
0
a2 m1
a2 n
Am
bm xm0
0
0
1
am m1
am n
0 f ( x0 )
1 0
2 0
m 0
m1
n
(3)
ars
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
(7)
Trong bảng đơn hình đầu tiên, ta ghi các số liệu của bài toán theo thứ tự như sau:
(1) ghi các biến x j , j 1, n .
(2) ghi các hệ số c j , j 1, n của các biến x j .
(3) ghi ma trận hệ số các ràng buộc hàm.
(4) ghi hệ số x0j bi (hệ số ở vế phải các ràng buộc hàm).
(5) ghi các véctơ đơn vị A j , theo thứ tự lập thành ma trận đơn vị.
(6) ghi các hệ số c j , j J tương ứng với các chỉ số A j ở cột cơ sở.
(7) Tính các ước lượng j theo công thức:
0 c j b j b1c1 b2c2
jJ
bmcm f ( x 0 )
là giá trị hàm mục tiêu tại phương án cực biên x 0
k c j a jk ck , k J là ước lượng của biến xk
jJ
j 0 , j J . Chuyển sang bước 2 .
Bước 2: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu phương án cực biên x 0
Nếu mọi k 0 , k J thì bài toán có phương án tối ưu chính là x 0 và f min 0 ở
bảng đơn hình tương ứng. Thuật toán kết thúc.
Nếu tồn tại k 0 , k J mà tất cả các hệ số khai triển a jk 0 j J thì kết luận
hàm mục tiêu không bị chặn vì f ( x) , bài toán không giải được. Thuật toán kết
thúc.
Nếu với mỗi k 0 , k J đều tồn tại ít nhất một hệ số a jk 0 , chuyển sang bước 3
để tìm phương án cực biên x1 tốt hơn ứng với cơ sở J 1 .
Bước 3: Tìm véctơ As đưa vào cơ sở mới véctơ véctơ Ar bị loại khỏi cơ sở cũ
Chọn véctơ As đưa vào cơ sở mới, chọn chỉ số s theo quy tắc:
s max k k 0, k J
Chọn véctơ véctơ Ar bị loại khỏi cơ sở cũ theo quy tắc:
0
x j
b
b
min
x js 0, j J min j a js 0, j J r r
x js
a js
ars
Ta gọi r là tỉ số đơn hình ứng với x 0 ,xác định giá trị nhỏ nhất rơi vào dòng r ,
véctơ Ar bị loại khỏi cơ sở mới. Khi đó phần tử ars gọi là phần tử trục, dòng r chứa
phần tử trục gọi là dòng xoay, cột s chứa phần tử trục gọi là cột xoay. Chuyển sang
bước 4 .
Bước 4: Biến đổi bảng đơn hình mới với phương án cực biên x1 trong cơ sở mới J 1
Ta thay cs , As vào vị trí của cr , Ar các c j , A j ( j r , j J ) được giữ nguyên.
Dòng chuẩn trong bảng đơn hình mới là các phần tử của dòng xoay chia cho ars .
Dòng thứ j trong bảng đơn hình mới lấy dòng j trong bảng cũ trừ đi a js *Dòng chuẩn.
Cụ thể các thành phần của x1 trong cơ sở mới J 1 ( J | r) s được tính theo công
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
21
thức:
0 ( j J)
xr0
( j J , j r)
ars
x1j
0
x 0j xr a js ( j J , j r )
ars
ark0
( j J , j r)
ars
1
1
Hệ số phân tích a jk được tính theo công thức: a jk
0
a ark a
( j J , j r)
jk ars js
x
xro
1
o
Hàng ước lượng: f ( x ) f ( x ) s và 'k k rk s (k J 1 ) trong cơ sở mới
xrs
xrs
J 1 , ta được bảng đơn hình mới với phương án cực biên x1 .Quá trình quay trở lại kể từ
bước 2.
Quá trình tính toán cứ tiếp tục như vậy, sau một số hữu hạn bước sẽ xuất hiện dấu
hiệu tối ưu hoặc kết luận bài toán không giải được. Trong trường hợp bài toán có
phương án tối ưu ta cũng biết đó là phương án tối ưu duy nhất hay nó có vô số phương
án tối ưu.
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1.15: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình
f ( x) 2 x1 3x2 x3 x4
min
1
10
x1 x2 x3 2 x4
x2 4 x3 8 x4 x5
8
( P1 )
2 x2 2 x3 3x4
x6 28
x j 0 ; j 1, 6
Lời giải: ta có x 0 =(10,0,0,0,8,28) là phương án cực biên, với cơ sở đơn vị
J= A1 , A5 , A6 , bảng đơn hình xuất phát như sau:
22
Hệ số
Cơ sở
cJ
J
2
0
0
A1
A5
A6
-1
0
0
A3
A5
A6
Phương
án
10
8
28
20
10
48
8
-10
2
3
-1
-1
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
0
0
0
1
4
-2
-3
-1
1
-2
-5
-1
-3
0
-2
(1)
-4
2
3
1
0
0
0
1/2
8
3
2
1/2
10
(2)
1/2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
A3
A5
A4
-1
0
-1
8
8
4
-12
3/2
14
-1
-5/2
-1
-3
0
-2
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
-1/4
-5
1/2
-1/4
Giải thích: Ở bảng đơn hình thứ nhất, có 2 chỗ vi phạm dấu hiệu tối ưu: 3 , 4 0 . Do
max 3 3, 4 2 3 nên ưu tiên đưa A3 vào cơ sở. Trên cột x3 , chọn số dương nào
làm phần tử trục, ta tính tỉ số đơn hình r :
0
x 0
10 28 x
min j | x j 3 0 min , 1 1
1 2 x13
x j 3
Giá trị min đạt được ở chỉ số r 1 , nên A1 bị loại khỏi cơ sở và dòng ứng với nó là
dòng xoay. Giao giữa dòng xoay và cột xoay xác định phần tử trụ (được đặt trong
ngoặc đơn). Thực hiện biến đổi Gauss, ta có bảng đơn hình thứ 2.
Ở bảng đơn hình thứ hai, tồn tại duy nhất 4 0 nên A4 được đưa vào cơ sở. Tính
tỉ số đơn hình trên cột này, ta có:
0
x 0j
10 48 8 x6
min
x j 4 0 min
, ,
6
1/ 2 10 2 x64
x j 4
Giá trị min đạt được ở chỉ số r 6 nên A6 bị loại khỏi cơ sở. Phần tử trục là x64 2 .
Ở bảng đơn hình 3, do j 0, j 1, 6 nên bài toán ( P1 ) có phương án tối ưu
x (0, 0, 8, 4, 8, 0) . Vậy bài toán đã cho có phương án tối ưu x* (0, 0, 8, 4) và
f min 12 . Mặt khác, do k 0, k J nên phương án tối ưu trên là duy nhất.
Ví dụ 1.16: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình
f ( x) 3x1 x2 3x3 x4 min
3x1 4 x2 3x3 x4 12
x x
x3
5
2
1
5 x x 5 x
6
3
1 2
x j 0 , j 1, 4
Ta thấy mọi ràng buộc dấu đều không âm, có ba ràng buộc hàm chưa là phương
trình, thêm các biến phụ x5 , x6 , x7 vào các ràng buộc này ta được bài toán:
f ( x) 3 x1 x2 3x3 x4
min
12
3 x1 4 x2 3 x3 x4 x5
x x
x3
x6
5
2
1
5 x x 5 x
x7 6
3
1 2
x j 0 , j 1, 7
Đó là bài toán dạng chuẩn, có phương án cực biên x0 (0,0,0,12,0,5,6) với cơ sở
A , A , A . Lập bảng đơn hình xuất phát, ta có:
4
6
7
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
23
Hệ số
cJ
1
0
0
Cơ sở
J
4
A
A6
A7
f
-1
0
0
A2
A6
A7
f
3
Phương
x1
án
12
3
5
1
6
5
12
0
3
3/4
8
7/4
3
17/4
-3
-15/4
-1
-3
1
0
0
0
x2
x3
x4
x5
x6
x7
(4)
-1
1
5
1
0
0
0
-3
-1
-5
0
-3/4
-7/4
-17/4
15/4
1
0
0
0
1/4
1/4
-1/4
-5/4
-1
0
0
-1
-1/4
-1/4
1/4
1/4
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
Ở bảng đơn hình thứ 2, có 3 = 15/4 > 0 và x j 3 0 nên kết luận bài toán có hàm mục
tiêu giảm vô hạn trên tập phương án. Bài toán không giải được.
• Chú ý: Khi áp dụng thuật toán đơn hình gốc, ta cần chú ý các vấn đề sau:
a. Khi áp dụng các quy tắc chọn véctơ Ak đưa vào cơ sở mới và chọn véctơ
véctơ Ar bị loại khỏi cơ sở , nếu giá trị min hoặc max rơi vào nhiều hơn một
chỉ số, ta chọn ngẫu nhiên một chỉ số nào đó. Tuy nhiên, nên chọn chỉ số sao
cho phần tử trục được xác định khiến việc biến đổi bảng đơn hình càng đơn giản
càng tốt.
b. Đối với bài toán có hàm mục tiêu f ( x) max thì có thể chuyển về giải bài
toán F ( x) f ( x) min với chú ý f max Fmin hoặc cũng có thể giải trực
tiếp bài toán đã cho. Sau đây ta đưa ra một số điểm giống và khác nhau cơ
bản trong thuật toán đơn hình đối với hai bài toán min và max:
f ( x) min
1) j 0 , j 1, n
2) k 0 , k J và
x jk 0
3) k 0 và x jk 0 :
x 0j
| x jk 0
x jk
4) s max k | k 0
0 min
f ( x) max
Bài toán có phương án 1) j 0 , j 1, n
tối ưu
Hàm mục tiêu không
2) k 0 , k J và
bị chặn
x jk 0
Xác định tỉ số đơn
3) k 0 và x jk 0 :
hình
x 0
0 min j | x jk 0
x jk
4) s min k | k 0
c. Nếu j 0 , j 1, n mà k 0 (k J ) thì bài toán có thể có phương án tối
ưu khác. Tập phương án tối ưu x* của bài toán được xác định:
x* x t.z k
x 0j
trong đó x là phương án tối ưu ở bảng đơn hình, 0 t 0 min , j J , x jk 0
x jk
k
k
k
k
k
z ( z1 , z2 ,..., z j ,..., zn ) gọi là phương vô hạn tối ưu được xác định theo công thức:
24
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
1
nÕu j k
z -x jk nÕu j J
0 nÕu j J , j k
k
j
Ví dụ 1.17: Cho bài toán
f ( x) 5 x1 4 x2 5 x3 2 x4 x5 3x6 min
152
2 x1 4 x2 3 x3 x4
4 x 2 x 3x
x5
60
2
3
1
3x
x3
x6 36
1
x j 0 , j 1, 6
a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình
b) Xác định tập phương án tối ưu của bài toán.
c) Tìm phương án tối ưu có có thành phần x4 44 .
Lời giải: a) Bài toán đã ở dạng chuẩn với cơ sở đơn vị A4 , A5 , A6 . Lập bảng đơn hình:
Hệ số
Cơ sở
cJ
J
2
1
3
A4
A5
A6
2
1
5
A4
A5
A1
2
4
5
A4
A2
A1
Phương
án
152
60
36
472
128
12
12
328
104
6
12
292
5
4
5
2
1
3
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
4
(3)
12
0
0
1
0
0
0
1
0
4
2
0
6
4
(2)
0
6
0
1
0
0
3
3
1
7
7/3
5/3
1/3
3
-1
5/6
1/3
-2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
-2
1/2
0
-3
0
0
1
0
-2/3
-4/3
1/3
-4
2
-2/3
1/3
[0]
Ở bảng đơn hình thứ 3, do mọi j 0, j 1,6 nên bài toán có phương án tối ưu
x1 (12,6,0,104,0,0) và giá trị tối ưu f min 292 .
b) Từ bảng đơn hình 3, do 6 0 (mà A6 J ) nên ta xác định được phương vô hạn tối
ưu z 6 (1 / 3, 2 / 3, 0, 2, 0,1) . Tập phương án tối ưu của bài toán là:
x* x1 z 6 (12
1
2
t , 6 t , 0, 104 2t , 0, t ), 0 t 36 .
3
3
c) Từ tập phương án tối ưu x* , phương án tối ưu có thành phần x4 44 nên 104 2t 44
suy ra t 30 (thỏa mãn điều kiện 0 t 36 ). Vậy phương án tối ưu có thành phần
x4 44 là x (2,26,0,44,0,30) .
Ví dụ 1.18: Cho bài toán
HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
25
