Hệ thống kiến thức Toán 8: Kiếm thức cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (579.41 KB, 44 trang )
.
HỆ THỐNG KIẾN THỨC
TOÁN 8
Kiến thức cơ bản
JHSMATH.COM
Lời nói đầu
Các em học sinh lớp 8 thân mến!
Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện
vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 8 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó
Series Tự học Toán 8 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo
khoa Toán 8 hiện hành. Mỗi bài gồm 4 mục
• Kiến thức cơ bản hệ thống những kiến thức cần thiết nhất mà các em phải nắm
vững
• Sai lầm cần tránh lưu ý các em những lỗi phổ biến thường mắc phải khi học và
làm toán
• Câu hỏi trắc nghiệm giúp các em vận dụng lí thuyết và tự kiểm tra mức độ nắm
kiến thức của mình
• Ví dụ minh họa được chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức và kĩ năng. Tất cả
các em cần nắm vững những kiến thức nền móng và những kĩ năng thiết yếu trong
các ví dụ cơ bản này
Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơ
bản. Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 8
Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức và
rèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn
Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao cho
ngắn gọn và rõ ràng
Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướng
suy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bài
toán
Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ song song và kí hiệu ∼ để
chỉ đồng dạng. Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiện
hành
2
Mục lục
1 Phép nhân và phép chia đa thức
1.1 Nhân đơn thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Nhân đa thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung . .
1.5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
1.6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử . . . .
1.7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp .
1.8 Chia đơn thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Chia đa thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Chia đa thức một biến đã sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Phân thức đại số
2.1 Phân thức đại số . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính chất cơ bản của phân thức . . . . .
2.3 Rút gọn phân thức . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Rút gọn phân thức . . . . . . . .
2.3.2 Kiến thức cần ôn . . . . . . . . .
2.4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức . .
2.5 Phép cộng các phân thức đại số . . . . .
2.6 Phép trừ các phân thức đại số . . . . . .
2.7 Phép nhân các phân thức đại số . . . . .
2.8 Phép chia các phân thức đại số . . . . .
2.9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của
6
6
6
6
7
8
8
8
8
9
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
12
3 Phương trình bậc nhất một ẩn
3.1 Mở đầu về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải . . . . . . . . .
3.3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 . . . . . . . . .
3.4 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . .
3.6.1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
3.6.2 Các bài toán bao gồm các dạng . . . . . . . . . . .
3.6.3 Cần nhớ các công thức . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
14
14
14
14
14
14
15
4 Bất
4.1
4.2
4.3
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
phân thức .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
phương trình bậc nhất một ẩn
16
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bất phương trình một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3
4.4
4.5
4.3.1 Tập nghiệm của bất phương trình
4.3.2 Bất phương trình tương đương . .
Bất phương trình bậc nhất một ẩn . . .
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Tứ
5.1
5.2
5.3
giác
Tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình thang cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang . . . .
5.4.1 Đường trung bình của tam giác . . . . . . . . .
5.4.2 Đường trung bình của hình thang . . . . . . . .
5.5 Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang . .
5.6 Đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.4 Áp dụng vào tam giác . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
5.11 Hình thoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Đa
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
giác. Diện tích đa giác
Đa giác. Đa giác đều . .
Diện tích hình chữ nhật
Diện tích tam giác . . .
Diện tích hình thang . .
Diện tích hình thoi . . .
Diện tích đa giác . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
17
17
17
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
20
20
20
20
21
21
21
22
22
23
23
23
23
23
24
24
24
25
25
25
26
26
26
26
26
26
27
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
28
30
31
32
32
7 Tam giác đồng dạng
7.1 Định lí Ta-lét trong tam giác . . . . . .
7.1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ . . . . . . . .
7.1.2 Định lí Ta-lét trong tam giác .
7.2 Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
7.2.1 Hệ quả của định lí Ta-lét . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
34
34
34
35
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.2.2 Định lí đảo . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính chất đường phân giác của tam giác . . . .
Khái niệm hai tam giác đồng dạng . . . . . . .
7.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Định lí về tạo ra hai tam giác đồng dạng
Trường hợp đồng dạng thứ nhất . . . . . . . . .
Trường hợp đồng dạng thứ hai . . . . . . . . . .
Trường hợp đồng dạng thứ ba . . . . . . . . . .
Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông .
Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng . . .
8 Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
8.1 Hình hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Thể tích của hình hộp chữ nhật . . . . . . . .
8.2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
8.2.2 Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .
8.3 Hình lăng trụ đứng . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng
8.5 Thể tích của hình lăng trụ đứng . . . . . . . .
8.6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều . . . . .
8.7 Diện tích xung quanh của hình chóp đều . . .
8.8 Thể tích của hình chóp đều . . . . . . . . . .
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
36
36
36
36
37
37
37
38
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
40
40
41
41
42
42
42
44
44
Chương 1
Phép nhân và phép chia đa thức
1.1
Nhân đơn thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Nhân đa thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Những hằng đẳng thức đáng nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt
nhân tử chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng
hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm
hạng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều
phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.8
Chia đơn thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9
Chia đa thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.10 Chia đa thức một biến đã sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
1.6
1.7
1.1
Nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa
thức rồi cộng các tích với nhau
A(B + C + D) = AB + AC + AD
1.2
Nhân đa thức với đa thức
Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau
(A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
1.3
Những hằng đẳng thức đáng nhớ
• Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhất
cộng hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
6
• Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhất
trừ hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai
(A − B)2 = A2 − 2AB + B 2
Ta luôn có (A − B)2 = (B − A)2
• Hiệu các bình phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức với hiệu
của chúng
A2 − B 2 = (A + B)(A − B)
• Lập phương của một tổng hai biểu thức
(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3
Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng (A + B)3 = A3 + B 3 + 3AB(A + B)
• Lập phương của một hiệu hai biểu thức
(A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3
Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng (A − B)3 = A3 − B 3 − 3AB(A − B)
• Tổng các lập phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình
phương thiếu của hiệu hay biểu thức ấy
A3 + B 3 = (A + B)(A2 − AB + B 2 )
Lưu ý
* A2 − 2AB + B 2 gọi là bình phương của hiệu A và B
* A2 − AB + B 2 gọi là bình phương thiếu của hiệu A và B
• Hiệu các lập phương của hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình
phương thiếu của tổng hai biểu thức ấy
A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 )
Lưu ý
* A2 + 2AB + B 2 gọi là bình phương của hiệu A và B
* A2 + AB + B 2 gọi là bình phương thiếu của hiệu A và B
1.4
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp đặt nhân tử chung
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa
thức
Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử ta có thể đặt nhân tử đó ra ngoài
dấu ngoặc theo công thức
AB + AC = A(B + C)
7
1.5
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp dùng hằng đẳng thức
Ta có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học để phân tích đa thức thành nhân
tử
A2 ± 2AB + B 2 = (A ± B)2
A3 + B 3 = (A + B)(A2 − AB + B 2 )
A2 − B 2 = (A + B)(A − B)
A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 )
.
A3 ± 3A2 B + 3AB 2 ± B 3 = (A ± B)3
1.6
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp nhóm hạng tử
Ta có thể nhóm nhiều hạng tử của đa thức một cách thích hợp để làm xuất hiện nhân tử
chung hoặc hằng đẳng thức
1.7
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối
hợp nhiều phương pháp
Khi phân tích một đa thức thành nhân tử nhiều khi ta cần phối hợp nhiều phương pháp
• Phương pháp ưu tiên số một là đặt nhân tử chung
• Phương pháp ưu tiên số hai là dùng hằng đẳng thức
• Cuối cùng là nhóm hạng tử. Mục đích của việc nhóm các hạng tử là nhằm làm cho
quá trình phân tích đa thức thành nhân tử được tiếp tục bằng cách đặt nhân tử
chung hoặc dùng hằng đẳng thức
1.8
Chia đơn thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết)
• Ta chia hệ số của A cho hệ số của B
• Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B
• Nhân các kết quả tìm được với nhau
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu
• Mỗi biến của B điều là biến của A
• Số mũ của biến đó trong B không lớn hơn số mũ của biến đó trong A
8
1.9
Chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đa thức cho đơn thức (trường hợp các hạng tử của đa thức đều chia hết cho
đơn thức)
• Ta chia mỗi hạng tử của đa thức cho đơn thức
• Cộng các kết quả tìm được với nhau
(A + B − C) : D = A : D + B : D − C : D
1.10
Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Để chia đa thức A(x) cho đa thức B(x) sau khi đã sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa
giảm của x ta lần lượt
• Tìm hạng tử bậc cao nhất của thương
• Tìm dư thứ nhất
• Tìm hạng tử thứ hai của thương
• Tìm dư thứ hai
• Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi dư cuối cùng bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của
đa thức chia
Đa thức A chia hết cho đa thức B (B = 0) nếu tồn tại đa thức Q sao cho A = B.Q
9
Chương 2
Phân thức đại số
2.1
2.1
Phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Tính chất cơ bản của phân thức
. . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Rút gọn phân thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.4
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5
Phép cộng các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.6
Phép trừ các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7
Phép nhân các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8
Phép chia các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.9
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức . . . . .
12
Phân thức đại số
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng
A
trong đó A, B là những đa thức và B khác
B
đa thức 0
Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1
A
C
Hai phân thức
và
gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C
B
D
2.2
Tính chất cơ bản của phân thức
Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được
một phân thức bằng phân thức đã cho
Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được
một phân thức bằng phân thức đã cho
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân
A
−A
thức đã cho
=
B
−B
2.3
2.3.1
Rút gọn phân thức
Rút gọn phân thức
• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung
10
• Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
2.3.2
Kiến thức cần ôn
• Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung
(khác 1 và −1) của chúng
• Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và −1.
a
là phân số tối giản nếu U CLN (|a|, |b|) = 1
b
2.4
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi những phân thức đã cho thành những
phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể
• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
• Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức
• Nhân cả tử và mẫu của mỗi mẫu thức với nhân tử phụ tương ứng
Kiến thức cần ôn
5 3
1
Quy đồng mẫu các phân số , và
6 4
8
• Mẫu chung 24
• Các thừa số phụ 4, 6 và 3
• Quy đồng mẫu
2.5
3
20 18
,
và
24 24
24
Phép cộng các phân thức đại số
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên
mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các
phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được
Kiến thức cần ôn
2 3
1
16
9
2
27
9
Thực hiện phép tính cộng các phân số + +
=
+
+
=
=
3 8 12
24 24 24
24
8
2.6
Phép trừ các phân thức đại số
A
−A
Hai phân thức đối nhau là hai phân thức có tổng bằng 0. Phân thức đối của
là
B
B
A
hoặc
−B
Muốn trừ đi một phân thức ta cộng với phân thức đối của phân thức đó
11
Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu phân thức đồng thời đổi dấu tử hoặc mẫu thì được một
phân thức bằng phân thức đã cho
A
−A
A
=−
=−
B
−B
B
Kiến thức cần ôn
−2 −3
−2
3
−4
9
5
1
−
=
+
=
+
=
=
15
10
15
10
30
30
30
6
2.7
Phép nhân các phân thức đại số
Muốn nhân hai phân thức ta nhân các tử thức với nhau các mẫu thức với nhau
A C
A.C
. =
B D
B.D
Kiến thức cần ôn
Nhân phân số
2.8
3 4
3.4
1.1
1
. =
=
=
8 9
8.9
2.3
6
Phép chia các phân thức đại số
A
Hai phân thức nghịch đảo của nhau là hai phân thức có tích bằng 1. Nếu
là một phân
B
B
thức khác 0 thì phân thức nghịch đảo của nó là
A
Muốn chia cho một phân thức khác 0 ta nhân với phân thức nghịch đảo của phân thức
đó
A C
A D
C
:
= . với
=0
B D
B C
D
Kiến thức cần ôn
Chia phân số
2.9
5 2
5 3
5.3
5
: = . =
=
6 3
6 2
6.2
4
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân
thức
• Biểu thức hữu tỉ là phân thức hoặc một dãy các phép toán cộng, trừ, nhân, chia
các phân thức
• Điều kiện để giá trị của một phân thức được xác định là điều kiện của biến để giá
trị tương ứng của mẫu thức khác 0
Kiến thức cần ôn
• Trường hợp biểu thức không có dấu ngoặc thứ tự thực hiện là Lũy thừa ⇒ Nhân
chia ⇒ Cộng trừ
• Trường hợp biểu thức có dấu ngoặc thứ tự thực hiện là (. . . ) ⇒ [. . . ] ⇒ {. . . }
12
Chương 3
Phương trình bậc nhất một ẩn
3.1
3.1
Mở đầu về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải . . . . . . . . . . .
13
3.3
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 . . . . . . . . . . . .
14
3.4
Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.5
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.6
Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . .
14
Mở đầu về phương trình
• Đẳng thức A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức của cùng một biến
x gọi là phương trình ẩn x. Giá trị x0 của ẩn x để A(x0 ) = B(x0 ) được gọi là nghiệm
• Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm cũng có thể vô
nghiệm hoặc vô số nghiệm. Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là
tập nghiệm của phương trình đó
• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình
• Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương
3.2
Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
• Phương trình dạng ax + b = 0 với a, b là hai số đã cho và a = 0 được gọi là phương
trình bậc nhất một ẩn
• Quy tắc chuyển vế Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế
này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó
• Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình ta có thể
– Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0
– Chia cả hai vế cho cùng một số khác 0
• Phương trình ax + b = 0 với a = 0 luôn có một nghiệm duy nhất là x = −
13
b
a
3.3
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
Cách giải phương trình đưa về dạng ax + b = 0
• Quy đồng mẫu hai vế
• Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu
• Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hằng số sang vế kia
• Thu gọn và giải phương trình nhận được
3.4
Phương trình tích
Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 ta giải phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi
lấy tất cả các nghiệm thu được
3.5
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Điều kiện xác định của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong
phương trình đều khác 0
• Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
– Tìm điều kiện xác định của phương trình
– Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu
– Giải phương trình vừa nhận được
– Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn điều kiện xác định rồi viết tập nghiệm
3.6
3.6.1
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Bước 1 Lập phương trình
– Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
• Bước 2 Giải phương trình
• Bước 3 Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận
3.6.2
Các bài toán bao gồm các dạng
• Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số
• Toán về số tự nhiên và chữ số
• Toán chuyển động
14
• Toán nâng suất
• Toán có nội dung hình học – lí – hóa
• Toán về tìm thời gian mỗi đơn vị làm một mình xong công việc
3.6.3
Cần nhớ các công thức
• Với các bài toán liên quan đến hệ số thập phân cần chú ý rằng abcd = 1000a +
100b + 10c + d
• Công thức toán trong chuyển động Vận tốc × Thời gian = Quãng đường
• Công thức tương đương trong toán năng suất Số sản phẩm làm một ngày × Số
ngày = Số sản phẩm làm được
• Công thức tính nồng độ dung dịch (chẳng hạng nồng độ muối) Nồng độ muối
trong dung dịch = Khối lượng muối ÷ Khối lượng dung dịch
15
Chương 4
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
4.1
4.1
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
. . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.3
Bất phương trình một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.4
Bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.5
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . .
17
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
• Bất đẳng thức là hệ thức có dạng a > b hoặc a < b hoặc a ≥ b hoặc a ≤ b
• Tính chất cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức Khi cộng cùng
một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho a > b ⇒ a + c > b + c
4.2
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
• Tính chất nhân cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức
– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một
bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a > b và c > 0 ⇒ ac >
bc
– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất
đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho a > b và c < 0 ⇒ ac < bc
• Tính chất bắc cầu Nếu a > b và b > c thì a > c
• Bất đẳng thức Cô-si Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng
a+b √
trung bình nhân của chúng
≥ ab với a ≥ 0, b ≥ 0
2
4.3
4.3.1
Bất phương trình một ẩn
Tập nghiệm của bất phương trình
• x = a gọi là nghiệm của một bất phương trình nếu ta thay x = a vào bất phương
trình thì ta được một bất đẳng thức đúng
16
• Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất
phương trình
• Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 3
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 5
4.3.2
Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm
4.4
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Bất phương trình dạng ax + b > 0 hoặc ax + b < 0 hoặc ax + b ≥ 0 hoặc ax + b ≤ 0
trong đó a, b là hai số đã cho và a = 0 gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Quy tắc chuyển vế Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang
vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó
• Quy tắc nhân với một số Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một
số khác 0 ta phải
– Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương
– Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm
4.5
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| = B(x) ta khử dấu giá
trị tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp
– Trường hợp 1
A(x) ≥ 0
A(x) = B(x)
– Trường hợp 2
A(x) < 0
−A(x) = B(x)
• Với phương trình dạng |A(x)| = m với m > 0 ta có
|A(x)| = m ⇔ A(x) = m hoặc A(x) = −m
17
• Với phương trình dạng |A(x)| = |B(x)| ta có
|A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = B(x) hoặc A(x) = −B(x)
18
Chương 5
Tứ giác
5.1
5.1
Tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.2
Hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.3
Hình thang cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.4
Đường trung bình của tam giác, của hình thang . . . . . . . .
21
5.5
Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang . . . . . .
22
5.6
Đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.7
Hình bình hành
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.8
Đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.9
Hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.10 Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước . . .
25
5.11 Hình thoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.12 Hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Tứ giác
• Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai
đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng
• Tứ giác lồi là từ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
chứa bất kì cạnh nào của tứ giác
• Tổng các góc của một tứ giác bằng 360o . Từ giác ABCD ⇒ A + B + C + D = 360o
• Góc kề bù với một góc của tứ giác là góc ngoài của tứ giác
5.2
Hình thang
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Trên hình ta có hình thang ABCD (đáy
AB và CD)
19
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông
5.3
5.3.1
Hình thang cân
Định nghĩa
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) ⇔
5.3.2
ABCD là hình thang cân
C=D
Tính chất
Trong hình thang cân
• Hai cạnh bên bằng nhau
• Hai đường chéo bằng nhau
5.3.3
Dấu hiệu nhận biết
• Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
20
5.4
5.4.1
Đường trung bình của tam giác, của hình thang
Đường trung bình của tam giác
• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ
hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba
AD = DB và DE
BC ⇒ AE = EC
• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
1
AD = DB và AE = EC ⇒ DE BC và DE = BC
2
5.4.2
Đường trung bình của hình thang
• Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của
hình thang
• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai
đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai
AE = ED và EF
AB
21
CD ⇒ BF = F C
• Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai
đáy
AB CD
EF AB
EF CD
AE = ED ⇒
EF = AB + CD
BF = F C
2
5.5
Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang
Các bài toán vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa gọi là các bài toán
dựng hình
Chỉ yêu cầu học sinh trình bày hai phần: Cách dựng và chứng minh
• Nội dung của phần cách dựng là nêu thứ tự từng bước dựng hình và thể hiện các
nét dựng trên hình vẽ
• Nội dung của phần chứng minh là dùng lập luận để chứng tỏ với cách dựng trên thì
hình đã dựng thỏa mãn đề bài
5.6
Đối xứng trục
• Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực
của đoạn thẳng nối hai điểm đó
A đối xứng với A qua d ⇔ d là đường trung trực của AA
• Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm
thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H
• Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của
hình thang cân đó
22
5.7
5.7.1
Hình bình hành
Định nghĩa
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
ABCD là hình bình hành ⇔
5.7.2
AB
AD
CD
BC
Tính chất
• Các cạnh đối bằng nhau
• Các góc đối bằng nhau
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
5.7.3
Dấu hiệu nhận biết
Một tứ giác là hình bình hành nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau
• Có các cạnh đối song song
• Có các cạnh đối bằng nhau
• Có hai cạnh đối song song và bằng nhau
• Có các góc đối bằng nhau
• Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
5.8
Đối xứng tâm
• Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối
hai điểm đó
A đối xứng A qua O ⇔ O là trung điểm của AA
23
• Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc
hình H qua điểm O cũng thuộc hình H
• Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành
đó
5.9
5.9.1
Hình chữ nhật
Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông
ABCD là hình chữ nhật ⇔
5.9.2
ABCD là tứ giác
A = B = C = D = 90o
Tính chất
• Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, hình thang cân
• Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường
24
5.9.3
Dấu hiệu nhận biết
• Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhất
• Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
5.9.4
Áp dụng vào tam giác
• Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
• Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì
tam giác đó là tam giác vuông
5.10
Đường thẳng song song với một đường thẳng
cho trước
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý
trên đường thẳng này đến đường thẳng kia
• Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là
hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng
bằng h
• Đường thẳng song song cách đều
– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường
thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều
– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn
trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau
25
