de thi tuyen sinh vao lop 10 thpt nam 2019 2020 mon toan co dap an so gd dt dien bien 7091

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐIỆN BIÊN
--------------ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
----------------------ĐỀ BÀI

Câu 1. (2,5 ñiểm)
Cho biểu thức: A =

x +5
x −1 7 x − 3
+
và B =
x −9
x −3
x +3

1. Tính A khi x = 25.
2. Rút gọn biểu thức B.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

A
.
B

Câu 2. (2,5 ñiểm)
1. Giải phương trình:

a) x 2 − 5 x + 4 = 0

b) x 4 + x 2 − 6 = 0

2 x − y = 7
2. Giải hệ phương trình: 
x − 2 y = −1
Câu 3. (1,0 ñiểm)
Cho phương trình: x 2 + ax + b + 1 = 0 (a, b là các tham số). Tìm a, b ñể phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa

 x1 − x2 = 3
mãn:  3
3
 x1 − x2 = 9
Câu 4. (3,0 ñiểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai ñường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Kẻ
ñường kính CE.
1. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân.
2. Chứng minh:

AB 2 + CD 2 + BC 2 + AD 2 = 2 2 R.

3. Từ A, B kẻ các ñường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K. Tứ giác ABKF là hình
gì?
Câu 5. (1,0 ñiểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 3 = x3 + x 2 + x + 1.
2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: A = (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 ) là
một số chính phương.
---------- HẾT ----------

Câu 1. (2,5 ñiểm)
Cho biểu thức: A =

x +5
x −1 7 x − 3
+
và B =
x −9
x −3
x +3

1. Tính A khi x = 25.
2. Rút gọn biểu thức B.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

A
.
B

Hướng dẫn:
ðKXð: x ≥ 0, x ≠ 9

25 + 5
30
1. Với x = 25 (TMðK) => A = 25 − 3 = 5 − 3 =15
x −1 7 x − 3 ( x −1)( x − 3) 7 x − 3
+
=
+

x −9
x −9
x +3
( x + 3)( x − 3)

B=
2. Có:

=

x − 4 x + 3+ 7 x −3 x +3 x
=
=
x −9
x −9

x
x −3

A x+5
x
x+5
=
:
=
B
x −3 x −3
x
3. Có:
ðK: x > 0.

A x+5
5
=
= x+
≥ 2.
B
x
x
=>

x=

Dấu "=" xảy ra <=>

xi

5
=2 5
x

5
⇔ x = 5(TM )
x

MinA = 2 5 ⇔ x = 5

Vậy
Câu 2. (2,5 ñiểm)
1. Giải phương trình:
a)

x2 − 5x + 4 = 0

4
2
b) x + x − 6 = 0

2 x − y = 7

2. Giải hệ phương trình:  x − 2 y = − 1
Hướng dẫn:
x = 1
1. a) x − 5 x + 4 = 0 ⇔  x = 4

2

( x 2 − 2) = 0 ⇔ x = ± 2
b) x + x − 6 = 0 ⇔ ( x − 2)( x + 3) = 0 ⇔  2
( x + 3) = 0 (Vo ly )
4

2

2

2


2 x − y = 7
4 x − 2 y = 14 3x = 15

x = 5
⇔
⇔
⇔




2. x − 2 y = − 1

x − 2 y = −1
x − 2 y = −1  y = 3
Câu 3. (1,0 ñiểm)
Cho phương trình: x 2 + ax + b + 1 = 0 (a, b là các tham số). Tìm a, b ñể phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa

 x1 − x2 = 3
mãn:  3
3
 x1 − x2 = 9
Hướng dẫn:
2
2
Ta có: ∆ = a − 4(b + 1) = a − 4b − 4

∆ ≥ 0 ⇔ a 2 − 4b − 4 ≥ 0

ðể phương trình có nghiệm thì:

 x1 − x2 = −a


x .x = b + 1
Theo Vi-Et ta có:  1 2
 x1 − x2 = 3
 x1 − x2 = 3
⇔
⇔ ( x1 + x2 ) 2 − x1 x2 = 3
 3

3
2
2
x − x2 = 9
( x1 − x2 )( x1 + x1 x2 + x2 ) = 9
Mà:  1
⇔ ( − a)2 − b − 1 = 3 ⇔ b = a 2 − 4

b = a2 − 4
Thay

∆ = a 2 − 4b − 4 = a 2 − 4(a 2 − 4) − 4 = −3a 2 + 12

vào biểu thức Delta ta có:
∆ ≥ 0 ⇔ −3a 2 − 12 ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ a ≤ 2

ðK:
x1 =
=>

2
2

− a + ∆ − a + −3a + 12
−a − ∆ − a − −3a + 12
=
; x2 =
=
2
2
2
2

−a + −3a 2 + 12 −a − −3a 2 + 12
−
=3
2
2
a =1
Do: => − 3a 2 + 12 = 9 => 
(TM ) => b = −3
a = − 1
x1 − x2 = 3 => x1 − x2 =

Vậy

a = ±1

b = −3

thì pt có nghiệm thỏa mãn ñề bài.

Câu 4. (3,0 ñiểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai ñường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Kẻ
ñường kính CE.
1. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân.


AB 2 + CD 2 + BC 2 + AD 2 = 2 2 R.

2. Chứng minh:

3. Từ A, B kẻ các ñường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F và K. Tứ giác ABKF là hình
gì?
Hướng dẫn:

B
C
O
E

K
I
A
N

D
M
F

1. Có: EAC = EBC = EDC = 900 (Góc nt chắn nửa ñường tròn)
⇒ EA ⊥ AC ⇒ EA BD ( ⊥ AC ) ⇒ EADB là hình thang (1)

 BEC = BCE = 900
Mà: 
0 (cmt)
 IDC = ICD = 90
1
=
=
=
IDC
BDC
ADC
BC (Góc nt chắn BC )
Do:
2

=> ICD = ACD = BCE => ⇒ EB = AD ⇒ EB = AD (2)
Từ (1) và (2) => AEBD là hình thang cân. (ñpcm)
2. Có:
=>

AB 2 + CD 2 + BC 2 + AD 2 = ( ED 2 + CD 2 ) + ( BC 2 + EB 2 ) (Vì: AB = ED, AD = EB (cmt))

AB 2 + CD 2 + BC 2 + AD 2 = (ED 2 + CD 2 ) + (BC 2 + EB 2 )


= EC 2 + EC 2 = 2 EC 2 = 2.(2 R ) 2 = 2 2 R
3. Giả sử : AF ⊥ CD = M ; BK ⊥ CD = N

(ñpcm)

=> MCA = IFA (Cùng phụ với CAM )
⇒ ∆ AFB cân tại A. => AB = AF (3)

⇒ IAB = IAF (ðường cao trong tam giác cân)
Mà: BK // AF (cùng ⊥ DC )

⇒ IKB = IAF ( SLT ) ⇒ IKB = IAB (= IAF)
⇒ ∆ ABK cân tại B => BA = BK (4)

Từ (3) và (4) => AB = BK = AF.
=> AF//=BK => ABKF là HBH
Mặt khác: => ABKF là hình thoi.
Câu 5. (1,0 ñiểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 3 = x3 + x 2 + x + 1.
2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: A = (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 ) là
một số chính phương.
Hướng dẫn:
x3 + x 2 + x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1)( x 2 + 1) = 0
1. Với y = 0 =>
2
<=> ( x + 1) = 0 ( Do : x + 1 > 0 ∀ x) <=> x = -1.

Với y ≠ 0 => y.y2 = (x + 1)(x2 + 1)

 y = x +1
2
2
=>  y 2 = x 2 + 1 (Vì: x, y ∈ℤ ⇒ y < y , x + 1 < x + 1)

( x + 1)2 = x 2 + 1 ⇔ x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 1 ⇔ x = 0 => y = 1

Vậy pt có nghiệm là: (x;y) = (-1; 0) ; (0; 1)
2. Vì: ab+bc+ca = 1 => 1 + a2 = ab+bc+ca + a2 = (a+b)(a+c) (1)
Tương tự: 1 + b2 = ab+bc+ca + b2 = (a+b)(b+c) (2)
1 + c2 = ab+bc+ca + c2 = (c+b)(a+c) (3)


Từ (1), (2) và (3) => A = (a+b)2(b+c)2(c+a)2 => A là số CP (ñpcm)