MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKNÔNG
TRƯỜNG THPT ĐAKMIL
------******------

BÀI BÁO CÁO
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY
SỐ THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI



Người thực hiện: Đặng Thị Thu Sương

ĐăkNông – 09/2015.

1


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

1. LỜI NÓI ĐẦU:
Hiện nay, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, đề thi Olympic,
đề thi quốc gia luôn xuất hiện bài toán tìm giới hạn của một dãy số. Đây là một
dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật, là câu hỏi phân loại học sinh giỏi. Với
mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, cung
cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi toán và yêu thích toán có
thêm một tài liệu tham khảo về kĩ thuật tìm giới hạn của dãy số, tôi nghiên cứu và
viết tài liệu: “Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các
kỳ thi chọn học sinh giỏi”.
2. PHẦN NỘI DUNG

2.1 Kiến thức cơ sở:
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu
mọi số dương  (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số no    n0 có thể phụ thuộc
vào  và vào dãy số  un  đang xét), sao cho với mọi chỉ số n  , n  n0 ta luôn
un  a hoặc lim un  a và còn nói rằng dãy số
có un  a   . khi đó kí hiệu nlim


 un  hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kỳ.
Định lý 1. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất tức là: Giả sử
un  lim un 1 .
dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn thì xlim

x 

Định lý 2. (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.


Nếu dãy số  un  thỏa mãn điều kiện un  M , n và tồn tại giới hạn lim un thì
lim un  M; nếu dãy số  un  thỏa mãn điều kiện un  m, n và tồn tại giới hạn

lim un thì lim un  m.

2


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

Định lý 3. Nếu  un   a và  vn   un  ,  vn   C thì  vn   a
Định lý 4. ( Định lý kẹp về giới hạn )
Nếu với mọi n  n0 ta luôn có un  xn  vn và limu n  limvn  a thì limx n  a
Định lý 5. ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn [a;b] và
có đạo hàm trong khoảng (a;b) thì tồn tại c   a; b  thỏa mãn:
f  b   f  a   f ,  c b  a 

2.2 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số:
Phương pháp 1: Xác định CTTQ của dãy rồi tính giới hạn của dãy số.
Phương pháp 2 : Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính đơn điệu và
bị chặn của dãy.
Phương pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp
giới hạn.
Phương pháp 4: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính chất của hàm số.
2.2.1. Phương pháp 1: Xác định CTTQ của dãy rồi tính giới hạn dãy số.
*Loại 1: Dự đoán CTTQ rồi chứng minh bằng quy nạp
Phương pháp chung: Từ một vài trường hợp ban đầu, dự đoán công thức số
hạng tổng quát rồi chứng minh bằng quy nạp. Sau đó sử dụng các giới hạn đã
un .
biết để tìm nlim


Vận dụng lượng giác vào việc tìm CTTQ cho dãy số:
u  2
Bài 1 : Cho dãy số  un  xác định bởi  1

un 1  2  un ,


ta có u1  2  2.



n  1. Tính limun

2



 2cos 2 ; u2  2  2  2(1  cos )  2cos 3 .
2
2
4
2



u3  2  u2  2 1  cos 23  2 cos


24

.

3


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

Từ đó ta dự đoán công thức tổng quát : un  2 cos


2n 1

; n  1, 2,... Ta chứng minh

un  2.
công thức trên bằng quy nạp. Cuối cùng ta được: xlim


Bình luận:
+ Dấu hiệu làm cho ta nghĩ đến việc sử dụng lượng giác ở chỗ
u1  2  2.

2

 2 cos .
2
4

Bài 2: (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Long An năm 2012)
Cho dãy số  un  xác định như sau :
u1  2

un  2  1

un 1  1  2  1 u
n




a) Chứng minh : tan


8



 n  1, n  N 

 2  1 b) Tính: u2015

Giải:
 
 tan 8  2  1


  
2 
8
 tan
 2 tan  1  0  
a) 1  tan  tan    
4
8
8
 8 8  1  tan 2 
 tan    2  1


8
8
2 tan



Đặt u1  2  tan a, ta có :
tan a  tan







tan(a  )  tan

8
8
8  tan(a  2.  )...
u2 
 tan(a  ), u3 



8
8
1  tan a.tan
1  tan tan(a  )

8
8
8



Dự đoán un  tan(a  (n  1) ), n  1, n  N (chứng minh bằng quy nạp).
8



b. Cho n  2015 , ta có u2015  tan(a  2014. )  tan(a 
8


2 1

tan(a  ) 
 ( 2  1)2  tan 2 .
4
8
2 1

*Loại 2: Sử dụng phương pháp hàm lặp
4

3
3
 251 )  tan( a  ) 
4

4


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

Để tìm SHQT của dãy số  un  bằng phương pháp hàm lặp ta thường tìm các
hàm số f ( x) và h( x) sao cho f (un )  h( f (un1 )). Sử dụng liên tiếp đẳng thức này ta
được: f (un )  h( f (un1 ))  h(h( f (un2 )))  h2 ( f (un  2))  ..  hn ( f (u0 )).
Hàm số f được gọi là hàm phụ, hàm số h được gọi là hàm lặp.
Bài 3: Cho dãy số (un ) : u1  3 , u
1
6

n 1

1
6

1
?
x  u
n

 7un  1 , n  1, 2... Tìm lim
1
6

Giải: Ta có un 1   7un  1   7(un  ).
1
6

1
6

1
6

1
6

Vậy : un   7(un1  )  7 2 (un 2  )  ...  7 n1 (u1  )  7 n1.
Do đó: un 

17
.
6

1
17 n 1 1
.7  . Suy ra lim
 0.
x  u
6
6
n

1
6

Bình luận: Trong lời giải trên, quan trọng nhất là cách xét hiệu un 1  . số

1
6

được tìm như sau: un1  k  7un  1  k  7(un  k )  6k  1. Cần chọn k sao cho
6k 1  0 nên k 

1
1
. Nói cách khác số là điểm bất động của hàm f.
6
6
1
9

Bài 4: Cho dãy số un  : u1  4 , un1  (un  4  4 1  2un ), n  1, 2...Tìm limu n?
Giải: Theo giả thiết
un  0 với mọi n và: 9un1  un  4  4 1  2un

 18un1  2un  8  8 1  2un 

18un1  9  2un  1  8 1  2un  16  9(2un1  1)  ( 1  2un  4) 2 
3 2un1  1  1  2un  4. Đặt vn  2un  1.
1
3

4
3

1

3

Khi đó : v1  3 và 3vn1  vn  4 hay vn 1  vn   vn 1  2  (vn  2). Như vậy:
1
1
1
1
1
vn  2  (vn 1  2)  2 (vn  2  2)  ...  n 1 (v1  2)  n 1 . Do đó vn  n 1  2 Suy ra
3
3
3
3
3

vn2  1
3
1 1 1
un 
   ( n 1  2)2 . Cuối cùng ta được : limu n  .
2
2
2 2 3

*Loại 3: Sử dụng tính chất dãy số đặc biệt như CSC, CSN:
5


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

Bài 5: Cho dãy số  un 

u1  10
xác định như sau 
1
un 1  5 un  3, n  1

a) CMR dãy số  vn  xác định bởi vn  un 

15
là một cấp số nhân.
4

b) Tính limu n .
Giải:
a) Ta có  vn  là CSN  vn1  q.vn  q  const  , q  0,  n  1. Thật vậy, ta có
vn 1  un 1 

15 1
15 1
15 3 1
 un  3   (vn  )   vn , nên  vn  là một CSN có công bội
4 5
4 5
4
4 5

25  1 
1
25

q  và v1  . Do đó vn  v1.q n 1  .  
5
4
4 5
15 1 1
b) Từ câu a) suy ra un  vn   .  
4 4 5

n 3



n 1

1 1
 . 
4 5

n 3

15
15
. Do đó limu n  .
4
4

Bình luận
1.Vì sao lại nghĩ ra được phép đổi biến vn  un 

15

để dãy  vn  là một SCN ?
4

1
5

1
5

Ta thấy un 1  un  3, ta cần tìm số b sao cho un1  b  (un  b)
1
1
1
15
 un 1  b  b  un  un  3  b 
5
5
5
4

Do vậy, nếu đặt vn  un 

15
1
thì vn 1  vn , n  1 nên  vn  là một SCN.
4
5

2. Ngoài ra, có thể đặt vn  5n.u n , n  1, khi đó ta có vn1  vn  3.5n1 , n  1.
v

15
15 5n  1 35 1 1
Suy ra vn  (5n  1)  35  u n  nn  . n  n   
4
5
4 5
5
45

n 3



15
.
4

Bài 6: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC,NXBGD 2007)
Cho dãy số  un 

u1  1
xác định bởi 
un  4
un 1  u  6 , n  1
n


a) CMR un  4, n  1
6

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

b) CMR dãy  vn  với vn 

un  1
là một SCN. Tính lim un
un  4

Giải:
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un  4, n  1.
Khi n  1 ta có u1  1  4
Giả sử uk  4, k  1, ta chứng minh uk 1  4. Thật vậy, giả sử ngược lại uk 1  4,
khi đó

uk  4
 4  uk  4  4uk  24  uk  4, trái với giả thuyết quy nạp. Vậy
uk  6

un  4, n  1

b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi n  1
un  4
1
un 1  1 un  6
2(un  1) 2


 vn , n. Vậy (vn ) là một SCN lùi
Ta có vn 1 

un 1  4 un  4  4 5(un  4) 5
un  6

vô hạn với công bội q 

2
2
. Suy ra vn   
5
5

n

n

n

2
2
4.    1
4.    1
Nên un   5  n . Do đó lim un  lim  5  n  1
2
2
1  
1  
5
5

*Loại 4: Dùng phép biến đổi để tìm SHQT của dãy số

Bài 7: (Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Hà Tĩnh 2013)
Cho dãy số  an 

4

a1 
n  1, n  N
thỏa mãn 
3
2
2
(n  2) a  n a  (n  1)a a
n
n 1
n n 1


Tìm lim an .
Giải: Dễ thấy an  0, n  N  . Từ giả thiết ta có
Với mỗi n  N  , đặt yn 

1 1
 ta có y1  1 và
an 4

7

(n  2) 2 n 2
  (n  1)
an 1

an


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

1
1
n2

2
2
2
(n  2)  yn1    n  yn     n  1  (n  2) yn1  n yn  yn 1 
yn
4
4
(n  2)2


2

n 1   n  2   1 
4
4n 2 (n  1) 2
...
y


a


Do đó yn  
n
 
   1
(n  1) 2 n 2
16  n 2 (n  1) 2
 n  2   n 1   3 
2

2

2

Vậy lim an  4 .
Như vậy nếu xác định được CTTQ của dãy số thì bài toán trở nên quen
thuộc và có thể tính giới hạn của dãy số đó một cách dễ dàng dựa vào các định
lý về giới hạn đã được học trong chương trình của sách giáo khoa .
2.2.2. Phương pháp 2: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính đơn
điệu và bị chặn
Bài 8: (Đề thi HSG lớp 11 Quảng Bình năm học 2014-2015)
u1  2
Cho dãy số : 
un2015  un  1
u

 n 1 u 2014  u  3
n
n


(n  N  )

a) Chứng minh un  1, n  N  và  un  là dãy số tăng .
n

b) Tìm lim 
i 1

1
2014
i

u

 2.

Giải:
a) Ta có u1  1
Giả sử u1  1 . Ta chứng minh uk 1  1. Thật vậy :
uk 1  1 

uk2015  uk  1
uk2015  uk2014  2uk  2 (uk  1)(uk2014  2)

1


0
uk2014  uk  3
uk2014  uk  3

uk2014  uk  3

Ta có: un1  un 

un2015  un  1
(un  1)2

u

 0 . Vậy dãy số tăng
n
un2014  un  3
un2014  un  3

b) Ta có:
un 1

u
1 
u

2014
n

2014
n



 2 (un  1)

 2  (un  1)



1
un 1  1



1
1
1
1
1
 2014
 2014


un 1 un  2
un  2 un  1 un 1  1

8


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG
n

Suy ra:

u
i 1

1

2014
i

2



1
1
1
Dãy số un tăng. Giả sử lim un  a (hữu

 1
u1  1 un1  1
un1  1

hạn), ta có a  1. Suy ra: a 
Do đó : lim un    lim

a 2015  a  1
(a  1) 2

 0  a  1 ( vô lý).
a 2014  a  3
a 2014  a  3

1
un 1  1

n

 0. Vậy lim 
i 1

1
2014
i

u

2

1

Bình luận: Ta sử dụng định nghĩa để chứng minh dãy số tăng và phương pháp
phản chứng để chứng minh dãy số  un  không bị chặn trên.
Bài 9: (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010-2011)
u  2010
Cho dãy số  un  xác định bởi  12

un  2un .un 1  2011  0, n  1

Chứng minh rằng dãy  un  có giới hạn và tính giới hạn đó.
Giải
Trước hết ta nhận xét rằng un  0, với mọi n .

Thật vậy, ta có u1  2010  0. Giả sử u k  0, k  1, ta chứng minh uk 1  0
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk 1  uk2  2011  0  uk 1 
Do đó ta có un1 

uk2  2011
0
2uk

un2  2011 1
2011
 (u n 
). Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
2un
2
un

un2  2011
2011
un1 
 un g
 2011, n  1.
2un
un

Mặt khác ta có

un 1 un2  2011 1 2011 1 1

 
  1

un
2un2
2 2un2 2 2

(vì un  2011, n  1 

2011 2011 1

 ).
2un2
2.2011 2

Nên  un  là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi

2011 , do đó dãy  un  có giới hạn

hữu hạn. Giả sử lim un  a, khi đó 0  a  2010
un2  2011
un2  2011
a 2  2011
 lim un 1  lim
a
và ta có un1 
2un
2un
2a

9

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG
 a 2  2011  a  2011. vậy lim un  2011

2.2.3. Phương Pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên
lý kẹp giới hạn
Bài 10: (Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc năm 2003)
Cho dãy số  xn  xác định bởi: xk 

1 2 3
k
   ... 
, k  1, 2,....
2! 3! 4!
(k  1)!

n
Tính lim n x1n  x2n  ...  x2003
x 

Giải: Vì xk 1  xk 
Ta có
xk 

k 1
 0 nên 0  x1  x2  ...  x2002  x2003 p ...
(k  2)!

k
(k  1)  1 1
1


 
. Do đó :
(k  1)!
(k  1)!
k ! (k  1)!

1 2
k
1 1
1 1
1
1
1
  ... 
 (  )  (  )  ...  ( 
)  1
.
2! 3!
(k  1)! 1! 2!
2! 3!
k ! (k  1)!
( k  1)!

n
 x1n  x n2  ....  x n2013  2003.x n2003
Ta có: x2013

1

n
 2003 n .x2003 . Vậy:
Suy ra x2003  n x1n  x2n  ...  x2003

1

1
1
1
 n x1n  x2n  ...  x n2003  2003 n (1 
). Vì
2004!
2004!

lim (1 

n 

lim

n 

n

1
1
1
1
)  lim 2003 n (1 
)  1

nên theo nguyên lý kẹp suy ra
n

2004!
2004!
2004!

n
x1n  x2n  ..  x2013
 1

1
.
2014!

Bài 11: (Đề thi Olympic vòng thi cấp tỉnh năm 2015)
Cho un 

1.3.5...(2n  1)
. Tìm lim un ?
x 
2.4.6...  2n 

Ta có : 0  u 
2
n

0  un2 

12.32.52...(2n  1)2

22.42.62...  2n 

2



12.32.52...  2n  1

2

(22  1)(42  1)(62  1)...((2n) 2  1)

12.3252...(2n  1)2
1

, n  1, 2.... Do đó:
1.3.3.5.5.7.7...(2n  1)(2n  1) 2n  1

10

suy ra


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG
0  un 

1
, n  1, 2,... Theo nguyên lý giới hạn kẹp thì lim un  0.
x 
2n  1

2.2.4. Phương pháp 4: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính
chất của hàm số
Dạng toán : Cho phương trình với tham số nguyên dương n : f n (x)  0 .
a)

Chứng minh với mỗi n  no thì phương trình có duy nhất một nghiệm
trên D, ký hiệu nghiệm đó là xn .

b)

xn .
Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn và tính xlim


Phương pháp:


Để chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm trên D ta sử dụng tính liên
tục và các định lý liên quan như: định lý về giá trị trung gian của hàm số liên
tục, đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, sử dụng định lý Lagrange….



Để giải câu b, ta sử dụng tính đơn điệu của f n  x  , sử dụng định lý
Lagrange…

Bài 12: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2001-2002)
Cho phương trình

1
1
1
1
1


 .... 
 ... 
 0.
2
2x x 1 x  4
xk
x  n2

a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình có duy nhất nghiệm
trong khoảng (0;1) và ký hiệu nghiệm là xn.
b) Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn khi n  .
Giải:
a) Với mỗi n=1,2,3,…ta xét hàm số:
fn  x  

1
1
1
1
1


 ... 

 ... 
. Dễ thấy với mỗi n, hàm số f n  x 
2
2x x 1 x  4
xk
x n2

Liên tục và nghịch biến trên khoảng (0;1). Hơn nữa:
lim f n ( x)  ; lim f n ( x)  . Suy ra với mỗi n thì phương trình có duy nhất

x  0

x 1

nghiệm xn  (0;1).
11


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

b) Với mỗi n  N  ta có :
f n 1 ( x n )  (

1
1
1
1
1
1



 ... 
 ... 
)
mà
2
2
2 xn xn  1 xn  4
xn  k
xn  n
xn  (n  1) 2

1
1
1
1
1
1


 ... 
 ... 
 0 nên f n 1 ( xn ) 
 0 do
2
2
2 xn xn  1 xn  4
xn  k
xn  n
xn  (n  1) 2

xn  (0;1) suy ra: f n1 ( xn )  f n1 ( xn1 )  0  xn1  xn , n  1, 2,.. Do đó dãy số ( xn )

giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.
Bài 13: (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 TP HCM năm học 2012-2013)
1

u

1

2
Cho dãy số (un ) xác định bởi : 
Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn
3u  4
un 1  n
2un  1


và tìm giới hạn đó.
Giải: Từ giả thiết suy ra un  0 với mọi n. Xét hàm số: f ( x) 

3x  4 3
5
 
2 x  1 2 2(2 x  1)

1

u1 

5

Với x  0, f ( x) 
 0, x  0. Ta có 
2
(2.x  1) 2
un 1  f (un ), n  N
3
5 x
3
f ( x)  , f ( x)  4 
 0, x  0   un  4, n  2 nên (un ) là dãy số bị chặn.
2
2.x  1
2

 xn  u2 n 1
. Do f ( x) nghịch biến trên (0; ) nên g ( x)  f  f  x   đồng biến
 yn  u2 n

Đặt 

trên (0; ). f (x n )  f (u2n1 )  u2n  yn ; f (yn )  f (u2n )  x2n1.
g (x n )  f ( f (x n ))  f (yn )  xn  1.
1
11
49
u1  ; u2  ; u3  ... Ta có: u1  u3 nên x1  x2 . Giả sử xk  xk 1 thì g ( xk )  g ( xk 1 )
2
4

26

Nên xk 1  xk 2 . vậy xn  xn1 . Suy ra  xn  tăng và bị chặn trên nên  xn  có giới hạn
hữu hạn a. Do xn  xn1 nên f  xn   f  xn1  suy ra yn  yn1. vậy ( yn ) là dãy giảm và
bị chặn dưới nên ( yn ) có giới hạn b.

12


Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG
3
3


3

 xn , yn  ( 2 ; 4) a, b  ( 2 ; 4)
b  a  ( ; 4)



2
Ta có:  f ( xn )  yn   f (a)  b suy ra a  b. Nên ta có : 
và ta
 f (y )  x
 f (b)  a
a  3a  4
n
n 1



2a  1




được a  b  2. Vậy lim un  2.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: (Bài 3.47 trang 139 sách bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007)
u1  3
2un1  un  1, n  1

Cho dãy số  un  xác định bởi 

Đặt sn  u1  u2  ...  un , n  1.
a) CMR dãy số  vn  với vn  un  1, n  1 là một CSN lùi vô hạn
b) Tính lim sn .
Bài 2: (Đề thi học sinh giỏi khối 12 tỉnh ĐăkNông năm 2014-2015)
Cho dãy số  un  được xác định bởi công thức
1
3
u1  3, un 1  (2un  2 ), n  N  . Hãy tính lim un .
3
un

Bài 3: (Đề thi học sinh giỏi khối 12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2010-2011)
Cho dãy số  un 

Tính lim(

u1  1
xác định bởi 
un2
u

 un , n  1
 n 1
2010


u
u1 u1
  ....  n ) .
u2 u2
un 1

Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2014-2015)
Cho a là số thực không âm và dãy  un  được xác định bởi:
1
n2
u1  3, un 1  un  2
un2  3, (n  1)
2
4n  a

a) Với a  0 , chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn và tìm giới
hạn đó.
b) a  0;1 , chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn.

13

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các kỳ thi chọn HSG

3. KẾT LUẬN
Các bài toán về dãy số thường khó và nhiều dạng khác nhau, tài liệu này mới
chỉ đề cập đến bài toán tìm giới hạn dãy số. Để nâng cao chất lượng học tập cho
học sinh và để các dạng toán được đầy đủ hơn tôi sẽ nghiên cứu tiếp các bài toán
về dãy số thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi như tìm giới hạn của dãy tổng,
nghiên cứu các tính chất số học của dãy số…
Trong quá trình viết tài liệu này, tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những sự thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của
các thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành
cảm ơn!
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.

Sách giáo khoa bài tập đại số và giải tích lớp 11 nâng cao.

2.

Đề thi học sinh giỏi tỉnh ĐăkNông qua các năm.

3.

Chuyên đề chọn lọc về dãy số và áp dụng ( Chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi).
Tác giả: Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Tuấn,

4.

Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4.
Tác giả: Võ Giang Giai- Võ Đình Duy.

5.

Tài liệu mạng.

14