Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực

Chương 2
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC
2.1. Hàm số
2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số
Một ánh xạ f từ một tập con X của R vào R được gọi là một hàm số, X được
gọi là miền xác định của f còn f(X) được gọi là miền giá trị của nó. Đồ thị của
hàm số f là tập hợp:
Gr(f) := {(x; f(x)) | x ∈ X} ⊆ R × R.
Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)),
x ∈ X trong mặt phẳng toạ độ Descartes vuông góc Oxy.
Hàm f : X −→ R được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu tập X là đối xứng (tức là
∀x, x ∈ X ⇒ −x ∈ X) và
∀x ∈ X, f(−x) = f(x) (f(−x) = −f(x)) .
Rõ ràng, một hàm số là chẵn (lẻ) nếu và chỉ nếu đồ thị của nó là một hình đối
xứng qua trục Oy (qua tâm toạ độ O) trong mặt phẳng Oxy.
Hàm f : R −→ R được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số dương L sao cho
f(x + L) = f(x); ∀x ∈ R. (2.1)
Lúc đó, L được gọi là một chu kỳ của f (Thật ra, người ta thường chọn số dương L
bé nhất, nếu có, thoả mãn (2.1) làm chu kỳ của f).
Hàm f được gọi là hàm không giảm (không tăng; tăng; giảm) trên (a, b) ⊆ X
nếu với mọi x
1
, x
2
∈ (a, b),
x
1
< x
2
⇒ f(x

1
) ≤ f(x
2
) (f(x
1
) ≥ f(x
2
); f(x
1
) < f(x
2
); f(x
1
) > f(x
2
)).
27
Một hàm thoả mãn một trong bốn tính chất trên được gọi là hàm đơn điệu trên
khoảng (a, b).
Hàm f được gọi là lồi (lõm) trên khoảng (a, b) ⊆ X nếu với mọi x
1
, x
2
∈ (a, b)
và mọi số λ ∈ (0, 1) ta có
f(λx
1
+(1−λ)x
2
) ≤ λf(x

1
)+(1−λ)f(x
2
) (f(λx
1
+(1−λ)x
2
) ≥ λf(x
1
)+(1−λ)f(x
2
)).
2.1.2. Các phép toán trên hàm số
Cho X ⊆ R. Ta đặt
F := {f | f : X → R}.
Với mọi f, g ∈ F ta gọi f bé hơn hoặc bằng g và viết f ≤ g nếu với mọi x ∈ X,
f(x) ≤ g(x). Tương tự, ta có thể định nghĩa các quan hệ bé hơn, lớn hơn, lớn hơn
hoặc bằng trên F. Dễ kiểm chứng được rằng đây là các quan hệ thứ tự bộ phận
trên F. f được gọi là bằng g, và viết f = g, nếu f(x) = g(x) với mọi x ∈ X.
Với mọi f, g ∈ F, ta định nghĩa f ± g, f.g,
f
g
, f ∨ g, f ∧ g : X → R là các hàm
được xác định bởi, ∀x ∈ X :
(f ± g)(x) := f(x)± g(x);
(f.g)(x) := f(x).g(x);

f
g


(x) :=
f(x)
g(x)
;
(f ∨ g)(x) := max{f (x), g(x)};
(f ∧ g)(x) := min{f (x), g(x)}.
Cho f : X → R và g : Y ⊂ R → R là các hàm số sao cho f(X) ⊂ Y . Hàm hợp của
f và g, ký hiệu g ◦ f, là hàm được xác định bởi
(g ◦ f)(x) := g[f (x)] với mọi x ∈ X.
Dễ thấy rằng, nói chung, g ◦ f = f ◦ g.
Cho f là hàm số xác định trên X sao cho f : X → Y là một song ánh. Lúc đó
tồn tại ánh xạ ngược f
−1
: Y → X. f
−1
được gọi là hàm ngược của f. Nếu quan
niệm đồ thị của f
−1
là tập
{(x, y) | y ∈ Y ; x = f
−1
(y)}
thì đồ thị của f và f
−1
trùng nhau. Nhưng nếu xem đồ thì hàm f
−1
là tập
Gr(f
−1
) := {(x; y) | x ∈ Y ; y = f

−1
(x)}
thì hai đồ thị là đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Cụ thể là
∀(x, y) ∈ R
2
: (x, y) ∈ Gr(f) ⇐⇒ (y, x) ∈ Gr(f
−1
).
28
2.1.3. Một số hàm cơ bản
a. Hàm đa thức, hàm phân thức Với mỗi số thực x và số nguyên dương n
người ta định nghĩa luỹ thừa bậc n của x một cách quy nạp như sau: x
1
:= x;
x
n
:= (x
n−1
).x với n ≥ 2.
Hàm đa thức bậc n là hàm có dạng y = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ··· + a
1
x + a

0
.
Hàm phân thức là thương của hai hàm đa thức:
y =
a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ··· + a
1
x + a
0
b
m
x
m
+ b
m−1
x
m−1
+ ··· + b
1
x + b
0
.
b. Các hàm lượng giác Là các hàm đã được khảo sát kỹ trong chương trình phổ

thông, thông qua các số đo trong hình tròn đơn vị:
Hàm y = sin(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm lẻ và
tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Hàm y = cos(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm chẵn
và cũng tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Hàm y = tan(x) = tg(x) được xác định bởi
tan(x) :=
sin(x)
cos(x)
.
Hàm này có miền xác định là mọi x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R.
Hàm y = cot(x) = cotg(x) được xác định bởi
cot(x) :=
cos(x)
sin(x)
.
Hàm này có miền xác định là mọi x = kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R.
Các hàm tan và cot đều là các hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ π.
c. Các hàm lượng giác ngược
Hàm sin là một song ánh từ [−
π
2
,
π
2
] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi là
hàm arcsin. Vậy y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [

π
2
,
π
2
].
Hàm cos là một song ánh từ [0, π] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi là
hàm arccos. Vậy y = arccos(x) ⇐⇒ x = cos(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [0, π].
Hàm tan là một song ánh từ (−
π
2
,
π
2
) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm
arctan. Vậy y = arctan(x) ⇐⇒ x = tan(y) với mọi x ∈ R và y ∈ (
π
2
,
π
2
).
Hàm cot là một song ánh từ (0, π) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm
arccot. Vậy y = arccot(x) ⇐⇒ x = cot(y) với mọi x ∈ R và y ∈ (0, π).
29
2.2. Giới hạn của hàm số
2.2.1. Các định nghĩa
a. Giới hạn hàm số tại một điểm Cho hàm f xác định trong N
δ
(x

0
) \ {x
0
}, ta
nói f có giới hạn bằng l ∈ R tại x
0
nếu
∀ > 0,∃δ
1
> 0,∀x ∈ N
δ
1
(x
0
) \ {x
0
} : |f(x)− l| < .
Lúc đó, ta viết
lim
x→x
0
f(x) = l.
Ví dụ 2.1. Hàm f(x) =
x
2
− 1
x − 1
có giới hạn bằng 2 tại x
0
= 1. Hàm f(x) = x sin


1
x

có giới hạn bằng 0 tại 0.
b. Giới hạn hàm số tại vô cùng
+ Cho hàm f xác định trên khoảng (a; +∞), ta nói f có giới hạn bằng l ∈ R
tại +∞ nếu
∀ > 0,∃M,∀x > M : |f(x)− l| < .
Lúc đó, ta viết
lim
x→+∞
f(x) = l.
+ Tương tự, nếu hàm f xác định trên khoảng (−∞; b), ta có định nghiã giới
hạn tại −∞ như sau:
lim
x→−∞
f(x) = l ⇔ ∀ > 0,∃m,∀x < m : |f(x) − l| < .
Ví dụ 2.2.
lim
x→+∞
x
√
x
2
+ 1
= 1; lim
x→−∞
x
√

x
2
+ 1
= −1.
c. Giới hạn trái, phải Cho hàm f xác định trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) ((x
0
− δ; x
0
)),
ta nói f có giới hạn phải (trái) bằng l ∈ R tại x
0
nếu
∀ > 0,∃δ
1
> 0,∀x ∈ (x
0
; x
0
+ δ
1
)(∀x ∈ (x
0
− δ
1
; x
0

)) : |f(x)− l| < .
Lúc đó, ta viết
l = lim
x→x
0
+
f(x) (l = lim
x→x
0
−
f(x)).
d. Giới hạn bằng vô cùng Trong các định nghĩa trên, giới hạn của hàm f là một
số thực l. Bây giờ ta sẽ xét đến các trường hợp ở đó giá trị hàm f tiến ra vô cùng
khi x dần đến x
0
.
30
+ Cho hàm f xác định trong N
δ
(x
0
) \ {x
0
}, ta nói f có giới hạn bằng +∞ tại
x
0
nếu
∀K,∃δ
1
> 0,∀x ∈ N

δ
1
(x
0
) \ {x
0
} : f(x) > K.
Ký hiệu:
lim
x→x
0
f(x) = ∞.
+ Tương tự, ta có định nghĩa:
lim
x→x
0
f(x) = −∞ ⇔ ∀L,∃δ
1
> 0,∀x ∈ N
δ
1
(x
0
) \ {x
0
} : f(x) < L.
+ Khi f xác định trên (0; +∞), ta có định nghĩa giới hạn vô cùng tại vô cùng:
lim
x→+∞
f(x) = +∞ ⇔ ∀K,∃M,∀x > M : f(x) > K.

Việc đưa ra các định nghĩa
lim
x→+∞
f(x) = −∞; lim
x→−∞
f(x) = +∞; lim
x→−∞
f(x) = −∞
cũng như các giới hạn trái, phải bằng vô cùng được dành cho các bạn.
Ví dụ 2.3. Hàm hằng f = C trên (a, b)  x
0
:
lim
x→x
0
C = C.
Hàm đồng nhất f(x) = x trên (a, b)  x
0
:
lim
x→x
0
x = x
0
.
Hàm f(x) =
1
x
:
lim

x→0+
1
x
= +∞; lim
x→0−
1
x
= −∞; lim
x→±∞
1
x
= 0.
2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn
Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn qua dãy). Cho f xác định trên N
δ
(x
0
) \ {x
0
}. Lúc đó
lim
x→x
0
f(x) = l ⇐⇒ (∀(x
n
) ⊂ N
δ
(x
0
) \ {x

0
}, x
n
→ x
0
⇒ f(x
n
) → l).
Lưu ý rằng định lý trên đúng cả khi l = ±∞. Ngoài ra, ta cũng có các phát
biểu tương tự cho các trường hợp giới hạn một phía.
Mệnh đề 2.2. Nếu f có giới hạn l ∈ R tại x
0
thì đó là giới hạn duy nhất.
31
Mệnh đề 2.3. Nếu f có giới hạn l ∈ (a; b) tại x
0
thì tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ∈ (a; b) với mọi x ∈ N
δ
(x
0
) \ {x
0
}.
Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Hàm f có giới hạn hữu hạn tại x
0
khi và chỉ
khi
∀ > 0,∃δ
0

> 0,∀x, x

∈ N
δ
0
(x
0
) \ {x
0
}, |f(x)− f(x

)| < .
Định lý 2.5. Giả sử lim
x→x
0
f(x) = l ∈ R, lim
x→x
0
g(x) = m ∈ R và λ ∈ R. Lúc đó,
a) lim
x→x
0
(f ± g)(x) = l ± m;
b) lim
x→x
0
(λf)(x) = λl;
c) lim
x→x
0

(fg)(x) = lm;
d) Nếu m = 0 thì lim
x→x
0

f
g

(x) =
l
m
;
e) Nếu f ≤ g thì l ≤ m.
Các phát biểu a)-d) được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải
có nghĩa.
Mệnh đề 2.6. Giả sử f ≤ g ≤ h trên N
δ
(x
0
) \ {x
0
} và
lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x
0
h(x) = l.
Lúc đó

lim
x→x
0
g(x) = l.
Định lý 2.7. Giả sử f là một hàm đơn điệu trên (a; b) và c là một điểm nằm trong
khoảng này. Lúc đó tồn tại các giới hạn một phía hữu hạn của hàm f tại c.
Chú ý rằng cũng tồn tại các giới hạn
lim
x→a+
f(x) ∈ R; lim
x→b−
f(x) ∈ R.
Hơn nữa, nếu f bị chặn trên (a; b) thì các giới hạn đó hữu hạn.
2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn
Hàm f được gọi là một vô cùng bé khi x → x
0
nếu
lim
x→x
0
f(x) = 0;
Hàm f được gọi là một vô cùng lớn khi x → x
0
nếu
lim
x→x
0
|f(x)| = +∞.
32
Hệ quả 2.1. f là một vô cùng lớn khi x → x

0
nếu và chỉ nếu
1
f
là một vô cùng bé
khi x → x
0
.
Cho α và β là hai vô cùng bé khi x → x
0
. Ta nói
- α và β là hai vô cùng bé tương đương và viết α ∼ β nếu
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= 1.
- α là vô cùng bé bậc cao hơn β và viết α = o(β) nếu
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= 0.
- α và β là các vô cùng bé cùng bậc nếu
lim
x→x
0
α(x)

β(x)
= m ∈ R \ {0}.
Rõ ràng, điều này xảy ra khi và chỉ khi α ∼ mβ.
2.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản
a. Giới hạn của các hàm đa thức và phân thức
Từ phép lấy giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ta dễ dàng nhận được giới
hạn của hàm đa thức và phân thức. Cụ thể, nếu P (x) và Q(x) là các đa thức thì ta
có
lim
x→x
0
P (x) = P (x
0
);
lim
x→x
0
P (x)
Q(x)
=
P (x
0
)
Q(x
0
)
; nếu Q(x
0
) = 0.
b. Giới hạn của các hàm lượng giác

Ta cũng dễ dàng chứng minh được các công thức giới hạn sau
lim
x→x
0
sin(x) = sin(x
0
).
lim
x→x
0
cos(x) = cos(x
0
).
lim
x→x
0
tan(x) = tan(x
0
); x
0
=
π
2
+ kπ.
lim
x→x
0
cot(x) = cot(x
0
); x

0
= kπ.
33
2.3. Sự liên tục
2.3.1. Định nghĩa
Một hàm số f xác định trên N
δ
(x
0
) được gọi là liên tục tại x
0
nếu tồn tại giới
hạn của f tại điểm đó và
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
).
Ta nói f gián đoạn tại x
0
nếu nó không liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, ta có các
định nghĩa yếu hơn: f được gọi là liên tục trái (phải) tại x
0
nếu nó xác định trong
(x
0
− δ; x
0
] ([x

0
; x
0
+ δ)) và
lim
x→x
0
−
f(x) = f(x
0
) ( lim
x→x
0
+
f(x) = f(x
0
)).
Bây giờ giả sử f gián đoạn tại x
0
. x
0
được gọi là điểm gián đoạn bỏ được nếu
tồn tại giới hạn
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
),
được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu tồn tại các giới hạn trái phải tại đó nhưng

lim
x→x
0
−
f(x) = lim
x→x
0
+
f(x).
Cuối cùng, x
0
được gọi là điểm gián đoạn loại II nếu nó không thuộc vào hai dạng
trên.
Hàm f được gọi là liên tục trên (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng
đó. Nếu f liên tục trên (a; b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a ta nói f liên
tục trên [a; b].
Định lý 2.8. Ba phát biểu sau tương đương
a) f liên tục tại x
0
;
b) ∀ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ N
δ
(x
0
) : |f(x)− f(x
0
)| < ;
c) ∀(x
n
) ⊆ R : x

n
→ x
0
=⇒ f(x
n
) → f(x
0
).
Ví dụ 2.4. Các hàm f(x) = C (C ∈ R), f(x) = x, f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) và
hàm sau đây đều liên tục trên R
f(x) :=

x sin(
1
x
); x = 0;
0; x = 0.