Chuyên đề nguyên hàm _tích phân hay danh cho các bạn

Trần Só Tùng

Tích phân

Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
sin x
=1
a) lim
x ®0 x
x
=1
x ®0 sin x

Hệ quả: lim

sin u(x)
=1
u(x)®0 u(x)

u(x)
=1
u(x)®0 sin u(x)

ln(1 + x)
=1
xđ 0
x

lim

lim

lim

x

ổ 1ử
b) lim ỗ 1 + ữ = e, x ẻ R
x đƠ ố
xứ
1

Heọ quaỷ: lim (1 + x) x = e.
x®0

lim

ex - 1
=1
x® 0
x

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x a )' = ax a-1
(ua )' = aua-1u '
1
ổ1ử
ỗ ữ' = - 2
ốxứ

x
( x )' = 1
2 x
x
(e )' = ex

u'
ổ1ử
ỗ ữ' = - 2
u
èuø
( u ) ' = u'
2 u
u
(e )' = u'.e u

(ax )' = a x .ln a
(a u )' = a u .ln a . u '
1
u'
(ln x )' =
(ln u )' =
x
u
1
u'
(loga x ') =
(loga u )' =
x.ln a
u.ln a

(sinx)’ = cosx
(sinu)’ = u’.cosu
1
u'
(tgx)' =
= 1 + tg 2 x
(tgu)' =
= (1 + tg 2 u).u'
2
2
cos x
cos u
-1
- u'
(cot gx)' =
= -(1 + cot g 2 x)
(cot gu)' =
= - (1 + cot g 2 u).u'
2
2
sin x
sin u
3. Vi phân:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x Ỵ (a; b) . Cho số
gia Dx tại x sao cho x + Dx Ỵ (a; b) . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng định nghóa trên vào hàm số y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx)

Trang 1


Tích phân

Trần Só Tùng

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§Bài 1: NGUYÊN HÀM
1. Định nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).
Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F '(a+ ) = f(x) và F '(b - ) = f(b)
2. Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/
Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/
Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ị f(x)dx. Do
đó viết:

ị f(x)dx = F(x) + C
Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.
3. Các tính chất của nguyên hàm:
·

·
·
·

( ị f(x)dx ) ' = f(x)

ị af(x)dx = f(x)dx (a ¹ 0)
ị [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx
ò f(t)dt = F(t) + C Þ ị f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C

(u = u(x))

4. Sự tồn tại nguyên hàm:
·

Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trang 2


Trần Só Tùng

Tích phân

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
thường gặp
(dưới đây u = u(x))

ị dx = x + C

ò du = u + C

x a+1
ò x dx = a + 1 + C

(a ¹ -1)

ua+1
ị u du = a + 1 + C

dx
= ln x + C
x

(x ¹ 0)

ò

a

ò

ò e dx = e
x

x
ò a dx =

x

du
= ln u + C
u

ị e du = e
u

+C

ax
+C
ln a

(a ¹ -1)

a

u
ị a du =

(0 < a ¹ 1)

u

(u = u(x) ¹ 0)

+C

au

+C
ln a

(0 < a ¹ 1)

ị cos xdx = sin x + C

ò cos udu = sin u + C

ò sin xdx = - cos x + C

ò sin udu = - cos u + C

dx
2
ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C

du
2
ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C

dx

ò sin

2

x

= ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C

dx
= x +C
x

ò2

du

ò sin

2

du
= u +C
u

ò2

(x > 0)
1

ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

(a ¹ 0)

1
sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C
ị
a

(a ¹ 0)

dx

1

ị ax + b = a ln ax + b + C
òe
ò

ax + b

u

= ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C

1
dx = eax + b + C
a

(a ¹ 0)

dx
2
=
ax + b + C
ax + b a

(a ¹ 0)

Trang 3

(u > 0)


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b)
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)
Xác định F’(a+)
Xác định F’(b–)
ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b)
ï
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng íF '(a + ) = f(a)
ïF '(b - ) = f(b)
ỵ
Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x 2 + a) với a > 0
1

là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

x2 + a

trên R.

Giải:
Ta có: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' =

(x + x 2 + a)'
x + x2 + a

2x

1+

2 x2 + a
x + x2 + a

=
=

x2 + a + x
x 2 + a(x + x 2 + a)

=

Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
ìex
ï
Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í 2
ïx + x + 1

ỵ

khi x ³ 0
khi x < 0

ìex
khi x ³ 0
Là một nguyên hàm của hàm số f(x) = í
trên R.
2x + 1 khi x < 0
ỵ
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x ¹ 0 , ta có:
ìe x
khi x > 0
F '(x) = í
ỵ2x + 1 khi x < 0
b/ Với x = 0, ta coù:
Trang 4

1
x2 + a

= f(x)


Trần Só Tùng

·

Tích phân

Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0.
F '(0 - ) = limx®0

·

F(x) - F(0)
x 2 + x + 1 - e0
= lim
= 1.
x ® 0x-0
x

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.
F '(0 + ) = lim+
x®0

F(x) - F(0)
ex - e0
= lim+
= 1.
x®0
x-0
x

Nhận xét rằng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1.
ìe x
khi x ³ 0

Tóm lại: F '(x) = í
= f(x)
ỵ2x + 1 khi x < 0
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b)
Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trị tham số.
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)
Xác định F’(a+)
Xác định F’(b–)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
ìF '(x) = f(x), "x ẻ (a ; b)
ù
+
ị giaự trũ cuỷa tham số.
íF '(a ) = f(a)
ïF '(b - ) = f(b)
ỵ
Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
·

Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C

·

Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.
Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Trang 5


Tích phân

Trần Só Tùng

ìx2
khi x £ 1
Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: F(x) = í
ỵax + b khi x > 1
ì2x
là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = í
ỵ2

khi x £ 1
khi x > 1

trên R.

Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
ì2x khi x < 1
a/ Với x ạ 1 , ta coự: F '(x) = ớ
ợ2 khi x > 1

b/ Với x = 1, ta có:
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do
đó :
lim F(x) = lim F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a
(1)
+
x ®1

x ®1

· Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1.
F'(1) = lim
x ®1

f(x) - F(1)
x2 - 1
= lim
= 2.
x ®1- x - 1
x -1

· Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0.
F '(1+ ) = lim
+
x ®1

F(x) - F(1)
ax + b - 1
ax + 1 - a - 1
= lim

= lim
= a.
+
+
x ®1
x ®1
x -1
x -1
x -1

Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại ñieåm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2.

(2)

Thay (2) vaøo (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x là một nguyên hàm của
F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x trên R.
Giải:
Ta có: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = é-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùe-2x
ë
û
Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R
Û F '(x) = f(x), "x Î R
Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Ỵ R
ìa = 1
ìa = 1
ï

ï
Û ía - b = 4
Û í b = -3
ï b - 2c = -7
ïc = 2
ỵ
ỵ
Vậy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x .

Trang 6


Trần Só Tùng

Tích phân

BÀI TẬP
ỉ x pư
Bài 1. Tính đạo haứm cuỷa haứm soỏ F(x) = ln tg ỗ + ÷
è2 4ø
Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
.
cos x

ì ln(x 2 + 1)
,x¹0
ï
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số F(x) = í

x
ï0
,x = 0
ỵ
ì 2
ln(x 2 + 1)
,x¹0
ï 2
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = í x + 1
x2
ï1
,x=0
ỵ
Bài 3. Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x là một nguyên hàm của
hàm số f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x treân R.
ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/
b/

Tính nguyên hàm F(x) của f(x) =

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin 2

ĐS: a/ F(x) =
Baøi 5. a/

x 3 + 3x 2 + 3x - 7
và F(0) = 8.
(x + 1)2

x2
8
+x+
;
2
x +1

x
ỉ pư p
và F ç ÷ = .
2
è2ø 4

1
b/ F(x) = (x - sin x + 1)
2

Xác định các hằng số a, b, c sao cho hàm số:
F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 là một nguyên hàm của hàm soỏ:
f(x) =

b/

20x 2 - 30x + 7
ổ3
ử
treõn khoaỷng ỗ ; + Ơ ữ
ố2
ứ
2x - 3

Tỡm nguyeõn haứm G(x) cuỷa f(x) với G(2) = 0.

ĐS: a/ a = 4; b = -2; c = 1;

b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22.

Trang 7


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG

CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

1

ị f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ 0.

Ví dụ 1: CMR , nếu ị f(x)dx = F(x) + C thì

Giải:
1
Ta luôn có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ 0.
a
Áp dụng tính chất 4, ta được:

1

1

ị f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) .

Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:

ị f(t)dt = F(t) + C Þ ị f(u)du = F(u) + C, với u = u(x)
Ví dụ 2: Tính các tích phân bất ñònh sau:
a/

3
ò (2x + 3) dx

b/ ò cos4 x.sin xdx

c/ ò

2e x
dx
ex + 1

d/ ò

(2 ln x + 1)2
dx
x

Giaûi:

1
1 (2x + 3)4
(2x + 3)4
3
+C=
+ C.
a/ Ta có: ị (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = .
2
2
4
8
3

b/ Ta có: ị cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = c/ Ta coù:

cos5 x
+C
5

2ex
d(ex + 1)
dx = 2 ò x
= 2 ln(e x + 1) + C
ò ex + 1
e +1

(2 ln x + 1)2
1
1
d/ Ta có: ị

dx = ị (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C.
x
2
2
Ví dụ 3: Tính các tích phân bất định sau:
a/

ị 2sin

2

x
dx
2

b/ ị cot g2 xdx

c/ ị tgxdx
Giải:

a/ Ta có: ị 2sin 2

x
dx = ị (1 - cos x)dx = x - sin x + C
2

ỉ 1
ư
b/ Ta coự: ũ cot g 2 xdx = ũ ỗ 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C
è sin x ø

c/ Ta có: ị tgxdx = ò

sin x
d(cos x)
dx = - ò
= - ln cos x + C
cos x
cos x

Trang 8

d/ ò

tgx
dx
cos3 x


Trần Só Tùng

d/ Ta có:

Tích phân

tgx

ị cos

3

x

dx = ị

sin x
d(cos x)
1
1
dx = - ò
= - cos -3 x + C = + C.
4
4
cos x
cos x
3
3cos3 x

Ví dụ 4: Tính các tích phân bất định sau:
a/

x

ị 1 + x dx
2

b/

ịx

2

1
dx
- 3x + 2
Giải:

a/ Ta có:

x
1 d(1 + x 2 ) 1
dx = ò
= ln(1 + x 2 ) + C
2
ò 1 + x2
2 1+ x
2

b/ Ta có:

ịx

1
1
1 ư
ỉ 1
dx = ị
dx = ũ ỗ
ữdx
- 3x + 2
(x - 1)(x - 2)

ố x - 2 x -1 ø

2

= ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln

x-2
+ C.
x -1

BÀI TẬP
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
x
a/ f(x) = cos2 ; b/
2
ÑS: a/

1
(x + sin x) + C ;
2

f(x) sin 3 x.
1
- cos x + cos3 x + C.
3

b/

Bài 7. Tính các tích phân bất định :
a/

ị e (2 - e

d/

e2-5x + 1
ị ex dx;

x

-x

)dx; b/
e/

ĐS: a/ 2e - x + C;
x

d/

ex
ò 2x dx ;

c/

2 2x.3x.5x
ò 10x dx .

ex
ò ex + 2dx

ex
+ C;
(1 - ln 2)2 x

b/

1
- e2-6 x - e- x + C; e/
6

c/

6x
+C
ln 6

ln(ex + 2) + C .

Bài 8. Tính các tích phân bất ñònh :
a/

ò

d/

ò (1 - 2x)

x 4 + x -4 + 2 dx ;
2001

dx; e/

x3 1
ĐS: a/
- + C;
3 x
d/

ị

b/

ị

3

x 5 x dx ; c/

òx

x 2 + 1 dx ;

3 - 4 ln x
dx
x
55 7
x + C;
7

b/

1 (1 - 2x)2002
- .
+ C;
2
2002
Trang 9

e/

c/

1 2
(x + 1) x 2 + 1 + C ;
3

1
(3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C.
6


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu
thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó
có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng

mình từ một vài minh hoạ sau:
·

Với f(x) = (x 3 - 2)2 thì viết lại f(x) = x 6 - 4x 3 + 4.

·

Với f(x) =

x 2 - 4x + 5
2
thì viết lại f(x) = x - 3 +
.
x -1
x -1

·

Với f(x) =

1
1
1
thì viết lại f(x) =
x - 5x + 6
x -3 x -2

·

Với f(x) =

·

Với f(x) = (2 x - 3x )2 thì viết lại f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x.

·

Với f(x) = 8 cos3 x.sin x thì viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x

2

1
1
thì viết lại f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1)
2
2x + 1 + 3 - 2x

= 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x.
·

tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1

·

cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1

·

x n (1 + x 2 ) + 1
1

= xn +
.
2
1+ x
1 + x2

Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình.
Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I = ị x(1 - x)2002 dx.
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 .
Khi đó:
I = ị (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x)
=-

(1 - x)2003 (1 - x)2004
+
+ C.
2003
2004

Tổng quát: Tính tích phân bất định:

I = ị x(ax + b)a dx, với a ¹ 0

1
1
Sử dụng đồng nhất thức: x = .ax = [(ax + b) - b]
a
a

Trang 10


Trần Só Tùng

Tích phân

Ta được:
1
1
x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)]
a
a
Ta xét ba trường hợp :
·

Với a = 2, ta được: I =
=

·

1
1
[ln ax + b +
] + C.
2
a
ax + b

Với a = –1, ta được:

I=

·

1
[ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)]
2 ò
a

1
1
[ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = 2 [ax + b - ln ax + b ] + C.
2 ị
a
a

Với a Ỵ R \ {-2; - 1}, ta được:

I=

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I =

ịx

2

1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1
[
+
] + C.

a2
a+2
a +1

dx
- 4x + 3
Giải:

Ta có:

1
1
1 (x - 1) - (x - 3) 1 ỉ 1
1 ư
=
= .
= .ỗ
ữ
x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1)
2 è x - 3 x -1ø
2

1 ỉ dx
dx ư 1 d(x - 3)
d(x - 1) 1
Khi ủoự: I = . ỗ ũ
-ũ
-ũ
' = .(ln x - 3 - ln x - 1) + C
÷ = [ò

2 è x -3
x -1 ø 2
x -3
x -1
2
=

1 x -3
ln
+ C.
2 x -1

Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: I =

ị

dx
x +2 + x -3
Giải:

Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:
1
1
1
1
2
I = ị ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)]
5
5
2

= [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C.
15

Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: I =

dx

ị sin x.cos
Giải:

Sử dụng đồng nhất thức: sin 2 x + cos2 x = 1,

Trang 11

2

x

.


Tích phân

Trần Só Tùng

1
1
sin 2 x + cos2 x sin x
1
sin x

1
Ta được:
=
=
+
=
+ 2 .
.
sin x.cos 2 x
sin x.sin 2 x
cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x
2
2
æ xử
1
d ỗ tg ữ
sin x
d(cos x)
1
x
2
Suy ra: I = ũ
dx + ò
dx = - ò
+ò è 2ø =
+ ln tg + C.
2
2
x x
x

cos x
cos x
cos x
2
cos2 tg
tg
2 2
2
Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: I =

dx

ị cos

4

x

.

Giải:
Sử dụng kết quả:
ta được: I = ị

dx
= d(tgx)
cos2 x

1
dx

1
.
= ị (1 + tg 2 x)d(tgx) = ò d(tgx) + ò tg 2 xd(tgx) = tgx + tg3x + C.
cos2 x cos2 x
3

BAØI TẬP
Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ;

b/

f(x) =

2 x - x 3ex - 3x 2
;
x3

(2 + x )2
;
x

d/

f(x) =

1
3x + 4 - 3x + 2

c/ f(x) =

12 5 8 7
x - x +C ;
5
7

b/

-

24 6
3
x x + x 3 x 2 + C;
7
5

d/

1é
3
3ù
ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C.
9

ÑS: a/ x - 2x 3 +
c/ 6 3 x 2 +

4
- e x + ln x + C;
3x x

Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/ f(x) =

1
;
2
x - 6x + 5

b/

f(x) =

4x 2 + 6x + 1
;
2x + 1

c/ f(x) =

4x 3 + 4x 2 - 1
;
2x + 1

d/

f(x) =

-4x 3 + 9x + 1
;
9 - 4x 2

ÑS: a/

1 x-5
ln
+ C;
4 x -1

1
b/ x 2 + 2x - ln 2x + 1 + C;
2

2
1
1
1
c/ x 3 + x 2 - x - ln 2x + 1 + C ;
3
2
2
4
Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

Trang 12

x2 1
2x - 3
d/
- ln
+ C.

2 12 2x + 3


Trần Só Tùng

Tích phân

a/ (sin x + cos x)2 ;

pư
pư
ỉ
ỉ
b/ cos ỗ 2x - ữ .cos ỗ 2x + ữ ;
3ø
è
4ø
è

d/ cos 4 x;

e/ sin 4 x + cos4 x;

1
ÑS: a/ x - cos2x + C ;
2

b/

c/ cos3 x;

f/ sin 6 2x + cos6 2x.

1
7p ử 1 ổ
pử
ổ
sin ỗ 5x +
ữ + sin ỗ x - ữ + C
10 ố
12 ø 2 è
12 ø

c/

3
1
sin x + si n3x + C;
4
12

d/

3
1
1
x + si n2x + si n4x + C;
8
4
31

e/

3
sin 4x
x+
+ C;
4
16

f/

5
3
x + sin 8x + C.
8
64

Trang 13


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
Định lý:
a/ Nếu ị f(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm thì ị f(u)du = F(u) + C .

b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
ị f(x)dx = ị f[j(t)].j '(t)dt.
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất định I = ị f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó I = ị g(t)dt.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu
Cách chọn
p
p
é
ê x = a sin t với - 2 £ t £ 2
a2 - x 2
ê
ê x = x cos t với 0 £ t £ p
ë
a
é
é p pù
x=
với t Ỵ ê - ; ú \ {0}
ê
sin t
ë 2 2û

ê
a
p
ê
ê x = cos t với t Ỵ[0; p] \ { 2 }
ë
p
p
é
x = a tgt với - < t <
ê
2
2
ê
ê
ë x = a cot gt với 0 < t < p

x 2 - a2

a2 + x 2
a+ x
a-x
hoaëc
a-x
a+x
(x - a)(b - x)

Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I =

x = acos2t

x = a + (b – a)sin2t

ò

dx
(1 - x 2 )
Giải:

Đặt x = sin t; -

p
p
2
2
Trang 14

.


Trần Só Tùng

Tích phân

Suy ra: dx = cos tdt &

dx
(1 - x 2 )3

Khi đó: I = ị d(tdt) = tgt + C =

=

cos tdt
dt
=
= d(tgt)
3
cos t cos2 t

x
1- x

2

Chuù ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
là bởi: -

+ C.
(1 - x 2 )3 = cos3 t vaø tgt =

p
p
< t < Þ cos t > 0 Þ
2
2

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I =

ị

x
1 - x2

ì cos2 t = cos t
ï
í
ïcos t = 1 - sin 2 t = 1 - x 2
ỵ
x 2 dx
x2 - 1

Giải:
Vì điều kiện x > 1 , ta xét hai trường hợp :
·

Với x > 1
1
p
2 cos 2tdt
;0Suy ra: dx =
sin 2t
4
sin 2 2t
x 2 dx
2dt
2(cos2 t + sin 2 t)2 dt
=- 3 =sin 2t
8sin 3 t cos3 t

x2 - 1

Đặt: x =
ú

1
1
1
1
= - (cot gt. 2 + tgt.
+
)dt
2
4
sin t
cos t sin t cos t
1
1
1
2 1
= - (cot gt. 2 + tdt.
+
)
2
4
sin t
cos t tgt cos2 t
1
d(tgt)
= - [- cot gt.d(cot gt) + tgt.d(tgt) + 2

].
4
tgt
1
d(tgt)
I = - [- ò cot gt.d(cot gt) + ò tgt.d(tgt) + 2 ò
]
4
tgt
1 1
1
1
1
= - (- cot g2t + tg2 t + 2ln tgt ) + C = (cot g2 t - tg2t) - ln tgt + C
4 2
2
8
2
1
1
= x x2 - 1 - ln x - x2 - 1 + C.
2
2
Với x < –1 Đề nghị bạn đọc tự làm

Khi đó:

·

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có: cot g 2 t - tg 2 t = 4x x 2 - 1 vaø tgt = x - x 2 - 1

cos4 t - sin 4 t 4 cos2t 4 1 - sin 2 2t
4
1
là bởi: cot g t - tg t =
=
=
=
-1
cos2 t.sin 2 t
sin 2 2t
sin 2 2t
sin 2t sin 2 2t
2

2

1
1
sin t
2sin 2 t
1 - cos2t
1
cos2 2t
tgt =
=
-1
=
=
=
2

cos t 2sin t.cos t
sin 2t
sin 2t
sin 2t sin 2t
sin 2 2t

Trang 15


Tích phân

Trần Só Tùng

Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: I =

dx
ị (1 + x 2 )3
Giải:

Đặt: x = tgt; -

p
p
dt
< t < . Suy ra: dx =
&
2
2
cos2 t

Khi đó: I = ị cos tdt = sin t + C =

x
1 + x2

dx
(1 + x 2 )3

=

cos3 tdt
= cos tdt.
cos2 t

+C

Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:

1
1 + x2

= cos t và sin t =

x
1 + x2

ì cos2 t = cos t
p
p

ï
là bởi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í
x
2
2
ïsin t = tgt.cos t =
1 + x2
ỵ
2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:
I=

ị

dx
2

(a + x 2 )2 k +1

, với k Ỵ Z.

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I = ị f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác định vi phân dt = y '(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó I = ị g(t)dt.
Dấu hiệu
Hàm số mẫu có
Hàm số f(x, j(x)

a.sin x + b.cos x
Haøm f(x) =
c.sin x + d.cos x + e
Hàm f(x) =

1
(x + a)(x + b)

Trang 16

Cách chọn
t là mẫu số
t = j(x)
x
x
t = tg (với cos ¹ 0)
2
2
· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
t = x+a + x+b
· Với x + a < 0 & x + b < 0, ñaët:
t = x - a + -x - b


Trần Só Tùng

Tích phân

Ví dụ 4: Tính tích phân bất ñònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx.
Giải:

Đặt: t = 2 - 3x .
2

Suy ra: dt = 6xdx

x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx =
Khi đó: I =

2-t 2-t 8 ổ 1 ử 1 9
.t .ỗ - dt ữ = (t - 2t 8 )dt.
=
3
3
è 6 ø 18

1
1 æ 1 10 2 9 ư
1 10 1 9
9
8
ị (t - 2t )dt = 18 ỗ 10 t - 9 t ữ + C = 180 t - 81 t + C
18
è
ø

Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: I =

ị

x 2dx

1- x
Giải:

Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2
Suy ra: dx = - 2tdt &

x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt)
=
= 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt
t
1- x

2
2
ỉ1
ư
Khi đó: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C
3
15
è5
ø
=-

2
2
[3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C
15
15

Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: I = ị x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx.

Giải:
1 - t3
3
Đặt: t = 1 - 2x Þ x =
. Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt,
2
2
3

2

2

x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx =
Khi đó: I =

3 7 4
(t - t )dt =
8ị

1 - t3 2 ỉ 3 2 ư 3 7 4
.t ỗ - t dt ữ = (t - t )dt.
2
è 4
ø 8

3ỉ1 8 1 5 ư
3
(5t 6 - 8t 3 )t 2 + C
ỗ t - t ữ+C=

8ố8
5 ứ
320

=

3
[5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C
320

=

3
(20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C.
320

Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: I = ị sin 3 x cos xdx.
Giải:
Đặt: t = cos x Þ t 2 = cos x
dt = sinxdx,
Trang 17


Tích phân

Trần Só Tùng

sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx
= (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt.
1 ư

2
ỉ1
Khi đó: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ỗ t 7 - t 3 ữ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C
3 ø
21
è7
=

2
(cos3 x - 7 cos x) cos x + C.
21

cos x.sin 3 xdx
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: I = ị
1 + sin 2 x
Giải:
Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x
Suy ra: dt = 2sin x cos xdx,
cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 ổ 1 ử
=
=
= ỗ 1 - ÷ dt.
1 + sin 2 x
1 + sin 2 x
2t
2è t ứ
Khi ủoự: I =

1 ổ 1ử
1

2
2
ũ ỗ1 - t ÷ dt = f12(t - ln t + C = 2 [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C
2 è
ø

Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: I =

cos2 xdx
ị sin8 x .
Giải:

Đặt: t = cotgx
1
dx,
sin 2 x
cos2 xdx cos2 x dx
1
dx
dx
=
= cot g 2 x 4
= cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2
8
6
2
2
sin x
sin x sin x
sin x sin x

sin 2 x
= t 2 .(1 + t 2 )2 dt.

Suy ra: dt = -

2
1 ư
ỉ1
Khi đó: I = ị t 2 .(1 + t 2 )dt = ò (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ỗ t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C
5
3 ø
è7
1
=
(15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C.
105
Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: I =

ịe

x

dx
- ex / 2
Giải:

Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 ,

2
e
dx
dx
e- x / 2 dx
-2tdt
1
= x
= x/2
=
= 2(1 +
)dt
x
x/2
-x / 2
-x / 2
e -e
e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t
t -1
Trang 18


Trần Só Tùng

Tích phân

1 ư
ỉ
-x / 2
Khi đó: I = 2 ũ ỗ 1 +

+ ln e- x / 2 + 1) + C.
÷ dt = 2(e
è t -1 ø
Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e - x / 2 ,
tuy nhiên với cách đặt t = ex / 2 chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: I =

ị

dx
1 + ex

.

Giải:
Cách 1:
Đặt: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x
Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx =

2tdt
dx
2tdt
2tdt
&
= 2
= 2
.
2
t -1
1 + ex t(t - 1) t - 1

dt
t -1
1 + ex - 1
Khi đó: I = 2 ị 2
= ln
+ C = ln
+C
t -1
t +1
1 + ex + 1
Cách 2:
Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
dx
-2dt
=
=
=
1 + ex
ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1
t2 + 1
Khi đó: I = - 2 ò

dt
t +1
2

= - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C

Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: I =

ị

dx
x +a
2

, với a ¹ 0. .

Giải:
Đặt: t = x + x + a
2

x ư
x2 + a + x
dx
dt
ỉ
Suy ra: dt = ç 1 +
dx Û
=
÷ dx =
2

2
2
t
x +a ø
x +a
x +a
è
dt
Khi đó: I = ị = ln t + C = ln x + x 2 + a + C.
t
dx
Ví dụ 13: Tính tích phân bất định: I = ị
.
(x + 1)(x + 2)
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
ìx + 1 > 0
· Với í
Û x > -1
ỵx + 2 > 0
Đặt: t = x + 1 + x + 2
Trang 19


Tích phân

·

Trần Só Tùng

1 ư
( x + 1 + x + 2)dx
dx
2dt
ổ 1
Suy ra: dt = ỗ
+

=
ữ dx =
t
2 (x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)
è 2 x +1 2 x + 2 ø
dt
Khi đó: I = 2 ò = 2 ln t + C = 2 ln x + 1 + x + 2 + C
t
ìx + 1 < 0
Û x < -2
Với í
x+2 < 0
ỵ
Đặt: t = -(x + 1) + -(x + 2)
[ -(x + 1) + -(x + 2)]dx
1
1
é
ù
Suy ra: dt = êú dx =
2 (x + 1)(x + 2)

ë 2 -(x + 1) 2 -(x + 2) û
dx
2dt
Û
=t
(x + 1)(x + 2)
Khi đó: I = - 2 ò

dt
= -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C
t

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x4
x2 - x
a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10
; c/ f(x) =
;
x -4
(x - 2)3
2

ÑS:

a/

9

1

2
1
(x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C.
12
11
10

x2 - 1
d/ f(x) = 4
;
x +1
b/

1
x5 - 2
ln 5
+ C.
20 x + 2

1

x2 - x 2 + 1
d/
ln
+ C.
2 2 x2 + x 2 + 1

2x - 5
c/ ln x - 2 + C;
(x - 2)2

Baøi 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x) =
ÑS:

a/

2x
x + x -1
2

;

b/ f(x) =

1
2

2 3

(x + a )

2 3 2
x (x 2 - 1)3 + C;
3
3

b/

(a > 0) ;
x

a

2

x +a
2

2

c/ f(x) =

+ C;

ổ3x 6
ử
c/ 6 ỗ
+ x + ln 6 x - 1 ÷ + C.
è 2
ø
Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
cos5 x
;
a/ f(x) = 3
; b/ f(x) =
cos x
sin x

c/ f(x) =

sin x + cos x
;
sin x - cos x

3

cos3 x
1
d/ f(x) =
; e/ f(x) =
.
sin x
sin 4 x
ÑS:

a/

33 2
3
3
sin x + 3 sin14 x - 3 sin 8 x + C;
2
14
4

Trang 20

1
3

x - x
2

.


Tran Sú Tuứng

Tớch phaõn

b/

ổx pử
ln tg ỗ + ữ + C;
è2 4ø

c/

33
1 - si n2x + C;
2

d/

1
ln sin x - sin 2 x + C;
2

e/

1
- cot g3x - cot gx + C.
3

Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm soá sau:
a/ f(x) =

1
1 + e2 x

2 x.3x
;
c/ f(x) = x
9 - 4x
ÑS:

a/
c/

;

b/

f(x) =

x +1
;
x(1 + xex )

d/

f(x) =

1
;
x ln x.ln(ln x)

- ln(e- x + e-2 x + 1) + C;
1
3x - 2 x
, ln x
+ C;
2(ln 3 - ln 2)
3 + 2x

Trang 21

xe x
+ C;
1 + xex

b/

ln

d/

ln ln(ln x) + C.

Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

ị udv = uv - ị vdu.

Công thức tính tích phân từng phần:

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác định I = ị f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ị f(x)dx = ị f1 (x).f2 (x)dx.
ỡ u = f1 (x)
ỡdu
+ Bửụực 2: ẹaởt: ớ
ịớ
ợv
ợdv = f2 (x)dx
+ Bước 3: Khi đó: I = uv - ị vdu.
Ví dụ 1: Tích tích phân bất định: I =

ị

x ln(x + x 2 + 1)
x2 + 1

Viết lại I dưới dạng: I = ị ln(x + x 2 + 1)

Giải:
x
x2 + 1

.

dx.

1+ x
ì
ì u = ln(x + x 2 + 1)
ï
x2 + 1 =
ï
ïdu =
Đặt : í
Þí
x
x + x2 + 1
dv =
ï
ï
x2 + 1
ỵ
ïv = x 2 + 1
ỵ

dx
x2 + 1

Khi đó: I = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - ò dx = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - x + C.
Ví dụ 2: Tích tích phân bất định: I = ị cos(ln x)dx.
Giải:
-1
ì
ì u = cos(ln x)
ïdu = sin(ln x)dx
ẹaởt : ớ
ịớ
x
ợdv = dx
ùv = x
ợ
Khi ủoự: I = x cos(ln x) + ị sin(ln x)dx.

(1)

Xét J = ị sin(ln x)dx.
1
ì
ì u = sin(ln x)
ïdu = cos(ln x)dx
ẹaởt: ớ
ịớ
x
ợdv = dx
ùv = x.

ợ
Khi ủoự: J = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I
Trang 22

(2)


Trần Só Tùng

Tích phân

x
Thay (2) vào (1), ta được: I = x.cos(ln x) + x.sin(ln x) - I Û I = [cos(ln x) + sin(ln x)] + C.
2
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phân:
I1 = ị sin(ln x)dx và I 2 = ị cos(ln x)dx
ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
·

Sử dụng tích phân từng phần cho I1, như sau:
1
ì
ì u = sin(ln x)
ùdu = cos(ln x)dx
ẹaởt : ớ
ịớ
x
ợdv = dx
ùv = x
ỵ

Khi đó: I1 = x.sin(ln x) - ị cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I 2 .

·

(3)

Sử dụng tích phân từng phần cho I2, như sau:
1
ì
ì u = cos(ln x)
ùdu = - sin(ln x)dx
ẹaởt : ớ
ịớ
x
dv = dx
ợ
ùv = x
ỵ
Khi đó: I 2 = x.cos(ln x) - ị sin(ln x)dx = x.cos(ln x) + I1 .

·

(4)

Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:
x
I1 = [sin(ln x) - cos(ln x)] + C.
2

Ví dụ 3: Tích tích phân bất ñònh: I =

ò

x
I 2 = [sin(ln x) + cos(ln x)] + C.
2

ln(cos x)
dx.
cos2 x
Giải:

ì u = ln(cos x)
ï
Đặt : í
dx Þ
dv =
ï
cos2 x
ỵ

sin x
ì
dx
ïdu = cos x
í
ïv = tgx
ỵ

ỉ 1

ư
Khi đó: I = ln(cos x).tgx + ị tg 2 xdx = ln(cos x).tgx + ũ ỗ
- 1ữdx
2
ố cos x ứ
= ln(cos x).tgx + tgx - x + C.
Bài toán 2: Tính I = ị P(x)sin axdx (hoặc ị P(x) cos axdx) với P là một đa thức thuộc
R[X] và a Ỵ R * .

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Trang 23


Tích phân

Trần Só Tùng

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
·

Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:

ì u = P(x)
+ Bước 1: ẹaởt : ớ
ị
ợdv = sin axdx
+ Bửụực 2: Khi ủoự: I = -

ìdu = P '(x)dx
ï

.
1
í
ïv = - a cos ax
ỵ

1
1
P(x) cos a + ị P '(x).cos ax.dx.
a
a

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
·

Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất định). Ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Ta có: I = ị P(x)cos axdx = A(x)sin ax + B(x) cos ax + C.

(1)

trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
P(x).cos ax = [A '(x) + B(x)].sin a + [A(x) + B'(x)].cos x

(2)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá

cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận định chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính : I = ị x.sin 2 xdx (ĐHL_1999)
Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:
1
1
1 2 1
ỉ 1 - cos 2x ư
I = ị xỗ
ữ dx = ũ xdx - ũ x cos2xdx = x - ị x cos 2xdx
2
2
2
4
2
è
ø
Xét J = ị x cos2xdx.
dx
ỡ
ùdu = dx =
ỡu = x
ù
x2 + 1
ẹaởt : ớ
ịớ
ợdv = cos 2xdx

ïv = 1 si n2x
ï
ỵ
2
x
1
x
1
Khi đó: J = sin 2x - ò sin 2xdx = sin 2x + cos 2x + C. (2)
2
2
2
4
1
x
1
Thay (2) vào (1) ta được: I = x 2 + sin 2x + cos 2x + C.
4
4
8
Ví dụ 5: Tính : I = ị (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx.
Trang 24

(1)


Trần Só Tùng

Tích phân

Giải:
Ta có: I = ị (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx
= (a1x 3 + b1x 2 + c1x + d1 ) cos x + (a2 x 3 + b 2 x 2 + c2 x + d 2 )sin x + C
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
(x 3 - x 2 + 2x - 3)sin x = [a2 x 3 + (3a1 + b2 )x 2 + (2b1 + c2 )x + c1 + d 2 ].cos x -[a1x 3 - (3a2 - b1 )x 2 - (2b2 - c1 )x + c2 - d1 ].sin x
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
ìa 2 = 0
ï
ï3a1 + b2 = 0
(I)
và
í
2b1 + c2 = 0
ï
ïc1 + d 2 = 0
ỵ

(2)

ì -a 2 = 1
ï
ï3a2 - b1 = -1
(II)
í
2b 2 - c1 = 2
ï
ï- c2 + d1 = -3
ỵ

Giải (I) và (II), ta được: a1 = -1, b1 = 1, c1 = 4, d1 = 1, a2 = 0, b 2 = 3, c2 = -2, d 2 = -4.

Khi đó: I = ( -x 3 + x 2 + 4x + 1)cos x + (3x 2 - 2x + 4)sin x + C.

(

)

Bài toán 3: Tính I = ị eax cos(bx)dx hoặc ị eax sin(bx) với a, b ¹ 0.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
ìdu = - bsin(bx)dx
ì u = cos(bx)
ï
+ Bước 1: ẹaởt : ớ
ị ớ
.
1
ax
v = eax
dv = e dx
ợ
ù
a
ợ
1
b
(1)
Khi ủoự: I = eax cos(bx) + ị eax sin(bx)dx.
a
a

+ Bước 2: Xét J = ị eax sin(bx)dx.
ìdu = b cos x(bx)dx
ì u = sin(bx)
ù
ịớ
ẹaởt ớ
1
ax
v = eax
ợdv = e dx
ù
ợ
a
1
b
1
b
Khi ủoự: J = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I. (2)
a
a
a
a
1
b 1
b
+ Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được: I = eã cos(bx) + [ eax sin(bx) - I]
a
a a
a
[a.cos(bx) + b.sin(bx)eax

+ C.
a2 + b 2
Caùch 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất định). Ta thực hiện theo các bước :
ÛI=

·

+ Bước 1: Ta có: I = ò eax cos(bx)dx = [A cos(bx) + B.sin(bx)]eax + C. (3)
trong đó A, B là các hằng số.
Trang 25

(1)