Giới hạn và liên tục của hàm số

Chu
.
o
.
ng 7
Gi´o
.
iha
.
nv`aliˆen tu
.
ccu
’
a
h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
.............. 4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o

.
i
ha
.
n ...................... 5
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac d
i
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha

.
n............ 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a
trˆen d
iˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.

itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu
’

dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen
l ´y h ˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n............ 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`ad
i
.
nh l´y co
.
ba
’

nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n27
7.3 H`am liˆen tu
.
c .................. 41
7.4 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n. 51
4Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha

.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay sˆo
´
H`am sˆo
´
x´ac di
.
nh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p N d
u
.
o
.
.

cgo
.
i l`a d˜ay sˆo
´
vˆo ha
.
n. D˜ay sˆo
´
thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
cviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng:
a
1
,a

2
,...,a
n
,... (7.1)
ho˘a
.
c {a
n
}, trong d´o a
n
= f(n), n ∈ N du
.
o
.
.
cgo
.
il`asˆo
´
ha
.
ng tˆo
’
ng qu´at
cu
’
a d˜ay, n l`a sˆo
´
hiˆe
.

ucu
’
asˆo
´
ha
.
ng trong d˜ay.
Ta cˆa
`
nlu
.
u ´y c´ac kh´ai niˆe
.
m sau d
ˆay:
i) D˜ay (7.1) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`abi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u ∃ M ∈ R

+
: ∀ n ∈ N ⇒|a
n
| 
M; v`a go
.
i l`a khˆong bi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u: ∀ M ∈ R
+
: ∃ n ∈ N ⇒|a
n
| >M.
ii) Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gi´o
.
iha

.
ncu
’
a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∀ ε>0, ∃ N(ε):∀ n  N ⇒|a
n
− a| <ε. (7.2)
iii) Sˆo
´
a khˆong pha
’
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∃ ε>0, ∀ N : ∃ n  N ⇒|a
n
− a|  ε. (7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o
.
iha
.
nd

u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay hˆo
.
itu
.
, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c
la
.
i d˜ay (7.1) go
.
i l`a d˜ay phˆan k`y.
v) D˜ay (7.1) go

.
i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe
´
u lim
n→∞
a
n
=0v`ago
.
i l`a d˜ay
vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u ∀ A>0, ∃ N sao cho ∀ n>N⇒|a
n
| >Av`a viˆe
´
t
lim a
n
= ∞.
vi) D
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
ndˆe

’
d˜ay hˆo
.
itu
.
l`a d˜ay d´o pha
’
ibi
.
ch˘a
.
n.
Ch´u´y:i) Hˆe
.
th´u
.
c (7.2) tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
i:
−ε<a
n

− a<ε⇔ a − ε<a
n
<a+ ε. (7.4)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
5
Hˆe
.
th´u
.
c (7.4) ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ha
.
ng v´o
.

ichı
’
sˆo
´
n>Ncu
’
a d˜ay
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
un˘a
`
m trong khoa
’
ng (a − ε, a + ε), khoa
’
ng n`ay go
.
il`aε-lˆan
cˆa
.
ncu
’
ad
iˆe
’

m a.
Nhu
.
vˆa
.
y, nˆe
´
u d˜ay (7.1) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
´
nsˆo
´
a th`ı mo
.
isˆo
´
ha
.
ng cu
’
a n´o tr`u
.
ra mˆo
.
tsˆo
´

h˜u
.
uha
.
nsˆo
´
ha
.
ng d
ˆe
`
un˘a
`
m trong ε-lˆan cˆa
.
nbˆa
´
tk`yb´ebao
nhiˆeu t`uy ´y cu
’
ad
iˆe
’
m a.
ii) Ta lu
.
u´yr˘a
`
ng d˜ay sˆo
´

vˆo c`ung l´o
.
n khˆong hˆo
.
itu
.
v`a k´y hiˆe
.
u
lim a
n
= ∞ (−∞)chı
’
c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
l`a vˆo c`ung l´o
.
nv`ak´yhiˆe
.
ud
´o
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o
.
iha
.
n.
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i

.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n
Dˆe
’
ch´u
.
ng minh lim a
n
= a b˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng d
i
.
nh ngh˜ıa, ta cˆa
`
ntiˆe
´
n
h`anh theo c´ac bu
.

´o
.
csaud
ˆay:
i) Lˆa
.
pbiˆe
’
uth´u
.
c |a
n
− a|
ii) Cho
.
n d˜ay b
n
(nˆe
´
udiˆe
`
ud´o c ´o l o
.
.
i) sao cho |a
n
− a|  b
n
∀ n v`a
v´o

.
i ε d
u
’
b´e bˆa
´
tk`ybˆa
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆo
´
iv´o
.
i n:
b
n
<ε (7.5)
c´o thˆe
’
gia
’
imˆo
.
t c´ach dˆe
˜
d`ang. Gia

’
su
.
’
(7.5) c´o nghiˆe
.
ml`an>f(ε),
f(ε) > 0. Khi d
´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y n l`a [f(ε)], trong d´o[f(ε)] l`a phˆa
`
n
nguyˆen cu
’
a f(ε).
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
su
.

’
a
n
= n
(−1)
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
i) D˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
ii) D˜ay a
n
khˆong pha
’
il`avˆoc`ung l´o
.
n.
Gia
’
i. i) Ta ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng a
n
tho
’
a m˜an di
.
nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ∀ M>0sˆo
´
ha
.
ng v´o
.
isˆo
´
hiˆe
.
u n = 2([M]+1) b˘a
`
ng
n v`a l´o

.
nho
.
n M.D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
6Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
ii) Ta ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng a
n
khˆong pha
’
i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y,
ta x´et khoa
’
ng (−2, 2). Hiˆe
’
n nhiˆen mo
.
isˆo
´
ha
.
ng cu
’
a d˜ay v´o
.
isˆo
´
hiˆe
.

ule
’
d
ˆe
`
u thuˆo
.
c khoa
’
ng (−2, 2) v`ı khi n le
’
th`ı ta c´o:
n
(−1)
n
= n
−1
=1/n ∈ (−2, 2).
Nhu
.
vˆa
.
y trong kho
’
ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.

ng cu
’
a d˜ay. T`u
.
d
´o,
theo d
i
.
nh ngh˜ıa suy ra a
n
khˆong pha
’
i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. 
V´ı d u
.
2. D`ung d
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n d˜ay sˆo
´
d
ˆe
’

ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
1) lim
n→∞
(−1)
n−1
n
=0. 2) lim
n→∞
n
n +1
=1.
Gia
’
i. D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa, ta cˆa
`

nch´u
.
ng minh
r˘a
`
ng d
ˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
isˆo
´
ε>0 cho tru
.
´o
.
cc´othˆe
’
t`ım d
u
.
o
.
.
csˆo
´
N (N phu
.

thuˆo
.
c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a
n
− a| <ε. Thˆong thu
.
`o
.
ng ta
c´o thˆe
’
chı
’
ra cˆong th´u
.
ctu
.
`o
.
ng minh biˆe
’
udiˆe
˜
n N qua ε.
1) Ta c´o:
|a
n
− 0| =




(−1)
n−1
n



=
1
n
·
Gia
’
su
.
’
ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng cho tru
.
´o
.
ct`uy ´y. Khi d
´o:
1
n

<ε⇔ n>
1
ε
·
V`ıthˆe
´
ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n`ao d
´o tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n:
N>
1
ε
⇒
1
N
<ε.

(Ch˘a
’
ng ha
.
n, ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N =[1/ε], trong d
´o[1/ε] l`a phˆa
`
n nguyˆen
cu
’
a1/ε).
Khi d
´o ∀ n  N th`ı:
|a
n
− 0| =
1
n

1
N
<ε.
7.1. Gi´o
.
iha
.

ncu
’
a d˜ay sˆo
´
7
Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim
n→∞
(−1)
n
n
=0.
2) Ta lˆa
´
ysˆo
´
ε>0bˆa
´
tk`yv`at`ımsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N(ε) sao cho ∀ n>
N(ε) th`ı:



n

n +1
− 1



<ε.
Bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|a
n
− 1| <ε⇔
1
n +1
<ε⇔
1
ε
− 1.
Do d
´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
ysˆo
´

N(ε) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a
1
ε
− 1, t´u
.
c l`a:
N(ε)=E((1/ε) − 1).
Khi d
´ov´o
.
imo
.
i n  N ta c´o:



n
n +1
− 1



=
1
n +1


1
N +1
<ε⇒ lim
n→∞
n
n +1
=1. 
V´ı d u
.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng c´ac d˜ay sau d
ˆay phˆan k`y:
1) a
n
= n, n ∈ N (7.6)
2) a
n
=(−1)
n
,n∈ N (7.7)
3) a
n
=(−1)
n
+
1
n

· (7.8)
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
d˜ay (7.6) hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y ε =1.
Khi d
´o theo di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ntˆo
`
nta
.

isˆo
´
hiˆe
.
u N sao cho ∀ n>Nth`ı
ta c´o |a
n
− a| < 1 ngh˜ıa l`a |n− a| < 1 ∀ n>N.T`u
.
d
´o −1 <n− a<1
∀ n>N⇔ a − 1 <n<a+1∀ n>N.
Nhu
.
ng bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c n<a+1,∀ n>N l`a vˆo l´y v`ı tˆa
.
pho
.
.
p c´ac
sˆo
´
tu

.
.
nhiˆen khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
2) C´ach 1. Gia
’
su
.
’
d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y lˆan
cˆa
.
n

a−

1
2
,a+
1
2

cu
’
ad
iˆe
’
m a.Taviˆe
´
t d˜ay d˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng:
{a
n
} = −1, 1,−1, 1,.... (7.9)
8Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha

.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
V`ıdˆo
.
d`ai cu
’
a khoa
’
ng

a −
1
2
,a+
1
2

l`a b˘a
`
ng 1 nˆen hai d
iˆe
’
m −1
v`a +1 khˆong thˆe
’

d
ˆo
`
ng th`o
.
i thuˆo
.
c lˆan cˆa
.
n

a−
1
2
,a+
1
2

cu
’
ad
iˆe
’
m a,
v`ı khoa
’
ng c´ach gi˜u
.
a −1v`a+1b˘a
`

ng 2. D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a o
.
’
ngo`ai
lˆan cˆa
.
n

a −
1
2
,a+
1
2

c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.
ng cu
’
ad˜ayv`av`ıthˆe
´
(xem ch´u
´yo

.
’
trˆen) sˆo
´
a khˆong thˆe
’
l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay.
C´ach 2. Gia
’
su
.
’
a
n
→ a. Khi d´o ∀ ε>0 (lˆa
´
y ε =
1
2
) ta c´o
|a
n
− a| <
1

2
∀ n  N.
V`ı a
n
= ±1nˆen
|1 − a| <
1
2
, |−1 − a| <
1
2
⇒2=|(1 − a)+(1+a)|  |1 − a| + |a +1| 
1
2
+
1
2
=1
⇒2 < 1, vˆo l´y.
3) Lu
.
u´yr˘a
`
ng v´o
.
i n =2m ⇒ a
2m
=1+
1
2m

.Sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
v´o
.
in´o
c´o sˆo
´
hiˆe
.
ule
’
2m +1(hay2m− 1) v`a
a
2m+1
= −1+
1
2m +1
< 0 (hay a
2m−1
= −1+
1
2m − 1
 0).
T`u
.
d

´o suy r˘a
`
ng
|a
n
− a
n−1
| > 1.
Nˆe
´
usˆo
´
a n`ao d
´o l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay(a
n
) th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe

.
u n`ao
d
´o ( a
n
) tho
’
a m˜an bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c |a
n
− a| <
1
2
. Khi d
´o
|a
n
− a
n+1
|  |a
n
− a| + |a
n+1
− a| <
1

2
+
1
2
=1.
Nhu
.
ng hiˆe
.
ugi˜u
.
a hai sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
nhau bˆa
´
tk`ycu
’
ad˜ayd
˜a cho luˆon luˆon
l´o
.
nho
.
n1. D
iˆe
`

u mˆau thuˆa
˜
n n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng khˆong mˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c
n`ao c´o thˆe
’
l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay d
˜a cho. 
7.1. Gi´o
.
iha
.

ncu
’
a d˜ay sˆo
´
9
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
H˜ay su
.
’
du
.
ng d
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
nd
ˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng
1. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
2n − 1
2n +2
2. lim
n→∞
a
n
=
3
5
nˆe
´
u a
n
=
3n
2
+1
5n
2

− 1
B˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u N n`ao th`ı:
|a
n
− 3/5| < 0, 01 (DS. N =5)
3. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
3
n
+1
3
n

.
4. lim
n→∞
cos n
n
=0.
5. lim
n→∞
2
n
+5· 6
n
3
n
+6
n
=5.
6. lim
n→∞
3
√
n
2
sin n
2
n +1
=0.
7. Ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng sˆo
´
a = 0 khˆong pha
’
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay a
n
=
n
2
− 2
2n
2
− 9
.
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim
n→∞
n
2

+2n +1+sinn
n
2
+ n +1
=1.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
=(−1)
n
+1/n phˆan k`y.
10. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay; a
n
= sin n
0
phˆan k`y.
11. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; ...,0, 22 ...2


 
n
,...
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=0, 22 ...2=
2
10
+
2
10
2

+ ···+
2
10
n
(DS. lim a
n
=2/9)
10 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
12. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
:

0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; ...,0, 233...3

 
n
,...
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=
2
10
+

3

10
2
+
3
10
3
+ ···+
3
10
n

(D
S. 7/30)
13. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
dˆe
´
n a, c`on d˜ay b
n
dˆa

`
ndˆe
´
n
∞ th`ı d˜ay a
n
/b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n0.
14. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
i) lim
n→∞
n
2
n
=0.
ii) lim
n→∞
n
a
n
=0 (a>1).

Chı
’
dˆa
˜
n. i) Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th´u
.
c:
2
n
= (1 + 1)
n
=1+n +
n(n − 1)
2
+ ···+1>n+
n(n − 1)
2
>
n
2
2
·
v`a u

.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 0|.
ii) Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
i). Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th´u
.
c:

a
n
=[1+(a − 1)]
n
>
n(n − 1)
2
(a − 1).
15. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim a
n
=2nˆe
´
u a
n
=1+
1
2
+ ···+
1
2
n
Chı
’
dˆa
˜

n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c t´ınh tˆo
’
ng cˆa
´
psˆo
´
nhˆan d
ˆe
’
t´ınh a
n
rˆo
`
i
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a

n
− 2|.
16. Biˆe
´
tr˘a
`
ng d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
.
n, c`on d˜ay b
n
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n. C´o
thˆe
’
n´oi g`ıvˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay:

i) {a
n
+ b
n
}.
ii) {a
n
b
n
}.
(D
S. i) lim{a
n
+ b
n
} khˆong tˆo
`
nta
.
i. H˜ay ch´u
.
ng minh.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´

11
ii) C´o thˆe
’
g˘a
.
pca
’
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´o gi´o
.
iha
.
n v`a khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n,
v´ıdu
.
:
a
n
=
n − 1

n
,b
n
=(−1)
n
; a
n
=
1
n
,b
n
=(−1)
n
.
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.

.
a trˆen
c´ac d
i
.
nh l´yvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Dˆe
’
t´ınh gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
, ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.

ng su
.
’
du
.
ng c´ac d
i
.
nh l´y v`a
kh´ai niˆe
.
m sau d
ˆay:
Gia
’
su
.
’
lim a
n
= a, lim b
n
= b.
i) lim(a
n
± b
n
)=lima
n
± lim b

n
= a ± b.
ii) lim a
n
b
n
= lim a
n
· lim b
n
= a · b.
iii) Nˆe
´
u b = 0 th`ı b˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d
´o d˜ay a
n
/b

n
x´ac
d
i
.
nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n  N ⇒ b
n
= 0) v`a:
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
=
a
b
·
iv) Nˆe
´
u lim a
n
= a, lim b
n
= a v`a b˘a
´

tdˆa
`
ut`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d
´o
a
n
 z
n
 b
n
th`ı lim z
n
= a (Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai phi´a).
v) T´ıch cu
’
a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o
.
i d˜ay bi

.
ch˘a
.
n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e.
vi) Nˆe
´
u(a
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nv`aa
n
= 0 th`ı d˜ay

1
a
n

l`a d˜ay vˆo
c`ung b´e; ngu
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u α
n

l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a α
n
=0th`ıd˜ay

1
α
n

l`a vˆo c`ung l´o
.
n.
Nhˆa
.
nx´et. D
ˆe
’
´ap du
.
ng d´ung d˘a
´
nc´acdi
.
nh l´y trˆen ta cˆa
`
nlu
.
u´ymˆo
.
t
sˆo

´
nhˆa
.
n x´et sau d
ˆay:
i) D
i
.
nh l´y (iii) vˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu
’
athu
.
o
.
ng s˜e khˆong ´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.
cnˆe
´

u
tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n ho˘a
.
cmˆa
˜
usˆo
´
c´o gi´o
.
iha
.
n
b˘a

`
ng 0. Trong nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd
´o nˆen biˆe
´
ndˆo
’
iso
.
bˆo
.
d˜ay thu
.
o
.
ng,
ch˘a
’
ng ha
.
nb˘a
`

ng c´ach chia ho˘a
.
c nhˆan tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
v´o
.
ic`ung mˆo
.
t
biˆe
’
uth´u
.
c.
12 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu

.
ccu
’
a h`am sˆo
´
ii) Dˆo
´
iv´o
.
id
i
.
nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa
`
n pha
’
i thˆa
.
n tro
.
ng khi ´ap du
.
ng.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.

p n`ay ta cˆa
`
n pha
’
ibiˆe
´
nd
ˆo
’
i c´ac biˆe
’
uth´u
.
c a
n
± b
n
v`a
a
n
· b
n
tru
.
´o
.
c khi t´ınh gi´o
.
iha
.

n (xem v´ıdu
.
1, iii).
iii) Nˆe
´
u a
n
= a ≡ const ∀ n th`ı lim
n→∞
a
n
= a.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. T`ım lim a
n
nˆe
´
u:
1) a
n
=(1+7
n+2
)/(3 − 7

n
)
2) a
n
=(2+4+6+···+2n)/[1+3+5+···+(2n + 1)]
3) a
n
= n
3
/(1
2
+2
2
+ ···+ n
2
)
Gia
’
i. D
ˆe
’
gia
’
i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe
´
tcˆa
´
psˆo
´
1) Nhˆan tu

.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
phˆan th´u
.
cv´o
.
i7
−n
ta c´o:
a
n
=
1+7
n+2
3 − 7
n
=
7
−n
+7
2
3 · 7
−n
− 1

Do d
´o
lim a
n
= lim
7
−n
+7
2
3 · 7
−n
− 1
= −49 v`ı lim 7
−n
=0,n→∞.
2) Tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
d
ˆe
`
u l`a cˆa
´
psˆo

´
cˆo
.
ng nˆen ta c´o:
2+4+6+···+2n =
2+2n
2
· n;
1+3+5+···+(2n +1)=
1+(2n +2)
2
(n +1).
Do d
´o
a
n
=
n
n +1
⇒ lim a
n
=1.
3) Nhu
.
ta biˆe
´
t:
1
2
+2

2
+ ···+ n
2
=
n(n + 1)(2n +1)
6
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
13
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
6n
3
n(n + 1)(2n +1)
= lim
6
(1+1/n)(2 + 1/n)
=3. 
V´ı d u
.
2. T`ım gi´o
.

iha
.
n
lim
1+
1
2
+
1
4
+ ···+
1
2
n
1+
1
3
+
1
9
+ ···+
1
3
n
Gia
’
i. Tu
.
’
sˆo

´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
d
ˆe
`
ul`acˆa
´
psˆo
´
nhˆan nˆen
1+
1
2
+ ···+
1
2
n
=
2(2
n
− 1)
2
n
,
1+
1
3

+ ···+
1
3
n
=
3(3
n
− 1)
2 · 3
n
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
2(2
n
− 1)
2
n
·
2 · 3
n
3(3
n
− 1)
= 2 lim
2
n
− 1
2

n
·
2
3
lim
3
n
3
n
− 1
= 2 lim[1 − (1/2)
n
] ·
2
3
lim
1
1 − (1/3)
n
=2· 1 ·
2
3
· 1=
4
3
· 
V´ı d u
.
3.
1) a

n
=
√
n
2
+ n − n
2) a
n
=
3
√
n +2−
3
√
n
3) a
n
=
3
√
n
2
− n
3
+ n
Gia
’
i.
1) Ta biˆe
´

nd
ˆo
’
i a
n
b˘a
`
ng c´ach nhˆan v`a chia cho da
.
ilu
.
o
.
.
ng liˆen ho
.
.
p
a
n
=
(
√
n
2
+ n − n)(
√
n
2
+ n + n)

√
n
2
+ n + n
=
n
√
n
2
+ n + n
=
1

1+1/n +1
Do d
´o
lim a
n
=
1
lim
n→∞
(

1+1/n +1)
=
1
2
·
14 Chu

.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
2) Biˆe
´
ndˆo
’
i a
n
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
1) ta c´o:
a

n
=

3
√
n +2

3
−

3
√
n

3

3
√
n +2

2
+
3
√
n +2·
3
√
n +

3

√
n

2
a
n
=
2

3
√
n +2

2
+
3
√
n +2·
3
√
n +

3
√
n

2
Biˆe
’
uth´u

.
cmˆa
˜
usˆo
´
b˘a
`
ng:
n
2/3

3

1+2/n

2
+
3

1+2/n +1

→∞
khi n →∞v`a do d
´o lim a
n
=0.
3) Ta c´o thˆe
’
viˆe
´

t n =
3
√
n
3
v`a ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c:
a
3
+ b
3
=(a + b)(a
2
− ab + b
2
)
suy ra
a
n
=

3
√
n
2
− n
3

+ n

3
√
n
2
− n
3

2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2


3
√
n
2
− n
3

2
− n

3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=
n
2

3
√
n
2
− n
3

2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=

1
[1/n − 1]
2/3
− [1/n − 1]
1/3
+1
suy ra lim a
n
=
1
3
· 
V´ı d u
.
4. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c´ac d˜ay sau
a
n
=
n
√
n
2
+ n
,b

n
=
n
√
n
2
+1
,
c
n
=
1
√
n +1
+
1
√
n
2
+2
+ ···+
1
√
n
2
+ n
·
Gia
’
i. D

ˆa
`
utiˆentach´u
.
ng minh lima
n
= 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
lim a
n
= lim
n
n

1+1/n
= lim
1

1+1/n
=1.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo

´
15
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
lim b
n
=1.
D
ˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c
n
ta s˜e ´ap du
.
ng Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai ph´ıa.

Mˆo
.
tm˘a
.
t ta c´o:
c
n
<
1
√
n
2
+1
+
1
√
n
2
+1
+ ···+
1
√
n
2
+1
=
n
√
n
2

+1
= b
n
nhu
.
ng m˘a
.
t kh´ac:
c
n
>
1
√
n
2
+ n
+
1
√
n
2
+ n
+ ···+
1
√
n
2
+ n
= a
n

.
Nhu
.
vˆa
.
y a
n
<c
n
<b
n
v`a lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=1. T`u
.
d
´o suy ra
lim
n→∞
c
n
=1. 
V´ı d u
.

5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay (q
n
) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
|q| > 1. Ta lˆa
´
ysˆo
´
A>0bˆa
´
tk`y. T`u
.
d
˘a
’

ng th´u
.
c
|q|
n
>Ata thu du
.
o
.
.
c n>log
|q|
A.Nˆe
´
u ta lˆa
´
y N = [log
|q|
A]th`ı∀ n>N
ta c´o |q|
n
>A.Dod´o d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n.
2) Gia
’
su
.

’
|q| < 1, q = 0. Khi d
´o q
n
=

1
q

n

−1
.V`ı



1
q



> 1nˆen
d˜ay


1
q

n


l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n v`a do d
´o d˜ay


1
q

n

−1

l`a vˆo c`ung
b´e, t´u
.
c l`a d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
3) Nˆe
´
u q =0th`ıq
n
=0,|q|
n
<ε∀ n v`a do d´o(q
n
) l`a vˆo c`ung b´e.

B

`
AI T
ˆ
A
.
P
T`ım gi´o
.
iha
.
n lim
n→∞
a
n
nˆe
´
u
1. a
n
=
n
2
− n
n −
√
n
.(D
S. ∞)
2. a
n

= n
2
(n −
√
n
2
+ 1). (DS. −∞)
16 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
3. a
n
=
1+2+3+···+ n
√
9n
4
+1
.(D

S. 1/6)
4. a
n
=
√
n cos n
n +1
.(D
S. 0)
5. a
n
=
5n
n +1
+
sin n
n
.(D
S. 5)
6. a
n
=
n
3
n
2
+1
−
3n
2

3n +1
.(D
S. 1/3)
7. a
n
=
n
n +11
−
cos n
10n
.(D
S. 1)
8. a
n
=
n
3
+1
n
2
− 1
(D
S. ∞)
9. a
n
=
cos n
3
n

−
3n
6n +1
.(D
S. −
1
2
)
10. a
n
=
(−1)
n
5
√
n +1
.(D
S. 0)
11. a
n
=
√
n
2
+1+
√
n
3
√
n

3
+ n −
√
n
.(D
S. +∞)
12. a
n
=
3
√
1 − n
3
+ n.(DS. 0)
13. a
n
=
√
n
2
+4n
3
√
n
3
− 3n
2
.(DS. 1)
14. a
n

=
(n + 3)!
2(n + 1)! − (n + 2)!
.(D
S. −∞)
15. a
n
=
2+4+···+2n
n +2
− 2. (D
S. −1)
16. a
n
= n −
3
√
n
3
− n
2
.(DS.
1
3
)
17. a
n
=
1 − 2+3− 4+5−···−2n
√

n
2
+1+
√
4n
2
+1
.(D
S. −
1
3
)
18. a
n
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ···+
1
n(n +1)
.
Chı
’
dˆa
˜
n.
´

Ap du
.
ng
1
n(n +1)
=
1
n
−
1
n +1
(D
S. 1)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
17
19. a
n
=1−
1
3
+
1
9

−
1
27
+ ···+
(−1)
n−1
3
n−1
.(DS.
3
4
)
20. a
n
=
2
n+1
+3
n+1
2
n
+3
n
.(DS. 3)
21. a
n
=
n +(−1)
n
n − (−1)

n
.(DS. 1)
22. a
n
=

1
√
n

1
√
1+
√
3
+
1
√
3+
√
5
+ ···+
1
√
2n − 1+
√
2n +1
Chı
’
dˆa

˜
n. Tru
.
c c˘an th´u
.
co
.
’
mˆa
˜
usˆo
´
c´ac biˆe
’
uth´u
.
c trong dˆa
´
u ngo˘a
.
c.
(D
S.
1
√
2
)
23. a
n
=

1
1 · 2 · 3
+
1
2 · 3 · 4
+ ···+
1
n(n + 1)(n +2)
Chı
’
dˆa
˜
n. Tru
.
´o
.
chˆe
´
ttach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1
n(n + 1)(n +2)
=
1
2

1

n(n +1)
−
1
(n + 1)(n +2)

(D
S.
1
4
)
24. a
n
=
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+ ···+
1
a
n
a
n+1

.(DS.
1
a
1
d
)
trong d
´o {a
n
} l`a cˆa
´
psˆo
´
cˆo
.
ng v´o
.
i cˆong sai d =0,a
n
=0.
25. a
n
=(1− 1/4)(1 − 1/9)···(1 − 1/(n +1)
2
). (DS.
1
2
)
Chı
’

dˆa
˜
n. B˘a
`
ng quy na
.
p to´an ho
.
cch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng a
n
=
n +2
2n +2
.
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu

’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass)
D˜ay sˆo
´
a
n
du
.
o
.

.
cgo
.
i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe
´
u a
n+1
>a
n
∀ n
ii) D˜ay gia
’
mnˆe
´
u a
n+1
<a
n
∀ n
C´ac d˜ay t˘ang ho˘a
.
c gia
’
mc`ond
u
.
o
.
.

cgo
.
i l`a d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u. Ta lu
.
u´y
r˘a
`
ng d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u bao gi`o
.
c˜ung bi
.
ch˘a
.
n ´ıt nhˆa
´
t l`a mˆo
.
tph´ıa. Nˆe

´
u d˜ay
18 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang th`ı n´o bi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
ibo

.
’
isˆo
´
ha
.
ng d
ˆa
`
u tiˆen cu
’
a n´o, d˜ay
d
o
.
nd
iˆe
.
u gia
’
mth`ıbi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
isˆo
´
ha

.
ng d
ˆa
`
u. Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
csu
.
’
du
.
ng d
ˆe
’
t´ınh gi´o
.
iha
.
ncu

’
a d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u.
D
-
i
.
nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u v`a bi
.
ch˘a
.
n th`ı hˆo
.
itu
.
.
D
i
.

nh l´y n`ay kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
nta
.
icu
’
a gi´o
.
iha
.
n m`a khˆong chı
’
ra d
u
.
o
.
.
cphu
.
o

.
ng ph´ap t`ım gi´o
.
iha
.
nd
´o. Tuy vˆa
.
y, trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p khi biˆe
´
t gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay tˆo
`
nta
.

i, c´o thˆe
’
chı
’
ra phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh
n´o. Viˆe
.
c t´ınh to´an thu
.
`o
.
ng du
.
.
a trˆen d
˘a
’
ng th´u
.
cd
´ung v´o
.
imo
.
i d˜ay hˆo
.

i
tu
.
:
lim
n→∞
a
n+1
= lim
n→∞
a
n
.
Khi t´ınh gi´o
.
iha
.
ndu
.
.
atrˆend
˘a
’
ng th´u
.
cv`u
.
a n ˆe u t i ˆe
.
nlo

.
.
iho
.
nca
’
l`a su
.
’
du
.
ng c´ach cho d˜ay b˘a
`
ng cˆong th´u
.
c truy hˆo
`
i.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Ch´u
.
nh minh r˘a
`

ng d˜ay:
a
n
=
1
5+1
+
1
5
2
+1
+ ···+
1
5
n
+1
hˆo
.
itu
.
.
Gia
’
i. D˜ay d
˜achodo
.
nd
iˆe
.
u t˘ang. Thˆa

.
tvˆa
.
yv`ı:
a
n+1
= a
n
+
1
5
n+1
+1
nˆen a
n+1
>a
n
.
D˜ay d
˜a cho bi
.
ch˘a
.
n trˆen. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
a
n

=
1
5+1
+
1
5
2
+1
+
1
5
3
+1
+ ···+
1
5
n
+1
<
1
5
+
1
5
2
+ ···+
1
5
n
=

1
5
−
1
5
n+1
1 −
1
5
=
1
4

1 −
1
5
n

<
1
4
·
Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
n
d˜achodo
.

nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n trˆen nˆen n´o hˆo
.
i
tu
.
. 
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
19
V´ı d u
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n

=
2
n
n!
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. D˜ay d
˜a cho c´o da
.
ng
2
1
,
2
2
2
,...,
2

n
n!
,...
D˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m. Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
n+1
a
n
=
2
n+1
(n + 1)!
:
2
n
n!
=

2
n +1
< 1 ∀ n>1.
Do d
´o a
n+1
<a
n
v`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i phˆa
`
ntu
.
’
a
1
. Ngo`ai ra
a
n
> 0, ∀ n nˆen d˜ay bi
.
ch˘a
.
ndu

.
´o
.
i. Do d
´o d˜ay do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m v`a bi
.
ch˘a
.
n. N´o hˆo
.
itu
.
theo d
i
.
nh l´y Weierstrass. Gia
’
su
.
’
a l`a gi´o
.
iha

.
ncu
’
a n´o.
Ta c´o:
a
n+1
a
n
=
2
n +1
⇒ a
n+1
=
2
n +1
a
n
.
T`u
.
d
´o
lim a
n+1
= lim
2a
n
n +1

= lim
2
n +1
lim a
n
v`a nhu
.
vˆa
.
y: a =0· a → a = 0. Vˆa
.
y: lim
2
n
n!
=0. 
V´ı d u
.
3. Cho d˜ay a
n
=
√
2, a
n+1
=
√
2a
n
.Ch´u
.

ng minh r˘a
`
ng d˜ay hˆo
.
i
tu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Gia
’
i. Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng: a
1
<a
2
<a
3
< ··· <.D´o l`a d˜ay do
.
nd
iˆe

.
u
t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
ibo
.
’
isˆo
´
√
2. Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng n´o bi
.
ch˘a
.
n trˆen
bo
.
’
isˆo
´

2.
Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
1
=
√
2; a
2
=
√
2a
1
<
√
2 · 2=2.
Gia
’
su
.
’
d
˜ach´u
.
ng minh d
u
.

o
.
.
cr˘a
`
ng a
n
 2.
Khi d
´o:
a
n+1
=
√
2a
n

√
2 · 2=2.
20 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu

’
a h`am sˆo
´
Vˆa
.
y theo tiˆen dˆe
`
quy na
.
p ta c´o a
n
 2 ∀ n.
Nhu
.
thˆe
´
d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n nˆen n´o c´o gi´o
.
iha

.
nd
´o
l`a a.
Ta c´o:
a
n+1
=
√
2a
n
⇒ a
2
n+1
=2a
n
.
Do d
´o:
lim a
2
n+1
= 2 lim a
n
hay a
2
− 2a = 0 v`a thu du
.
o
.

.
c a
1
=0,a
2
=2.
V`ı d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u t˘ang ∀ n nˆen gi´o
.
iha
.
n a =2. 
V´ı d u
.
4. Ch´u
.
ng minh t´ınh hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu

’
a d˜ay
x
1
=
√
a; x
2
=

a +
√
a,...,
x
n
=

a +

a + ···+
√
a, a > 0,n dˆa
´
u c˘an.
Gia
’
i. i) R˜o r`ang: x
1
<x
2

<x
3
< ··· <x
n
<x
n+1
<... ngh˜ıa l`a
d˜ay d
˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´u
.
ng minh d˜ay x
n
l`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
1
=
√
a<
√
a +1
x

2
=

a +
√
a<

a +
√
a +1<

a +2
√
a +1=
√
a +1.
Gia
’
su
.
’
d
˜ach´u
.
ng minh d
u
.
o
.
.

cr˘a
`
ng: x
n
<
√
a +1.
Ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh x
n+1
<
√
a + 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
n+1
=
√
a + x
n
<

a +
√

a +1<

a +2
√
a +1=
√
a +1.
Do d
´o nh`o
.
ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctad
˜ach´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay d
˜a
cho bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i
√

a +1.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
21
iii) Dˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ntax´et hˆe
.
th´u
.
c x
n
=
√
a + x
n−1
hay
x
2
n

= a + x
n−1
.
T`u
.
d
´o :
lim x
2
n
= lim(a + x
n−1
)=a + lim x
n−1
hay nˆe
´
u gia
’
thiˆe
´
t lim x
n
= A th`ı: A
2
= a + A → A
2
− A − a =0v`a
A
1
=

1+
√
1+4a
2
,A
2
=
1 −
√
1+4a
2
·
V`ı A
2
< 0 nˆen gi´a tri
.
A
2
bi
.
loa
.
iv`ıx
n
> 0.
Do d
´o;
lim x
n
=

1+
√
1+4a
2
· 
V´ı d u
.
5. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay a
n
du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh nhu
.
sau: a
1
l`a sˆo
´
t`uy ´y m`a

0 <a
1
< 1,a
n+1
= a
n
(2 − a
n
) ∀ n  1. (7.10)
Gia
’
i. i) D
ˆa
`
u tiˆen ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
bi
.
ch˘a
.
n, m`a cu
.
thˆe
’
l`a b˘a
`

ng
ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
0 <a
n
< 1. (7.11)
Tac´o0<a
1
< 1. Gia
’
su
.
’
(7.11) d
˜adu
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh v´o
.

i n v`a ta
s˜e ch´u
.
ng minh (7.11) d
´ung v´o
.
i n +1 .
T`u
.
(7.10) ta c´o; a
n+1
=1− (1 − a
n
)
2
.
T`u
.
hˆe
.
th´u
.
c n`ay suy ra 0 < (1 − a
n
)
2
< 1, v`ı 0 <a
n
< 1.
T`u

.
d
´o suy ra: 0 <a
n+1
< 1 ∀ n.
ii) Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
l`a d˜ay t˘ang.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı a
n
< 1nˆen2− a
n
> 1. Chia (7.10) cho a
n
ta thu
d
u
.
o
.

.
c:
a
n+1
a
n
=2− a
n
> 1.
22 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
T`u
.
d
´o a
n+1
>a
n

∀ n.Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n.
Do d
´o theo di
.
nh l´y Weierstrass, lim A
n
tˆo
`
nta
.
i v`a ta k´yhiˆe
.
u n´o l`a a.
iii) T`u
.

(7.10) ta c´o:
lim a
n+1
= lim a
n
· lim(2− a
n
)
hay a = a(2 − a).
T`u
.
d
´o a =0v`aa =1. V`ıx
1
> 0 v`a d˜ay a
n
t˘ang nˆen
a =1=lima
n
. 
V´ı d u
.
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=
n!

n
n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. i) Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m, thˆa

.
tvˆa
.
y:
a
n+1
=
(n + 1)!
(n +1)
n+1
=
n!
(n +1)
n
=
n!
n
n
·
n
n
(n +1)
n
=
n
n
(n +1)
n
a
n

v`ı
n
n
(n +1)
n
< 1nˆena
n+1
<a
n
.
V`ı a
n
> 0nˆenn´obi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
iv`adod
´o lim a
n
tˆo
`
nta
.
i, k´yhiˆe
.
u

lim a
n
= a v`a r˜o r`ang l`a a = lim a
n
 0.
ii) Ta ch´u
.
ng minh a = 0. Thˆa
.
tvˆa
.
y ta c´o:
(n +1)
n
n
n
=

n +1
n

n
=

1+
1
n

n
 1+

n
n
=2.
Do d
´o:
n
n
(n +1)
n
<
1
2
v`a a
n+1
<
1
2
a
n
.
Chuyˆe
’
n qua gi´o
.
iha
.
ntad
u
.
o

.
.
c a 
a
2
⇒ a =0. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
23
1. Cho c´ac d˜ay sˆo
´
:
1) a
n
=
5n
2

n
2
+3
· 2) b
n
=(−1)
n
2n
n +1
sin n. 3) c
n
= n cos πn.
H˜ay chı
’
ra d˜ay n`ao bi
.
ch˘a
.
n v`a d˜ay n`ao khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
(D
S. 1) v`a 2) bi
.
ch˘a
.
n; 3) khˆong bi
.

ch˘a
.
n)
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay:
a
1
=
a
0
a + a
0
,a
2
=
a
1
a + a
1
,a
3
=
a
2
a + a
2
,...,

a
n
=
a
n−1
a + a
n−1
,... (a>1,a
0
> 0)
hˆo
.
itu
.
.
3. Ch´u
.
ng minh c´ac d˜ay sau d
ˆay hˆo
.
itu
.
1) a
n
=
n
2
− 1
n
2

2) a
n
=2+
1
2!
+
1
3!
+ ···+
1
n!
Chı
’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
nd
u
.
o
.
.
csuyt`u
.
n!  2
n−1
v`a do d´o

a
n
 2+
1
2
+
1
2
2
+ ···+
1
2
n−1
=3−
1
2
n−1
< 3.
4. Ch´u
.
ng minh c´ac d˜ay sau d
ˆay hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
n a cu

’
ach´ung
1) a
1
=
k
√
5, a
n+1
=
k
√
5a
n
, k ∈ N.(DS.
k−1
√
5)
2) a
n
=
2
n
(n + 2)!
Chı
’
dˆa
˜
n.
a

n+1
a
n
=
2
n +3
< 1. (D
S. a =0)
3) a
n
=
E(nx)
n
trong d
´o E(nx) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a nx.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng hˆe
.

th´u
.
c: nx− 1 <E(nx)  nx.(D
S. a = x)
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
= a
1/2
n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
an´o
(a>1).
24 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o

.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
(DS. a =1. Chı
’
dˆa
˜
n. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
l`a d˜ay do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m
v`ı
a
n+1

= a
1/2
n+1
= a
1/(2
n
·2)
=
√
a
n
,a
n
> 1)
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=1+
1
2
2
+
1
3
2
+ ···+

1
n
2
hˆo
.
itu
.
.
Chı
’
dˆa
˜
n. Ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u t˘ang, t´ınh bi
.
ch˘a
.
ncu
’

an´o
d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng c´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c:
1
n
2
<
1
n(n − 1)

=
1
n − 1
−
1
n
,n 2.
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
1
3+1
+
1
3
2
+2
+ ···+
1
3
n
+ n
c´o gi´o
.
iha

.
nh˜u
.
uha
.
n.
Chı
’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
ncu
’
a a
n
du
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach so s´anh a
n
v´o

.
itˆo
’
ng mˆo
.
tcˆa
´
psˆo
´
nhˆan n`ao d
´o .
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay


1+
1
n

n+1

d
o
.
nd
iˆe
.

u gia
’
mv`a
lim
n→∞

1+
1
n

n+1
= e.
9. T´ınh lim
n→∞
a
n
,nˆe
´
u
1) a
n
=

1+
1
n + k

n
, k ∈ N.(DS. e)
2) a

n
=

n
n +1

n
.(DS.
1
e
)
3) a
n
=

1+
1
2n

n
.(DS.
√
e)
4) a
n
=

2
n
+1

2
n

2
n
.(DS. e)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
25
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.

.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen
l´yhˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy)
Trˆen dˆay ta d˜a nˆeu hai phu
.
o
.
ng ph´ap ch´u
.
ng minh su

.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay.
Hai phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay khˆong ´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.
cd
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac d˜ay khˆong d
o
.
n

d
iˆe
.
u du
.
o
.
.
c cho khˆong b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i t´ıch m`a d
u
.
o
.
.
c cho b˘a
`
ng
phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac (ch˘a

’
ng ha
.
nb˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap truy hˆo
`
i). M˘a
.
t
kh´ac, trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
`o
.
i ta chı
’
quan tˆam d

ˆe
´
nsu
.
.
hˆo
.
itu
.
hay phˆan k`y cu
’
a d˜ay m`a thˆoi. Sau d
ˆay ta ph´at biˆe
’
umˆo
.
t tiˆeu chuˆa
’
n
c´o t´ınh chˆa
´
t “nˆo
.
ita
.
i” cho ph´ep kˆe
´
t luˆa
.
nsu

.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay chı
’
du
.
.
a
trˆen gi´a tri
.
cu
’
a c´ac sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a d˜ay:
Nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
. D˜ay (a

n
) c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n khi v`a chı
’
khi n´o
tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
∀ ε>0, ∃ N
0
= N
0
(ε) ∈ N : ∀ n>N
0
v`a ∀ p ∈ N
⇒|a
n
− a

n+p
| <ε.
T`u
.
nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
r´ut ra: D˜ay (a
n
) khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n khi v`a chı
’
khi n´o tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
∃ ε>0, ∀ N ∈ N ∃ n  N ∃ m  N →|a
n
− a
m
|  ε.
C

´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
cos 1
3
+
cos 2
3
2
+ ···+
cos n
3
n
,n∈ N
hˆo
.
itu
.

.
26 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
Gia
’
i. Ta u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng hiˆe
.
u
|a

n+p
− a
n
| =



cos(n +1)
3
n+1
+ ···+
cos(n + p)
3
n+p




1
3
n+1
+ ···+
1
3
n+p
=
1
3
n+1
1 −

1
3
p
1 −
1
3
<
1
2
·
1
3
n
<
1
3
n
·
Gia
’
su
.
’
ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng t`uy ´y. V`ı lim

n→∞
1
3
n
= 0 nˆen v´o
.
isˆo
´
ε>0d
´o,
tˆo
`
nta
.
isˆo
´
N ∈ N sao cho ∀ n  N ta c´o
1
3
n
<ε. Ngh˜ıa l`a nˆe
´
u n  N,
c`on p l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen t`uy ´y th`ı
|a

n+p
− a
n
| <
1
3
n
<ε.
Do d
´o theo tiˆeu chuˆa
’
nhˆo
.
itu
.
d˜ay d˜a cho hˆo
.
itu
.
. 
V´ı d u
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=

1
√
1
+
1
√
2
+ ···+
1
√
n
phˆan k`y.
Gia
’
i. Ta u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng hiˆe
.
u
|a
n
− a
n+p

| =



1
√
n +1
+
1
√
n +2
+ ···+
1
√
n + p




p
√
n + p
∀ n, p ∈ N.
D
˘a
.
cbiˆe
.
tv´o
.

i p = n ta c´o
|a
n
− a
2n
| 
√
n
√
2

1
√
2
∀ n. (*)
Ta lˆa
´
y ε =
1
√
2
. Khi d
´o ∀ N ∈ N tˆo
`
nta
.
inh˜u
.
ng gi´a tri
.

n>N v`a
∃ p ∈ N sao cho |a
n
− a
n+p
|  ε. Thˆa
.
tvˆa
.
y, theo bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c (*) ta
7.2. Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
chı
’
cˆa
`
nlˆa

´
ysˆo
´
n>N bˆa
´
tk`yv`ap = n.T`u
.
d
´o theo mˆe
.
nh dˆe
`
phu
’
di
.
nh
nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
ta c´o d˜ay d
˜a cho phˆan k`y. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P

Su
.
’
du
.
ng tiˆeu chuˆa
’
nhˆo
.
itu
.
d
ˆe
’
ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay (a
n
)
nˆe
´

u
1. a
n
=
n

k=1
sin nα
2
n
, α ∈ R.
2. a
n
=
n

k=1
a
k
q
k
, |q| < 1, |a
k
| <M∀ k,M > 0.
3. a
n
=
n

k=1

(−1)
k−1
k(k +1)
·
4. a
n
=
n

k=1
(−1)
k
k!
·
5. a
n
=0, 77 ...7

 
nch˜u
.
sˆo
´
.
6. a
n
=
n

k=1

1
2
k
+ k
·
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng c´ac d˜ay sau d
ˆay phˆan k`y:
7. a
n
=1+
1
2
+ ···+
1
n
, n ∈ N.
8. a
n
=
1
ln2
+
1
ln3
+ ···+
1

lnn
, n =2,...
7.2 Gi´o
.
iha
.
nh`am mˆo
.
tbiˆe
´
n
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`adi
.
nh l´yco
.
ba
’
nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.

iha
.
ncu
’
a c´ac h`am d
ˆo
´
iv´o
.
i n˘am tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p: x → a,
x → a ± 0, x →±∞d
u
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’
unhu
.
sau.