CHUYÊN ĐỀ: Một số phương pháp giải phương trình hàm

Một số phương pháp giải phương trình hàm
Giáo viên: Phan Quốc Quang
Đơn vị: THPT Đăk Mil
Báo cáo chuyên đề chuyên sâu cấp tỉnh lần thứ 2

9-2015

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Giới thiệu

Lý do chọn đề tài

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Giới thiệu

Lý do chọn đề tài
Phương trình hàm - lĩnh vực toán không thuộc chương trình
giáo dục không chuyên nhưng lại xuất hiện nhiều trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp. Nghiên cứu lĩnh vực toán học này đã và
đang được các gáo viên thực hiện nhằm nâng cao hơn nữa kiến
thức của mình. Vì lẽ đó tôi chọn đề tài này để nghên cứu, trước
hết là để bồi dương đội tuyển học sinh giỏi của trường, đặc biệt là
làm tài liệu cho các em học sinh nghiên cứu, học tập.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Giới thiệu

Lý do chọn đề tài
Phương trình hàm - lĩnh vực toán không thuộc chương trình
giáo dục không chuyên nhưng lại xuất hiện nhiều trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp. Nghiên cứu lĩnh vực toán học này đã và
đang được các gáo viên thực hiện nhằm nâng cao hơn nữa kiến
thức của mình. Vì lẽ đó tôi chọn đề tài này để nghên cứu, trước
hết là để bồi dương đội tuyển học sinh giỏi của trường, đặc biệt là
làm tài liệu cho các em học sinh nghiên cứu, học tập.
Nội dung chính của tham luận là giới thiệu các phương pháp
giải phương trình hàm thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi
các cấp, tập hợp các ví dụ, các đề thi theo từng dạng. Qua đó
giúp học sinh hình thành kỹ năng giải từng dạng toán.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Giới thiệu

Lý do chọn đề tài
Phương trình hàm - lĩnh vực toán không thuộc chương trình

giáo dục không chuyên nhưng lại xuất hiện nhiều trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp. Nghiên cứu lĩnh vực toán học này đã và
đang được các gáo viên thực hiện nhằm nâng cao hơn nữa kiến
thức của mình. Vì lẽ đó tôi chọn đề tài này để nghên cứu, trước
hết là để bồi dương đội tuyển học sinh giỏi của trường, đặc biệt là
làm tài liệu cho các em học sinh nghiên cứu, học tập.
Nội dung chính của tham luận là giới thiệu các phương pháp
giải phương trình hàm thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi
các cấp, tập hợp các ví dụ, các đề thi theo từng dạng. Qua đó
giúp học sinh hình thành kỹ năng giải từng dạng toán.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm

Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm

Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp sử dụng liên tục của hàm số

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp sử dụng liên tục của hàm số
Phương pháp sử dụng đạo hàm

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp sử dụng liên tục của hàm số
Phương pháp sử dụng đạo hàm
Phương pháp sử dụng điểm bất động của hàm số

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp sử dụng liên tục của hàm số
Phương pháp sử dụng đạo hàm
Phương pháp sử dụng điểm bất động của hàm số
Phương trình hàm Cauchy

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp sử dụng liên tục của hàm số
Phương pháp sử dụng đạo hàm
Phương pháp sử dụng điểm bất động của hàm số
Phương trình hàm Cauchy
Phương pháp đưa về phương trinh sai phân

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp sử dụng liên tục của hàm số
Phương pháp sử dụng đạo hàm
Phương pháp sử dụng điểm bất động của hàm số
Phương trình hàm Cauchy
Phương pháp đưa về phương trinh sai phân
...
Ở đây tôi chủ yếu trình bày "Phương pháp thế biến" vì
xuất hiện nhiều nhất trong các kỳ thi.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm

Phương pháp giải phương trình hàm có thể:
Phương pháp thế biến
Phương pháp quy nạp
Phương pháp sử dụng tính chất của ánh xạ, của hàm số
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp sử dụng liên tục của hàm số
Phương pháp sử dụng đạo hàm
Phương pháp sử dụng điểm bất động của hàm số
Phương trình hàm Cauchy
Phương pháp đưa về phương trinh sai phân
...
Ở đây tôi chủ yếu trình bày "Phương pháp thế biến" vì
xuất hiện nhiều nhất trong các kỳ thi.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


1. Phương pháp thế biến

Phương pháp thế biến có lẽ được dùng nhiều nhất khi giải phương
trình hàm. Ta có thể

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


1. Phương pháp thế biến

Phương pháp thế biến có lẽ được dùng nhiều nhất khi giải phương
trình hàm. Ta có thể
Hoặc cho các biến x, y , ... nhận các giá trị hằng số.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


1. Phương pháp thế biến

Phương pháp thế biến có lẽ được dùng nhiều nhất khi giải phương
trình hàm. Ta có thể
Hoặc cho các biến x, y , ... nhận các giá trị hằng số.
Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các
hằng số hoặc các biểu thức cần thiến. Chẳng hạn, nếu trong
phương trình có mặt f (x + y ) thì ta thế y bởi −x để có f (0),
muốn có f (x) thì cho y = 0...

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


1. Phương pháp thế biến

Phương pháp thế biến có lẽ được dùng nhiều nhất khi giải phương
trình hàm. Ta có thể
Hoặc cho các biến x, y , ... nhận các giá trị hằng số.

Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các
hằng số hoặc các biểu thức cần thiến. Chẳng hạn, nếu trong
phương trình có mặt f (x + y ) thì ta thế y bởi −x để có f (0),
muốn có f (x) thì cho y = 0...
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Ví dụ 1. (VOM 2000, bảng B)
Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
x 2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x 4 , ∀x ∈ R.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Ví dụ 1. (VOM 2000, bảng B)
Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
x 2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x 4 , ∀x ∈ R.

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Ví dụ 1. (VOM 2000, bảng B)

Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
x 2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x 4 , ∀x ∈ R.

Lời giải vắn tắt
Thay x bởi 1 − x ta thu được hệ
x 2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x 4
f (x) + (1 − x)2 f (1 − x) = 2(1 − x) − (1 − x)4

Giáo viên: Phan Quốc Quang

Một số phương pháp giải phương trình hàm


Ví dụ 1. (VOM 2000, bảng B)
Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
x 2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x 4 , ∀x ∈ R.

Lời giải vắn tắt
Thay x bởi 1 − x ta thu được hệ
x 2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x 4
.
f (x) + (1 − x)2 f (1 − x) = 2(1 − x) − (1 − x)4
Giải hệ phương trình 2 ẩn f (x) và f (1 − x) ta có nghiệm là

 1 − x 2 : x = a, x = b,
f (x) =
c ∈ R : x = a,

2a − a4 − a2 c : x = b,
Giáo viên: Phan Quốc Quang

2

Một số phương pháp giải phương trình hàm