decuong on tap mon so hoc

Chuyên đề 1: chia hết trên tập hợp số nguyên
Bài 1. a) Chứng minh rằng với n N thì 11
n+2
+ 12
2n+1


133
b) Chứng minh rằng với n N thì 16
n
- 15
n
- 1

225
Giải: a) Đặt A = 11
n+2
+ 12
2n+1
Ta có A = 121 . 11
n
+ 12 . 144
n
= 11
n
(133 - 12) + 12 (133 + 11)
n
= 11
n
. 133 - 11
n

. 12 + 12 (133a + 11
n
) với a Z
= 11
n
. 133 - 11
n
. 12 + 12 . 133a + 12 . 11
n
= 11
n
. 133 + 12 . 133a = 133(11
n
+ 12a)

133 với n N
b) Đặt B = 16
n
- 15n - 1 ta có
B = (16
n
- 1) - 15n
= 15 [(16
n-1
+ 16
n-2
+ ... + 16 + 1) - n]
= 15 [(16
n-1
- 1) + (16

n-2
- 1) + ... + (16 - 1) + (1 - 1)]
Vì 16
K
- 1

16 - 1 hay 16
K
- 1

15 với K N
nên (16
n-1
- 1) + (16
n-2
- 1) + ... + (16 - 1)

15
Suy ra 15 [(16
n-1
- 1) + (16
n-2
- 1) + ... + (16 - 1)]

15 . 15
hay B

225 đpcm
Chú ý: Có thể chứng minh theo phơng pháp quy nạp.
Bài 2. Chứng minh rằng tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.

Giải: Ta có: (n - 1)
3
+ n
3
+ (n + 1)
3
= 3 (n
3
+ 2n)
= 3(n
3
- n + 3n) = 3 [(n
3
- n) + 3n]
= 3 [(n -1) n(n + 1) + 3n]
= 3 (n - 1) n(n + 1) + 9n

9.
Bài 3. Chứng minh rằng m là số nguyên lẻ thì: (m
3
+ 3m
2
- m - 3)

48.
Giải: Ta có:m
3
+ 3m
2
- m - 3 = m

2
(m + 3) - (m + 3)
= (m - 1) (m + 3) (m + 3)
Nếu m = 2k + 1 thì m
3
+ 3m
2
- m - 3 = 8k (k + 1)(k + 2)
Vì k (k + 1) (k + 2) chia hết cho 6 nên 8k (k + 1) (k + 2) chia hết cho 48
Bài 4: Cho n N. Chứng minh: A = 6
2n
+ 19
n
- 2
n-1


17
Giải: Ta có A = 36
n
+ 19
n
- 2.2
n
= (36
n
- 2
n
) + (19
n

- 2
n
)
Vì 36
n
- 2
n


34 nên 36
n
- 2
n


17 (1)
Và 19
n
- 2
n


17 (2)
Từ (1 ), (2) A = [(36
n
- 2
n
) + (19
n
- 2

n
)]

17.
1
Bài 5. Chứng minh rằng: Với n Z thì n
3
+ 11n

6.
Giải: Ta có:n
3
+ 11n = n
3
- n + 12n = n(n - 1) (n + 1) + 12n
Vì 12n

6 n Z. Vậy n
3
+ 11n

6 khi n (n - 1) (n + 1)

6
Mà n(n - 1) (n + 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 2 nên n(n - 1) (n + 1)
sẽ chia hết cho 6.
Vậy n
3
+ 11n

n Z.
Bài 6. Tìm số nguyên n, sao cho: (2n + 1)

(n - 5) (1)
Giải : (1) 2n - 10 + 11

n 5 2(n - 5) + 11

n 5 11

n - 5
n - 5 = 1 n = 6
n - 5 = -1 n = 4
n - 5 = -11 n = -6
n - 5 = 11 n = 16
Vậy để 2n + 1

n - 5 n bằng: -6, 4, 6, 16.
Bài 7 Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì 9
2n
+ 14

5.
Giải: Ta có:9
2n
+ 14 = 81
n
- 1 + 15

5 khi 81

n
- 1

5.
Mà 81
n
- 1

81 - 1 hay 81
n
- 1

80 81
n
- 1

5
Vậy 9
2n
+ 14

5, n N.
Bài 8. Chứng minh rằng với n 1 thì 4
n
+ 15n - 1

9.
Giải: Với n - 1, ta có: 4
1
+ 15.1 - 1 = 18

9
Giả sử n = k, ta có: 4
k
+ 15k - 1

9
4
k
+ 15k - 1 = 9m, m Z (1)
Với n = k + 1 : 4
k+1
+ 15 (k + 1) - 1 = 4.4
k
+ 15k + 14 (2)
Từ (1) 4
k
= 9m - 15k + 1 thay vào (2)
Ta có: 4
k+1
+ 15(k + 1) - 1 = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14
= 36m - 45k + 18

9
Vậy 4
n
+ 15n - 1

9, n 1.
Bài 9. Chứng minh rằng :

5 15
16 2+
chia hết cho 33.
Giải: Ta có :
5 15 4 5 15 20 15 15 5 15
16 2 (2 ) 2 2 2 2 (2 1) 2 .33+ = + = + = + =
Vì 33 chia hết cho 33
15
2 .33 33 M
Vậy
5 15
16 2+
chia hết cho 33.
Bài 10. Chứng minh rằng: a
3
- 13a

6, a Z và a > 1.
Giải: Ta có :a
3
- 13a = (a - 1)a (a + 1) - 12a.
(a - 1) a (a + 1)

6, a N
2
12a

6, a N
Do đó: a
3

- 13a

6, a N.
Bài 11. Chứng minh: 10
n
+ 18n - 28

27, với n 1.
Giải: Với n = 1; ta có: 10 + 18 - 28 = 0

27
Giả sử n = k, ta có: 10
k
+ 18k - 28

27
10
k
+ 18k - 28 = 27m (m Z) 10
k
= 27m - 18k + 28 (1)
Với n = k + 1, ta có:
10
k+1
+ 18(k + 1) - 28 = 10. 10
k
+ 18k - 10 (2)
Thay (1) vào (2) ta đợc:
10
k+1

+ 18(k + 1) - 28 = 10 (27m - 18k + 28) + 18k - 10
= 270m - 162k + 270

27.
Vậy 10
n
+ 18n - 28

27 với n 1.
Bài 12. Chứng minh tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Giải: Nếu số chẵn nhỏ là a = 2k, k N
Thì số chẵn liền sau là a + 2 = 2k + 2 = 2 (k + 1)
Tích của chúng là: T = a(a + 2) = 2k . 2(k + 1) = 4k (k + 1)
Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có một số chia hết cho 2.
Do đó: T = a (a + 2) = 4 . 2m = 8m với m N
Vậy T

8.
Bài 13. Chứng minh rằng:
14 97 12
128 2 256 +
chia hết cho 48.
Giải: Ta có:
14 97 12 98 97 96 96 2
96 92 4 92 14 97 12
128 2 256 2 2 2 2 (2 2 1)
2 .3 2 .2 .3 2 .48 48 (128 2 256 ) 48.
+ = + = +
= = = +M M
Chuyên đề 2: phơng trình nghiệm nguyên

Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
a) 12x-19y+21=0
Ta có: x=
=

12
2119y
2y-3-5.
12
3

y
(*)
Đặt:
12
3

y
= t

Z

y=12t+3, thay vào (*)
Ta đợc: x=2(12t+3)-3-5t=19t+3
Vậy nghiệm của phơng trình là:
x=19t+3
y=12t+3; t

Z
b) 2x+3y+4z=5

Ta có: 2x+3(y+z)+z=5, đặt y+z=t; x=u
2u+3t+z=5
3
z=-2u-3t+5
y=t-z=t-5+2u+3t=2u+4t-5
Vậy nghiệm của phơng trình là:
x=u
y=2u+4t-5
z=-2u-3t+5; t,u

Z
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
+x+6=y
2
4x
2
+4x+24=4y
2
(2y)
2
-(2x+1)
2
=23
(2y-2x-1)(2y+2x+1)=23 (3)
Từ (3) dẫn đến việc tìm nghiệm nguyên của các hệ phơng trình sau:
2y-2x-1=23
2y+2x+1=1
2y-2x-1=-23
2y+2x+1=-1

2y-2x-1=1
2y+2x+1=23
2y-2x-1=-1
2y+2x+1=-23
Giải 4 hệ trên ta đợc nghiệm của phơng trình là
(x,y)

{(5,6); (-6,-6); (-6,6); (5,-6)}
Bài3. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
3
-y
3
=2y
2
+3y+1
x
3
=y
3
+ 2y
2
+3y+1 (4)
Ta có: (y-1)
3
=y
3
-3y
2
+3y-1= y
3

+ 2y
2
+3y+1-(5y
2
+2)< y
3
+ 2y
2
+3y+1
(y+1)
3
=y
3
+3y
2
+3y+1= y
3
+ 2y
2
+3y+1+y
2


y
3
+ 2y
2
+3y+1
Do đó: (y-1)
3

<x
3

(y+1)
3
Gọi (x
0
,y
0
) là nghiệm nguyên của phơng trình đã cho
Ta có: (y
0
-1)
3
<x
3
0

(y
0
+1)
3
Nên x
0
=y
0
hoặc x
0
=y
0

+1
- Nếu x
0
=y
0
, thay vào (4) ta đợc 2 y
3
0
+3 y
0
+1=0 nên y
0
=-1 (vì y nguyên)
Do đó x
0
=-1. Vậy là
- Nếu x
0
=y
0
+1, thay vào (4) ta đợc y
0
=0 nên x
0
=1. Vậy (1,0) là một nghiệm của ph-
ơng trình
Kết luận: Phơng trình đã cho có 2 nghiệm (-1,-1) và (1,0)
Bài4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 6x
2
+5y

2
=74
Ta có: 5y
2
=74-6x
2

74 nên y
2

9
Mà y chẵn nên y
2
=0 hoặc y
2
=4
- Nếu y
2
=0 thì 6x
2
=74: Không có x thoả mãn
- Nếu y
2
=4 thì 6x
2
=74-20=54 hay x
2
=9 nên x=

3

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm: (x,y)

{(3,2); (-3,2) (3,-2) (-3,-2,)}
Bài5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x+3y=xy+4
(2-y)x=4-3y (6)
Dễ thấy y=2 không phải là nghiệm của phơng trình. Vậy y

2
(6)

x=
y
y


2
34
=
y
y


2
2)2(3
=3-
y

2
2
x

Z

y

2
2

Z

2-y là ớc của 2
Hay (2-y)

{

1;

2}

y

{0;1;3;4}
4
Vậy nghiệm tập nghiệm của phơng trình là: (x,y)

{(2;0), (1;1), (5;3), (4;4)}
1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
3
-y
3

=3xy+1
áp dụng hằng đẳng thức:
a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)
Ta có: x
3
-y
3
=3xy+1
x
3
+ (-y)
3
+(-1)-3x(-y).(-1)=0
(x-y-1)( x
2
+y
2
+1

2
+xy-y+x)=0
x-y-1=0 hoặc x
2
+y
2
+1
2
+xy-y+x=0
x=y+1 hoặc (x+y)
2
+(x+1)
2
+(y-1)
2
=0
x=y+1 hoặc x=-1; y=1
Vậy nghiệm của phơng trình là: (-1,1) và (k+1,k) với k

Z
Bài 7 . Giải phơng trình tìm nghiệm nguyên:
a)
x
1
+
y
1
=
3
1

(1)
3x + 3y = xy x =
3
3yxy


x =
3
)3(

xy
y =
33
3

x
x
y = 3 +
3
9

x
Do y nguyờn dng
3
9

x
cng phi nguyờn dng
(x - 3) l c > 0 ca 9 (x - 3) = {1 ; 3 ; 9}
+) x - 3 = 1 x = 4 ; y = 12

+) x - 3 = 3 x = 6 ; y = 6
+) x - 3 = 9 x = 12 ; y = 4
- Vy pt cú cỏc cp nghim nguyờn l (x ; y) = (4 ; 12) ; (6 ; 6) ; (12 ; 4)
b)
x
1
+
y
1
+
z
1
= 2 (2)
Do vai trũ bỡnh ng ca x, y, z, trc ht ta xột x y z. Ta cú :
2 =
x
1
+
y
1
+
z
1
3.
x
1
=> x
2
3
=> x = 1.

Thay x = 1 vo (2) ta cú :
y
1
+
z
1
+ 1 = 2 => 1 =
y
1
+
z
1

y
2
=> y 2
=> y = 1 =>
z
1
= 0 (vụ lớ)
hoc y = 2 =>
z
1
= 2 => z = 2.
Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh (2) l cỏc hoỏn v ca (1 ; 2 ; 2).
Bài 8 . Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
a) xy + x - 2y = 3
y(x - 2) = - x + 3. Vỡ x = 2 khụng tha món phng trỡnh nờn xy + x - 2y = 3 y
=
2

)3(

=
x
x
y = -1 +
2
1

x
Ta thy : y l
s nguyờn tng ng vi x - 2 l c ca 1 hay x - 2 = 1 hoc x - 2 = -1
vi x = 1 hoc x = 3. T ú ta cú nghim (x ; y) l (1 ; -2) v (3 ; 0).
b) 5x 7y = 15
5